精品解析：河北张家口市第二十中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期第一次学情诊断测试 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．） 1. 下列函数中，是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数，正比例函数定义为形如（k为常数且 ）的函数．逐一检查各选项是否符合此定义． 【详解】解：∵ A. 含有常数项，不符合形式； ∵ B. 中x的次数为2，不是一次函数； ∵ C. 可化为，符合形式（）； ∵ D. 可化为，x的次数不为1． 故选：C． 2. 数学课上，同学们利用准备好的两个边长为1的小正方形按照图示的方法进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接），得到了一个大的正方形，设大正方形的边长为a，则a是一个（ ） A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无理数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解决本题的关键． 求出小正方形的对角线的长即可得到解答． 【详解】解：根据题意得，小正方形的对角线的长为， ∴大正方形的边长为， 故选D． 3. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键． 根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解． 【详解】解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 4. 下列四个实数中，比大的无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【详解】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 5. 下列说法中正确的有（ ） ①8的立方根是；②；③的平方根是；④；⑤的算术平方根是9；⑥是的算术平方根． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了立方根以及平方根和算术平方根的定义，直接利用立方根以及平方根和算术平方根的定义进而分析得出答案． 【详解】解：①8的立方根是2，故本选项错误； ②，故本选项错误； ③的平方根是，正确； ④，故本选项错误； ⑤，算术平方根是3，故本选项错误； ⑥7是的算术平方根，故本选项错误， 综上，正确的有③，共有1个， 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先利用平方的非负性判断点P横坐标的正负，再结合纵坐标的正负，根据平面直角坐标系各象限的坐标特征，即可判断点所在的象限． 【详解】解：∵对于任意实数，都有， ∴， 又∵点的纵坐标为， 平面直角坐标系中，横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限， ∴点所在的象限是第四象限． 7. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：A、二次根式的加法运算是把被开方数相同的二次根式合并，与的被开方数不相同，不能直接合并为，故选项符合题意； B、根据二次根式乘法法则：，，故选项不符合题意； C、根据二次根式除法法则：，，故选项不符合题意； D、根据二次根式乘方性质：，，故选项不符合题意． 8. 如图，长方形的边长为，长为，点在数轴上对应的数是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据勾股定理算出AC的长度，进而得到AE的长度，再根据A点表示的数是-1，可得E点表示的数． 【详解】∵ ∴ ∴ = ∵点表示的数是 ∴ 点表示的数是 【点睛】掌握勾股定理；熟悉圆弧中半径不变性． 9. 点在第二象限，距离轴6个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点所在的象限，确定其横坐标、纵坐标的正负值以及大小，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点M在第二象限， ∴点M的横坐标为负，纵坐标为正， ∵点M距离x轴6个单位长度， ∴点M的纵坐标为6， ∵点M距离y轴2个单位长度， ∴点M的横坐标为， ∴点M的坐标为． 10. 如图，△AOB关于x轴对称图形△A′OB，若△AOB内任意一点P的坐标是（a，b），则△A′OB中的对应点Q的坐标是（　　） A. （a，b） B. （﹣a，b） C. （﹣a，﹣b） D. （a，﹣b） 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】∵△AOB与△A'OB关于x轴对称， ∴点P（a，b）关于x轴的对称点为（a，-b）， ∴点P的对应点Q的坐标是（a，-b）． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-对称，熟记关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 11. 要使函数y＝(m﹣2)xn﹣1+n是一次函数，应满足(　　) A. m≠2，n≠2 B. m＝2，n＝2 C. m≠2，n＝2 D. m＝2，n＝0 【答案】C 【解析】 【分析】根据y=kx+b（k、b是常数，k≠0）是一次函数，可得m-2≠0，n-1=1，求解即可得答案． 【详解】解：∵y=（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数， ∴m﹣2≠0，n﹣1=1， ∴m≠2，n=2， 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数，y=kx+b，k、b是常数，k≠0，x的次数等于1是解题关键． 12. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的、分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．则点经过2026次运算后得到的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算规则计算推出，运算结果每次为一个周期循环，依次为、，，即可得解． 【详解】解：由题意得，点经过1次运算，，，得到点， 经过2次运算，，，得到点， 经过3次运算，，，得到点， 经过4次运算，，，得到点， …… 观察发现，运算结果每次为一个周期循环，依次为、、， ， 点经过2026次运算后得到的点与经过1次运算后得到的点相同，即． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．根据函数的性质，当时，y随x的增大而增大解答即可． 【详解】解：∵一次函数中随的增大而增大， ∴， 故可取． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 15. 已知都是实数，且，则的平方根为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出不等式组求出的值，再代入原式求出的值，计算得到后，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：要使二次根式和有意义，需满足， 解得， 将代入，得， ∴， 根据平方根的定义，的平方根为． 16. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： ． 18. 已知：函数且y是x的是正比例函数，5a＋4的立方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求2a﹣b＋c的平方根． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用正比例函数的定义可得可求解 由5a＋4的立方根是4，可得 解方程可得 由c是的整数部分，而可求解； （2）先求解2a﹣b＋c，再利用平方根的含义可得答案. 【详解】解：（1） 函数且y是x的是正比例函数， 由可得 由 可得 所以 5a＋4的立方根是4， c是的整数部分，而 （2） ， 2a﹣b＋c 而25的平方根是 所以2a﹣b＋c的平方根是 【点睛】本题考查的是正比例函数的定义，立方根的含义，平方根的含义，无理数的整数部分，熟悉以上基础知识是解题的关键. 19. 作图题：如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于x轴对称的图形并写出顶点，的坐标； （2）已知P为y轴上一点，若与的面积相等，请直接与出点P的坐标． 【答案】（1） 作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示． A1（0，-1），C1（4，-4） （2）（0，6）或（0，-4） 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）设P（0，m），构建方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设P（0，m）， 由题意，， 解得m=6或-4， ∴点P的坐标为（0，6）或（0，-4）． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20. 如图（单位：cm），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为a，b． （1）直接写出a，b； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算以及平方差公式的应用，解题的关键是根据正方形的边长关系求出、的值，并灵活运用平方差公式进行计算． （1）先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出、； （2）利用平方差公式计算． 【小问1详解】 解：因为中间正方形纸片的面积为， 所以中间正方形的边长为， 由图可知，最大正方形的边长， 最小正方形的边长； 【小问2详解】 解：根据平方差公式， 将代入，可得， 所以． 21. 为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 （1）当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； （3）某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】（1） （2）该户这一年的燃气费为1147元 （3）该户去年一年的用气量为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【小问1详解】 解： 由表格可知，当时，． 【小问2详解】 解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． 【小问3详解】 解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次学情诊断测试 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．） 1. 下列函数中，是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 数学课上，同学们利用准备好的两个边长为1的小正方形按照图示的方法进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接），得到了一个大的正方形，设大正方形的边长为a，则a是一个（ ） A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无理数 3. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个实数中，比大的无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 5. 下列说法中正确的有（ ） ①8的立方根是；②；③的平方根是；④；⑤的算术平方根是9；⑥是的算术平方根． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，长方形的边长为，长为，点在数轴上对应的数是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 9. 点在第二象限，距离轴6个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△AOB关于x轴对称图形△A′OB，若△AOB内任意一点P的坐标是（a，b），则△A′OB中的对应点Q的坐标是（　　） A. （a，b） B. （﹣a，b） C. （﹣a，﹣b） D. （a，﹣b） 11. 要使函数y＝(m﹣2)xn﹣1+n是一次函数，应满足(　　) A. m≠2，n≠2 B. m＝2，n＝2 C. m≠2，n＝2 D. m＝2，n＝0 12. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的、分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．则点经过2026次运算后得到的点是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是______． 14. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限． 15. 已知都是实数，且，则的平方根为______． 16. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________． 三、解答题（本大题共5个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知：函数且y是x的是正比例函数，5a＋4的立方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求2a﹣b＋c的平方根． 19. 作图题：如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于x轴对称的图形并写出顶点，的坐标； （2）已知P为y轴上一点，若与的面积相等，请直接与出点P的坐标． 20. 如图（单位：cm），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为a，b． （1）直接写出a，b； （2）求． 21. 为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 （1）当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； （3）某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $