精品解析：福建省福州华侨中学2026-2027学年上学期数学10月学情自测卷

福建省福州华侨中学2026-2027学年上学期数学10月学情自测卷 一、单选题 1. 如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可． 【详解】解：∵将抛物线向左平移个单位， ∴， ∵再向下平移个单位， ∴． 3. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， 说明在第四象限内随的增大而增大， ． 4. 下列说法正确的个数是（ ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 5. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第二、四象限 C. 图象经过点 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】通过代入点坐标验证、结合比例系数k的符号判断反比例函数的图象性质，逐一判断选项． 【详解】解：对于，比例系数．将代入解析式，得． ∴图象经过点，不经过点，故A错误，C正确． ∵， ∴函数图象位于第一、三象限，故B错误． 当时，随的增大而减小，故D错误． 6. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 7. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x …… ﹣1 0 1 2 …… y …… 0 3 4 3 …… 那么关于它的图象，下列判断正确的是（ ） A. 开口向上 B. 与x轴的另一个交点是(3，0) C. 与y轴交于负半轴 D. 在直线x＝1的左侧y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，结合解析式和二次函数的性质解答． 【详解】解：由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为． 将（-1，0）代入，得 ， 解得a=-1． 即： 对称轴为： A、∵a=-1＜0，∴抛物线的开口方向向下，故本选项A错误； B．x＝﹣1时，y＝0，根据函数的对称性，x＝3时，y＝0，故x＝3是方程ax2+bx+c＝0的一个解正确，符合题意； C．x＝0，y＝3，故与y轴交于正半轴，故本选项C错误，不符合题意； D．在直线x＝1左侧y随x的增大而增大，故本选项D错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 8. 现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（ ） A. 经过用电器的电流的差值 B. 两款蓄电池的电压的差值 C. 当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D. 当用电器的电阻相同时的电流的差值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，设，对于所在的曲线，；对于所在的曲线，；数形结合得到矩形的面积，即矩形的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值，即可得到答案．熟记反比例函数的几何意义，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，设， 对于所在的曲线，；对于所在的曲线，； 矩形的面积， 即矩形的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值， 故选：B． 9. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据旋转性质得到、，作垂线构造直角三角形，利用证明，可得，；由角度条件得到，在直角三角形中算出，，，最后结合在第二象限，求出点坐标． 【详解】如图，过点B作轴于点C，过点作轴于点D， ∵绕点O逆时针旋转，点B的对应点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点再第二象限， 故坐标为． 10. 已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据解析式写出和，作差整理后结合已知绝对值的关系即可得到结论． 【详解】解：由题意，得 ，， 两式作差，得 ， 等式两边同乘，得 ． ∵ ， ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即，故C符合题意． 二、填空题 11. 点与点B关于原点对称，则点B的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵点与点B关于原点对称， ∴点B的坐标是． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到（A、分别与、对应），则的度数为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据将绕点逆时针旋转得到，得，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， 则， 故答案为：． 13. 研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，图象如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是______米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义求得反比例函数的解析式，再求得时，的值即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把代入反比例函数， 得， 解得， 所以反比例函数的解析式为， 当时，可得． 即此时镜片焦距是米． 14. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：直线与双曲线交于点和点， 由函数图象可得，不等式的解集是或． 15. 廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线对称轴为轴，由，水平距离为8米，可得点横坐标，代入解析式即可求出点纵坐标，即所求距离． 【详解】解：抛物线关于轴对称，，在抛物线上同一高度且水平距离为米， 点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 警示灯离水面的距离为米． 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，B，与x轴，y轴分别交于点C，D，若，则k的值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出一次函数的解析式，设，然后根据已知利用中点坐标公式，用表示出点B的坐标，结合点A、B在反比例函数图象上列式得到方程，解得，即可求出的值． 【详解】解：依题意，把代入， 得， 解得， ∴一次函数， 设， ∵ ∴， ∴ ∴ 则 ∵一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴舍去， ∴， 即， 则， ∴． 【点睛】根据坐标中点公式得到点A、B坐标的关联性，用同一个未知数表示两点的坐标是解题的关键． 三、解答题 17. 在平面直角坐标系中，已知点， （1）请在图中画出，并画出与关于原点O对称的图形，并写出对应点坐标． （2）点A绕O点旋转后得到点的坐标为______． 【答案】（1） 和即为所求；． （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和原点对称，熟知关于原点对称的点的坐标特点和绕原点旋转90度的坐标变化的特点是解题的关键． （1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）分绕原点逆时针旋转90度和绕原点顺时针旋转90度两种情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，当点A绕O点顺时针旋转时，得到的点的坐标为， 当点A绕O点逆时针旋转时，得到的点的坐标为， 点A绕O点旋转后得到点的坐标为或 故答案为：或 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将A和B两点坐标代入抛物线的解析式，求得b，c，从而得出结果； （2）运用配方法求出顶点的坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 经过点， ∴， 解得：， 所以，抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点P的坐标为， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． （1）求y与x的关系式； （2）球能否越过球网？ 【答案】（1） （2）球能越过球网 【解析】 【分析】（1）把点代入关系式，求出a的值，即可求出y与x的关系式； （2）把代入解析式求得y的值，若则球能越过球网，反之则不能，把代入解析式求得y的值，若则会出界，反之则不会． 【小问1详解】 解：把点代入关系式得：， 解得：， 则y与x的关系式为：； 【小问2详解】 ∵当时，， ∴球能越过球网． 20. 如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到（点B的对应点记为E），且点E在边上，连接． （1）请补全图形（要求尺规作图）； （2）求证：． 【答案】（1） 补全图形如图； （2） 证明：由旋转可知，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）以A为圆心，长为半径，交于点E，分别以点A为圆心，长为半径画弧，以E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、，则即为所求； （2）根据旋转角相等可得，再根据等腰三角形顶角相等，则底角相等，可得，据此得证． 【小问1详解】 作法提示：以A为圆心，长为半径，交于点E， 分别以点A为圆心，长为半径画弧，以E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D， 连接、、，则即为所求． 【小问2详解】 略 21. 某电子科技公司2023年耗资1600万元研发一款移动电源，在2024年1月上市进行销售，销售部门通过试营销、市场调研绘制了该款移动电源年销售量y（单位：万件）随销售价格x（单位：元/件）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示． （1）求双曲线的函数解析式： （2）已知该移动电源的制造成本为40元/件，请判断2024年该公司是否有可能收回研发成本，并说明理由． 【答案】（1） （2）2024年该公司不可能收回研发成本． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意，建立正确的函数关系式是解本题的关键． （1）设双曲线的解析式为，代入点即可解答； （2）求解当时，线段为，再分两种情况求解销售利润的最大值，再进行比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：设双曲线的解析式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 可得， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴， 当时，设线段为， ∴， 解得：， ∴线段为， 设销售利润为万元，则 当时， ， 当时，最大利润为（万元）， 当时， ， 对称轴为直线， ∴当时，最大利润为（万元）， ∵， ∴2024年该公司不可能收回研发成本． 22. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵是由旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2） 解：，理由： 由旋转的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形性质，垂直定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转性质可得，，则，则有，从而得证； （）由旋转性质可得，，，则，，然后通过角度和差即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． （1）求，，的值； （2）连接，，求的面积； （3）将一次函数的图像向下平移个单位长度，若平移后的图像与反比例函数的图像只有一个交点，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，可求出，进而得到反比例函数，令求出的值即为的值，将代入可求出； （2）先求出点的坐标，根据，即可求解； （3）先求出平移后一次函数的表达式，再联立反比例函数的表达式，利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【小问1详解】 解：将代入，得， ， 当时，， ， 将代入得， 解得； 【小问2详解】 如图， 由（1）可得一次函数的表达式为， 当时，， 解得， 点， ， ； 【小问3详解】 将一次函数的图像向下平移个单位长度为， 令， 整理得， 平移后的一次函数的图像与反比例函数的图像只有一个交点， ， 解得，， 当时，，该函数过二、三、四象限，与反比例函数无交点， ． 24. 按要求完成以下问题 （1）【初步感知】如图1，等边三角形内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，连接，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出_________． （2）【尝试运用】如图2，在中，，，，为内一点，连接，，，且，求的值． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，，，是内一点，求的最小值． 【答案】（1）150 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）由勾股定理得，将绕点B顺时针旋转至处，连接，根据旋转的性质可得是等边三角形，证明四点共线，得，由勾股定理得，故可得结论； （3）将绕点B逆时针旋转，得到，连接，，即可得到，从而得到为等边三角形，，，根据两点之间线段最短得到，即可得到当且仅当四点共线时，的值最小为的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为． 【小问1详解】 解：把绕顶点旋转到处，连接，此时， ∴，，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，； 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转至处，连接， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴四点共线， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接，， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴当且仅当四点共线时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 25. 【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 （1）任务1：分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系． （2）任务2：利用时，时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数表达式，存在偏差．小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3： （3）计算任务2得到的函数表达式的w值； （4）请确定经过点的一次函数表达式，使得w的值最小． 【答案】（1）；；； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据表格每隔水面高度数据计算即可； （2）根据每隔水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度与流水时间是一次函数关系，由待定系数法求解； （3）先求出对应时间的水面高度，再按要求计算值； （4）设，然后根据表格中数据求出此时的值是关于的二次函数解析式；由此求出的值最小时值即可； 【小问1详解】 解：变化量分别为； ； ； ， 所以每隔水面高度观察值的变化量为；；；； 【小问2详解】 解：设水面高度h与流水时间t的函数表达式为， 因为时，；时，； 所以，解得， 所以水面高度h与流水时间t的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，． 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 【小问4详解】 解：设， 所以 ， 所以当时，w的最小值为． 所以函数表达式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省福州华侨中学2026-2027学年上学期数学10月学情自测卷 一、单选题 1. 如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的个数是（ ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A. B. C. D. 5. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第二、四象限 C. 图象经过点 D. 当时，y随x的增大而增大 6. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x …… ﹣1 0 1 2 …… y …… 0 3 4 3 …… 那么关于它的图象，下列判断正确的是（ ） A. 开口向上 B. 与x轴的另一个交点是(3，0) C. 与y轴交于负半轴 D. 在直线x＝1的左侧y随x的增大而减小 8. 现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（ ） A. 经过用电器的电流的差值 B. 两款蓄电池的电压的差值 C. 当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D. 当用电器的电阻相同时的电流的差值 9. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 点与点B关于原点对称，则点B的坐标是________． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到（A、分别与、对应），则的度数为___________度． 13. 研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，图象如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是______米． 14. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是____________． 15. 廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，B，与x轴，y轴分别交于点C，D，若，则k的值为____． 三、解答题 17. 在平面直角坐标系中，已知点， （1）请在图中画出，并画出与关于原点O对称的图形，并写出对应点坐标． （2）点A绕O点旋转后得到点的坐标为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，求的面积． 19. 如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． （1）求y与x的关系式； （2）球能否越过球网？ 20. 如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到（点B的对应点记为E），且点E在边上，连接． （1）请补全图形（要求尺规作图）； （2）求证：． 21. 某电子科技公司2023年耗资1600万元研发一款移动电源，在2024年1月上市进行销售，销售部门通过试营销、市场调研绘制了该款移动电源年销售量y（单位：万件）随销售价格x（单位：元/件）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示． （1）求双曲线的函数解析式： （2）已知该移动电源的制造成本为40元/件，请判断2024年该公司是否有可能收回研发成本，并说明理由． 22. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 23. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． （1）求，，的值； （2）连接，，求的面积； （3）将一次函数的图像向下平移个单位长度，若平移后的图像与反比例函数的图像只有一个交点，求的值． 24. 按要求完成以下问题 （1）【初步感知】如图1，等边三角形内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，连接，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出_________． （2）【尝试运用】如图2，在中，，，，为内一点，连接，，，且，求的值． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，，，是内一点，求的最小值． 25. 【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 （1）任务1：分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系． （2）任务2：利用时，时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数表达式，存在偏差．小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3： （3）计算任务2得到的函数表达式的w值； （4）请确定经过点的一次函数表达式，使得w的值最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $