培优练1与圆有关的轨迹问题-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

培优练1　与圆有关的轨迹问题 A级　必备知识基础练 1.(2025无锡高二月考)若平面上一动点P满足|PM|2＋|PN|2=6且M(－1，0)，N(1，0)，则动点P的轨迹方程为(　　) A．(x＋1)2＋y2=3　　 B．(x－1)2＋y2=3 C．x2＋y2=2　　 D．x2＋y2=3 2.动点P与定点A(－1，0)，B(1，0)的连线的斜率之积为－1，则点P的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2=1　　 B．x2＋y2=2 C．x2＋y2=1(y≠±1)　　 D．x2＋y2=1(x≠±1) 3.(2025徐州高二月考)若点P(1，0)，点Q是圆x2＋y2=4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是(　　) A．(x－)2＋y2=1　　 B．x2＋(y－)2=4 C．x2＋(y－)2=1　　 D．(x－)2＋y2=4 4.已知A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2=25上的两个动点，P是线段AB的中点，若|AB|=6，则点P的轨迹方程为(　　) A．(x－4)2＋(y－2)2=16 B．(x－2)2＋(y－4)2=11 C．(x－2)2＋(y－4)2=16 D．(x－4)2＋(y－2)2=11 5.(2025南京高二调研)设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2=4上运动，O是坐标原点．以OM，ON为两边作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为(　　) A．(x＋3)2＋(y－4)2=4 B．(x－3)2＋(y＋4)2=4 C．(x－3)2＋(y－4)2=4 D．(x＋3)2＋(y－4)2=4(除去(－，)和(－，)两点) 6.(多选题)已知A，B为定点，且|AB|=4，下列条件中能满足动点P的轨迹为圆的有(　　) A．|PA|•|PB|=10　　 B．=3 C．|PA|2＋|PB|2=10　　 D．|PA|2－|PB|2=10 7.(2025扬州高二调研)已知线段AB的端点B的坐标为(4，3)，端点A在圆x2＋y2=4上运动，则线段AB的中点M的轨迹所围成图形的面积为　　　　． 8.已知圆M：(x－2)2＋y2=4，过点N(1，0)的直线l与圆M交于A，B两点，D是AB的中点，则点D的轨迹方程为　　 ． 9.已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 10.已知方程x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋6k2＋21k＋19=0表示圆，其圆心为C． (1)求该圆半径r的取值范围； (2)求圆心C的轨迹方程； (3)若k=－2，线段AB的端点A的坐标为(0，4)，端点B在圆C上运动，求线段AB中点M的轨迹方程． B级　关键能力提升练 11.(多选题)(2025南通高二调研)已知点A(1，0)，B(－2，0)，动点P满足=2，则下面结论正确的为(　　) A．点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2=4 B．点P到原点O的距离的最大值为5 C．△PAB面积的最大值为4 D．•的最大值为18 12.已知点M是直线2x－y＋5=0上的动点，O是坐标原点，则以OM为直径的圆经过定点(　　) A．(0，0)和(－1，1) B．(0，0)和(－2，2) C．(0，0)和(－1，2) D．(0，0)和(－2，1) 13.(2025苏州高二质检)已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，则底边另一个端点C的轨迹方程是　　　　． 14.(2025宿迁高二质检)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2，4)，圆O：x2＋y2=4与x轴的正半轴交于点Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B．若线段AB的中点为M，则点M的轨迹方程为　 　． C级　学科素养创新练 15.已知M(－1，1)，若坐标原点O(0，0)在动直线l：mx＋ny－2m＋2n=0上的投影为点N，则|MN|的取值范围是(　　) A．[，2]　　 B．[，3] C．[1，3]　　 D．[2，3] 16.已知点M在圆x2＋y2＋8x=0上运动，A(1，6)，B(－3，－3)，C(3，－3)，N(4，0)，P为线段MN的中点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值． 答案： 1.C　解析　设P(x，y)，由|PM|2＋|PN|2=6，得(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2=6，整理得x2＋y2=2，即动点P的轨迹方程为x2＋y2=2.故选C． 2.D　解析　由题意可知，PA⊥PB，则点P的轨迹是以AB为直径的圆(A，B除外)，即以AB的中点O(0，0)为圆心，半径为1的圆，所以点P的轨迹方程是x2＋y2=1(x≠±1)．故选D． 3.A　解析　设点M的坐标为M(x，y)，因为P(1，0)，M是线段PQ的中点，所以Q(2x－1，2y)，因为点Q在圆上，所以(2x－1)2＋(2y)2=4，即(x－)2＋y2=1.故选A． 4.C　解析　因为A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2=25上的两个动点，P是线段AB的中点，所以CP⊥AB，又|AB|=6，所以|CP|==4，所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为(x－2)2＋(y－4)2=16.故选C． 5.D　解析　设P(x，y)，N(x0，y0)，根据题意得由＋=4，得(x＋3)2＋(y－4)2=4，当O，M，N共线时，不构成平行四边形，此时得到两点(－，)和(－，)，故选D． 6.BC　解析　如图所示，以线段AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 设P(x，y)，则A(－2，0)，B(2，0)． A项，若|PA|•|PB|=10，则•=10，整理得(x2＋y2＋4)2－(4x)2=100，以－x代x，以－y代y，方程不变，故轨迹关于原点对称，即对称中心为原点，令x=0，得y=±；令y=0，得x=±． 所以该轨迹不是圆，故A错误； B项，由|PA|=3|PB|，得|PA|2=9|PB|2，即(x＋2)2＋y2=9[(x－2)2＋y2]，整理得x2＋y2－5x＋4=0，即(x－)2＋y2=，所以点P的轨迹是表示以(，0)为圆心，为半径的圆，故B正确； C项，若|PA|2＋|PB|2=10，则(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2=10，即x2＋y2=1，所以点P的轨迹为圆，故C正确； D项，因为|PA|2－|PB|2=10，所以(x＋2)2＋y2－(x－2)2－y2=10，即x=，所以点P的轨迹为直线，故D错误．故选BC． 7.π　解析　设线段AB的中点M(x，y)，A(x0，y0)， 则即 又因为端点A在圆x2＋y2=4上运动，所以＋=4，即(2x－4)2＋(2y－3)2=4，整理得(x－2)2＋(y－)2=1，所以点M的轨迹方程是圆心为(2，)，半径r=1的圆． 所以该圆的面积为S=πr2=π． 8.(x－)2＋y2=　解析　圆M：(x－2)2＋y2=4，所以圆心为M(2，0)，半径为2，设D(x，y)， 由线段AB的中点为D，可得MD⊥DN，即有•=(x－2，y)•(x－1，y)=(x－2)(x－1)＋y•y=0，即(x－)2＋y2=，所以点D的轨迹方程为(x－)2＋y2=． 故答案为(x－)2＋y2=． 9.解　(1)设顶点C的坐标为(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1. 又kAC=，kBC=，且kAC•kBC=－1，所以•=－1，化简得x2＋y2－2x－3=0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3=0(x≠3且x≠－1)． (2)设点M(a，b)，点C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是边BC的中点，所以a=，b=，于是有x0=2a－3，y0=2b． 由(1)知，点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3=0(x≠3且x≠－1)，所以＋－2x0－3=0(x0≠3且x0≠－1)，可得(2a－4)2＋(2b)2=4(a≠3且a≠1)，即(a－2)2＋b2=1(a≠3且a≠1)． 因此，动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2=1(x≠3且x≠1)． 10.解　(1)方程x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋6k2＋21k＋19=0可变为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2=－k2－k＋6，由方程表示圆，得－k2－k＋6＞0，解得－3＜k＜2，所以r==∈(0，]． (2)由(1)知C(－k，－2k－5)，令消去k可得y=2x－5，又－3＜k＜2，所以－2＜x＜3， 故圆心C的轨迹方程为y=2x－5(－2＜x＜3)． (3)当k=－2时，圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2=4，设M(x，y)，又M为线段AB的中点，A的坐标为(0，4)，则B(2x，2y－4)，由端点B在圆C上运动， 所以(2x－2)2＋(2y－3)2=4， 即(x－1)2＋(y－)2=1， 所以线段AB中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－)2=1. 11.ABD　解析　设动点P(x，y)，则由=2得=2， 即(x－1)2＋y2=4[(x＋2)2＋y2]， 化简得x2＋y2＋6x＋5=0，即(x＋3)2＋y2=4，所以A选项正确； 点P的轨迹是圆心为(－3，0)，半径为2的圆，则点P到原点O的距离的最大值为＋2=5，所以B选项正确； 又A，B和点P轨迹的圆心都在x轴上，且|AB|=3，所以当圆的半径垂直于x轴时，△PAB面积取得最大值×3×2=3，所以C选项错误； 又•=(1－x，－y)•(－2－x，－y)=(1－x)(－2－x)＋y2=x2＋y2＋x－2，因为y2=－x2－6x－5(－5≤x≤－1)，所以•=－5x－7(－5≤x≤－1)，则•≤－5×(－5)－7=18，所以D选项正确．故选ABD． 12.D　解析　如图，过点O作OP垂直于直线2x－y＋5=0，垂足为P， 则以OM为直径的圆过定点O和P，易知直线OP的方程为y=－x， 联立解得 即P(－2，1)． 所以以OM为直径的圆经过定点(0，0)和(－2，1)．故选D． 13.(x－4)2＋(y－2)2=10(去掉(3，5)，(5，－1)两点)　解析　设C(x，y)，由题意知，|AB|==， 因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形，所以|CA|=|AB|=，即点C的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，又点A，B，C构成三角形，即三点不共线，则轨迹中需去掉点B(3，5)及点B关于点A对称的点(5，－1)，所以点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2=10(去掉(3，5)，(5，－1)两点)． 14.(x－1)2＋(y－2)2=5(－＜x＜2，y＜)　解析　连接OM(图略)，设点M(x，y)， ∵M是弦AB的中点，∴MO⊥MP． 又∵=(x，y)，=(x－2，y－4)， ∴x(x－2)＋y(y－4)=0，即x2＋y2－2x－4y=0， 联立 解得或 又M在圆O的内部， ∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－2)2=5(－＜x＜2，y＜)． 故答案为(x－1)2＋(y－2)2=5(－＜x＜2，y＜)． 15.B　解析　直线l：mx＋ny－2m＋2n=0，即(x－2)m＋(y＋2)n=0， 令解得所以动直线l恒过定点P(2，－2)， 坐标原点O(0，0)在动直线l：mx＋ny－2m＋2n=0上的投影为点N， 故∠ONP=90°，所以点N在以OP为直径的圆上(如图所示)， 则圆的圆心为Q(1，－1)，半径r==， 又|MQ|==2，所以=2－≤|MN|≤2＋=3，即|MN|的取值范围是[，3]．故选B． 16.解　设点P(x，y)，M(x0，y0)，因为N(4，0)，P为线段MN的中点，所以于是有 因为点M在圆x2＋y2＋8x=0上运动，所以＋＋8x0=0，代入得(2x－4)2＋(2y)2＋8(2x－4)=0，化简得x2＋y2=4，所以点P的轨迹方程为x2＋y2=4. 故|PA|2＋|PB|2＋|PC|2 =(x－1)2＋(y－6)2＋(x＋3)2＋(y＋3)2＋(x－3)2＋(y＋3)2 =3x2＋3y2－2x＋73=85－2x． 因为－2≤x≤2，所以81≤85－2x≤89，所以|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为89. 学科网（北京）股份有限公司 $