精品解析：山东青岛第九中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

青岛九中2026-2027学年第一学期高一年级十月份月考（数学）试题 考试时间：120分钟 考试分数：150分 注意事项： 1.在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束，请监考人员将答题卡收回. 2.选择题部分用2B铅笔填涂；非选择题部分使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题均无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知实数满足，，则一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，则满足⫋ B的集合C的个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 8. 设，若恰有3个元素，则实数的不同取值共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，.若，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 10. 下列不等式的解集正确的是（ ） A. 的解集是 B. 的解集是 C. 的解集是 D. 的解集是 11. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为9 C. D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知且，，，则______.（填“”，“”或“”） 13. 设集合，，且，则值是_________． 14. 若命题“，，使成立”为真命题，则实数a的取值范围为_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）当时，求和； （2）若，求实数m的取值范围. 16. 已知集合，非空集合. （1）当时，“”是“”的什么条件？说明理由； （2）若集合中恰有7个整数，求实数t的取值范围； （3）在（2）的条件下，求的取值范围. 17. 已知关于的不等式. （1）当时，求该不等式的解集； （2）讨论实数的不同取值，求该不等式的解集. 18. 某企业生产一种水性涂料，月产量不超过1400千克.设月产量为x百千克（），月总成本为（单位：百元）.假设当月产品全部售出，且不计其他费用. （1）求每千克涂料平均成本的最小值，并求达到最小时的月产量； （2）设售价为p元/千克（），求月利润的最大值（用p表示，单位为百元），并给出相应的月产量. 19. 阅读材料并解答问题. 法国数学家弗郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系： “，.”韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根.”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程. 例如：，，那么和是方程的两根.请应用上述材料解决以下问题： （1）已知实数满足，，求； （2）已知实数满足，，求； （3）设，方程有两个不同的实根，且.求使为整数的所有的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛九中2026-2027学年第一学期高一年级十月份月考（数学）试题 考试时间：120分钟 考试分数：150分 注意事项： 1.在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束，请监考人员将答题卡收回. 2.选择题部分用2B铅笔填涂；非选择题部分使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题均无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】根据命题否定的原则，该命题“，”的否定是，. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由且，得，所以， 集合，因为，所以，所以. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，得或， 因此“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知实数满足，，则一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值判断ABC，根据不等式性质判断D. 【详解】当时满足，，但是不成立，故A错误； 当时满足，但，故B错误； 当时满足，，但是，故C错误； 因为，所以，又，由不等式性质可得，故D正确. 5. 已知集合，，则满足⫋ B的集合C的个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合的真子集个数为，所以集合C的个数为 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧，利用基本不等式求解. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 7. 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图可得阴影部分为关于的补集，据此可得答案. 【详解】由图可得阴影部分为关于的补集. 又，，则或. 8. 设，若恰有3个元素，则实数的不同取值共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】分只有一个解，且解不为和，及有两个不同解时，则有一个解必为或两种情况求解即可. 【详解】由，得或， 当只有一个解，且解不为和时， 则有，解得或， 当时，， 即为，解得，满足题意； 当时，， 即为，解得，满足题意； 当有两个不同解时，则必有一个解为或， 所以或， 解得或. 综上，或或或. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，.若，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简集合，分类讨论是否为空集，结合题设可得答案. 【详解】. 若，则； 若，则，则， 由题意可得或，得或. 综上可得：的值可以是. 10. 下列不等式的解集正确的是（ ） A. 的解集是 B. 的解集是 C. 的解集是 D. 的解集是 【答案】ACD 【解析】 【详解】A选项：，可得解集为，故A正确； B选项：，即， 等价于，可得解集为，故B错误； C选项：，可得解集为，故C正确； D选项：，即， 得，可得解集为，故D正确. 综上，正确选项为A、C、D. 11. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为9 C. D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】B利用基本不等式得出关于的一元二次不等式；A 利用B选项可得；C举反例；D利用以及基本不等式. 【详解】因为，所以，得，故， 等号成立时，即，故B正确； 因为，所以，故A正确； 因为，所以，且， 因为，，所以， 所以， 等号成立时，即，故D正确. 当时，故C错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知且，，，则______.（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【详解】因为且， 所以，故. 13. 设集合，，且，则值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，建立元素关系即可得到结论，注意验证集合中元素的互异性是否成立． 【详解】∵， ∴或， 即或， 即或， 当时，，与元素互异性矛盾，故舍去， 当时，，，且，满足条件． 故， 故答案为：． 14. 若命题“，，使成立”为真命题，则实数a的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式、命题真假判断及二次函数轴动区间定的最值问题求解即可. 【详解】令，， 则，当且仅当，即时，等号成立， 又，， 所以当时，. 若命题“，，使成立”为真命题， 只需，恒成立，即，恒成立. 令，则需在上恒成立. 二次函数的图象开口向上，对称轴为. 当，即时，， 则，解得，故此时无解. 当，即时，， 则，整理得，解得，故此时. 当，即时，， 则，解得，故此时. 综上，. 故实数a的取值范围为. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）当时，求和； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，代入得集合，利用集合交、并定义求解； （2）根据，分与两类讨论，列不等式组求的范围. 【小问1详解】 由可得，解得，即集合， 当时，集合， 所以，. 【小问2详解】 若，分两种情况讨论： ①当时，，解得，空集是任何集合的子集，满足条件； ②当时，则，解得； 综上，的取值范围是. 16. 已知集合，非空集合. （1）当时，“”是“”的什么条件？说明理由； （2）若集合中恰有7个整数，求实数t的取值范围； （3）在（2）的条件下，求的取值范围. 【答案】（1）“”是“”的充分不必要条件，理由如下： 当时，集合， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据集合的包含关系判断即可； （2）结合题意，分类讨论求解即可； （3）根据二次函数性质计算求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为集合中含有个整数，分别是， 若集合中恰有7个整数， 则集合必须包含的整数为或或， 当集合必须包含的整数为时， 有，解得； 当集合必须包含的整数为时， 则，此时不等式组无解； 当集合必须包含的整数为时， 有，此时不等式组无解. 综上所述，实数的取值范围是； 【小问3详解】 令，函数开口向上，对称轴为， 因为，所以时，取得最小值， 时，取得最大值2， 则的取值范围为. 17. 已知关于的不等式. （1）当时，求该不等式的解集； （2）讨论实数的不同取值，求该不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，为；当时，为；当时，为；当时，为；当时，为 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的求解方法求解即可. （2）根据一元二次不等式的求解方法，结合的取值范围分情况求解即可. 【小问1详解】 当时，不等式可化为. 令，即，解得，. 因为二次函数的图象开口向上， 所以不等式的解为. 故当时，该不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，不等式可化为，解得. 当时，不等式可化为， 令，解得，. 当时，，此时二次函数的图象开口向下， 所以不等式的解为或. 当时，二次函数的图象开口向上， 当，即时，不等式的解为； 当，即时，不等式的解为； 当，即时，不等式的解为. 综上，该不等式的解集为： 当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为. 18. 某企业生产一种水性涂料，月产量不超过1400千克.设月产量为x百千克（），月总成本为（单位：百元）.假设当月产品全部售出，且不计其他费用. （1）求每千克涂料平均成本的最小值，并求达到最小时的月产量； （2）设售价为p元/千克（），求月利润的最大值（用p表示，单位为百元），并给出相应的月产量. 【答案】（1）每千克涂料平均成本的最小值为元/千克，达到最小时的月产量千克 （2）当时，月利润最大值为百元，相应月产量为百千克； 当时，月利润最大值为百元，相应月产量为百千克. 【解析】 【分析】（1）设该企业每千克涂料平均成本为元，由为月产量，总成本，可得平均成本函数，利用基本不等式求最小值并验证等号成立条件即可； （2）设月利润为百元，写出利润函数，此为开口向下的二次函数，求出对称轴，结合的取值范围分类讨论，根据对称轴与定义域的位置关系求最大值即可. 【小问1详解】 由题意得，月产量为百千克，， 总成本， 每千克涂料平均成本， 由基本不等式，， 当且仅当，即时取等号，，符合条件， 此时， ，即月产量为千克. 【小问2详解】 设月利润为（单位：百元） 是开口向下的二次函数，对称轴为， 由，得， ①当时，即， 对称轴在定义域内，在处取得最大值， ， 对应月产量 ②当，即时， 对称轴在定义域右侧，在上单调递增， 在处取得最大值： ， 对应月产量百千克， 综上： 当时，月利润最大值为百元，相应月产量为百千克， 当时，月利润最大值为百元，相应月产量为百千克. 19. 阅读材料并解答问题. 法国数学家弗郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系： “，.”韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根.”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程. 例如：，，那么和是方程的两根.请应用上述材料解决以下问题： （1）已知实数满足，，求； （2）已知实数满足，，求； （3）设，方程有两个不同的实根，且.求使为整数的所有的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）由题意可得或，结合韦达定理可排除，则只有成立，再根据求解即可； （3）首先由题意可得，由得，结合韦达定理进行变形得，从而得为整数，即可求得的值. 【小问1详解】 由题意可知是方程的两根， 且； 【小问2详解】 因为，， 所以或， 当时， 则是方程的两根， 又因为，不满足题意，故舍去； 当时， 则是方程的两根， 又因为，满足题意, 所以； 所以； 【小问3详解】 由题意可知， 且，解得， 由韦达定理可知， 当时，则有，显然不成立， 所以， 又 ， 要使为整数，即为整数，所以为整数， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $