精品解析：　福建省福州市台江区福州第十五中学2025-2026学年上学期九年级第三次段考数学试题

九年级（上）第三次段考数学试题 一．选择题（每小题4分，满分40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； B．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； C．该图既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； D 该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； 故选C． 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 任意画一个四边形，其内角和是360° B. 两张扑克牌，1张是方块，1张是黑桃，从中随机抽取1张扑克牌是红桃 C. 掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数小于7 D. 骑自行车过路口时遇到绿灯 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，需判断各选项属于必然事件、不可能事件还是随机事件；必然事件指一定发生的事件；不可能事件指一定不发生的事件；随机事件指可能发生也可能不发生的事件. 【详解】解：选项A：任意四边形的内角和恒为，是必然事件，排除； 选项B：两张扑克牌分别为方块和黑桃，均不含红桃，因此抽到红桃是不可能事件，排除； 选项C：骰子点数最大为6，故点数一定小于7，是必然事件，排除； 选项D：路口绿灯的出现具有不确定性，可能发生也可能不发生，属于随机事件； 故选：D 3. 如图，把线段五等分，，如果，那么等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵把线段五等分，， ∴把线段五等分， ∵， ∴， 故选：． 4. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题重点考查了二次函数图像平移，掌握其规律是解题的关键． 根据二次函数图像平移规律，“左加右减，上加下减”进行变换，即可得到答案． 【分析】解：抛物线向左平移个单位长度，得， 向下平移个单位长度，得， 故所得抛物线为． 故选：D． 5. 如图，四边形内接于，，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再根据圆心角、弧、弦的关系得到，所以，然后根据圆周角定理得到的度数． 【详解】解：， ， ， 而， ， 解得， ， ， ， ． 故选：C． 6. 在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积V改变时，气体的密度也随之改变，与V之间在一定范围内满足，如图所示．当为时，V的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 根据题意：装有一定质量的某种气体，且与在一定范围内满足，可得与成反比例关系．且过点；代入数据可得答䅴． 【详解】解：根据题意得，且过点， 所以， ， ∴当为时，的值为． 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，根据垂径定理得出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据两点之间，线段最短可得点、、三点共线时，的值最小，即可求解． 【详解】解：连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，如图： ∵点的坐标是，， ∴，， ∴， 故是等腰直角三角形， ∴，， 故， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵点是弦的中点， ∴， 故点是在以点为圆心的圆上， 当点、、三点共线时，的值最小； 此时． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理等，根据垂径定理得出点是在以点为圆心的圆上是解题的关键． 8. 如图，根据图形中标注的量及其满足的关系，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据长方形面积公式列一元二次方程，解题的关键是明确长方形的长、宽与面积的关系并列出方程． 先确定长方形的长为、宽为、面积为，再根据“长方形的面积 = 长 × 宽”的公式，直接列出方程． 【详解】解：要解决这个问题，我们需要利用长方形的面积公式来列方程． 长方形的面积 = 长 × 宽． 由图可知，长方形的长为，宽为，面积为． 根据面积公式可得：． 故选A． 9. 如图，正五边形内接于，连接，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，再根据圆的性质得，从而得到，根据正多边形的性质可得的度数，根据圆周角定理得的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可求解． 【详解】解：如图，连接， 则有， ∴， 根据正多边形的性质可得：， ∴， 根据圆周角定理可得：， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了圆的有关性质，涉及了圆周角定理，正多边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握圆的有关性质． 10. 二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①该函数图象的开口向下； ②该函数图象的顶点坐标为； ③当时，y随x的增大而减少； ④是方程的一个根． 正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据题意可得抛物线的对称轴是直线，再根据抛物线的性质可得时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，继而得，可判断①②③，时，，可得，即可判断④． 【详解】根据表格数据可得，抛物线的对称轴是直线， ∴二次函数图象在时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，③错误； ∴，即抛物线开口向下，①正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴该函数图象的顶点坐标不为，②错误； ∵时，， ∴， ∴是方程的一个根，④正确； 综上，①④正确， 故选：D． 二．填空题（每小题4分，满分24分） 11. 点关于原点成中心对称的点的坐标为 ___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握相关知识是解决问题的关键．即一个点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均变为相反数. 【详解】解：点关于原点成中心对称的点为． 故答案为. 12. 已知反比例函数，当x＞0时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是______________ ．（写出一个符合要求的值） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的增减性，反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小，当时，在每个象限内y随x的增大而增大． 根据反比例函数增减性进行解答即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，y随着x的增大而增大， ∴， ∴m的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则纸箱中白球个数最可能为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的其它实际问题，已知概率求数量，由频率估计概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据频率估计概率，摸到白球的概率稳定在，设白球个数为，利用概率公式列方程求解． 【详解】解：摸到白球的概率稳定在，即摸到白球的概率为， 设白球个数为，则总球数为， 摸到白球的概率为， 解得：， 经检验，是方程的解，且分母， 故答案为：20． 14. 在半径为2的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式进行计算． 【详解】在半径为4的圆中，的圆心角所对的弧长是：． 故答案是：． 【点睛】本题考查了弧长的计算．熟记公式是解题的关键． 15. 月日晚时，南昌以天空为幕，以烟花为笔，举办了一场盛大的“风景这边独好”——南昌市国庆烟花晚会，热烈庆祝伟大祖国岁生日．其中，一种新型礼炮的升空高与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为_____． 【答案】##4秒 【解析】 【分析】把二次函数写成顶点式，顶点为礼炮点火升空到最高点处的位置，则顶点的横坐标即为所求． 【详解】∵， ∵ ， ∴当时，函数有最大值，为， ∴.这种礼炮点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16. 已知是的两条平行弦，，的半径为10，则弦与的距离为_________ ． 【答案】2或14##14或2 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的关键是考虑两条平行弦相对于圆心的位置关系（同侧或异侧），避免漏解． 过圆心作平行弦中一条弦的垂线，由平行性质可知该垂线垂直于另一条弦；利用垂径定理求出两条弦的一半长度；结合勾股定理分别计算圆心到两条弦的距离；最后分同侧和异侧两种情况计算两弦的距离． 【详解】解：过作于，交于， ∵ ， ∴ ， 由垂径定理得，， 在中，， 在中，， 当与在圆心同侧时，距离为（图1）， 当与在圆心异侧时，距离为（图2）， 故答案为：或14． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 小明在解方程时，解答过程如下： ． ．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 ，．第五步 （1）小颖解方程的方法为 ；（填字母） A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 （2）解方程过程中，第二步变形的依据是 ； （3）请你用“公式法”解该方程． 【答案】（1）C （2）等式的基本性质 （3） ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法和步骤，掌握解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． （1）根据解题方法直接对应即可； （2）第二步是方程的左右两边同时加了一个数，利用的是等式的基本性质； （3）直接利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：小颖解方程的方法是配方法， 故选：C； 【小问2详解】 解方程过程中第二步变形的依据是等式的基本性质（或等式两边同时加（或减）同一个整式，所得结果仍是等式）， 故答案为：等式的基本性质； 【小问3详解】 略 18. 如图，在中，，矩形内接于，且，点D、E、F分别在边、、上，连接，交于G．若，，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、解直角三角形、勾股定理及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、解直角三角形、勾股定理及矩形的性质是解题的关键． 根据勾股定理易得，然后可得，由题意可设，，则，进而可证，最后根据相似三角形的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， 四边形矩形，， 设，，， ，， ， 解得：， ， ， ， ， ． 19. 在一个不透明的袋子中装有三个小球，分别标有数字，这些小球除数字不同外其余均相同，现从袋子中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后再随机摸出一个小球，请用画树状图的方法，求两次摸出的小球上数字之和是正数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用树状图求概率，根据题意画出树状图继而求出本题答案． 【详解】解：根据题意画树状图如下： ， 通过树状图可知共有9种等可能情况，其中符合题意的有6种情况， ∴两次摸出的小球上数字之和是正数的概率：． 20. 如图，在中，，，点D为垂足，将绕点A顺时针旋转，使与重合，点D落在点E处，延长交的延长线于点F，延长交的延长线于点G，求证：． 【答案】 证明：，， ， 由旋转而得， ，， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据三线合一定理得到，再由旋转的性质得到，，证明即可证明． 【详解】略 21. 已知，视力表上视力值V和字母E的宽度a（）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母E的宽度a如图所示，经整理，视力表上部分视力值和字母E的宽度a（）的对应数据如表所示： 位置 视力值V a的值（） 第1行 0.1 70 第4行 0.2 35 第7行 0.4 17.5 第14行 2.0 3.5 （1）请你根据表格数据判断并求出视力值V和字母E的宽度a（）之间的函数表达式，并说明理由； （2）已知第5行首个字母E的宽度a（）的值是28，第8行视力值V为0.5，请分别求出第5行的视力值和第8行字母E的宽度 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟练掌握求反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，即可判定视力值和宽度成反比例函数关系，待定系数法求解即可； （2）将，，分别代入，求解即可． 【小问1详解】 解：根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，故视力值和宽度成反比例函数关系， 设视力值和宽度的函数解析式为：， 将点，代入求得， 故视力值和宽度的函数解析式为：． 【小问2详解】 解：∵第5行首个字母E的宽度的值是， 即，将代入函数解析式得，求得； ∵第8行视力值V为， 将代入函数解析式得，求得； 故第5行的视力值和第8行字母E的宽度分别是，． 22. 尺规作图：已知⊙O，点P在圆外，过点P引圆的两条切线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，PA、PB为所作． 【解析】 【分析】本题考查直径所对圆周角为，切线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．以为直径作，与交于，连接，根据直径所对圆周角为，则，由切线的判定定理可知为的两条切线． 【详解】解：理由：以为直径作，与交于，连接，根据直径所对圆周角为，则，由切线的判定定理可知为的两条切线． 23. 已知抛物线： （1）若抛物线的对称轴且过点． ①求出抛物线的解析式； ②抛物线上有两点，当时，求的取值范围． （2）若． ①已知抛物线始终过定点，求定点的坐标； ②抛物线不经过第三象限，且经过点，若一元二次方程的两根分别是、，求证：． 【答案】（1）①；② （2）①； ②证明：抛物线 不经过第三象限且经过定点， 抛物线开口向上即， 解得：， 把代入， 解得：，（舍去）， （舍去）， 一元二次方程为， ， 此方程无实数根， 、是方程的两虚根， ，，， ，，， ， ， 左边右边， 原式成立． 【解析】 【分析】（1）①由抛物线的对称轴得，求出，再将代入求解即可；②共有三种情况进行分类讨论：1）当、两点同在对称轴左侧时，2）当、两点同在对称轴右侧时，3）当、两点在对称轴两侧时，即可求解； （2）①由抛物线始终过定点，则此时与的取值无关可得，即可求解；②由抛物线不经过第三象限且经过定点，可得，把代入，可求出的值， 从而可得一元二次方程为，由根的判别式可判断此方程无实数根，据此可得、是方程的两虚根，由方程的根及根于系数的关系得，，，代入化简即可求解． 【小问1详解】 ①解：抛物线的对称轴为， ， 解得：， 抛物线过点， ， 得：， 抛物线的解析式为； ②共有三种情况： 1）当、两点同在对称轴左侧时， ， 解得：； 2）当、两点同在对称轴右侧时， 此情况不成立； 3）当、两点在对称轴两侧时， ， 解得：； 综上所述：的取值范围为； 【小问2详解】 ①解：抛物线 ， 若抛物线始终过定点， 则此时与的取值无关， ， 解得：， 当时，， 定点的坐标为， ②略 【点睛】本题考查了二次函数的综合，二次函数的性质，待定系数法，解一元二次方程，根的判别式，根于系数的关系等，掌握函数过定点的求法，并能根据、两点的不同位置进行分类讨论，求出具体的一元二次方程是解题的关键． 24. 在 中，，，，点由点沿方向以的速度运动，同时点从点沿方向以的速度运动，连接．设运动时间为 ． （1）求四边形的面积S与t的关系式，并求出t为何值时，S最大，并求出S的最大值． （2）当t为何值时的面积是？ （3）是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）是否存在某一时刻t，使平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），时，最大为 （2） （3）存在，； （4）存在，． 【解析】 【分析】（1）利用列式运算即可； （2）利用三角形面积公式运算求解即可； （3）利用垂直平分线的性质得到，再利用勾股定理列式运算即可； （4）过点作于点，利用等面积法列式运算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，， ∵，，， ∴，， ∴， 整理可得：， 又∵，函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值， 把代入可得：， ∴时，最大为； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 整理可得：， 解得：或； ∵， ∴时的面积是； 【小问3详解】 解：当点在线段的垂直平分线上时，如图所示： 则此时， ∴在中，， ∴， 整理可得：， 解得：或， ∵， ∴存在，； 【小问4详解】 解：当为的角平分线时，过点作于点，如图所示： ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴存在，． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的实际应用，勾股定理，垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟悉掌握各性质是解题的关键． 25. 已知是的外接圆，是的直径． （1）如图1，平分交于点，连接交于点．①求证：． ②若，，劣弧的长度为， 求的半径． 求的度数． 若是的一条弦（不是直径），过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的度数． （2）如图2，延长到点，使，延长到点，且，与交于点，若． ①求证：是的切线． ②若，求阴影部分的面积． 【答案】（1） ①证明：平分交于点， ， ， ， ， ； ②（i）⊙O的半径为5（ii）（iii） （2） ①证明：连接，作， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 是的半径， 是的切线； ②阴影部分的面积为． 【解析】 【分析】（1）①根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的判定定理得到； ②根据角平分线的定义得到，求得，根据垂径定理得到，，根据勾股定理得到的半径为5； 设，根据弧长公式和圆周角定理得到结论； 连接并延长交于，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到； （2）①连接，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据切线的判定定理得到是的切线；②根据直角三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，求得，则，根据圆周角定理得到，求得，，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 ① ②解：（i）平分交于点， ， ， ，， ， ， ， 的半径为5； （ii）设， ，劣弧的长度为， ， ， ， ，， ； （iii）连接并延长交于， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：① 略 ②解：， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴， 是的直径， ， ， ， ，， ， ∵是等边三角形， ∴，， 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，扇形面积公式，垂径定理的推论，直径所对圆周角为，切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）第三次段考数学试题 一．选择题（每小题4分，满分40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 任意画一个四边形，其内角和是360° B. 两张扑克牌，1张是方块，1张是黑桃，从中随机抽取1张扑克牌是红桃 C. 掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数小于7 D. 骑自行车过路口时遇到绿灯 3. 如图，把线段五等分，，如果，那么等于（　　） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，，若，则（　　） A. B. C. D. 6. 在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积V改变时，气体的密度也随之改变，与V之间在一定范围内满足，如图所示．当为时，V的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，根据图形中标注的量及其满足的关系，列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正五边形内接于，连接，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①该函数图象的开口向下； ②该函数图象的顶点坐标为； ③当时，y随x的增大而减少； ④是方程的一个根． 正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 二．填空题（每小题4分，满分24分） 11. 点关于原点成中心对称的点的坐标为 ___________ ． 12. 已知反比例函数，当x＞0时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是______________ ．（写出一个符合要求的值） 13. 在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则纸箱中白球个数最可能为______． 14. 在半径为2的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于_________ 15. 月日晚时，南昌以天空为幕，以烟花为笔，举办了一场盛大的“风景这边独好”——南昌市国庆烟花晚会，热烈庆祝伟大祖国岁生日．其中，一种新型礼炮的升空高与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为_____． 16. 已知是的两条平行弦，，的半径为10，则弦与的距离为_________ ． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 小明在解方程时，解答过程如下： ． ．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 ，．第五步 （1）小颖解方程的方法为 ；（填字母） A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 （2）解方程过程中，第二步变形的依据是 ； （3）请你用“公式法”解该方程． 18. 如图，在中，，矩形内接于，且，点D、E、F分别在边、、上，连接，交于G．若，，求的长度． 19. 在一个不透明的袋子中装有三个小球，分别标有数字，这些小球除数字不同外其余均相同，现从袋子中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后再随机摸出一个小球，请用画树状图的方法，求两次摸出的小球上数字之和是正数的概率． 20. 如图，在中，，，点D为垂足，将绕点A顺时针旋转，使与重合，点D落在点E处，延长交的延长线于点F，延长交的延长线于点G，求证：． 21. 已知，视力表上视力值V和字母E的宽度a（）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母E的宽度a如图所示，经整理，视力表上部分视力值和字母E的宽度a（）的对应数据如表所示： 位置 视力值V a的值（） 第1行 0.1 70 第4行 0.2 35 第7行 0.4 17.5 第14行 2.0 3.5 （1）请你根据表格数据判断并求出视力值V和字母E的宽度a（）之间的函数表达式，并说明理由； （2）已知第5行首个字母E的宽度a（）的值是28，第8行视力值V为0.5，请分别求出第5行的视力值和第8行字母E的宽度 22. 尺规作图：已知⊙O，点P在圆外，过点P引圆的两条切线．（不写作法，保留作图痕迹） 23. 已知抛物线： （1）若抛物线的对称轴且过点． ①求出抛物线的解析式； ②抛物线上有两点，当时，求的取值范围． （2）若． ①已知抛物线始终过定点，求定点的坐标； ②抛物线不经过第三象限，且经过点，若一元二次方程的两根分别是、，求证：． 24. 在 中，，，，点由点沿方向以的速度运动，同时点从点沿方向以的速度运动，连接．设运动时间为 ． （1）求四边形的面积S与t的关系式，并求出t为何值时，S最大，并求出S的最大值． （2）当t为何值时的面积是？ （3）是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）是否存在某一时刻t，使平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 25. 已知是的外接圆，是的直径． （1）如图1，平分交于点，连接交于点．①求证：． ②若，，劣弧的长度为， 求的半径． 求的度数． 若是的一条弦（不是直径），过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的度数． （2）如图2，延长到点，使，延长到点，且，与交于点，若． ①求证：是的切线． ②若，求阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $