精品解析：河北保定市2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期阶段素养研习一 八年级数学 人教版 （第十三章~第十四章） （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 注意事项： 1．使用考试专用扁头涂卡铅笔填涂，或将普通铅笔削成扁鸭嘴状填涂． 2．修改时，请先用橡皮擦干净，再重新填涂，不得使用修正带或涂改液． 3．填涂的正确方法：▅ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 嘉嘉手里有，两条细铁丝，且，．他要在，，，四条细铁丝中选取一条与，首尾顺次相接，其中能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在锐角中，，分别是，边上的高，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 的周长一定等于的周长 D. 3. 下列说法：①全等三角形的面积相等；②三个角分别相等的两个三角形全等；③两个等边三角形一定是全等三角形；④边数相同的图形一定能够重合．其中说法正确的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 如图，在中，，点是的中点，点E在上，则图中的全等三角形有（ ） A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对 5. 如图，将绕点C旋转，得到，过点A作．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某公园有一块角形花坛，园丁沿的平分线铺设了一条喷灌管道，管道上装有一个自动喷灌喷头P，喷头P到花坛两边，的最短距离分别为，（于点M，于点N）．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（ ） ①一个锐角和斜边分别相等 ②两条直角边分别相等 ③斜边和一直角边分别相等 ④斜边分别相等 ⑤一锐角和一直角边分别相等 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 根据下列条件，能画出唯一确定的三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 如图，，若，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，，，欲证，则需补充的条件可以是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，与的平分线交于点P，过点P分别作于点E，于点F，于点G，连接．下列结论：①平分；②；③若，则；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 承德避暑山庄的廊柱与横梁之间，通常会加装一根斜撑构件，使它们构成三角形（如图），这样做的数学依据是三角形的________． 14. 如图，已知点G，E在线段上，且，，添加下列条件中的一个：①；②；③．其中不能判定的是________．（填序号） 15. 如图，某校劳动实践基地有一块三角形菜地，平分交于点，于点，于点．若，的面积为，则________m；若的面积为，则________m． 16. 如图，在中，与的平分线交于点，且，．A同学认为此题与的数量关系为：；B同学认为此题与的数量关系为：．老师说他俩的答案都错，同学们，你们认为与的数量关系是________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，，是三角形的三边长． （1）化简：； （2）若，，，求（1）中式子的值． 18. 如图1，求与，和的数量关系．嘉嘉应用所学知识，得出下面的解题思路：连接并延长，利用三角形外角性质得________，，根据得证． （1）请将嘉嘉的解题思路补充完整，并按其思路加以证明； （2）如图2，某小区有一圆形喷水池，要修建两条通向水池的小路和，要求和所在直线互相垂直，工人师傅在水池外的平地上选定一处可直达点C和D的点E，测得，，，则和________（选填“是”或“不是”）互相垂直的． 19. 下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，在与中，与相交于点M，与相交于点D，与相交于点N，，，．求证：． 证明：连接 ，即________ 在与中 （判定依据，用文字叙述：___________________） ________ 在与中 （判定依据，用字母表示：___________________） ________ ________，即 20. 定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．例如，三个内角分别为，，的三角形是“倍角三角形”． （1）在中，，，是“倍角三角形”吗？请说明理由； （2）若是“倍角三角形”，且，求中其他两个内角的度数． 21. 如图，已知，（）． （1）求作：以为一边作；（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹，画出所有符合条件的图形） （2）若，，求的度数． 22. 如图，的外角的平分线与的平分线交于点． （1），，求的度数； （2）试判断与的关系，并证明． 23. 如图，点F是中，边上两条高的交点，，连接，延长到点G，使得，连接． （1）证明：； （2）在（1）的条件下，试判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由． 24. 解决问题 （1）已知，是两条平行直线，将一等腰直角三角形按图1所示的方式放置，其中，过点作直线，垂足为，过点作直线，垂足为，若，，则_______； （2）若直线不平行于直线，将等腰三角形按图2所示的方式放置，其中，在直线上找点，，连接，，使得．求证：； （3）如图，直线，相交于点，等腰三角形（）的顶点在直线上，边在直线上，在上找点，，连接，，使得．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期阶段素养研习一 八年级数学 人教版 （第十三章~第十四章） （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 注意事项： 1．使用考试专用扁头涂卡铅笔填涂，或将普通铅笔削成扁鸭嘴状填涂． 2．修改时，请先用橡皮擦干净，再重新填涂，不得使用修正带或涂改液． 3．填涂的正确方法：▅ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 嘉嘉手里有，两条细铁丝，且，．他要在，，，四条细铁丝中选取一条与，首尾顺次相接，其中能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，， ∴第三条边， ∴第三条边， ∴能组成三角形的是． 2. 如图，在锐角中，，分别是，边上的高，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 的周长一定等于的周长 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直的定义逐一判断即可． 【详解】解：，分别是，边上的高， ，，故A、B正确； 的周长不一定等于的周长，故C错误； 如图，交于点， ，， ，故D正确． 3. 下列说法：①全等三角形的面积相等；②三个角分别相等的两个三角形全等；③两个等边三角形一定是全等三角形；④边数相同的图形一定能够重合．其中说法正确的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【详解】解：①全等三角形的面积相等，正确；②三个角分别相等的两个三角形全等错误，如大小不一样的两个等边三角形；③两个大小不一样的等边三角形不全等，故错误；④边数相同的图形一定能够重合，错误，例如边数相同的两个三角形不一定能重合， 故正确的只有1个． 4. 如图，在中，，点是的中点，点E在上，则图中的全等三角形有（ ） A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对 【答案】D 【解析】 【分析】利用三线合一可得，推出，再证明相关三角形全等即可解答． 【详解】解：，点是的中点， ， ， 在与中， ， ， 在与中， ， ， 在与中， ， ， 所以图中的全等三角形有对． 5. 如图，将绕点C旋转，得到，过点A作．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，可得，即可求得． 【详解】解：将绕点C旋转，得到， ， ，即， ， ． 6. 在中，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由结合三角形内角和定理可得，再将代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴两式相加可得， ∵ ∴ 解得． 7. 如图，某公园有一块角形花坛，园丁沿的平分线铺设了一条喷灌管道，管道上装有一个自动喷灌喷头P，喷头P到花坛两边，的最短距离分别为，（于点M，于点N）．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理即可作答． 【详解】解：由题意得，平分， ∵， ∴． 8. 下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（ ） ①一个锐角和斜边分别相等 ②两条直角边分别相等 ③斜边和一直角边分别相等 ④斜边分别相等 ⑤一锐角和一直角边分别相等 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形判定定理分析各项，即可解题． 【详解】解：①一个锐角和斜边分别相等，可根据“”证明两个直角三角形全等； ②两条直角边分别相等，可根据“”证明两个直角三角形全等； ③斜边和一直角边分别相等，可根据“”证明两个直角三角形全等； ④斜边分别相等，不能证明两个直角三角形全等； ⑤一锐角和一直角边分别相等，可根据“或”证明两个直角三角形全等； 综上，能判定两个直角三角形全等的条件有4个． 9. 根据下列条件，能画出唯一确定的三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定以及三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：A、，，，属于条件，故能画出唯一确定的三角形； B、，，，属于条件，故不能画出唯一确定的三角形； C、，，，属于条件，故不能画出唯一确定的三角形； D、，不满足三角形三边关系，故不能画出唯一确定的三角形． 10. 如图，，若，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理以及平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∵， ∴，故A错误； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确； C、∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误； D、如图，设与交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和不平行，故D错误． 11. 如图，，，欲证，则需补充的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定出，结合，确定可以的条件即可． 【详解】解：∵ ∴，即 ∵ ∴时，或者时， 选项A、C的条件不能使得欲证， 故B符合题意． 12. 如图，在中，与的平分线交于点P，过点P分别作于点E，于点F，于点G，连接．下列结论：①平分；②；③若，则；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据角平分线性质定理得到，再由角平分线的判定得到平分，然后根据三角形内角和定理以及角平分线的意义求解，最后根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵与的平分线交于点P，，， ∴， ∴平分，故①、②正确； ∵ ∴ ∵与的平分线交于点P， ∴ ∴，故③错误； ∵，， ∴，故④正确， ∴正确的有3个． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 承德避暑山庄的廊柱与横梁之间，通常会加装一根斜撑构件，使它们构成三角形（如图），这样做的数学依据是三角形的________． 【答案】稳定性 【解析】 【详解】解：这样做的数学依据是三角形的稳定性． 14. 如图，已知点G，E在线段上，且，，添加下列条件中的一个：①；②；③．其中不能判定的是________．（填序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】根据全等三角形判定的条件，逐一判断即可． 【详解】解：当时， ，， ，故①能判断； 当时， ，即， ，， ，故②能判断； 当时，不能用“”判断，故③不能判断． 15. 如图，某校劳动实践基地有一块三角形菜地，平分交于点，于点，于点．若，的面积为，则________m；若的面积为，则________m． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式求得，利用角平分线的性质可得，即可求得． 【详解】解：，的面积为，， ； 平分，，， ， ． 16. 如图，在中，与的平分线交于点，且，．A同学认为此题与的数量关系为：；B同学认为此题与的数量关系为：．老师说他俩的答案都错，同学们，你们认为与的数量关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得，，，由，，可得，，由三角形内角和定理可得，，从而可求得与的数量关系． 【详解】解：与的平分线交于点， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 整理得． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，，是三角形的三边长． （1）化简：； （2）若，，，求（1）中式子的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角形的三边关系得到，，继而可得，，然后去绝对值，进行整式的加减运算； （2）代入求值即可． 【小问1详解】 解：根据三角形三边关系可得，， ∴，， ∴原式 ； 【小问2详解】 解：当，时，原式． 18. 如图1，求与，和的数量关系．嘉嘉应用所学知识，得出下面的解题思路：连接并延长，利用三角形外角性质得________，，根据得证． （1）请将嘉嘉的解题思路补充完整，并按其思路加以证明； （2）如图2，某小区有一圆形喷水池，要修建两条通向水池的小路和，要求和所在直线互相垂直，工人师傅在水池外的平地上选定一处可直达点C和D的点E，测得，，，则和________（选填“是”或“不是”）互相垂直的． 【答案】（1）； 证明：，， ， ，， ； （2）不是 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质求解即可； （2）设和相交于点，由（1）的结论判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设和相交于点， 由（1）得， 和不是互相垂直的． 19. 下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，在与中，与相交于点M，与相交于点D，与相交于点N，，，．求证：． 证明：连接 ，即________ 在与中 （判定依据，用文字叙述：___________________） ________ 在与中 （判定依据，用字母表示：___________________） ________ ________，即 【答案】；；两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；；；；； 【解析】 【分析】先利用等式性质推导得到，通过证明，得到，再利用证明，得到，最后利用线段的差完成证明． 【详解】证明：连接 ，即 在与中 （判定依据，用文字叙述：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等） 在与中 （判定依据，用字母表示：） ，即 20. 定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．例如，三个内角分别为，，的三角形是“倍角三角形”． （1）在中，，，是“倍角三角形”吗？请说明理由； （2）若是“倍角三角形”，且，求中其他两个内角的度数． 【答案】（1）解：是“倍角三角形”， 理由如下：，， ， 是“倍角三角形”； （2）和或和或和 【解析】 【分析】（1）根据定义，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； （2）根据题意，由定义，结合三角形内角和定理分三种情况求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ①当是最小角时，，则， 或、则， 或，则由三角形内角和定理可得，，解得，则， 或，则由三角形内角和定理可得，，解得，则， ∴另外两个内角为和或和； ②当是最小角时，，即，则， 或，则由三角形内角和定理可得，，解得，不符合题意， 或，即，则，不符合题意， 或，即，则，不符合题意， ∴另外两个内角为和； ③当是最小角时，，即、则， 或，则由三角形内角和定理可得，，解得，不符合题意， 或，即，则，不符合题意， 或，即，则，不符合题意， ∴另外两个内角为和； 综上所述，中其他两个内角的度数为和或和或和． 21. 如图，已知，（）． （1）求作：以为一边作；（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹，画出所有符合条件的图形） （2）若，，求的度数． 【答案】（1）如图，，即为所求． （2）或 【解析】 【分析】（1）以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交的两边于两点；再以点为圆心，相同长度为半径画弧，交射线于一点；以上该交点为圆心，圆规量取上两交点间的距离为半径，分别在射线的两侧画弧，与前弧交于两个点；分别连接点与这两个交点得到射线、，则，即为所求； （2）分两种情况分别计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，． 22. 如图，的外角的平分线与的平分线交于点． （1），，求的度数； （2）试判断与的关系，并证明． 【答案】（1） （2）解：，证明如下： 设，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）用角平分线定义求出外角，再借助三角形外角性质即可求出的度数； （2）设角，结合角平分线定义与三角形外角性质，推导与之间的数量关系． 【小问1详解】 解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：略． 23. 如图，点F是中，边上两条高的交点，，连接，延长到点G，使得，连接． （1）证明：； （2）在（1）的条件下，试判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：且，理由如下： 由（1）知， ∴，， ∵， ∴，则， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据得出，根据得出，即可推出，最后即可根据得出； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据垂直的定义得出，则，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 解决问题 （1）已知，是两条平行直线，将一等腰直角三角形按图1所示的方式放置，其中，过点作直线，垂足为，过点作直线，垂足为，若，，则_______； （2）若直线不平行于直线，将等腰三角形按图2所示的方式放置，其中，在直线上找点，，连接，，使得．求证：； （3）如图，直线，相交于点，等腰三角形（）的顶点在直线上，边在直线上，在上找点，，连接，，使得．若，，求的长． 【答案】（1）7 （2）证明：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴； （3）3 【解析】 【分析】（1）延长交m于点F，求出，，证明，得到，，进而求解即可； （2）首先利用三角形外角的性质得到，然后证明，得到，，然后等量代换即可证明； （3）利用三角形内角和定理得到，然后证明，得到，，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图，延长交m于点F ∵，直线 ∴ ∵直线 ∴四边形是长方形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵在中， 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $