精品解析：北京市大峪中学2025-2026学年第一学期高二1+3年级期中考试数学试卷

大峪中学2025-2026学年度第一学期23级1+3年级 数学学科期中考试试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 等差数列的第9项为（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 2. 在的展开式中，的系数等于（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 3. 将一枚均匀硬币随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，为的导函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列{}中，，则＝（ ） A. 4 B. ±4 C. 2 D. ±2 6. 投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X，则方差（ ） A. B. C. D. 7. 设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 设函数的极小值为－8，其导函数的图象过点（－2，0），如图所示，则＝（ ） A. B. C. D. 9. 如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 设函数，则______． 12. 已知随机变量X的分布列如图：则________；________． X 0 1 2 P 0.4 p 04 13. 若函数在处的切线与直线垂直，则________． 14. 设数列前n项和为，若，且．则________；________． 15. 设，函数，给出下列四个结论： ①当时，函数的最大值为0； ②当时，函数是增函数； ③若函数存在两个零点，则； ④若直线与曲线恰有2个交点，则． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 设等差数列的公差不为，，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使成立的的最小值. 17. 从高一年级随机选取100名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示． (Ⅰ)从这100名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于60分的概率； (II）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，记这两人中数学成绩高于80分的人数为，求的分布列和数学期望(； (Ill）试判断这100名学生数学成绩的方差与语文成绩的方差的大小．（只需写出结论）. 18. 已知函数，其中． （1）若，求函数的极值点和极值； （2）求函数在区间上的最小值． 19. 甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，丙每次投中的概率为，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响. （1）甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小； （2）丙投篮3次，当为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值. 20. 已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记比较与的大小. 21. 已知函数． （1）当时，求单调区间、最大值； （2）设函数，若存在实数，使得，求m取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大峪中学2025-2026学年度第一学期23级1+3年级 数学学科期中考试试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 等差数列的第9项为（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 【答案】A 【解析】 【详解】因为等差数列的公差为， 所以该等差数列的第9项为. 2. 在的展开式中，的系数等于（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】求出的展开式的通项公式，令求得，再代入通项公式求解对应的系数即可. 【详解】因为的展开式的通项公式为： ， 令，解得， 所以的系数为. 3. 将一枚均匀硬币随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，随机掷2次的所有可能情况有{正面、正面}，{反面、正面}，{正面、反面}，{反面、反面}四种情况， 所以恰好出现2次正面向上的情况有{正面、正面}一种情况， 所以随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为. 4. 已知函数，为的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数求导公式结合导数的加法运算法则即可得出答案. 【详解】解：因为， 所以， 所以，. 故选：B. 5. 在等比数列{}中，，则＝（ ） A 4 B. ±4 C. 2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质求解． 【详解】由题意，又同号，所以． 故选：C． 6. 投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X，则方差（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概率乘法公式可得分布列，即可求解期望，进而可得方差. 【详解】的分布列为： 0 1 2 故, , 故选：A 7. 设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】依据递增数列性质结合必要而不充分条件定义即可得到题给两条件间的逻辑关系. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得， 解得或 则中，的正负未定， 此时数列不一定是递增数列； 由数列为递增数列，可得， 所以“”是“数列是递增数列”的必要而不充分条件． 故选：B 8. 设函数的极小值为－8，其导函数的图象过点（－2，0），如图所示，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，根据所过的点可得，结合图象求出极小值点并代入求参数，即可得解析式，注意验证所得参数是否符合题设. 【详解】由题设，，则，故， 所以， 令，可得或，由图知：且处有极小值， 所以，即，，经验证满足题设， 故. 故选：B 9. 如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导并利用导函数符号以及方程有解可求得a的取值范围. 【详解】易知，依题意可得在上有解， 即方程在上有解，显然当时，， 因此实数a的取值范围为. 10. 若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，求得，进而求得数列的通项公式为，结合裂项法求得数列的前和，得出不等式，即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意，数列的前项和为，由“均值数列”的定义可得，所以， 当时，； 当时，， 也满足，所以， 所以， 所以， 又对一切恒成立， 所以，整理得，解得或. 即实数的取值范围为. 故选：D. 【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略： 1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性； 2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 设函数，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题知，所以，， 所以. 12. 已知随机变量X的分布列如图：则________；________． X 0 1 2 P 0.4 p 0.4 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【详解】由，解得， ， ． 13. 若函数在处的切线与直线垂直，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】对函数求导，结合垂直关系有，即可求. 【详解】由题设，又在处切线与直线垂直， 所以切线斜率为2，则，可得. 14. 设数列的前n项和为，若，且．则________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由递推式代入已知条件求出，由递推式求出的周期，进而求出一个周期内的和，从而求出． 【详解】已知，， 令，则，解得； 由递推式①可得②， 由②减去①得，即， 数列是周期为3的周期数列； ，一个周期内的和为， ， ． 15. 设，函数，给出下列四个结论： ①当时，函数的最大值为0； ②当时，函数是增函数； ③若函数存在两个零点，则； ④若直线与曲线恰有2个交点，则． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】把和代入解析式，分析单调性即可判断①②，令，解出零点，判断零点是否在区间内，对含零点分有无意义，是否在相应区间内进行讨论，即可判断③，把④转化为恰有两个零点，解出零点，易得取时有3个零点，可判断④错误. 【详解】对于①，当时，，当时，，当时，，故，故①正确； 对于②，当时，函数，当时，单调递增，当时， 单调递减，故不是增函数，故②错误； 对于③，当时，只有一个零点， 令函数，解得， 当时，函数在上没有零点， 无意义，故函数在上有且只有一个零点为0，即有且只有一个零点，故不符合题意； 当时， 函数在上有1个零点为0， ，不在范围内， 当时，，故函数在上有一个零点，即有两个零点，符合题意， 当时，，故函数在上没有零点，即有且只有一个零点，故不符合题意； 综上所述：当时，有两个零点，故③正确； 对于④，直线与曲线恰有2个交点，可转化为恰有两个零点. 当时，令函数，解得. 所以，函数在上有3个零点， 令得，故函数在上没有零点，即有3个零点，故④错误. 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 设等差数列的公差不为，，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使成立的的最小值. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，即可得到所求通项； （2）运用等差数列的求和公式，再由二次不等式的解法，即可得到所求最小值. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以，即 ， 解得，或（舍去）， 所以的通项公式为； 所以 【小问2详解】 解：因为， 所以， 依题意有，解得， 使成立的的最小值为8. 17. 从高一年级随机选取100名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示． (Ⅰ)从这100名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于60分的概率； (II）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，记这两人中数学成绩高于80分的人数为，求的分布列和数学期望(； (Ill）试判断这100名学生数学成绩的方差与语文成绩的方差的大小．（只需写出结论）. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）先确定数学和语文成绩均低于60分的人数，再根据古典概型概率公式求概率，（2）先确定随机变量取法，再根据组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望，（3）数学成绩波动比语文成绩大，所以. 试题解析：（I）由图知，在被选取的100名学生中，数学和语文成绩均低于60分的有9人，所以从100名学生中随机选取一人，该生数学和语文成绩均低于60分的概率为. （Ⅱ）由图知，语文成绩大于80分的学生有10人，这10人中数学成绩高于80分的有4人，所以的所有可能取值为0，1，2. ,,，所以的分布列为 0 1 2 故的数学期望. （Ⅲ）由图判断，. 18. 已知函数，其中． （1）若，求函数的极值点和极值； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析函数的极值点和极值； （2）分和两种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，即可得最小值. 【小问1详解】 若，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为. 【小问2详解】 因为函数的定义域为，且，， 令，解得或， 若，则， 可知函数在内单调递增，所以函数在内的最小值为； 若，则， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在内的最小值为； 且当时，，符合上式，所以函数在区间上的最小值为. 19. 甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中概率为，乙每次投中的概率为，丙每次投中的概率为，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响. （1）甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小； （2）丙投篮3次，当为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值. 【答案】（1）甲恰好投中1次的概率大. （2），最大值为. 【解析】 【分析】（1）分别求出甲乙各命中1次的概率，即可求解. （2）求出丙恰好投中1次的概率为，再令，然后利用导数求出最值，即可求解. 【小问1详解】 甲恰好投中1次的概率为， 乙恰好投中1次的概率为， 所以甲恰好投中1次的概率大. 【小问2详解】 丙恰好投中1次的概率为. 令. 求导得：. 由，解得，故在上单调递增： 由，解得，故在上单调递减， 所以. 所以当时，丙恰好投中1次的概率最大，最大值为. 20. 已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记比较与的大小. 【答案】（1），； （2）； （3），当时，. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2）利用分组求和法进行求解； （3）作差法得到，从而得到，当时，. 【小问1详解】 因为， 依题意， 故，由得， 解得或2， 因为，所以，， 故， 其中，故公比， 所以； 【小问2详解】 ， 故 ； 【小问3详解】 所以 当时，，当时，， 所以，当时，. 21. 已知函数． （1）当时，求的单调区间、最大值； （2）设函数，若存在实数，使得，求m的取值范围． 【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减，最大值为； （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数求出函数的单调区间及最大值； （2）把存在性问题转化为求函数最小值问题，分情况讨论，利用导数求出函数的单调性及最小值，进而求出m的取值范围． 【小问1详解】 当时，函数为，定义域为， 求导得， 当时，，，故，函数单调递增； 当时，，，故，函数单调递减； 函数在上单调递增，在上单调递减； 函数在处取得极大值，即为最大值，． 【小问2详解】 已知，存在实数，使得， 即不等式  在其定义域  上有解， 令，则问题等价于， 当时，，，求导得， 其中，故，在上单调递增， ； 当时，，故，求导得， 其中，故，在上单调递减， ， 综上可得，，要存在实数，使得，只需满足， 的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $