精品解析：山东省济宁市金乡县第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

高一数学月考考试试卷 2025年10月 注意事项： 1．本试题共150分，考试时长120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 3. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 若“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 6 D. 9 8. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若， 11. 设，且满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若集合，，且，则______． 13. 若，，则的最小值是__________． 14. 已知当时，不等式恒成立，则实数a=________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合或，， （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知全集，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知函数，且关于的不等式的解集为． （1）求不等式的解集． （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为米，高度为米．现有制箱材料60平方米． （1）问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值． （2）求的最小值． 19. 已知关于的不等式的解集为， （1）求集合； （2）若中有且仅有两个整数，求的取值范围； （3）在问题①和问题②中任选一个作答． 问题①：，都有，求的取值范围； 问题②：，都有，求的取值范围． （注：如果选择多个问题解答，按第一个解答给分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学月考考试试卷 2025年10月 注意事项： 1．本试题共150分，考试时长120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出，利用补集概念求出答案. 【详解】，故. 故选：A 2. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题进行判断即可. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“”的否定是， 故选：B. 3. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分不必要的定义判断即可. 【详解】且，则， 但，不能推出且， 例如：，满足，但. 故选：. 4. 集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得解. 【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B 5. 若“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把命题进行否定，根据题意命题的否定为真命题，再分两种情况讨论即可. 【详解】是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：. 6. 设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的运算和一元二次不等式的求解即可得到答案； 【详解】若中恰含有3个整数且可得， 若，由集合可得，不符合题意； 若，由集合可得， 此时，因为，所以， 所以实数a的取值范围是， 故选：B. 7. 设已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】依题意得，再根据分段函数求值即可. 【详解】令，解得，则 因此8，故． 故选：D. 8. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知，利用基本不等式“1”的应用，即可求出的最小值. 【详解】由，，所以，由基本不等式可得， ， 当且仅当，即时，取等号，此时取最小值为4. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确. 【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 10. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若， 【答案】AB 【解析】 【分析】结合不等式的性质逐项分析即可. 【详解】选项A，若，则，，即，选项A正确； 选项B，若，，则，，，即，选项B正确； 选项C，若，，取，，，，则，，，选项C错误； 选项D，若，，则，选项D错误. 故选：AB. 11. 设，且满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最值判断AB选项；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C选项；利用两正数的算术平均数不大于其平方平均数求出最大值判断D选项. 【详解】对于A选项：因为，，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以有最大值为，A错误； 对于B选项：因为，，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以有最小值为，B正确； 对于C选项：因为，，， 所以，当且仅当即 时，等号成立， 所以有最小值为5，C正确； 对于D选项：因为，，， 所以，当且仅当即时，等号成立，此时与矛盾， 所以，D错误. 故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若集合，，且，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用两个集合相等结合集合元素的互异性求解即可. 【详解】因为集合，所以解得或， 当时不满足集合元素互异性的要求舍去， 当时，， 故答案为：0 13. 若，，则的最小值是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】先将原式展开，再利用基本不等式直接求解即可. 【详解】由题可得， 又，，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故此时的最小值为. 14. 已知当时，不等式恒成立，则实数a=________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据因式的符号可得且为方程的实数根，故可求的值. 【详解】若，则当时，， 故在上恒成立，但的图象为抛物线， 它的开口向上，故矛盾，舍； 故，故时，，故， 当时，，故， 考虑的解，因为，故此方程必有两个不同的解， 而，故此方程有且仅有一个正实根， 故为方程的正实根，故， 故， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合或，， （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 代入求出集合，先求在全集下的补集，再与集合取交集得到结果； (2) 由转化为，分和两类讨论，列出对应不等式组求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 或 或或（也可写为） 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得； 当时，或解得或 所以实数的范围是. 16. 已知全集，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解出两个集合中的不等式，得到这两个集合，由，求实数的取值范围； （2）依题意有，列不等式求实数的取值范围. 【小问1详解】 不等式，即，解得，所以， 不等式，由恒成立，所以， 故解集为，即， 若，则有或，解得解集为或 的取值范围是或． 【小问2详解】 由是的必要条件，可得，所以， ，， ，解得或 所以实数的取值范围是． 17. 已知函数，且关于的不等式的解集为． （1）求不等式的解集． （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）使用一元二次不等式的解法求解； （2）方法一：分离参数后将恒成立问题转化为最值，使用基本不等式求解. 方法二：结合二次函数的图像和性质求解即可. 【小问1详解】 由题意得：，是方程的根，由韦达定理得， 所以，又，解得． 所以， 不等式，可化为，即， 所以不等式的解集是 由知或．得或或 所以，的解集为. 【小问2详解】 由题意得，在上恒成立， 令，只需即可， 由均值不等式得，当且仅当，即时等号成立． 所以，则的取值范围是． 法二： 研究的图像知 或 解得或 所以，的范围是. 18. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为米，高度为米．现有制箱材料60平方米． （1）问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值． （2）求的最小值． 【答案】（1）当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米． （2） 【解析】 【分析】（1）建立，的关系式，使用基本不等式求解； （2）通过，的关系式消元，使用基本不等式求解. 【小问1详解】 由题意，，即，，， 所以，即， 解得，当且仅当，即，时等号成立， 因为，所以． 即当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米． 【小问2详解】 由得 所以 当且仅当即时，等号成立． 所以的最小值是 法二：由得， ，当且仅当 即时，等号成立． 所以的最小值是 19. 已知关于的不等式的解集为， （1）求集合； （2）若中有且仅有两个整数，求的取值范围； （3）在问题①和问题②中任选一个作答． 问题①：，都有，求的取值范围； 问题②：，都有，求的取值范围． （注：如果选择多个问题解答，按第一个解答给分） 【答案】（1） 当时，；当时，或； 当时，；当时，； 当时，. （2） （3）选择问题①：．选择问题②． 【解析】 【分析】（1）对参数分类讨论，先判断二次项系数正负，再比较两根与的大小，结合二次函数开口方向写出不等式解集A； （2）沿用（1）得到的集合，分区间限定的范围，保证区间内恰好包含两个整数，解不等式得到的取值范围； （3）选①，由 “对任意都有交集” 推出一定属于集合，将代入原不等式，直接求解得到的范围；选②，由 “对任意实数都有交集” 推出一定属于集合，根据集合的区间形式列不等式，求出的取值范围. 【小问1详解】 当即时，化为，解得； 时，令，得或； 当即时，开口向上，且，解得或； 当时，开口向下， 当即时，不等式为，解得； 当即时，不等式解得； 当即时，不等式解得； 综上可得当时，；当时，或； 当时，；当时，； 当时，. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 要使得集合中有且仅有两个整数，则满足，解得， 当时，， 要使得集合中有且仅有两个整数，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【小问3详解】 若选择问题①：由集合， 对于，都有，则， 即满足不等式，可得， 解得，即实数的取值范围为． 若选择问题②：由集合，若，则，且满足， 由（1）可知，， 因为，都有，则， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $