专题02 直线和圆的方程（期中真题汇编，北京专用）高二数学上学期

专题02 直线和圆的方程 5大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）经过两点，的直线的斜率为（     ） A.  B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 利用斜率公式即可求解. 【详解】 由题意可得直线的斜率为. 故选：D. 2．（25-26学年高二上·北京延庆·期中）已知直线经过点与，则直线的斜率与倾斜角分别为（     ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】D 【分析】 利用斜率公式以及直线斜率与倾斜角的关系可求得结果. 【详解】 由题意可得，即 ，因为，故. 故选：D. 3．（2026·北京房山·一模）直线l：的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】由直线的斜率，又，再求解即可. 【详解】解：由直线l：， 则直线的斜率， 又， 所以， 即直线l：的倾斜角为， 故选：C. 【点睛】本题考查了直线倾斜角的求法，属基础题. 4．（2026·北京房山·一模）已知直线上两点，，则直线的斜率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用过直线上两点的斜率公式计算求解． 【详解】 ，是直线上的两点，设直线的斜率为，则， ，故直线的斜率是． 故选：C． 5．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 0° B. 90° C. 180° D. 不存在 【答案】B 【分析】 根据直线与坐标轴垂直可得倾斜角. 【详解】 因为直线与轴垂直， 所以直线的倾斜角为90°. 故选：B 6．（25-26学年高二上·北京八一学校·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【分析】 由直线方程确定斜率，结合倾斜角与斜率关系及其范围确定倾斜角. 【详解】 由题设，直线的斜率为，根据斜率与倾斜角关系及倾斜角范围知：倾斜角为60°. 故选：B 7．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）已知直线，，若，则实数（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由两直线垂直的充要条件求解即可． 【详解】 直线，， 若，则，解得． 故选：D． 8．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由直线方程先求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出即可. 【详解】 设直线的倾斜角为， 由直线方程为， 所以直线的斜率为，即， 又，所以， 故选：A. 9．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）直线的倾斜角等于，则（     ） A.  B.  C. 1 D. 3 【答案】A 【分析】 根据直线方程求得直线的斜率，再利用直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】 由题，可得直线的斜率，又， ，解得. 故选：A. 10．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先由直线方程得到斜率，进而可得其倾斜角. 【详解】 由题意可得直线的斜率为， 设其倾斜角为，则， 又，所以， 故选：B 11．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）已知直线与直线，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据直线平行斜率的关系结合充分性和必要性的概念求解即可. 【详解】 当时，直线与直线的斜率均为，所以，充分性成立； 当时，，由解得， 又当时与重合， 所以，必要性成立， 故“”是“”的充要条件， 故选：C 12．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题可得直线斜率，即可得倾斜角. 【详解】 ，则直线斜率为， 则直线倾斜角满足. 故选：B 13．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）过点、的直线的斜率为（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】 由两点的斜率公式直接求出答案. 【详解】 由题意知, 故选：D. 14．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（     ） A. 45° B. 90° C. 135° D. 150° 【答案】C 【分析】 通过方向向量求斜率，再结合倾斜角范围及正切值求倾斜角. 【详解】 直线的方向向量为，则斜率. 设倾斜角为，，由，得. 故选：C 15．（25-26学年高二上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用斜率与倾斜角的关系即可得。 【详解】 因为直线方程为，所以斜率， 直线倾斜角满足，即， 在范围内，. 故选：B 16．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）直线的倾斜角的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】由直线斜率与倾斜角的关系运算即可得解. 【详解】 由题意，直线的斜率， 设直线的倾斜角为， 则，所以. 故选：A. 17．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）若直线经过点，，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求出直线的斜率，再求出其倾斜角. 【详解】 直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，则，故直线的倾斜角为. 故选：A 18．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知直线：，：，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】 依题意，：，：， 若两直线平行，则， 解得或. 当时，：，：， 此时两直线重合，不符合. 当时，：，：，符合题意. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 19．（2026·北京房山·一模）已知直线与直线，则“”是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据直线平行的等价条件求出a的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 直线与直线，则可得，得或， 当时，直线与直线，成立； 当时，直线与直线，成立； 所以等价于或， 则“”不能推出“”，“”可以推出“”； 则“”是“”的必要而不充分条件. 故选:B． 20．（25-26学年高二上·北京第五十七中学·期中）下列说法错误的是（     ）. A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 C. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 D. 过点且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程是或 【答案】C 【分析】 根据直线倾斜角的范围、两圆的位置关系、两直线垂直的条件以及截距的定义逐项判断即可. 【详解】 A：因为直线的斜率为. 所以倾斜角满足且直线倾斜角的范围为，则，A正确； B：由题意，圆是以为圆心，半径为的圆，圆是以为圆心，半径为1的圆， 两圆圆心距为. 由于圆上恰有两点到的距离为1，即两圆有且仅有两个公共点， 所以，解得，所以B正确； C：当时，直线与直线互相垂直， 当时，直线的斜率为，直线的斜率是， 要使得两直线互相垂直，则，解得， 所以直线与直线互相垂直是的必要不充分条件，所以C错误； D：当直线与轴的截距不为0时，设直线方程为， 将点代入得，解得，所以直线方程为， 当直线与轴的截距为0时，也满足题意，此时斜率为， 所以此时直线方程为，即，所以D正确. 故选：C. 21．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）已知点和在直线的两侧，则直线的倾斜角的取值范围是 A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】设直线l的倾斜角为θ∈[0,π).点A(1,−2),B(,0). 直线l:ax−y−1=0(a≠0)经过定点P(0,−1). ∵点(1,−2)和(,0)在直线l:ax−y−1=0(a≠0)的两侧， ∴kPA<a<kPB,∴−1<tanθ<，tanθ≠0. 解得. 本题选择D选项. 22．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）若直线与垂直，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据直线垂直列方程，化简求得的值. 【详解】 因为直线与垂直， 所以，解得. 故答案为： 23．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）若直线与直线互相垂直，则实数=　　　　　　　 【答案】 【详解】：，即 24．（2026·北京房山·一模）已知直线，，则使得直线的的一个取值是　　　　　. 【答案】或 【分析】 应用直线垂直的系数关系列式计算求解. 【详解】 直线，， 则直线可得，所以， 所以或 则使得直线的的一个取值是或. 故答案为：2或. 25．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）若直线与平行，则　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据直线平行列方程求解参数，并验证是否重合即可得结论. 【详解】 直线与平行， 则，解得， 经检验，当时，两直线不重合，故. 故答案为：. 26．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）若直线与直线平行，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据两直线平行得到，求出参数的值，再代入检验. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以，解得或； 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线重合，不符合题意； 综上可得. 故答案为： 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）直线的一个方向向量（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出直线的斜率，可得出该直线的一个方向向量. 【详解】 直线的斜率为，故该直线的一个方向向量为. 故选：C. 2．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）直线的倾斜角为120°，且，则该直线不通过（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【分析】 根据直线方程求直线的斜率和纵截距，即可判断选项. 【详解】 直线的斜率， 又，所以直线的纵截距为， 所以该直线不通过第三象限. 故选：C 3．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】 ∵当a=1时，直线：x+2y﹣1=0与直线：x+2y+4=0， 两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行， 故前者是后者的充分条件， ∵当两条直线平行时，得到， 解得a=﹣2，a=1， ∴后者不能推出前者， ∴前者是后者的充分不必要条件． 故选A． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系． 4．（25-26学年高二上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知直线：，则下列说法正确的是（       ） A. 直线不恒过定点 B. 当时，直线不过第三象限 C. 直线的斜率可能不存在 D. 若直线在坐标轴上的截距相等，则 【答案】B 【分析】 求出直线过定点坐标，即可判断A；求出直线所过象限，即可判断B；将直线方程化为斜截式，即可判断C；分截距均为、截距均不为两种情况讨论，求出参数的值，即可判断D. 【详解】 对于A：因为直线：，即， 令 ，解得 ，所以直线过定点，故A错误； 对于B：当时直线：，即， 所以直线过第一、二、四象限，不过第三象限，故B正确； 对于C：直线：，即，所以直线的斜率为，即直线的斜率一定存在，故C错误； 对于D：若直线在坐标轴上的截距相等， 若截距均为，则，解得； 若截距均不为，显然，对于，令可得， 令，则，所以，解得（舍去）或； 综上可得或，故D错误. 故选：B 5．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知直线：，：平行，则实数的值是（       ） A. 或3 B. 或1 C.  D. 3 【答案】C 【详解】利用直线平行的必要条件,求得的值，然后代回直线的方程，排除重合的情况. 【详解】 解：由题意得,解得或, 当时，两直线的方程都是,两直线重合， 当时，两直线的方程分别为和,两直线平行， 故选:C. 【点睛】 本题考查根据直线平行求参数的值，属基础题，直线平行的必要条件,一定要代回检验，排除重合的情况. 6．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）经过点且倾斜角为45°的直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程化为一般式即可. 【详解】 直线斜率，点斜式为，一般式为， 故选：B. 7．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）经过点且倾斜角为的直线的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程； 【详解】 由倾斜角为知，直线的斜率， 因此，其直线方程为，即 故选：B 8．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知直线的倾斜角为60°，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（     ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】 根据题意，结合直线截距的定义，求得直线在轴上的截距，根据倾斜角与斜率的定义，利用点斜式方程，结合点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】 由直线方程，令，解得，则直线过， 由直线的倾斜角为60°，则该直线的斜率， 故直线方程为：，化简可得：， 则点到直线的距离. 故选：C. 9．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由斜率，确定高的斜率，再由点斜式求解. 【详解】 ， 所以边上的高所在直线斜率为1， 所以边上的高所在直线的方程为， 即， 故选：C 10．（25-26学年高二上·北京八一学校·期中）已知直线：与：如图所示，则有 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】根据图象得到直线的倾斜角小于直线的倾斜角，根据正切函数的性质得出两斜率的大小，根据两直线与轴的交点位置即可确定出截距的大小． 【详解】由图可知直线的倾斜角小于直线的倾斜角，但是它们都大于90° ，由 在上单调递增，得，又直线与轴的交点在直线与轴的交点的上方，故，综上选A. 【点睛】此题考查了直线的截距式方程，以及直线斜率与倾斜角的关系，熟练掌握直线斜率与倾斜角的关系是解本题的关键． 11．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）过点(1，3)且与直线x＋2y－1＝0垂直的直线的方程是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】先求出直线x＋2y－1＝0的斜率，再求所求直线的斜率，再写出直线的点斜式方程. 【详解】由题得直线x＋2y－1＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为2， 所以所求的直线的方程为y-3=2(x-1)即2x-y+1=0. 故答案为 【点睛】(1)本题主要考查两直线垂直的性质和直线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)如果两直线都存在斜率且互相垂直，则.直线的点斜式方程为. 12．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）直线的倾斜角为　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据直线的一般式方程转化为斜截式方程，得到斜率，即可求倾斜角. 【详解】 由题可得，直线的斜截式方程为， 所以直线的斜率为，则倾斜角为， 故答案为：. 13．（25-26学年高二上·北京八一学校·期中）直线恒经过定点，则的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由，可得，可求定点坐标. 【详解】 当时，，所以直线恒经过定点. 故答案为：. 14．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）经过坐标原点且与直线平行的直线方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据平行关系可设直线方程为，将点代入求得，从而得到结果. 【详解】 设与直线平行的直线方程为， 因为过原点，所以，得， 所以所求直线方程为. 故答案为：. 15．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，倾斜角为； （2）经过点和； （3）经过点，且与直线平行. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）借助斜率与倾斜角的关系求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （2）借助斜率公式求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （3）借助直线平行的性质，设出直线后代入点计算即可得. (1) 小问详解： 因为直线过点，斜率， 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； (2) 小问详解： 因为直线经过点和， 所以直线的斜率. 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； (3) 小问详解： 因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线的方程为. 因为直线经过点， 所以，即. 所以直线的方程为. 16．（2026·北京房山·一模）已知直线经过两点，． （1）求线的方程； （2）若直线，且直线在轴上的截距为4，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出的斜率，再利用点斜式求出直线方程，最后化为一般式； （2）先利用垂直关系求出的斜率，再根据已知条件利用斜截式求出直线方程，最后化为一般式． (1) 小问详解： 点，位于直线上，设直线的斜率为，则， 根据点斜式可得直线的方程为：， 的一般式方程为：． (2) 小问详解： ，，解得， 又直线在轴上的截距为4，根据直线的斜截式方程得， 直线的方程为：． 17．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）已知直线经过点，且与直线平行，则的方程为　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据平行设出直线方程，代入点，求出答案； 【详解】 设经过点且与直线平行的直线方程为， 将代入得，解得， 故经过点且与直线平行的直线方程为. 故答案为：. 18．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）经过点与直线垂直的直线方程为　　　　　　　　　　. 【答案】. 【分析】 根据直线垂直得出斜率，再点斜式得出直线方程，最后化成一般式即可. 【详解】 直线的斜率为，所以与直线垂直的直线方程斜率为， 所以经过点与直线垂直的直线方程为，即. 故答案为：. 19．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知点，，直线. （1）若直线经过点，且，求直线的方程； （2）若直线是线段的垂直平分线，求直线的方程； （3）若圆经过，两点，且圆心在轴上，求圆的方程. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据两直线平行设出所求直线方程，代入点的坐标即可求解； （2）求出两点中点坐标及过两点直线的斜率，可得所求直线斜率及所过点，即可得解； （3）由题意设出所求圆的方程，代入点的坐标求解即可. (1) 小问详解： 因为，所以设直线的方程为， 又直线过点， 所以，解得， 所以直线的方程为 (2) 小问详解： 因为点，的中点为， , 所以直线的方程为，即. (3) 小问详解： 设所求圆的方程为， 则 ，解得， 所以圆的方程为. 20．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求边所在直线方程； （2）求点和点的坐标． 【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）先利用上的高所在方程求出斜率，再利用点斜式求出方程； （2）先利用是与中线的交点，联立直线与方程求出点坐标，利用是中点，结合在上的高所在直线方程上，求出点坐标． (1) 小问详解： 上的高所在直线方程为，斜率为， 而与其高所在直线垂直，，解得， ，根据点斜式得，整理得． (2) 小问详解： 是与中线的交点，联立直线与方程 得， ， . 设点，是的中线，为中点，，， 又在直线上，，整理得， 又在上的高所在直线方程上，联立 ，解得 ， ． 21．（25-26学年高二上·北京延庆·期中）已知点、. （1）求经过点，且倾斜角为60°的直线方程； （2）求经过点、的直线在轴和轴上的截距； （3）若原点为，求经过点且以为法向量的直线的一般式方程； （4）已知直线经过点，且、两点到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为     （3）     （4）或      【分析】 （1）求出直线的斜率，结合点斜式可得出所求直线的方程； （2）将直线的方程化为截距式，结合直线截距的概念可得结果； （3）设为所求直线上一点，根据可得出所求直线的一般式方程； （4）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出的等式，解出的值，即可得出所求直线的方程. (1) 小问详解： 因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 因为、两点的横坐标不相等，而且纵坐标也不相等， 所以直线的两点式方程，整理得，化为截距式方程得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为. (3) 小问详解： 设为所求直线上一点，则与垂直， 因为，所以， 整理可得一般式方程为. (4) 小问详解： 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，点在直线上，不合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为、两点到直线的距离相等，所以， 即，解得或，因此直线的方程为或. 22．（25-26学年高二上·北京延庆·期中）已知点，直线. （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）求过点且与直线垂直的直线方程； （3）求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设所求直线的方程为，将点的坐标代入该直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）设所求直线的方程为，将点的坐标代入该直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （3）设对称点的坐标为，根据两点关于直线对称，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出对称点的坐标. (1) 小问详解： 依题意可设所求直线的方程为， 由于直线过点，因此，解得. 因此所求直线的方程为. (2) 小问详解： 依题意可设所求直线的方程为， 由于直线过点，因此，解得. 因此所求直线的方程为. (3) 小问详解： 设点关于直线的对称点的坐标为，则 ， 解得 ，所以对称点为. 23．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）若直线过点且与直线垂直，则的方程为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设出与直线垂直的直线系，再将点代入即可. 【详解】 因为直线与直线垂直， 所以设直线的方程为， 将点代入得： 所以直线的方程为. 故答案为：. 24．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线． （Ⅰ）求直线的方程． （Ⅱ）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）（2）1 【详解】（） ，解得 ，则点的坐标为． 由于点的坐标是，且所求直线与直线垂直， 可设所求直线的方程为． 将点坐标代入得，解得． 故所求直线的方程为． （）由直线的方程知它在轴，轴上的截距分别是，， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 25．（25-26学年高二上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，直线的斜率为. （1）求直线的方程； （2）求线段的垂直平分线与直线相交于点的坐标. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意结合直线的点斜式方程运算求解即可； （2）根据题意可得，结合垂直关系可得直线的斜率，即可得直线的方程，利用直线两点式方程可得直线的方程，进而可得交点坐标. (1) 小问详解： 因为直线的斜率为，点， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 因为直线的方程为， 因为点在轴上，令可得，即， 又因为点，则线段的中点坐标为，即， 设线段的垂直平分线的斜率为，则，可得， 所以直线的方程为，即， 因为点，，则直线的方程为，即， 联立方程 ，解得，， 所以. 26．（25-26学年高二上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知直线过点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若点到直线的距离为1，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设直线的方程为，将代入，求得，即可求解； （2）根据题意，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. (1) 小问详解： 解：由题意，可设直线的方程为， 将代入得：，解得， 所以直线的方程为. (2) 小问详解： 解：① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时点到直线的距离为1，符合题意； ② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离为1，可得，解得. 直线的方程为，即， 综上可得，直线的方程为或. 27．（25-26学年高二上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形的面积为1，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 计算直线与坐标轴的交点坐标，计算直角三角形的面积即可. 【详解】 由题意可知，直线与坐标轴的交点为，且， 则直线与坐标轴正半轴围成的三角形的面积为，得. 故答案为： 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（2026·北京房山·一模）以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出交点，得到圆心坐标，由点到直线距离得到半径，从而得到圆的方程. 【详解】 联立方程组 ，解得 ，即所求圆的圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离， 故所求圆的方程为． 故选：A 2．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）平行直线与之间的距离是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 由两条平行直线的距离公式直接可得. 【详解】 因为直线与平行， 所以由平行线间的距离公式可得. 故选：B. 3．（25-26学年高二上·北京第九中学·期中）已知，，，则这三点（     ） A. 构成等腰三角形 B. 构成直角三角形 C. 构成等腰直角三角形 D. 不能构成三角形 【答案】D 【分析】 根据空间三点的坐标确定直线的方向向量，进而确定. 【详解】 由，，， 则，， 则，又有公共点， ,,三点共线， 所以三点不能构成三角形. 故选：D. 4．（25-26学年高二上·北京第五十七中学·期中）若直线与直线平行，则两直线间距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据两直线平行的充要条件求出，再根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】 因为，所以，解得或， 经检验，当时两直线重合， 所以， 则，即， 所以两直线之间的距离为. 故选：A. 5．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）已知点关于直线：的对称点为A，设直线经过点A，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】求出，根据直线垂直于直线时，点到直线的距离最大可以求出直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程. 【详解】 设，则 ，解得 ，所以． 设点到直线的距离为d，当时取得最大值，此时直线垂直于直线，又，所以直线的方程为，即． 故选：B． 【点睛】 本题考查了点关于直线对称问题，考查了点到直线的距离的最值问题，考查了由两直线垂直求斜率，考查了直线方程的点斜式，属于基础题. 6．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 联立两直线方程求出交点，即可根据第二象限的特征求解. 【详解】 , 所以交点为,由于在第二象限，所以 ， 所以的取值范围为， 故选：D 7．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（       ） A. 直线过,的中点 B. 直线的斜率为 C. 直线的斜率为3 D. 直线的一个方向向量的坐标是 【答案】B 【分析】 根据与关于直线对称，逐项判断可得答案. 【详解】 对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3       ，故C正确； 对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确. 故选：B. 8．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 分析可知直线与直线或直线平行，或直线过点，进而列式求解即可. 【详解】 联立方程 ，解得 ， 可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为， 若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点， 可知直线的斜率存在，且为， 可得或或，解得或或， 所以实数的取值最多有3个. 故选：B. 9．（2026·北京房山·一模）已知，，，，，则点的坐标是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 设，由题意列方程组即可求得. 【详解】 设， 由题意可得 ， 解得 或 . 所以点的坐标为或. 故选：C 10．（2026·北京房山·一模）已知点，为坐标原点，分别在线段上运动，则的周长的最小值为 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】分别求出设关于直线对称的点，关于对称的点，当共线时，的周长取得最小值，为，利用两点间的距离公式，求出答案. 【详解】过两点的直线方程为 设关于直线对称的点， 则 ，解得 即， 同理可求关于对称的点， 当共线时的周长 取得最小值为. 故选C． 【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称性的简单应用，试题的技巧性较强，属于中档题. 11．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知过原点且倾斜角为的直线与直线交于点，则当在上变化时，点的轨迹长度为（       ） A.  B. 2 C. 3 D.  【答案】D 【分析】 分别求出当与时直线与直线的交点坐标，再由两点的距离公式求出轨迹长度. 【详解】 当时，直线的斜率，直线为， 联立 ，; 当时，直线的斜率，直线为， 联立 ，; 所以点的轨迹. 故选：D. 12．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）两条直线与之间的距离是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 本题考查两条平行线间的距离公式，先将两条直线方程中，的系数化统一，再代入公式计算即可. 【详解】 直线可化为， 所以两条平行线间的距离为. 故答案为：. 13．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知直线，则直线在轴上的截距为　　　　　　　　　；点到直线的距离为　　　　　　　　　　　. 【答案】① 2    ② 【分析】 令，可得直线在轴上的截距；利用点到直线的距离公式直接可得结论. 【详解】 令，可得， 所以直线在轴上的截距为. 点到直线的距离为. 故答案为：2； 14．（25-26学年高二上·北京延庆·期中）已知的三个顶点、、，则的边上的高的长度为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】 由题意可得，故直线的方程为，即， 故的边上的高即为点到直线的距离. 故答案为：. 15．（2026·北京房山·一模）两条平行直线与之间的距离为　　　　　. 【答案】 【分析】 应用平行线间距离公式计算求解. 【详解】 两条平行直线与之间的距离为. 故答案为： 16．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）直线与直线之间的距离为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 代入平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】 直线， 则与之间的距离. 故答案为： 17．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为　　　　　　. 【答案】3 【分析】 利用点到直线距离公式，结合辅助角公式及正弦函数性质求出最大值. 【详解】 点到直线的距离， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最大值为3. 故答案为：3 18．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知的三个顶点，，. （1）求边上的中线所在的直线方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求的面积. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）求出边上的中点的坐标，即可求出，再由点斜式计算可得； （2）求出，即可求出所求直线方程； （3）首先求出所在直线方程，再求出点到的距离，以及，即可得解. (1) 小问详解： 因为，， 所以边上的中点，又，所以， 所以边上的中线所在的直线方程为，即； (2) 小问详解： 因为， 所以过点且与直线平行的直线的方程为，即； (3) 小问详解： 依题意直线的方程为，即， 所以点到的距离， 又， 所以. 19．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知两直线：和：，若，则与间的距离为　　　　　　. 【答案】2 【分析】 由平行线间距离公式即可求解. 【详解】 因为， 所以，即：， 所以与间的距离为， 故答案为：2 20．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）某工程队准备在一条笔直的公路上的某点处修建一个车站，使得两车站，（可视为点）到车站的距离相等.在地图上建立平面直角坐标系，并按照一定比例确定单位长度，得到：，，及公路上的两点，，则车站的坐标为　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据直线上两点确定公路所在直线的方程，从而可设的坐标，根据结合距离公式列方程求得点横坐标，从而得车站的坐标. 【详解】 公路上的两点，， 则，所以直线， 则直线上一点， 由可得：，解得， 故车站的坐标为. 故答案为：. 21．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知直线，相互垂直，且均过点，设，与轴分别交于点，（，分别在轴的正、负半轴上），若的面积为5，求，的方程. 【答案】的方程为，的方程为. 【分析】 设，则，确定，坐标并确定的取值范围，再根据三角形面积公式结合坐标关系列方程求解的值，即可得两直线的方程. 【详解】 由题可知，直线，的斜率均存在， 设，则， 所以，且 ，解得， 则， 整理得，解得或，由得， 所以的方程为，的方程为. 22．（25-26学年高二上·北京八一学校·期中）已知直线过点． （1）若直线也过点，求直线的方程； （2）若直线在轴上的截距与轴上的截距相等，求直线的方程； （3）设坐标原点到直线距离为，求的取值范围（直接写出结果即可） 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）由两点确定斜率，即可求解； （2）设直线为，（）由，得；由，得．通过求解即可； （3）由题意当直线过原点时距离最小，当时，距离最大，即可求解. (1) 小问详解： 直线的斜率． 所以直线的方程为，即． (2) 小问详解： 由已知，直线的斜率存在且不为0， 设直线为，（） 令，得；令，得． 因此，化简得，解得或 当，直线方程为，当，直线方程为， 故直线方程为或． (3) 小问详解： 由题意当直线过原点时距离最小，当时，距离最大， 所以， 故的取值范围． 23．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，设点，，记，． （1）若，求点的坐标； （2）若点，点，且，求的最大值； （3）已知点，是直线上的动点，是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1）或或或     （2）1     （3）和      【分析】 （1）根据新定义列式求解； （2）根据新定义求得点的运动轨迹，根据运动轨迹可求得最值； （3）根据点到直线的距离公式求得，求得的表达式，对进行分类讨论，根据不等式的性质来证得结论成立，并求得满足条件的直线的方程. (1) 小问详解： 由，得， ，解得 或 ， 所以点的坐标为或或或. (2) 小问详解： 由题，， 当时，方程变为， 当时，方程变为， 当时，方程变为， 当时，方程变为， 所以方程表示的图形是正方形，如图， 其中，即点在正方形的边上运动， 而表示点间的距离，是正方形的中心， ，即的最大值为1. (3) 小问详解： 因为点到直线的距离为，所以， 设，则，令， 当时，，此时，合题意； 当时，， 由分段函数性质可得， 又，且恒成立，当且仅当时，等号成立， 综上，满足条件的直线有且只有两条和. 24．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分.已知曲线过坐标原点，且曲线上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为.给出下列四个结论正确的是　　　　　　　　　　　　    ① ②点在上 ③曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为 ④当点在上时， 【答案】① ② ④ 【分析】 根据题意得曲线的方程，再由原点及在曲线上可判断① ②，结合不等式的放缩可判断③ ④ . 【详解】 设曲线C上任意一点，由题意得. 对于①：因曲线过原点，所以，且，所以，故①正确； 对于②：将代入方程得，所以②正确； 对于③：设是曲线在第一象限的点, 则有, 所以, 令, 则, 因为,且,所以函数在附近单调递减, 即必定存在一小区间使得单调递减, 所以在区间上均有, 所以的纵坐标的最大值一定大于,，故③不正确； 对于④：由，所以，即， 当时，；当时，因，即，所以成立； 所以当在上时，成立，故④正确. 故答案为：① ② ④ . 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知圆的方程为，则圆的（     ） A. 圆心为，半径为2 B. 圆心为，半径为4 C. 圆心为，半径为2 D. 圆心为，半径为4 【答案】A 【分析】 将圆的一般方程化为标准方程即可. 【详解】 圆的方程为， 即， 所以圆心为，半径为2， 故选：A. 2．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）圆心为，半径为的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】 圆心为，半径为的圆的方程为. 故选：D. 3．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得. 【详解】 由可知圆心为， 又因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 由点斜式得直线， 化简得直线的方程是． 故选：D． 4．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）圆的半径长为（     ） A.  B. 5 C.  D.  【答案】A 【分析】 把圆的一般方程化为标准方程，即可得出圆的半径. 【详解】 将圆化成标准方程， 所以圆的半径为. 故选：A. 5．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）圆心为且经过原点的圆的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合选项逐个判断即可. 【详解】 ，圆心坐标为，不符合， ，圆心坐标为，代入原点坐标得不成立，不符合， ，圆心坐标为，不符合， ，圆心坐标为，代入原点坐标成立，符合， 故选：D 6．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 把给定方程配方化成圆的标准方程形式即可计算作答. 【详解】 方程化为：， 因方程表示圆，于是得，解得， 所以的取值范围是：. 故选：A 7．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）已知圆C：过点，则圆C的圆心的轨迹方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 把已知点坐标代入圆方程，变更字母即可得． 【详解】 圆C：过点，则， 所以圆心的轨迹方程是， 故选：D． 8．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）已知圆与圆外切，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先得到两圆的圆心和半径，再利用两圆外切得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】 因为圆的圆心为，半径为， 圆可化为， 则圆的圆心为，半径为， 因为两圆外切，所以， 即，解得. 故选：B. 9．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）“”是“坐标原点在圆的外部”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 先由“坐标原点在圆的外部”得且，进而可得. 【详解】 由坐标原点在圆的外部可得 ，即且， 故“”是“且”的必要不充分条件， 故选：B 10．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【分析】 求得圆的圆心和半径，求出点关于直线的对称点为，结合图形的几何性质求得答案. 【详解】 由圆，得，得圆心的坐标是，半径； 点关于直线对称点为， 所以， 当且仅当四点共线且在之间时取等号. 故的最小值是. 故选：B. 11．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）已知直线与直线相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为（     ） A.  B. 8 C.  D. 7 【答案】A 【分析】 易知直线分别经过定点且两直线垂直,所以点在以为直径的圆上,又点是圆上的动点,因此可以求出圆心之间的距离,所以. 【详解】 易知直线经过定点, 变形得, 所以直线经过定点 当时,直线垂直； 当时,两直线斜率相乘为,故直线垂直； 所以点在以为直径的圆上, 圆心为的中点,半径为， 点是圆上的动点,圆心,半径， 所以圆心之间的距离, 所以. 故选：A. 12．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是（       ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】C 【分析】 依题意将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论. 【详解】 根据题意将化为标准方程可得， 即圆心，半径； 由可知圆心，半径； 此时圆心距为，； 显然，即两圆相交. 故选：C 13．（2026·北京房山·一模）已知圆，则圆的面积为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据圆的标准方程得出半径进而得出圆的面积. 【详解】 因为圆，所以圆的半径为，则圆的面积为. 故答案为：. 14．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）已知点和点，若点满足，则点的轨迹方程为　　　　　　　　　　，的面积的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 首先设，利用两点间距离公式表示，即可求解轨迹方程，再求圆上点到距离的最大值，即可求解面积的最大值. 【详解】 设， 则，整理为， 点到的距离的最大值为2，所以的面积的最大值为. 故答案为：；3 15．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知圆：与直线：，则圆心的坐标为　　　　　　，若圆关于直线对称，则　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，再根据圆心在直线上，代入求出的值. 【详解】 圆：，即， 所以圆心为， 若圆关于直线对称，则点在直线上，即，解得 故答案为：； 16．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知圆经过点，且与轴相切. （1）若，直线与圆交于两点，求线段的长； （2）点为坐标原点，再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求圆的方程. 条件①：直线的方程为； 条件②：的面积为. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）     （2） 若选条件① ：圆的方程为：或. 若选条件② ：圆的方程为：或.      【分析】 （1）通过已知条件先把圆的方程求出来，再求出圆心到直线的距离，然后利用几何法即求解即可； （2）若选条件① ：利用已知条件得出且和解出即可得出圆的方程；若选条件② ：根据的面积为求出的值，结合其他条件求解即可. (1) 小问详解： 因为，且圆经过点， 所以，③ 且圆与轴相切，所以，④ 联立③ ④ 解得：， 所以圆， 由圆心到直线的距离为： ， 所以线段的长为： . (2) 小问详解： 若选条件① ： 由题意圆经过点，且与轴相切， 得出：且，⑤ 由圆心为，直线的方程为， 所以，⑥ 联立⑤ ⑥ 得 解得：或， 当时，， 此时圆的方程为：， 当时，， 此时圆的方程为：. 若选条件② ： 由题意圆经过点，且与轴相切， 得出：且， 即， 因为的面积为， 所以， 所以， 当时，代入得：， 此时，所以圆的方程为：， 当时，代入得：， 此时，所以圆的方程为：. 17．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点，，． （1）求圆的方程； （2）求经过点的圆的切线方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用待定系数法将三个点的坐标代入圆的一般方程，解方程组即可； （2）根据圆的切线性质求出切线的斜率，点斜式求得直线方程. (1) 小问详解： 设圆的方程为， 将三点坐标代入得， ， 即 ，解得 ， 所以圆的方程为，即. (2) 小问详解： 由（1），可得圆心，则， 所以经过点的圆的切线斜率， 所以经过点的圆的切线方程为，即. 18．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知圆的半径为1. （1）求的值； （2）设直线与圆交于，两点，若（为圆心）为锐角，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）配方得圆的标准方程，由半径的值列方程求解的值即可； （2）设，联立直线与圆得交点坐标关系，得的取值范围，再根据为锐角运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解不等式可得所求范围． (1) 小问详解： 圆化为标准方程为， 由圆的半径为1可得，解得； (2) 小问详解： 设， 与圆联立， 可得，得， 则，， 由，可得，， 若为锐角， 可得， 则，整理得，解得或， 又，所以的取值范围是． 19．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）圆心在直线上，并且经过原点和的圆的方程为　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 由垂径定理找到圆心，然后得到半径，即可写出圆的方程. 【详解】 设，则中点， 过点作直线，使得，则， 联立方程组 ，解得 ，即圆心， 半径， 所以圆的方程为. 故答案为：. 20．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）在中，已知，边的中点在轴上，边的中线所在直线的方程 （1）求顶点的坐标； （2）求边上的高所在直线方程； （3）求外接圆的方程． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设，利用边的中点在轴上，求得，利用边的中线所在直线的方程，求得； （2）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （3）利用待定系数法求得外接圆的方程． (1) 小问详解： 设，则的中点坐标为， 又因为边的中点在轴上，所以，解得， 又的中点是，即， 因为边的中线所在直线的方程，解得， 所以点C的坐标为； (2) 小问详解： 因为，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即； (3) 小问详解： 设外接圆的方程为， 可得 ，化简得 ， 解得 ，所以外接圆的方程为， 化为标准方程为. 21．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）已知圆与圆关于直线对称，则　　　　　　　　　　，直线的方程为　　　　　　　　　　. 【答案】① 4    ② 【分析】 根据两圆半径相等可求得；求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线斜率，从而求得直线的方程. 【详解】 由题意两圆半径相等，圆，整理得， 圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由题意可知，所以， 的中点坐标为，，由对称性可知得， 所以直线的方程为，即. 故答案为：4； 22．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）如图，在长方体中，为棱的中点，点是侧面上的动点，满足，给出下列四个结论： ①动点的轨迹是一段圆弧； ②动点的轨迹长度为； ③动点的轨迹与线段有且只有一个公共点； ④三棱锥的体积的最大值为. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　. 【答案】① ② ④ 【分析】 利用三角函数的定义得到，再建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式求得动点的轨迹，从而逐一分析各选项即可得解. 【详解】 由长方体性质可知：都与平面垂直， 而在平面内，所以， 由，可知，即，故， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，因为点是侧面上的动点，故设， 故所求点满足，化简得， 则动点的轨迹为此圆在矩形内的部分，是一段圆弧，故①正确； 记圆心为，当时，由，得， 显然动点的轨迹与线段没有公共点，故③错误； 当时，由，得或（舍去）， 当时，由，得或（舍去）， 则，， 易得，又，则， 所以动点的轨迹长度为，故②正确； 显然，动点到平面的最大距离为点到平面的距离，即， 所以三棱锥的体积的最大值为，故④正确. 故答案为：① ② ④ . 【点睛】 关键点睛：本题的关键是根据角的关系确定边之间的关系，利用空间向量法求得动点的轨迹，从而得解. 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）“”是“直线与圆相切”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据直线与圆的位置关系求出a的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义解出. 【详解】 由题知，圆的圆心为，半径为1， 设圆心到直线的距离为 则，解得：或. 由此可知，“”是“或”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）直线被圆截得的弦长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用弦长公式即可求得结果. 【详解】 圆C的圆心为，半径为3，圆心到直线l的距离， 所以直线l被圆C截得的弦长为. 故选：D 3．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）直线与圆的位置关系是（     ） A. 相切 B. 相交且过圆心 C. 相离 D. 相交且不过圆心 【答案】C 【分析】 求出圆心到直线的距离与半径比较大小，即可得到结论. 【详解】 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故选：C. 4．（25-26学年高二上·北京第五十七中学·期中）若点为圆的弦的中点，则直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据垂直关系求斜率，即可根据点斜式求解. 【详解】 的圆心为， 故， 由于，故，因此直线的方程为，即， 故选：D 5．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B.  C. 2 D. 2 【答案】A 【分析】 由直线和圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】 由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为， 所以， 化简得，解得. 故选：A. 6．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）过点的圆C与直线相切于点，则圆C的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由圆心和切点连线与切线垂直可得，得到关于圆心的一个方程，根据圆的性质，可知圆心C在的垂直平分线上，由此可求得的值，得到圆心坐标，进而可求得圆的半径即可求解. 【详解】 设圆心， 因为直线与圆C相切于点， 所以，即， 因为中垂线为，则圆心C满足直线， 即， 所以半径， 所以圆C的方程为， 故选： 7．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内含 【答案】A 【分析】 利用圆与圆的位置关系判断. 【详解】 圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则， ， 所以圆与圆的位置关系是相交， 故选：A 8．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）圆和圆的位置关系是（　　） A. 相交 B. 内切 C. 外离 D. 内含 【答案】C 【分析】 求出两圆圆心距，并与两圆半径和比较大小，可得出结论. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距为， 因为，故两圆外离. 故选：C. 9．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先求出过圆心与点的直线的斜率，当直线与垂直时，取得最小值，则可得直线的斜率，则直线的方程可求． 【详解】 由题意得圆的标准方程为，则圆心. 过圆心与点的直线的斜率为. 当直线与垂直时，取得最小值， 故直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即， 故选：C． 10．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）圆心为且与直线相切的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，由圆与直线相切得到圆的半径，然后写出直线方程. 【详解】 点到直线的距离， 因为圆与直线相切，所以圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：B 11．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）与圆相切于点的直线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】A 【详解】由题意可知为切点所求的直线为切线，则可知圆心与切点的连线与切线垂直，再根据直线与直线的垂直斜率乘积为-1，则可求出切线斜率. 【详解】 可设圆心与切点的连线斜率为，切线斜率为，由可知圆心为点，切点为点，则，根据题可知圆心与切点的连线和切线垂直， 所以，则. 所以切线斜率为-2. 故选：A 12．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】设圆心坐标得到圆的圆心的轨迹方程，再利用点到线的距离公式求解. 【详解】 半径为2的圆经过点，设圆心坐标为，则圆的方程为 所以该圆的圆心的轨迹是以为圆心，2为半径的圆 故圆心到直线的距离的最小值为点到直线的距离减半径，即 故选：B 【点睛】 结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，求圆上点到直线的距离最值， 当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，圆上点到直线距离的， 13．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为（       ） A. 1 B.  C.  D. -1 【答案】A 【分析】 根据题意，判断点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得的最大值. 【详解】 因为过总能作圆的切线， 所以直线与圆相离或相切， 所以，即，解得， 故的最大值为. 故选：A 14．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知圆：上恰有两个点到直线：的距离等于1，则b的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先判断圆心到直线的距离，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】 圆：的圆心是，半径， 而圆：上恰有两个点到直线：的距离等于1， 所以圆心到直线的距离，满足， 即，解得或. 故选：D. 15．（25-26学年高二上·北京第五十七中学·期中）已知A，B（异于坐标原点）是圆与坐标轴的两个交点，则下列点M中，使得为钝角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求出直线AB的方程，确定弦AB为该圆的直径，再判断A，B，C，D各选项中的点M与圆的位置关系，即可确定的形状，从而得解． 【详解】 因为A，B（异于坐标原点）是圆与坐标轴的两个交点， 所以易得，，则，直线AB的方程为， 显然圆心在直线AB上，即弦AB为该圆的直径， 对于A，，即在圆上，则为直角三角形，故A错误； 对于B，因为，，， 所以，，即为中的最大角， 因为，即在圆外，即为锐角， 所以为锐角三角形，故B错误； 对于C，，即在圆上，则为直角三角形，故C错误； 对于D，，即在圆内，则为钝角三角形，故D正确． 故选：D． 16．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）已知圆与圆外切，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求出两圆的圆心和半径，再利用两圆外切列方程求解. 【详解】 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆外切，得，则， 所以. 故选：C 17．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出点的轨迹方程，然后利用直线与圆的位置关系建立不等式求解即可. 【详解】 因为点在直线上，所以， 即，所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 由题意直线OP的斜率存在，设直线OP方程为， 因为直线OP与圆有公共点， 所以圆心到直线OP的距离小于等于半径， 所以有 故选：B 18．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）设为坐标原点，若对于圆上的任意两点，均有，则的最大值为（       ） A. 1 B.  C.  D. 2 【答案】B 【分析】 根据可得当圆的半径最大时，的最大值为，此时，进一步计算即可. 【详解】 因为, 所以， 当圆半径最大时，角取最大值， 此时直线均与圆相切， 且，则中， ,    故选： 19．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）已知，为圆的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形面积的最大值为（     ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 15 【答案】B 【分析】 根据垂径定理求出弦长，利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】 设的中点为，的中点为，连接， 则，且， 而四边形的面积为 ，当且仅当时等号成立， 故四边形的面积的最大值为5, 故选：B. 20．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）设为函数图像上的动点，是圆（其中）上的动点，若最小值为1，则以所有满足条件的点为顶点的多边形的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据分三种情况讨论，数形结合即可求得所有满足条件的圆心的坐标. 【详解】 因为，所以分3种情况： ① 则圆的圆心，半径， 当时，圆心在原点上方， 因为函数图像关于轴对称，不妨设，则， 则圆心到直线的距离， 若最小值为1，则有，即，所以.（图中圆1） 当时，圆心在原点下方， 则动点到原点最近，此时有，得.（图中圆2） ② 则圆的圆心，半径， 因为函数图像关于轴对称，不妨设，则， 则圆心到直线的距离， 若最小值为1，则有，即， 所以或.（图中圆3和圆4） ③，此时圆为 ， 圆与函数的图像相交， 最小值为0，不合题意. 综上：圆心有四种可能，，，，. 如下图所示： 则多边形的面积. 故选：D 21．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先设直线的方程，根据条件转化为圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】 设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，即， 解得：. 故选：D 22．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）设A、B为圆上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x – 4y – 15=0上一动点，则的最小值为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】 取中点，求出点轨迹方程，，转化求点到直线上点的距离的最小值，由此计算可得． 【详解】 设是中点，因为，所以，即在以原点为圆心，为半径的圆上， ，， 又，所以，所以． 故选：C． 【点睛】 关键点点睛：本题考查圆上两动点与直线上动点间的“距离”的最小值问题，解题关键是取中点，把用表示，这样两动点转化为一个动点，求得点轨迹，利用直线与圆的位置关系求解即可． 23．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）已知为圆上一点，、，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设点，设点为坐标原点，分析可得，数形结合求出的最小值，即可得解. 【详解】 设点，设点为坐标原点，圆心为，半径为， 则， 因为，所以，原点在圆外，且，如下图所示： ，当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立. 所以，. 故选：C. 24．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】 圆化为，所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 根据弦长公式得最小值为. 故选：B. 【点睛】 本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题. 25．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【详解】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B. 考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力. 26．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（       ） A. [-5,-3]∪ [1,3] B. [-4,-2]∪ [2,4] C.  D.  【答案】A 【分析】 由得弦中点P到圆心的距离，则点在以为圆心，1为半径的圆上，又在圆上存在点，则可转化为两圆有公共点问题求解即可. 【详解】 圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由是弦的中点，且，则， 所以， 故点在以为圆心， 以为半径的圆上. 又在圆上存在点恰为线段的中点，， 则两圆有公共点，可得， 即，解得或. 则实数的取值范围为[-5,-3]∪ [1,3]， 故选：A. 27．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知圆心为的圆和圆心为的圆都与轴相切，点，都在直线上，设圆和圆的半径分别为，（），若，则（     ） A.  B.  C. ，或 D. ，或 【答案】D 【分析】 根据题意作图，观察半径之间的关系，列出参数之间的等式，判断结果即可. 【详解】 如图所示，当两圆在同一象限时，过作垂直轴于，过作垂直轴于，作垂直于于， 可知，，所以， 由，可得，即； 如图所示，当两圆不在同一象限时，过作垂直与轴于，过作垂直与轴于，交于， 可知，，所以， 由，可得，即； 故选：D. 28．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求出点轨迹，再求出点轨迹，利用圆与圆的位置关系结合两点间距离公式求出的取值范围． 【详解】 直线，整理得，则直线恒过定点， 同理，整理得，则直线恒过定点， ，， 点的轨迹为以为直径的圆，圆心，半径， 点不在直线上，点的轨迹方程为，不含点． 圆是以为圆心，半径的圆，圆与圆的位置关系如下图所示， 连接，，线段是动弦，为中点， ， 点的轨迹是以为圆心，半径是的圆，方程为， 圆心距， 剔除点，则，即． 故选：D． 29．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知是圆：上的一个动点，且直线与直线交于点，则对于任意实数，的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 确定点的轨迹方程，由两圆的位置关系即可求解. 【详解】 对于直线，化简可得：，恒过点， 对于直线，化简可得：，恒过点， 又可知两直线垂直， 所以点在以为直径的圆上，圆心，半径， 方程为， 因直线恒过点，若交点为， 则点也应在另一条直线上，代入得，即，不成立， 故点的轨迹不包含点， 当时，直线与直线交于点， 所以点轨迹方程为， 则圆和圆，易知相离，两圆圆心距为， 的距离下限为，在时取得， 但因点的轨迹不包含点，故该值无法取到， 最大值为，当取最大值， 所以的取值范围是， 故选：A 30．（25-26学年高二上·北京第五十七中学·期中）已知圆,直线,则下列说法不正确的是（     ） A. 当时，直线与圆相离 B. 若直线是圆的一条对称轴，则 C. 已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为 D. 已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为 【答案】C 【分析】 根据圆心到直线的距离，可判断A项；直线是圆的一条对称轴，则直线过圆心，可判断B项；当与圆相切时，取得最大值，转化为圆心到直线的距离,可判断C项；利用弦长公式及直角三角形的性质，结合三角函数求最值，即可判断D项. 【详解】 对于A：当时，直线，此时圆心到该直线的距离， 因此直线与圆相离，故A正确； 对于B：若直线是圆的一条对称轴，则直线过圆心， 代入直线，得：，解得，故B正确； 对于C：    当与圆相切时，取得最大值，只需此时, 则,得. 故圆心到直线的距离，解得,故C不正确； 对于D：    设的中点为， 则， 故 , 当且仅当且点在点正上方时,等号成立,故D正确. 故选：C. 31．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）已知，为圆上的不同两点，点，且.设弦的中点为，则三角形面积的最大值为（     ） A.  B. 4 C.  D.  【答案】C 【分析】 首先根据几何关系求点的轨迹方程，再求最值. 【详解】 设， 由条件可知，点是的中点，所以， 所以， 即，整理为：， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以点到的最大值为，三角形面积的最大值为              故选：C 32．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数可以取的一个值为　　　　　　. 【答案】3（答案不唯一） 【分析】 由两圆有4条公切线得两圆外离，列出不等式求解即可. 【详解】 由题可得，圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 因为两圆有4条公切线，所以两圆外离， 所以，即，解得或， 所以实数可以取的一个值为. 故答案为：3.（答案不唯一） 33．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）给定一个点及两条直线和，则过点且与都相切的圆方程为　　　　　　. 【答案】或 【分析】 根据圆心到两直线的距离相等得到圆心在直线上，设出圆心坐标，得到关于圆心坐标的方程，解方程即可. 【详解】 ，且与圆相切， 圆心一定在直线上，圆半径， 设圆心坐标为，则①， 又圆的方程为， 将点代入得②，由① ②得 或 ， 故所求圆的方程为或． 故答案为：或. 34．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知直线，曲线. （ⅰ）若，则与的交点个数为　　　　　　　　　　； （ⅱ）若与有两个不同的交点，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　. 【答案】① 1    ② 【分析】 （ⅰ）作出图形，数形结合可得结论；（ⅱ）利用图形，数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】 （ⅰ）由曲线，可得， 表示圆心为，半径为的圆在轴上及右侧的部分， 当时，直线，所以与的交点个数为1； （ⅱ）直线过点时与有两个交点，此时， 当直线与相切时，得，解得或（舍去）， 结合图形，可得与有两个不同的交点，实数的取值范围是. 故答案为：①1；②. 35．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上. （1）求圆C的方程； （2）求直线被圆C所截得的弦长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）法一：设圆的标准方程，结合点，在圆上，列出等式求解即可；法二，易知圆心在上，求得中垂线方程，联立两直线，可得圆心坐标，进而可得圆的方程； （2）由弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 法一：设圆C的方程为， 依题意得， 解得，，. 所以圆C的方程为. 法二： 设线段的垂直平分线为直线m， 则C既在直线m上，又在直线上. 因为的中点为即（2，2）， 直线的斜率为， 所以直线m的斜率为-1. 所以直线m的方程为， 即. 联立 ，解得 . 所以点C坐标为. 又因为圆的半径为， 所以圆C的方程为. (2) 小问详解： 因为圆心到直线的距离 设直线与圆C交于M，N两点， 由垂径定理得，弦长. 36．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知点，点在圆：上，则的最大值为　　　　　　　；若与圆相切，则切线的方程为　　　　　　　. 【答案】①     ② 或 【分析】 利用点与圆的位置关系计算可得第一空；利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式分类讨论计算即可得第二空. 【详解】 易知点A在圆C外，且， 即圆心，半径，， 则，即； 则的最大值为， 若直线斜率不存在，即， 此时圆心C到直线的距离等于半径，满足题意； 若直线斜率存在，不妨设其方程为：， 则圆心C到直线的距离，解得， 此时直线方程为. 故答案为：；或 37．（2026·北京房山·一模）若直线的方程为（，不同时为0），则称直线是直线的伴随直线.若直线的方程是，则其伴随直线的方程是　　　　　；已知直线与圆交于点，，则　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 由伴随直线的定义求直线；求出圆心到直线的距离，然后利用几何法求弦长. 【详解】 由伴随直线的定义可知，的伴随直线方程为：即； 圆的圆心为，半径为， 所以到直线的距离为：， 所以. 故答案为：； 38．（2026·北京房山·一模）已知圆与轴相切于点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与直线交于，两点，再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作为已知，求的值. 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长之比为； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）     （2） 选条件① ：或； 选条件② 或③ ：或．      【分析】 （1）由题意求出圆心和半径，即得答案； （2）根据所选条件，均可以求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式求出m的值即可. (1) 小问详解： 由题意知圆C的圆心在直线上，与y轴相切于点， 故设圆心为，则，则圆心为，半径为2， 故圆C的标准方程为； (2) 小问详解： 若选条件① ：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长之比为2:1； 则，而，故圆心C到直线l的距离为， 所以，解得或； 若选条件② ：； 而，故圆心C到直线l的距离为， 所以，解得或； 若选条件③ ：， 而，是等腰直角三角形，, 故圆心C到直线l的距离为，所以，解得或. 39．（25-26学年高二上·北京第五十七中学·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）设，由圆与直线相切于点，可求得，从而可求出半径，即可求解； （2）当切线斜率不存在时，则直线，即可验证直线与圆是否相切；当切线斜率存在时，设出直线，再结合点到直线的距离公式即可求得，从而可求解. （3）法一：分情况讨论直线无斜率时、斜率为时、斜率存在且不为时，相应的直线情况，再结合直线与圆相交求出相应的，即可求解； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，可得则，，再结合，从而可求解. (1) 小问详解： 设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心直线到的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. (3) 小问详解： 法一：当直线无斜率时，，， 当直线斜率为时，，. 当直线斜率存在且不为时，设直线为，即， 则圆心到直线距离， 所以， 因为，用替换上式中的可得. 则 ， 当且仅当，即时取等号 综上所述，因为，所以的最大值为. 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离， 则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 40．（25-26学年高二上·北京第五十七中学·期中）已知点，直线，若直线上至少存在三个点，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 考虑，两种情况，要想直线上至少存在三个点，使得为直角三角形，则以为直径的圆的方程为与直线至少有1个公共点，利用点到直线距离公式得到不等式，解得或，从而求出倾斜角的取值范围. 【详解】 直线恒过点， 当时，直线上不存在，使得为直角三角形， 当时，过点或作轴的平行线，两平行线一定与直线相交， 这时可以保证为直角三角形，且直角顶点为或， 以为直径的圆的方程为，    要想直线上至少存在三个点，使得为直角三角形， 则与直线至少有1个公共点， 故，解得或， 设直线倾斜角为，则或， 所以 故答案为： 41．（25-26学年高二上·北京第五十七中学·期中）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数　　　　　　　　． 【答案】 【详解】试题分析：由于为等边三角形，故弦长，根据直线与圆相交，所得弦长公式为，可建立方程，，，即，解得. 考点：直线与圆的位置关系，解三角形． 【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式，考查等边三角形几何性质.由于为等边三角形，故弦长，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径. 42．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）过点与圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解. 【详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆外， 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切； 当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即， 则，解得，故方程为； 综上所述：直线方程为或. 故答案为：或. 43．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）直线被圆所截得的弦长为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先将圆的一般方程转化成标准方程，从而得到圆心和半径，再结合圆的垂径定理，即可求解. 【详解】 由可得， 则圆的圆心坐标为，半径， 对于，可得， 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为， 则， 故答案为：. 44．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）一个小岛周围有环岛暗礁区，分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内.已知陆上的港口位于小岛中心正北处，而轮船位于小岛中心的正西方向.在不触礁的情况下，轮船从距小岛中心　　　　　　　　　　处出发，沿直线航行至港口的路程最短. 【答案】 【分析】 以点代表小岛中心，轮船的初始位置为点，以点代表陆上的港口，以点为坐标原点，正东、正北方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，判断直线和圆的位置关系，再求出直线的方程，计算出原点到直线的距离，可得出结论. 【详解】 以点代表小岛中心，轮船的初始位置为点，以点代表陆上的港口， 以点为坐标原点，正东、正北方向分别为、轴的正方向， 建立如下图所示的平面直角坐标系，设，，    当直线与圆相交时，船有触礁危险，当直线与圆相离时，距离更长， 若直线航行至港口的路程最短，则是圆的切线， 而由斜率公式得，则方程为， 化简得，设点到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得，则，解得， 故从距离小岛中心处出发，沿直线航行至港口的路程最短. 故答案为： 45．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）已知圆. （1）若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程； （2）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，满足，求点的轨迹方程. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）讨论直线是否存在斜率，当斜率存在时，设出直线方程，利用弦长公式，即可求得直线斜率，则直线方程得解； （2）根据题意以及几何关系，求得点的轨迹方程， (1) 小问详解： 根据题意，圆的方程为：，其圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，其方程为， 此时直线与圆的交点为，，，符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为， 综上，直线的方程为或； (2) 小问详解： 如图，为圆的切线，连接，，则， 所以为直角三角形，即. 设，由（1）知，， 因为，所以， 化简得点的轨迹方程为. 46．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由圆的方程可确定圆心和半径；由可利用面积桥将转化为，当最小时，为圆心到直线的距离，由此可求得结果. 【详解】 由得：，圆心，半径. ，，为线段的垂直平分线， ， 若最小，则最小， ，. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：本题考查切线长最小值的求解问题，解题关键是能够将所求的长度之积转化为四边形面积，进而转化为切线长最小值的求解问题. 47．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 【答案】（1）或；     （2）.      【分析】 （1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. (1) 小问详解： 由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离为，则， 所以，解得. 48．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知圆的圆心在轴上，且经过点，. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆心，根据圆过已知两点，可确定圆心和半径，可得圆的标准方程. （2）利用几何法，根据弦长可求圆心到直线的距离，分直线存在斜率和不存在斜率，利用点到直线的距离公式，可求直线方程. (1) 小问详解： 设圆心为，由， 所以. 所以圆的方程为：. (2) 小问详解： 因为直线与圆相交，弦长为， 所以圆心到直线的距离为：. 如图：    若直线斜率不存在，则：，圆心到的距离为1，故满足题意； 若直线斜率存在，则设：即， 由. 所以直线：即. 综上，所求直线的方程为：或. 49．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）已知圆C的圆心在y轴上，若直线与圆C相切于点. （1）求出圆C的标准方程； （2）过原点的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆心坐标为，结合题意得到，求得圆心，再由，即可求得圆的方程； （2）根据圆的弦长公式，化简得到，分的斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. (1) 小问详解： 圆的圆心在y轴上且与切于点， 可设圆心坐标为，则，解得，. 所以圆心，半径， 故圆的方程为. (2) 小问详解： 由直线l过点且被圆C截得的弦长为， 根据圆的弦长公式，可得，即，解得， 当的斜率不存在时，的方程为，此时不满足条件； 当的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即， 可得，解得或， 所以直线方程为或. 50．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）已知直线与圆相交于，两点.若圆上存在一点，使得四边形为菱形，则实数的值是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由四边形为菱形，得到到的距离等于1，由点到直线的距离公式列出等式求解即可. 【详解】 如图：   因为圆上存在一点，使得四边形为菱形， 所以到的距离等于,即，解得：. 故答案为： 51．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右侧. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求实数的值； （3）若直线与圆交于，两点，对于任意直线，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）设出圆心，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于，确定圆心坐标，即可得圆的方程； （2）根据题意得圆心到直线的距离为1，利用点到直线的距离公式列方程，即可求解. （3）将直线的方程与圆的方程联立，韦达定理，结合，即可求出点的坐标. (1) 小问详解： 设圆心，由圆和直线相切， 所以，解得或（舍）， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 由题，圆心到直线的距离为， ，得. (3) 小问详解： 设存在点，，， 由 ，得， 则，，， 由，所以， ，即， 整理得，即，即， 当时，上式成立；当时，； 综上，当点的坐标为时，满足成立. 52．（2026·北京房山·一模）已知圆． （1）求圆的圆心坐标及半径； （2）求过点且与圆相切的直线方程； （3）已知是轴上的动点，圆与轴交于点，，直线，与圆分别交于点，．证明：直线经过定点． 【答案】（1）圆心为，半径     （2） 和     （3）    是轴上的动点，圆与轴交于点，， 令，则，解得或， ，设，若，所在直线为轴，不合题意，故， 直线， 联立直线和得：，整理得， 解得或，对应点，对应点，对应， ， 同理，联立直线和得，整理得， 解得或，对应，， 直线方程为： ， ，当时，， 直线恒过定点，命题得证．      【分析】 （1）先把圆的方程化为标准方程，进而得出圆心和半径； （2）根据直线与圆的位置关系，分斜率存在和不存在两种情况讨论得出对应的切线方程； （3）根据直线与圆的位置关系，分别联立圆与直线方程得出的坐标，再利用两点式求出所在直线方程，最后根据直线方程的性质得出恒过定点． (1) 小问详解： ，化为标准形式得， 圆的圆心为，半径． (2) 小问详解：    圆的圆心为，半径，设切线方程斜率为， 当不存在时，过点的方程为，圆心到的距离为，满足相切条件， 直线是过点且与圆相切的一条直线方程； 当存在时，设过点的切线方程为：，即， 则圆心到切线的距离，解得， ，即， 过点且与圆相切的直线方程为：和． (3) 小问详解： 略 53．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）已知实数满足，则的最大值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 数形结合，把问题转化成圆上的点到直线的距离的最大值问题求解. 【详解】 设，， 因为，，所以、为圆上的两点.如图：    则. 又，所以， 取中点，则. 作直线：，作，，，，垂足分别为，，，. 所以 又，所以. 即. 所以. 故答案为： 【点睛】 关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，根据点到直线的距离公式求解. 54．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）已知圆. （1）若直线截圆所得弦长为，求的值； （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值. 【答案】（1）或     （2）2      【分析】 （1）根据点到直线的距离公式，以及圆的弦长公式，求出弦心距，进而求出结果； （2）根据题干条件，判断圆心角的度数，进而求出弦心距，进而判断两条直线间的距离，根据平行线之间的距离公式，求出结果. (1) 小问详解： 由题意得圆心，半径为，当弦长为时，弦心距为， 可得，解得. (2) 小问详解： 设直线和圆交于点，直线与圆交于点. 因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接，则， 所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为， 同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即. 55．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）平面直角坐标系中，圆. 给出下列四个结论： ①对于任意，均存在，使得圆在轴的上方； ②对于任意，均存在，使得圆经过点； ③若存在，使得圆经过点，则； ④若直线与圆相切于点，且，则. 其中所有正确结论的序号为　　　　　　　　　　　　. 【答案】② ③ ④ 【分析】 利用圆心坐标，对分析可得① 错误，通过验证可判断② 正确，利用判别式可得③ 正确，利用直线与圆相切以及切线长计算公式可解方程组得④ 正确. 【详解】 由圆可得：圆心，半径， 当时，圆心，此时圆恒在轴的下方， 所以不满足任意，均存在，使得圆在轴的上方，故① 错误； 由圆经过点可得：， 化简得：，所以对任意的均存在，故② 正确； 由圆经过原点可得：， 化简得：， 由解得：，故③ 正确； 由直线与圆相切可得： ， 再由可得：， 整体代入得：，故④ 正确； 故答案为：② ③ ④ 56．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）已知的边所在直线的方程为，点为边的中点，点在边所在直线上且满足. （1）求边所在直线的方程； （2）求的外接圆的方程； （3）若点的坐标为，其中为正整数，试讨论在的外接圆上是否存在点，使得成立？若存在，求出的所有可能取值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）当或2时，存在点，当时，不存在点，理由如下： 若在的外接圆圆上存在点，使得成立， 则为线段的垂直平分线与圆的公共点． 所以当与圆相离时，不存在满足条件的点；当与圆相交或相切时则存在满足条件的点． 由，，知当时，的斜率为，线段的中点为． 线段的垂直平分线为，即． 圆的圆心到直线的距离为， ①当时，，，线段的垂直平分线为， 此时，而，由，此时直线与圆相交，存在满足条件的点； ②当时，此时直线与圆相交，存在满足条件的点； ③当时， 所以， 即 此时直线与圆相离，不存在满足条件的点； 综上：当或2时，存在点，当时，不存在点.      【分析】 （1）由在上且，得，结合T点坐标及直线AB的斜率，可求出边所在直线的方程； （2）根据为，从而确定的外接圆的直径，进而求出外接圆的方程； （3） 将成立，转化为为线段NT的垂直平分线与圆M的公共点，然后讨论直线和圆的位置关系即可. (1) 小问详解： 因为， 所以，又在上，所以，为， 又边所在直线的方程为， 则直线的斜率为， 所以直线的斜率为． 又因为点在直线上， 所以边所在直线的方程为． 即． (2) 小问详解： 与的交点为， 所以由 ，解得点的坐标为， 因为为斜边上的中点，即为外接圆的圆心． 故外接圆半径． 外接圆的方程为：． (3) 小问详解： 略 57．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）已知以点为圆心的圆与轴交于不同两点、，与轴交于不同两点、，其中为原点. （1）当时，求圆在点处的切线方程； （2）求证：的面积为定值； （3）设直线与圆交于不同两点、，点.若，求圆的方程，以及弦长. 【答案】（1）     （2） 圆方程为， 令，得，所以或，即， 令，得，得或，即， ， 所以的面积为定值；     （3），      【分析】 （1）首先求圆的方程，再根据切线的几何意义，求切线方程； （2）根据圆的方程，分别求点的坐标，再求的面积，即可证明； （3）首先根据几何关系确定，即可求，并求圆的方程和弦长. (1) 小问详解： 当，，由条件可知圆过原点，所以圆的半径， 所以圆的方程为， ，所以圆在点处的切线的斜率为2， 所以切线方程为，即； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由条件可知，，， 因为，，所以， 所以，解得：， 若，则，圆心在第三象限，且过点，则， 点到直线的距离， 此时圆与直线没有公共点，故舍去； 当，此时圆的方程为， 圆心到直线的距离，满足题意， 所以圆的方程为， 弦长. 58．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 【答案】（1） ；     （2）或；     （3）.      【分析】 （1）由题意，设圆方程为，根据直线与圆的位置关系和两直线的位置关系可得 ，解之即可求解； （2）根据几何法求弦长可得圆心到直线的距离为，易知当直线斜率不存在时满足题意；当斜率不存在时，设直线方程，利用点线距公式计算建立关于k的方程，解之即可求解； （3）直线方程联立圆的方程，解得，同理可得，则，结合基本不等式计算即可求解. (1) 小问详解： 由题可知，设圆的方程为，圆心为， 由直线与圆相切于点， 得 ，解得， 所以圆的方程为； (2) 小问详解： 设圆心到直线的距离为d， ∵，∴，. ①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离； ②当直线斜率存在时：设方程：，即， ，整理得，解得， ，即， 综上：直线的一般式方程为或； (3) 小问详解： 由题意知，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由 ，得， 解得 或 ，则点A的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为， 由题可知：， ， 又，同理， ， 当且仅当时等号成立， 的最大值为. 【点睛】 方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 59．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为　　　　　　；圆上一点与直线上一点的“曼哈顿距离”的最小值是　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 第一空：根据新定义写出轨迹方程，结合对称性和直线方程即可得解；第二空：设圆上动点为，直线上动点为，表示出“曼哈顿距离”，以为自变量去掉绝对值，利用单调性求出最小值，再结合三角函数性质求解. 【详解】 第一空：设，则① ， 将代入① 得， 将代入① 得， 所以曲线关于轴和轴对称， 故曲线所围成图形的面积， 等于与轴和轴所围成图形面积的4倍， 易知分别与轴和轴交于点， 所以与轴和轴所围成图形面积为， 所以曲线所围成图形的面积为； 第二空：设圆上动点为， 直线上动点为， 则， 由，，则， 当固定不动时， 记 ， 则时，取得最小值， ， 其中， 当在圆上运动时，的最大值为1， 所以. 故答案为：；. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 5大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）经过两点，的直线的斜率为（     ） A.  B. 1 C. 2 D. 3 2．（25-26学年高二上·北京延庆·期中）已知直线经过点与，则直线的斜率与倾斜角分别为（     ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 3．（2026·北京房山·一模）直线l：的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·北京房山·一模）已知直线上两点，，则直线的斜率是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 0° B. 90° C. 180° D. 不存在 6．（25-26学年高二上·北京八一学校·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 7．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）已知直线，，若，则实数（       ） A. 2 B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）直线的倾斜角等于，则（     ） A.  B.  C. 1 D. 3 10．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）已知直线与直线，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）过点、的直线的斜率为（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 14．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（     ） A. 45° B. 90° C. 135° D. 150° 15．（25-26学年高二上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）直线的倾斜角的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）若直线经过点，，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知直线：，：，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 19．（2026·北京房山·一模）已知直线与直线，则“”是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 20．（25-26学年高二上·北京第五十七中学·期中）下列说法错误的是（     ）. A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 C. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 D. 过点且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程是或 21．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）已知点和在直线的两侧，则直线的倾斜角的取值范围是 A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）若直线与垂直，则　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）若直线与直线互相垂直，则实数=　　　　　　　 24．（2026·北京房山·一模）已知直线，，则使得直线的的一个取值是　　　　　. 25．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）若直线与平行，则　　　　　　　　　　　　. 26．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）若直线与直线平行，则　　　　　　. 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）直线的一个方向向量（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）直线的倾斜角为120°，且，则该直线不通过（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．（25-26学年高二上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知直线：，则下列说法正确的是（       ） A. 直线不恒过定点 B. 当时，直线不过第三象限 C. 直线的斜率可能不存在 D. 若直线在坐标轴上的截距相等，则 5．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知直线：，：平行，则实数的值是（       ） A. 或3 B. 或1 C.  D. 3 6．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）经过点且倾斜角为45°的直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）经过点且倾斜角为的直线的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知直线的倾斜角为60°，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（     ） A.  B.  C. 1 D.  9．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·北京八一学校·期中）已知直线：与：如图所示，则有 A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）过点(1，3)且与直线x＋2y－1＝0垂直的直线的方程是　　　　　　　　． 12．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）直线的倾斜角为　　　　　　　　 13．（25-26学年高二上·北京八一学校·期中）直线恒经过定点，则的坐标为　　　　　　． 14．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）经过坐标原点且与直线平行的直线方程为　　　　　　． 15．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，倾斜角为； （2）经过点和； （3）经过点，且与直线平行. 16．（2026·北京房山·一模）已知直线经过两点，． （1）求线的方程； （2）若直线，且直线在轴上的截距为4，求直线的方程． 17．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）已知直线经过点，且与直线平行，则的方程为　　　　　　　　　　　 18．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）经过点与直线垂直的直线方程为　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知点，，直线. （1）若直线经过点，且，求直线的方程； （2）若直线是线段的垂直平分线，求直线的方程； （3）若圆经过，两点，且圆心在轴上，求圆的方程. 20．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求边所在直线方程； （2）求点和点的坐标． 21．（25-26学年高二上·北京延庆·期中）已知点、. （1）求经过点，且倾斜角为60°的直线方程； （2）求经过点、的直线在轴和轴上的截距； （3）若原点为，求经过点且以为法向量的直线的一般式方程； （4）已知直线经过点，且、两点到直线的距离相等，求直线的方程． 22．（25-26学年高二上·北京延庆·期中）已知点，直线. （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）求过点且与直线垂直的直线方程； （3）求点关于直线的对称点的坐标． 23．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）若直线过点且与直线垂直，则的方程为　　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线． （Ⅰ）求直线的方程． （Ⅱ）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 25．（25-26学年高二上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，直线的斜率为. （1）求直线的方程； （2）求线段的垂直平分线与直线相交于点的坐标. 26．（25-26学年高二上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知直线过点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若点到直线的距离为1，求直线的方程. 27．（25-26学年高二上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形的面积为1，则　　　　　　. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（2026·北京房山·一模）以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）平行直线与之间的距离是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．（25-26学年高二上·北京第九中学·期中）已知，，，则这三点（     ） A. 构成等腰三角形 B. 构成直角三角形 C. 构成等腰直角三角形 D. 不能构成三角形 4．（25-26学年高二上·北京第五十七中学·期中）若直线与直线平行，则两直线间距离为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）已知点关于直线：的对称点为A，设直线经过点A，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（       ） A. 直线过,的中点 B. 直线的斜率为 C. 直线的斜率为3 D. 直线的一个方向向量的坐标是 8．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9．（2026·北京房山·一模）已知，，，，，则点的坐标是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 10．（2026·北京房山·一模）已知点，为坐标原点，分别在线段上运动，则的周长的最小值为 A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知过原点且倾斜角为的直线与直线交于点，则当在上变化时，点的轨迹长度为（       ） A.  B. 2 C. 3 D.  12．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）两条直线与之间的距离是　　　　　　　　　　. 13．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知直线，则直线在轴上的截距为　　　　　　　　　；点到直线的距离为　　　　　　　　　　　. 14．（25-26学年高二上·北京延庆·期中）已知的三个顶点、、，则的边上的高的长度为　　　　　　　　　　　　． 15．（2026·北京房山·一模）两条平行直线与之间的距离为　　　　　. 16．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）直线与直线之间的距离为　　　　　　　　　　. 17．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为　　　　　　. 18．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知的三个顶点，，. （1）求边上的中线所在的直线方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求的面积. 19．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知两直线：和：，若，则与间的距离为　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）某工程队准备在一条笔直的公路上的某点处修建一个车站，使得两车站，（可视为点）到车站的距离相等.在地图上建立平面直角坐标系，并按照一定比例确定单位长度，得到：，，及公路上的两点，，则车站的坐标为　　　　　　　　　　　　　. 21．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知直线，相互垂直，且均过点，设，与轴分别交于点，（，分别在轴的正、负半轴上），若的面积为5，求，的方程. 22．（25-26学年高二上·北京八一学校·期中）已知直线过点． （1）若直线也过点，求直线的方程； （2）若直线在轴上的截距与轴上的截距相等，求直线的方程； （3）设坐标原点到直线距离为，求的取值范围（直接写出结果即可） 23．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，设点，，记，． （1）若，求点的坐标； （2）若点，点，且，求的最大值； （3）已知点，是直线上的动点，是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，说明理由． 24．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分.已知曲线过坐标原点，且曲线上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为.给出下列四个结论正确的是　　　　　　　　　　　　    ① ②点在上 ③曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为 ④当点在上时， 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知圆的方程为，则圆的（     ） A. 圆心为，半径为2 B. 圆心为，半径为4 C. 圆心为，半径为2 D. 圆心为，半径为4 2．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）圆心为，半径为的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）圆的半径长为（     ） A.  B. 5 C.  D.  5．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）圆心为且经过原点的圆的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）已知圆C：过点，则圆C的圆心的轨迹方程是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）已知圆与圆外切，则（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）“”是“坐标原点在圆的外部”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 11．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）已知直线与直线相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为（     ） A.  B. 8 C.  D. 7 12．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是（       ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 13．（2026·北京房山·一模）已知圆，则圆的面积为　　　　　. 14．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）已知点和点，若点满足，则点的轨迹方程为　　　　　　　　　　，的面积的最大值为　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知圆：与直线：，则圆心的坐标为　　　　　　，若圆关于直线对称，则　　　　　　. 16．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知圆经过点，且与轴相切. （1）若，直线与圆交于两点，求线段的长； （2）点为坐标原点，再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求圆的方程. 条件①：直线的方程为； 条件②：的面积为. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点，，． （1）求圆的方程； （2）求经过点的圆的切线方程． 18．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知圆的半径为1. （1）求的值； （2）设直线与圆交于，两点，若（为圆心）为锐角，求的取值范围. 19．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）圆心在直线上，并且经过原点和的圆的方程为　　　　　　　　　　 20．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）在中，已知，边的中点在轴上，边的中线所在直线的方程 （1）求顶点的坐标； （2）求边上的高所在直线方程； （3）求外接圆的方程． 21．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）已知圆与圆关于直线对称，则　　　　　　　　　　，直线的方程为　　　　　　　　　　. 22．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）如图，在长方体中，为棱的中点，点是侧面上的动点，满足，给出下列四个结论： ①动点的轨迹是一段圆弧； ②动点的轨迹长度为； ③动点的轨迹与线段有且只有一个公共点； ④三棱锥的体积的最大值为. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　. 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）“”是“直线与圆相切”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）直线被圆截得的弦长为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）直线与圆的位置关系是（     ） A. 相切 B. 相交且过圆心 C. 相离 D. 相交且不过圆心 4．（25-26学年高二上·北京第五十七中学·期中）若点为圆的弦的中点，则直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B.  C. 2 D. 2 6．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）过点的圆C与直线相切于点，则圆C的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内含 8．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）圆和圆的位置关系是（　　） A. 相交 B. 内切 C. 外离 D. 内含 9．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）圆心为且与直线相切的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）与圆相切于点的直线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D. 2 12．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为（       ） A. 1 B.  C.  D. -1 14．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知圆：上恰有两个点到直线：的距离等于1，则b的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·北京第五十七中学·期中）已知A，B（异于坐标原点）是圆与坐标轴的两个交点，则下列点M中，使得为钝角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）已知圆与圆外切，则（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）设为坐标原点，若对于圆上的任意两点，均有，则的最大值为（       ） A. 1 B.  C.  D. 2 19．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）已知，为圆的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形面积的最大值为（     ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 15 20．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）设为函数图像上的动点，是圆（其中）上的动点，若最小值为1，则以所有满足条件的点为顶点的多边形的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）设A、B为圆上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x – 4y – 15=0上一动点，则的最小值为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 23．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）已知为圆上一点，、，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 25．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 26．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（       ） A. [-5,-3]∪ [1,3] B. [-4,-2]∪ [2,4] C.  D.  27．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知圆心为的圆和圆心为的圆都与轴相切，点，都在直线上，设圆和圆的半径分别为，（），若，则（     ） A.  B.  C. ，或 D. ，或 28．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知是圆：上的一个动点，且直线与直线交于点，则对于任意实数，的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高二上·北京第五十七中学·期中）已知圆,直线,则下列说法不正确的是（     ） A. 当时，直线与圆相离 B. 若直线是圆的一条对称轴，则 C. 已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为 D. 已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为 31．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）已知，为圆上的不同两点，点，且.设弦的中点为，则三角形面积的最大值为（     ） A.  B. 4 C.  D.  32．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数可以取的一个值为　　　　　　. 33．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）给定一个点及两条直线和，则过点且与都相切的圆方程为　　　　　　. 34．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知直线，曲线. （ⅰ）若，则与的交点个数为　　　　　　　　　　； （ⅱ）若与有两个不同的交点，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　. 35．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上. （1）求圆C的方程； （2）求直线被圆C所截得的弦长. 36．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知点，点在圆：上，则的最大值为　　　　　　　；若与圆相切，则切线的方程为　　　　　　　. 37．（2026·北京房山·一模）若直线的方程为（，不同时为0），则称直线是直线的伴随直线.若直线的方程是，则其伴随直线的方程是　　　　　；已知直线与圆交于点，，则　　　　　. 38．（2026·北京房山·一模）已知圆与轴相切于点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与直线交于，两点，再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作为已知，求的值. 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长之比为； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分. 39．（25-26学年高二上·北京第五十七中学·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 40．（25-26学年高二上·北京第五十七中学·期中）已知点，直线，若直线上至少存在三个点，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是　　　　　. 41．（25-26学年高二上·北京第五十七中学·期中）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数　　　　　　　　． 42．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）过点与圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　　　． 43．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）直线被圆所截得的弦长为　　　　　　　　　　. 44．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）一个小岛周围有环岛暗礁区，分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内.已知陆上的港口位于小岛中心正北处，而轮船位于小岛中心的正西方向.在不触礁的情况下，轮船从距小岛中心　　　　　　　　　　处出发，沿直线航行至港口的路程最短. 45．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）已知圆. （1）若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程； （2）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，满足，求点的轨迹方程. 46．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为　　　　　　　　　　　. 47．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 48．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知圆的圆心在轴上，且经过点，. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程. 49．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）已知圆C的圆心在y轴上，若直线与圆C相切于点. （1）求出圆C的标准方程； （2）过原点的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程. 50．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）已知直线与圆相交于，两点.若圆上存在一点，使得四边形为菱形，则实数的值是　　　　　　　　　　. 51．（25-26学年高二上·北京大兴·期中）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右侧. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求实数的值； （3）若直线与圆交于，两点，对于任意直线，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 52．（2026·北京房山·一模）已知圆． （1）求圆的圆心坐标及半径； （2）求过点且与圆相切的直线方程； （3）已知是轴上的动点，圆与轴交于点，，直线，与圆分别交于点，．证明：直线经过定点． 53．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）已知实数满足，则的最大值为　　　　　　． 54．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）已知圆. （1）若直线截圆所得弦长为，求的值； （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值. 55．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）平面直角坐标系中，圆. 给出下列四个结论： ①对于任意，均存在，使得圆在轴的上方； ②对于任意，均存在，使得圆经过点； ③若存在，使得圆经过点，则； ④若直线与圆相切于点，且，则. 其中所有正确结论的序号为　　　　　　　　　　　　. 56．（25-26学年高二上·北京第三十五中学·期中）已知的边所在直线的方程为，点为边的中点，点在边所在直线上且满足. （1）求边所在直线的方程； （2）求的外接圆的方程； （3）若点的坐标为，其中为正整数，试讨论在的外接圆上是否存在点，使得成立？若存在，求出的所有可能取值；若不存在，请说明理由. 57．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）已知以点为圆心的圆与轴交于不同两点、，与轴交于不同两点、，其中为原点. （1）当时，求圆在点处的切线方程； （2）求证：的面积为定值； （3）设直线与圆交于不同两点、，点.若，求圆的方程，以及弦长. 58．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 59．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为　　　　　　；圆上一点与直线上一点的“曼哈顿距离”的最小值是　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．D 2．D 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．A 9．A 10．B 11．C 12．B 13．D 14．C 15．B 16．A 17．A 18．C 19．B 20．C 21．D 22．【答案】 【分析】 根据直线垂直列方程，化简求得的值. 【详解】 因为直线与垂直， 所以，解得. 故答案为： 23．【答案】 【详解】：，即 24．【答案】或 【分析】 应用直线垂直的系数关系列式计算求解. 【详解】 直线，， 则直线可得，所以， 所以或 则使得直线的的一个取值是或. 故答案为：2或. 25．【答案】 【分析】 根据直线平行列方程求解参数，并验证是否重合即可得结论. 【详解】 直线与平行， 则，解得， 经检验，当时，两直线不重合，故. 故答案为：. 26．【答案】 【分析】 根据两直线平行得到，求出参数的值，再代入检验. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以，解得或； 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线重合，不符合题意； 综上可得. 故答案为： 考点02 直线的方程 1．C 2．C 3．A 4．B 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．A 11．【答案】 【分析】先求出直线x＋2y－1＝0的斜率，再求所求直线的斜率，再写出直线的点斜式方程. 【详解】由题得直线x＋2y－1＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为2， 所以所求的直线的方程为y-3=2(x-1)即2x-y+1=0. 故答案为 【点睛】(1)本题主要考查两直线垂直的性质和直线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)如果两直线都存在斜率且互相垂直，则.直线的点斜式方程为. 12．【答案】 【分析】 根据直线的一般式方程转化为斜截式方程，得到斜率，即可求倾斜角. 【详解】 由题可得，直线的斜截式方程为， 所以直线的斜率为，则倾斜角为， 故答案为：. 13．【答案】 【分析】 由，可得，可求定点坐标. 【详解】 当时，，所以直线恒经过定点. 故答案为：. 14．【答案】 【分析】 根据平行关系可设直线方程为，将点代入求得，从而得到结果. 【详解】 设与直线平行的直线方程为， 因为过原点，所以，得， 所以所求直线方程为. 故答案为：. 15．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）借助斜率与倾斜角的关系求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （2）借助斜率公式求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （3）借助直线平行的性质，设出直线后代入点计算即可得. (1) 小问详解： 因为直线过点，斜率， 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； (2) 小问详解： 因为直线经过点和， 所以直线的斜率. 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； (3) 小问详解： 因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线的方程为. 因为直线经过点， 所以，即. 所以直线的方程为. 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出的斜率，再利用点斜式求出直线方程，最后化为一般式； （2）先利用垂直关系求出的斜率，再根据已知条件利用斜截式求出直线方程，最后化为一般式． (1) 小问详解： 点，位于直线上，设直线的斜率为，则， 根据点斜式可得直线的方程为：， 的一般式方程为：． (2) 小问详解： ，，解得， 又直线在轴上的截距为4，根据直线的斜截式方程得， 直线的方程为：． 17．【答案】 【分析】 根据平行设出直线方程，代入点，求出答案； 【详解】 设经过点且与直线平行的直线方程为， 将代入得，解得， 故经过点且与直线平行的直线方程为. 故答案为：. 18．【答案】. 【分析】 根据直线垂直得出斜率，再点斜式得出直线方程，最后化成一般式即可. 【详解】 直线的斜率为，所以与直线垂直的直线方程斜率为， 所以经过点与直线垂直的直线方程为，即. 故答案为：. 19．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据两直线平行设出所求直线方程，代入点的坐标即可求解； （2）求出两点中点坐标及过两点直线的斜率，可得所求直线斜率及所过点，即可得解； （3）由题意设出所求圆的方程，代入点的坐标求解即可. (1) 小问详解： 因为，所以设直线的方程为， 又直线过点， 所以，解得， 所以直线的方程为 (2) 小问详解： 因为点，的中点为， , 所以直线的方程为，即. (3) 小问详解： 设所求圆的方程为， 则 ，解得， 所以圆的方程为. 20．【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）先利用上的高所在方程求出斜率，再利用点斜式求出方程； （2）先利用是与中线的交点，联立直线与方程求出点坐标，利用是中点，结合在上的高所在直线方程上，求出点坐标． (1) 小问详解： 上的高所在直线方程为，斜率为， 而与其高所在直线垂直，，解得， ，根据点斜式得，整理得． (2) 小问详解： 是与中线的交点，联立直线与方程 得， ， . 设点，是的中线，为中点，，， 又在直线上，，整理得， 又在上的高所在直线方程上，联立 ，解得 ， ． 21．【答案】（1）     （2）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为     （3）     （4）或      【分析】 （1）求出直线的斜率，结合点斜式可得出所求直线的方程； （2）将直线的方程化为截距式，结合直线截距的概念可得结果； （3）设为所求直线上一点，根据可得出所求直线的一般式方程； （4）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出的等式，解出的值，即可得出所求直线的方程. (1) 小问详解： 因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 因为、两点的横坐标不相等，而且纵坐标也不相等， 所以直线的两点式方程，整理得，化为截距式方程得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为. (3) 小问详解： 设为所求直线上一点，则与垂直， 因为，所以， 整理可得一般式方程为. (4) 小问详解： 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，点在直线上，不合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为、两点到直线的距离相等，所以， 即，解得或，因此直线的方程为或. 22．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设所求直线的方程为，将点的坐标代入该直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）设所求直线的方程为，将点的坐标代入该直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （3）设对称点的坐标为，根据两点关于直线对称，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出对称点的坐标. (1) 小问详解： 依题意可设所求直线的方程为， 由于直线过点，因此，解得. 因此所求直线的方程为. (2) 小问详解： 依题意可设所求直线的方程为， 由于直线过点，因此，解得. 因此所求直线的方程为. (3) 小问详解： 设点关于直线的对称点的坐标为，则 ， 解得 ，所以对称点为. 23．【答案】 【分析】 设出与直线垂直的直线系，再将点代入即可. 【详解】 因为直线与直线垂直， 所以设直线的方程为， 将点代入得： 所以直线的方程为. 故答案为：. 24．【答案】（1）（2）1 【详解】（） ，解得 ，则点的坐标为． 由于点的坐标是，且所求直线与直线垂直， 可设所求直线的方程为． 将点坐标代入得，解得． 故所求直线的方程为． （）由直线的方程知它在轴，轴上的截距分别是，， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意结合直线的点斜式方程运算求解即可； （2）根据题意可得，结合垂直关系可得直线的斜率，即可得直线的方程，利用直线两点式方程可得直线的方程，进而可得交点坐标. (1) 小问详解： 因为直线的斜率为，点， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 因为直线的方程为， 因为点在轴上，令可得，即， 又因为点，则线段的中点坐标为，即， 设线段的垂直平分线的斜率为，则，可得， 所以直线的方程为，即， 因为点，，则直线的方程为，即， 联立方程 ，解得，， 所以. 26．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设直线的方程为，将代入，求得，即可求解； （2）根据题意，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. (1) 小问详解： 解：由题意，可设直线的方程为， 将代入得：，解得， 所以直线的方程为. (2) 小问详解： 解：① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时点到直线的距离为1，符合题意； ② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离为1，可得，解得. 直线的方程为，即， 综上可得，直线的方程为或. 27．【答案】 【分析】 计算直线与坐标轴的交点坐标，计算直角三角形的面积即可. 【详解】 由题意可知，直线与坐标轴的交点为，且， 则直线与坐标轴正半轴围成的三角形的面积为，得. 故答案为： 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．A 2．B 3．D 4．A 5．B 6．D 7．B 8．B 9．C 10．C 11．D 12．【答案】 【分析】 本题考查两条平行线间的距离公式，先将两条直线方程中，的系数化统一，再代入公式计算即可. 【详解】 直线可化为， 所以两条平行线间的距离为. 故答案为：. 13．【答案】① 2    ② 【分析】 令，可得直线在轴上的截距；利用点到直线的距离公式直接可得结论. 【详解】 令，可得， 所以直线在轴上的截距为. 点到直线的距离为. 故答案为：2； 14．【答案】 【分析】 求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】 由题意可得，故直线的方程为，即， 故的边上的高即为点到直线的距离. 故答案为：. 15．【答案】 【分析】 应用平行线间距离公式计算求解. 【详解】 两条平行直线与之间的距离为. 故答案为： 16．【答案】 【分析】 代入平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】 直线， 则与之间的距离. 故答案为： 17．【答案】3 【分析】 利用点到直线距离公式，结合辅助角公式及正弦函数性质求出最大值. 【详解】 点到直线的距离， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最大值为3. 故答案为：3 18．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）求出边上的中点的坐标，即可求出，再由点斜式计算可得； （2）求出，即可求出所求直线方程； （3）首先求出所在直线方程，再求出点到的距离，以及，即可得解. (1) 小问详解： 因为，， 所以边上的中点，又，所以， 所以边上的中线所在的直线方程为，即； (2) 小问详解： 因为， 所以过点且与直线平行的直线的方程为，即； (3) 小问详解： 依题意直线的方程为，即， 所以点到的距离， 又， 所以. 19．【答案】2 【分析】 由平行线间距离公式即可求解. 【详解】 因为， 所以，即：， 所以与间的距离为， 故答案为：2 20．【答案】 【分析】 根据直线上两点确定公路所在直线的方程，从而可设的坐标，根据结合距离公式列方程求得点横坐标，从而得车站的坐标. 【详解】 公路上的两点，， 则，所以直线， 则直线上一点， 由可得：，解得， 故车站的坐标为. 故答案为：. 21．【答案】的方程为，的方程为. 【分析】 设，则，确定，坐标并确定的取值范围，再根据三角形面积公式结合坐标关系列方程求解的值，即可得两直线的方程. 【详解】 由题可知，直线，的斜率均存在， 设，则， 所以，且 ，解得， 则， 整理得，解得或，由得， 所以的方程为，的方程为. 22．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）由两点确定斜率，即可求解； （2）设直线为，（）由，得；由，得．通过求解即可； （3）由题意当直线过原点时距离最小，当时，距离最大，即可求解. (1) 小问详解： 直线的斜率． 所以直线的方程为，即． (2) 小问详解： 由已知，直线的斜率存在且不为0， 设直线为，（） 令，得；令，得． 因此，化简得，解得或 当，直线方程为，当，直线方程为， 故直线方程为或． (3) 小问详解： 由题意当直线过原点时距离最小，当时，距离最大， 所以， 故的取值范围． 23．【答案】（1）或或或     （2）1     （3）和      【分析】 （1）根据新定义列式求解； （2）根据新定义求得点的运动轨迹，根据运动轨迹可求得最值； （3）根据点到直线的距离公式求得，求得的表达式，对进行分类讨论，根据不等式的性质来证得结论成立，并求得满足条件的直线的方程. (1) 小问详解： 由，得， ，解得 或 ， 所以点的坐标为或或或. (2) 小问详解： 由题，， 当时，方程变为， 当时，方程变为， 当时，方程变为， 当时，方程变为， 所以方程表示的图形是正方形，如图， 其中，即点在正方形的边上运动， 而表示点间的距离，是正方形的中心， ，即的最大值为1. (3) 小问详解： 因为点到直线的距离为，所以， 设，则，令， 当时，，此时，合题意； 当时，， 由分段函数性质可得， 又，且恒成立，当且仅当时，等号成立， 综上，满足条件的直线有且只有两条和. 24．【答案】① ② ④ 【分析】 根据题意得曲线的方程，再由原点及在曲线上可判断① ②，结合不等式的放缩可判断③ ④ . 【详解】 设曲线C上任意一点，由题意得. 对于①：因曲线过原点，所以，且，所以，故①正确； 对于②：将代入方程得，所以②正确； 对于③：设是曲线在第一象限的点, 则有, 所以, 令, 则, 因为,且,所以函数在附近单调递减, 即必定存在一小区间使得单调递减, 所以在区间上均有, 所以的纵坐标的最大值一定大于,，故③不正确； 对于④：由，所以，即， 当时，；当时，因，即，所以成立； 所以当在上时，成立，故④正确. 故答案为：① ② ④ . 考点04 圆的方程 1．A 2．D 3．D 4．A 5．D 6．A 7．D 8．B 9．B 10．B 11．A 12．C 13．【答案】 【分析】 根据圆的标准方程得出半径进而得出圆的面积. 【详解】 因为圆，所以圆的半径为，则圆的面积为. 故答案为：. 14．【答案】①     ② 【分析】 首先设，利用两点间距离公式表示，即可求解轨迹方程，再求圆上点到距离的最大值，即可求解面积的最大值. 【详解】 设， 则，整理为， 点到的距离的最大值为2，所以的面积的最大值为. 故答案为：；3 15．【答案】①     ② 【分析】 将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，再根据圆心在直线上，代入求出的值. 【详解】 圆：，即， 所以圆心为， 若圆关于直线对称，则点在直线上，即，解得 故答案为：； 16．【答案】（1）     （2） 若选条件① ：圆的方程为：或. 若选条件② ：圆的方程为：或.      【分析】 （1）通过已知条件先把圆的方程求出来，再求出圆心到直线的距离，然后利用几何法即求解即可； （2）若选条件① ：利用已知条件得出且和解出即可得出圆的方程；若选条件② ：根据的面积为求出的值，结合其他条件求解即可. (1) 小问详解： 因为，且圆经过点， 所以，③ 且圆与轴相切，所以，④ 联立③ ④ 解得：， 所以圆， 由圆心到直线的距离为： ， 所以线段的长为： . (2) 小问详解： 若选条件① ： 由题意圆经过点，且与轴相切， 得出：且，⑤ 由圆心为，直线的方程为， 所以，⑥ 联立⑤ ⑥ 得 解得：或， 当时，， 此时圆的方程为：， 当时，， 此时圆的方程为：. 若选条件② ： 由题意圆经过点，且与轴相切， 得出：且， 即， 因为的面积为， 所以， 所以， 当时，代入得：， 此时，所以圆的方程为：， 当时，代入得：， 此时，所以圆的方程为：. 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用待定系数法将三个点的坐标代入圆的一般方程，解方程组即可； （2）根据圆的切线性质求出切线的斜率，点斜式求得直线方程. (1) 小问详解： 设圆的方程为， 将三点坐标代入得， ， 即 ，解得 ， 所以圆的方程为，即. (2) 小问详解： 由（1），可得圆心，则， 所以经过点的圆的切线斜率， 所以经过点的圆的切线方程为，即. 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）配方得圆的标准方程，由半径的值列方程求解的值即可； （2）设，联立直线与圆得交点坐标关系，得的取值范围，再根据为锐角运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解不等式可得所求范围． (1) 小问详解： 圆化为标准方程为， 由圆的半径为1可得，解得； (2) 小问详解： 设， 与圆联立， 可得，得， 则，， 由，可得，， 若为锐角， 可得， 则，整理得，解得或， 又，所以的取值范围是． 19．【答案】 【分析】 由垂径定理找到圆心，然后得到半径，即可写出圆的方程. 【详解】 设，则中点， 过点作直线，使得，则， 联立方程组 ，解得 ，即圆心， 半径， 所以圆的方程为. 故答案为：. 20．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设，利用边的中点在轴上，求得，利用边的中线所在直线的方程，求得； （2）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （3）利用待定系数法求得外接圆的方程． (1) 小问详解： 设，则的中点坐标为， 又因为边的中点在轴上，所以，解得， 又的中点是，即， 因为边的中线所在直线的方程，解得， 所以点C的坐标为； (2) 小问详解： 因为，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即； (3) 小问详解： 设外接圆的方程为， 可得 ，化简得 ， 解得 ，所以外接圆的方程为， 化为标准方程为. 21．【答案】① 4    ② 【分析】 根据两圆半径相等可求得；求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线斜率，从而求得直线的方程. 【详解】 由题意两圆半径相等，圆，整理得， 圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由题意可知，所以， 的中点坐标为，，由对称性可知得， 所以直线的方程为，即. 故答案为：4； 22．【答案】① ② ④ 【分析】 利用三角函数的定义得到，再建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式求得动点的轨迹，从而逐一分析各选项即可得解. 【详解】 由长方体性质可知：都与平面垂直， 而在平面内，所以， 由，可知，即，故， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，因为点是侧面上的动点，故设， 故所求点满足，化简得， 则动点的轨迹为此圆在矩形内的部分，是一段圆弧，故①正确； 记圆心为，当时，由，得， 显然动点的轨迹与线段没有公共点，故③错误； 当时，由，得或（舍去）， 当时，由，得或（舍去）， 则，， 易得，又，则， 所以动点的轨迹长度为，故②正确； 显然，动点到平面的最大距离为点到平面的距离，即， 所以三棱锥的体积的最大值为，故④正确. 故答案为：① ② ④ . 【点睛】 关键点睛：本题的关键是根据角的关系确定边之间的关系，利用空间向量法求得动点的轨迹，从而得解. 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．A 2．D 3．C 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C 9．C 10．B 11．A 12．B 13．A 14．D 15．D 16．C 17．B 18．B 19．B 20．D 21．D 22．C 23．C 24．B 25．B 26．A 27．D 28．D 29．A 30．C 31．C 32．【答案】3（答案不唯一） 【分析】 由两圆有4条公切线得两圆外离，列出不等式求解即可. 【详解】 由题可得，圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 因为两圆有4条公切线，所以两圆外离， 所以，即，解得或， 所以实数可以取的一个值为. 故答案为：3.（答案不唯一） 33．【答案】或 【分析】 根据圆心到两直线的距离相等得到圆心在直线上，设出圆心坐标，得到关于圆心坐标的方程，解方程即可. 【详解】 ，且与圆相切， 圆心一定在直线上，圆半径， 设圆心坐标为，则①， 又圆的方程为， 将点代入得②，由① ②得 或 ， 故所求圆的方程为或． 故答案为：或. 34．【答案】① 1    ② 【分析】 （ⅰ）作出图形，数形结合可得结论；（ⅱ）利用图形，数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】 （ⅰ）由曲线，可得， 表示圆心为，半径为的圆在轴上及右侧的部分， 当时，直线，所以与的交点个数为1； （ⅱ）直线过点时与有两个交点，此时， 当直线与相切时，得，解得或（舍去）， 结合图形，可得与有两个不同的交点，实数的取值范围是. 故答案为：①1；②. 35．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）法一：设圆的标准方程，结合点，在圆上，列出等式求解即可；法二，易知圆心在上，求得中垂线方程，联立两直线，可得圆心坐标，进而可得圆的方程； （2）由弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 法一：设圆C的方程为， 依题意得， 解得，，. 所以圆C的方程为. 法二： 设线段的垂直平分线为直线m， 则C既在直线m上，又在直线上. 因为的中点为即（2，2）， 直线的斜率为， 所以直线m的斜率为-1. 所以直线m的方程为， 即. 联立 ，解得 . 所以点C坐标为. 又因为圆的半径为， 所以圆C的方程为. (2) 小问详解： 因为圆心到直线的距离 设直线与圆C交于M，N两点， 由垂径定理得，弦长. 36．【答案】①     ② 或 【分析】 利用点与圆的位置关系计算可得第一空；利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式分类讨论计算即可得第二空. 【详解】 易知点A在圆C外，且， 即圆心，半径，， 则，即； 则的最大值为， 若直线斜率不存在，即， 此时圆心C到直线的距离等于半径，满足题意； 若直线斜率存在，不妨设其方程为：， 则圆心C到直线的距离，解得， 此时直线方程为. 故答案为：；或 37．【答案】①     ② 【分析】 由伴随直线的定义求直线；求出圆心到直线的距离，然后利用几何法求弦长. 【详解】 由伴随直线的定义可知，的伴随直线方程为：即； 圆的圆心为，半径为， 所以到直线的距离为：， 所以. 故答案为：； 38．【答案】（1）     （2） 选条件① ：或； 选条件② 或③ ：或．      【分析】 （1）由题意求出圆心和半径，即得答案； （2）根据所选条件，均可以求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式求出m的值即可. (1) 小问详解： 由题意知圆C的圆心在直线上，与y轴相切于点， 故设圆心为，则，则圆心为，半径为2， 故圆C的标准方程为； (2) 小问详解： 若选条件① ：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长之比为2:1； 则，而，故圆心C到直线l的距离为， 所以，解得或； 若选条件② ：； 而，故圆心C到直线l的距离为， 所以，解得或； 若选条件③ ：， 而，是等腰直角三角形，, 故圆心C到直线l的距离为，所以，解得或. 39．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）设，由圆与直线相切于点，可求得，从而可求出半径，即可求解； （2）当切线斜率不存在时，则直线，即可验证直线与圆是否相切；当切线斜率存在时，设出直线，再结合点到直线的距离公式即可求得，从而可求解. （3）法一：分情况讨论直线无斜率时、斜率为时、斜率存在且不为时，相应的直线情况，再结合直线与圆相交求出相应的，即可求解； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，可得则，，再结合，从而可求解. (1) 小问详解： 设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心直线到的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. (3) 小问详解： 法一：当直线无斜率时，，， 当直线斜率为时，，. 当直线斜率存在且不为时，设直线为，即， 则圆心到直线距离， 所以， 因为，用替换上式中的可得. 则 ， 当且仅当，即时取等号 综上所述，因为，所以的最大值为. 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离， 则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 40．【答案】 【分析】 考虑，两种情况，要想直线上至少存在三个点，使得为直角三角形，则以为直径的圆的方程为与直线至少有1个公共点，利用点到直线距离公式得到不等式，解得或，从而求出倾斜角的取值范围. 【详解】 直线恒过点， 当时，直线上不存在，使得为直角三角形， 当时，过点或作轴的平行线，两平行线一定与直线相交， 这时可以保证为直角三角形，且直角顶点为或， 以为直径的圆的方程为，    要想直线上至少存在三个点，使得为直角三角形， 则与直线至少有1个公共点， 故，解得或， 设直线倾斜角为，则或， 所以 故答案为： 41．【答案】 【详解】试题分析：由于为等边三角形，故弦长，根据直线与圆相交，所得弦长公式为，可建立方程，，，即，解得. 考点：直线与圆的位置关系，解三角形． 【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式，考查等边三角形几何性质.由于为等边三角形，故弦长，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径. 42．【答案】或 【分析】 分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解. 【详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆外， 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切； 当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即， 则，解得，故方程为； 综上所述：直线方程为或. 故答案为：或. 43．【答案】 【分析】 先将圆的一般方程转化成标准方程，从而得到圆心和半径，再结合圆的垂径定理，即可求解. 【详解】 由可得， 则圆的圆心坐标为，半径， 对于，可得， 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为， 则， 故答案为：. 44．【答案】 【分析】 以点代表小岛中心，轮船的初始位置为点，以点代表陆上的港口，以点为坐标原点，正东、正北方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，判断直线和圆的位置关系，再求出直线的方程，计算出原点到直线的距离，可得出结论. 【详解】 以点代表小岛中心，轮船的初始位置为点，以点代表陆上的港口， 以点为坐标原点，正东、正北方向分别为、轴的正方向， 建立如下图所示的平面直角坐标系，设，，    当直线与圆相交时，船有触礁危险，当直线与圆相离时，距离更长， 若直线航行至港口的路程最短，则是圆的切线， 而由斜率公式得，则方程为， 化简得，设点到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得，则，解得， 故从距离小岛中心处出发，沿直线航行至港口的路程最短. 故答案为： 45．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）讨论直线是否存在斜率，当斜率存在时，设出直线方程，利用弦长公式，即可求得直线斜率，则直线方程得解； （2）根据题意以及几何关系，求得点的轨迹方程， (1) 小问详解： 根据题意，圆的方程为：，其圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，其方程为， 此时直线与圆的交点为，，，符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为， 综上，直线的方程为或； (2) 小问详解： 如图，为圆的切线，连接，，则， 所以为直角三角形，即. 设，由（1）知，， 因为，所以， 化简得点的轨迹方程为. 46．【答案】 【分析】 由圆的方程可确定圆心和半径；由可利用面积桥将转化为，当最小时，为圆心到直线的距离，由此可求得结果. 【详解】 由得：，圆心，半径. ，，为线段的垂直平分线， ， 若最小，则最小， ，. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：本题考查切线长最小值的求解问题，解题关键是能够将所求的长度之积转化为四边形面积，进而转化为切线长最小值的求解问题. 47．【答案】（1）或；     （2）.      【分析】 （1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. (1) 小问详解： 由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离为，则， 所以，解得. 48．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆心，根据圆过已知两点，可确定圆心和半径，可得圆的标准方程. （2）利用几何法，根据弦长可求圆心到直线的距离，分直线存在斜率和不存在斜率，利用点到直线的距离公式，可求直线方程. (1) 小问详解： 设圆心为，由， 所以. 所以圆的方程为：. (2) 小问详解： 因为直线与圆相交，弦长为， 所以圆心到直线的距离为：. 如图：    若直线斜率不存在，则：，圆心到的距离为1，故满足题意； 若直线斜率存在，则设：即， 由. 所以直线：即. 综上，所求直线的方程为：或. 49．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆心坐标为，结合题意得到，求得圆心，再由，即可求得圆的方程； （2）根据圆的弦长公式，化简得到，分的斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. (1) 小问详解： 圆的圆心在y轴上且与切于点， 可设圆心坐标为，则，解得，. 所以圆心，半径， 故圆的方程为. (2) 小问详解： 由直线l过点且被圆C截得的弦长为， 根据圆的弦长公式，可得，即，解得， 当的斜率不存在时，的方程为，此时不满足条件； 当的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即， 可得，解得或， 所以直线方程为或. 50．【答案】 【分析】 由四边形为菱形，得到到的距离等于1，由点到直线的距离公式列出等式求解即可. 【详解】 如图：   因为圆上存在一点，使得四边形为菱形， 所以到的距离等于,即，解得：. 故答案为： 51．【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）设出圆心，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于，确定圆心坐标，即可得圆的方程； （2）根据题意得圆心到直线的距离为1，利用点到直线的距离公式列方程，即可求解. （3）将直线的方程与圆的方程联立，韦达定理，结合，即可求出点的坐标. (1) 小问详解： 设圆心，由圆和直线相切， 所以，解得或（舍）， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 由题，圆心到直线的距离为， ，得. (3) 小问详解： 设存在点，，， 由 ，得， 则，，， 由，所以， ，即， 整理得，即，即， 当时，上式成立；当时，； 综上，当点的坐标为时，满足成立. 52．【答案】（1）圆心为，半径     （2） 和     （3）    是轴上的动点，圆与轴交于点，， 令，则，解得或， ，设，若，所在直线为轴，不合题意，故， 直线， 联立直线和得：，整理得， 解得或，对应点，对应点，对应， ， 同理，联立直线和得，整理得， 解得或，对应，， 直线方程为： ， ，当时，， 直线恒过定点，命题得证．      【分析】 （1）先把圆的方程化为标准方程，进而得出圆心和半径； （2）根据直线与圆的位置关系，分斜率存在和不存在两种情况讨论得出对应的切线方程； （3）根据直线与圆的位置关系，分别联立圆与直线方程得出的坐标，再利用两点式求出所在直线方程，最后根据直线方程的性质得出恒过定点． (1) 小问详解： ，化为标准形式得， 圆的圆心为，半径． (2) 小问详解：    圆的圆心为，半径，设切线方程斜率为， 当不存在时，过点的方程为，圆心到的距离为，满足相切条件， 直线是过点且与圆相切的一条直线方程； 当存在时，设过点的切线方程为：，即， 则圆心到切线的距离，解得， ，即， 过点且与圆相切的直线方程为：和． (3) 小问详解： 略 53．【答案】 【分析】 数形结合，把问题转化成圆上的点到直线的距离的最大值问题求解. 【详解】 设，， 因为，，所以、为圆上的两点.如图：    则. 又，所以， 取中点，则. 作直线：，作，，，，垂足分别为，，，. 所以 又，所以. 即. 所以. 故答案为： 【点睛】 关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，根据点到直线的距离公式求解. 54．【答案】（1）或     （2）2      【分析】 （1）根据点到直线的距离公式，以及圆的弦长公式，求出弦心距，进而求出结果； （2）根据题干条件，判断圆心角的度数，进而求出弦心距，进而判断两条直线间的距离，根据平行线之间的距离公式，求出结果. (1) 小问详解： 由题意得圆心，半径为，当弦长为时，弦心距为， 可得，解得. (2) 小问详解： 设直线和圆交于点，直线与圆交于点. 因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接，则， 所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为， 同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即. 55．【答案】② ③ ④ 【分析】 利用圆心坐标，对分析可得① 错误，通过验证可判断② 正确，利用判别式可得③ 正确，利用直线与圆相切以及切线长计算公式可解方程组得④ 正确. 【详解】 由圆可得：圆心，半径， 当时，圆心，此时圆恒在轴的下方， 所以不满足任意，均存在，使得圆在轴的上方，故① 错误； 由圆经过点可得：， 化简得：，所以对任意的均存在，故② 正确； 由圆经过原点可得：， 化简得：， 由解得：，故③ 正确； 由直线与圆相切可得： ， 再由可得：， 整体代入得：，故④ 正确； 故答案为：② ③ ④ 56．【答案】（1）     （2）     （3）当或2时，存在点，当时，不存在点，理由如下： 若在的外接圆圆上存在点，使得成立， 则为线段的垂直平分线与圆的公共点． 所以当与圆相离时，不存在满足条件的点；当与圆相交或相切时则存在满足条件的点． 由，，知当时，的斜率为，线段的中点为． 线段的垂直平分线为，即． 圆的圆心到直线的距离为， ①当时，，，线段的垂直平分线为， 此时，而，由，此时直线与圆相交，存在满足条件的点； ②当时，此时直线与圆相交，存在满足条件的点； ③当时， 所以， 即 此时直线与圆相离，不存在满足条件的点； 综上：当或2时，存在点，当时，不存在点.      【分析】 （1）由在上且，得，结合T点坐标及直线AB的斜率，可求出边所在直线的方程； （2）根据为，从而确定的外接圆的直径，进而求出外接圆的方程； （3） 将成立，转化为为线段NT的垂直平分线与圆M的公共点，然后讨论直线和圆的位置关系即可. (1) 小问详解： 因为， 所以，又在上，所以，为， 又边所在直线的方程为， 则直线的斜率为， 所以直线的斜率为． 又因为点在直线上， 所以边所在直线的方程为． 即． (2) 小问详解： 与的交点为， 所以由 ，解得点的坐标为， 因为为斜边上的中点，即为外接圆的圆心． 故外接圆半径． 外接圆的方程为：． (3) 小问详解： 略 57．【答案】（1）     （2） 圆方程为， 令，得，所以或，即， 令，得，得或，即， ， 所以的面积为定值；     （3），      【分析】 （1）首先求圆的方程，再根据切线的几何意义，求切线方程； （2）根据圆的方程，分别求点的坐标，再求的面积，即可证明； （3）首先根据几何关系确定，即可求，并求圆的方程和弦长. (1) 小问详解： 当，，由条件可知圆过原点，所以圆的半径， 所以圆的方程为， ，所以圆在点处的切线的斜率为2， 所以切线方程为，即； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由条件可知，，， 因为，，所以， 所以，解得：， 若，则，圆心在第三象限，且过点，则， 点到直线的距离， 此时圆与直线没有公共点，故舍去； 当，此时圆的方程为， 圆心到直线的距离，满足题意， 所以圆的方程为， 弦长. 58．【答案】（1） ；     （2）或；     （3）.      【分析】 （1）由题意，设圆方程为，根据直线与圆的位置关系和两直线的位置关系可得 ，解之即可求解； （2）根据几何法求弦长可得圆心到直线的距离为，易知当直线斜率不存在时满足题意；当斜率不存在时，设直线方程，利用点线距公式计算建立关于k的方程，解之即可求解； （3）直线方程联立圆的方程，解得，同理可得，则，结合基本不等式计算即可求解. (1) 小问详解： 由题可知，设圆的方程为，圆心为， 由直线与圆相切于点， 得 ，解得， 所以圆的方程为； (2) 小问详解： 设圆心到直线的距离为d， ∵，∴，. ①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离； ②当直线斜率存在时：设方程：，即， ，整理得，解得， ，即， 综上：直线的一般式方程为或； (3) 小问详解： 由题意知，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由 ，得， 解得 或 ，则点A的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为， 由题可知：， ， 又，同理， ， 当且仅当时等号成立， 的最大值为. 【点睛】 方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 59．【答案】①     ② 【分析】 第一空：根据新定义写出轨迹方程，结合对称性和直线方程即可得解；第二空：设圆上动点为，直线上动点为，表示出“曼哈顿距离”，以为自变量去掉绝对值，利用单调性求出最小值，再结合三角函数性质求解. 【详解】 第一空：设，则① ， 将代入① 得， 将代入① 得， 所以曲线关于轴和轴对称， 故曲线所围成图形的面积， 等于与轴和轴所围成图形面积的4倍， 易知分别与轴和轴交于点， 所以与轴和轴所围成图形面积为， 所以曲线所围成图形的面积为； 第二空：设圆上动点为， 直线上动点为， 则， 由，，则， 当固定不动时， 记 ， 则时，取得最小值， ， 其中， 当在圆上运动时，的最大值为1， 所以. 故答案为：；. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $