精品解析：山东济宁市第一中学2026-2027学年第一学期高一学科竞赛数学试卷

2026—2027学年度第一学期高一学科竞赛 数学试卷 考试时间：120分钟 2026.10 注意事项： 1． 答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息 2． 请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查存在量词命题的否定. 【详解】”的否定为. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算绝对值不等式得出集合B，再应用集合的并集定义计算求解. 【详解】集合， 因为，所以． 故选：B 3. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，得到集合的元素个数，继而可以得到真子集的个数 【详解】解：集合， 所以集合中的元素个数为9， 故其真子集的个数为个， 故选: 4. 已知，则取最大值时的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由应用基本不等式求最大值，进而确定取值条件即可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】AB选项根据不等式性质直接表示出来，C选项利用交叉相乘作比较，D选项用作差法进行求解。 【详解】选项A：因为且为正数，两边同乘以负数，则. 选项B：由于，则. 选项C：因为，，所以， 由，，得，即 则，两边同时加，即，即， 两边同时除以正数，得. 选项D：分母，，用作差法比较： 分子：，，故； 分母：，，故. 因此，即. 6. 若“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原命题为真，利用存在性成立列不等式求解即可． 【详解】由于“，使得” 是真命题， 可得，使得成立， ，即， 故选：C 7. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的解集结合基本不等式得到，，从而利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由题意可知，方程的两个根为m，，则，解得：，故，， 所以，当且仅当，即时取等号，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为2. 故选：C. 8. 对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干所给的定义利用基本不等式探究两个式子的大小关系，根据基本不等式等号成立的条件判断最大值即可． 【详解】因为x、y为正实数，则，当且仅当时，等号成立； 则； 由可知，，且， 则，可解得； 当且仅当且；得到，解得，； 故当，时，取最大值． 二、多项选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列集合表示图中阴影部分的为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据韦恩图及集合的交并补的意义判断即可. 【详解】由题意可知阴影部分表示在集合中且不是集合中的元素， 所以阴影部分表示，故B正确； 对于A，因为中含有集合中的元素，与题意不符，故A错误； 对于C，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故C正确； 对于D，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故D正确. 故选：BCD. 10. 下面命题为真命题的是（ ） A. 设，则“”是“”的既不充分也不必要条件 B. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C. “”是“为单元素集”的充分而不必要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】A 由，则都不为0则可判断命题；B结合韦达定理即可判断命题；C根据方程根的个数求出参数即可判断；D结合不等式的性质以及解分式不等式即可判断. 【详解】A若，，则；若，则都不为0，则“”是“”的必要不充分条件；故A为假命题； B若二次方程有一正根一负根，则两根之积为负，即，从而，故“”是“二次方程有一正根一负根”的必要条件， 若，则，即方程有两根且两根之积为负，所以二次方程有一正根一负根，故“”是“二次方程有一正根一负根”的充分条件，综上“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件，故B为真命题； C因为为单元素集，若，则符合题意；若，则，则，则符合题意；综上：为单元素集，则或2，因此“”是“为单元素集”的充分而不必要条件，故C是真命题； D因为，所以，但是若，则或，则“”是“”的充分不必要条件，故D是真命题， 故选：BCD. 11. 若实数m，，满足，以下选项中正确的有（ ） A. mn的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式解决条件的最值问题求解和为定值或乘积为定值. 【详解】解：对于A，由m，，得，又， 所以，解得，当且仅当， 即，时等号成立， 所以mn最大值为，选项A正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项B错误； 对于C，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，又m，， 所以，选项C错误； 对于D，由m，，，得， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合，如果， 所以或，解得或， 当时，； 当时，； 当时，，不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合. 13. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为______ 【答案】 【解析】 【分析】先通过x的不等式的解集为找到的关系，在解分式不等式. 【详解】的解集为可知，的根为，即 且，，解得 故答案为： 14. 设，，则p与的大小为　________　． 【答案】p≥4q 【解析】 【详解】因为， ， 则 , 故,当且仅当时取等号． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解不等式，再由并集的概念求解即可； （2）由交集与空集的概念求解. 【小问1详解】 当时，， 又， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，． 因为恒成立，所以， 所以或，即或． 所以实数的取值范围为． 16. 宇树科技企业最新研发了一款机器人，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：；对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小. （1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； （2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于，求月研发经费的取值范围. 【答案】（1）的最大值为，相应月研发经费万元； （2） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式得到，并求出此时月研发经费万元； （2）由题意得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时月研发经费万元. 【小问2详解】 由题意得，， 整理可得，解得， 故月研发经费的取值范围为. 17. 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【小问1详解】 若为真命题，则对恒成立， 又， 故当时，， ，即． 【小问2详解】 若为假命题，由（1）知， 若为假命题，则，为真命题， 即对恒成立， ，都为假命题时，． 至少有一个是真命题时，或． 18. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【小问1详解】 由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 19. 已知关于的不等式为：； （1）若，解上述关于的不等式， （2）当时，解上述关于的不等式， （3），设（2）中不等式的解集是，若中有且只有三个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，化简得，再利用分式不等式即可求解. （2）不等式等价于，分，，，，五种情况讨论，即可求解. （3）由（2）可得到是中有且只有三个元素的必要条件，从而得，即可求解. 【小问1详解】 当时，，化简为， 即，解得或， 故时，关于的不等式解集为. 【小问2详解】 当时，由，可得， 即， 当时，，解得， 当时，由， 对于，可解得或， 当时，对于，可解， 当时，不等式解集为空集； 当时，不等式解集， 综上所述：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【小问3详解】 由，且中有且只有三个元素，所以时不可能， 当时，，因为不符合题意，故舍去； 当时，， 因为中有且只有三个元素，所以，解得. 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期高一学科竞赛 数学试卷 考试时间：120分钟 2026.10 注意事项： 1． 答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息 2． 请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则取最大值时的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 8 8. 对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列集合表示图中阴影部分的为（ ） A. B. C. D. 10. 下面命题为真命题的是（ ） A. 设，则“”是“”的既不充分也不必要条件 B. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C. “”是“为单元素集”的充分而不必要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 11. 若实数m，，满足，以下选项中正确的有（ ） A. mn的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 13. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为______ 14. 设，，则p与的大小为　________　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 宇树科技企业最新研发了一款机器人，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：；对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小. （1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； （2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于，求月研发经费的取值范围. 17. 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 18. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知关于的不等式为：； （1）若，解上述关于的不等式， （2）当时，解上述关于的不等式， （3），设（2）中不等式的解集是，若中有且只有三个元素，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $