2.1 第3课时 与圆有关的轨迹问题(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

**基本信息** 聚焦圆的轨迹问题，通过定义法、坐标转移法等构建系统性解题体系，强化几何直观与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|坐标转移法、几何定义法、参数方程法|从圆的定义出发，结合距离公式与中点坐标，构建轨迹方程生成逻辑| |综合运用|4题|阿波罗尼奥斯圆、垂心轨迹转化|通过复杂几何情境，深化轨迹限制条件与多知识点综合应用|

第3课时　与圆有关的轨迹问题 1.已知圆C：（x－a）2＋（y－b）2=1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（　　） A．点　 　B．直线 C．线段　 D．圆 2.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），则直角顶点C的轨迹方程为（　　） A．（x－1）2＋y2=4 B．x2＋（y－1）2=4 C．（x－1）2＋y2=4（x≠3，且x≠－1） D．x2＋（y－1）2=4（x≠3，且x≠－1） 3.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B的距离之比是常数λ（λ＞0，λ≠1）的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满足MA=2MB，则点M的轨迹围成区域的面积为（　　） A．π　 　B.2π C.3π　 　 D.4π 4.已知线段AB的端点B的坐标为（4，3），端点A在圆x2＋y2=4上运动，则线段AB的中点M的轨迹所围成图形的面积为（　　） A.4π　 　B．π C．π　 　 D． 5.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A（4，2），底边的一个端点是B（3，5），则底边另一个端点C的轨迹方程是（　　） A．（x－4）2＋（y－2）2=10 B．（x＋4）2＋（y－2）2=10 C．（x－4）2＋（y－2）2=10（x≠3，x≠5） D．（x＋4）2＋（y－2）2=10（x≠3，x≠5） 6.〔多选〕如果点P的坐标（x，y）满足以下方程，则点P的轨迹是圆的有（　　） A．x2＋y2=0 B．x2＋y2－2x＋4y＋6=0 C．x2＋y2＋2ax－b2=0（ab≠0） D．（θ为参数，r≠0） 7.（2026•连云港月考）已知圆O：x2＋y2=4及一点P（－1，0），Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为　　　　． 8.圆x2＋y2=8内有一点P（2，－1），AB为过点P的弦，则AB的中点Q的轨迹方程为　　　　　． 9.已知平面上到两直线y=x与y=kx的距离平方和为1的点的轨迹是一个圆，则实数k=　　　　． 10.已知线段AB的端点B在圆C1：x2＋（y－4）2=16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB的中点为M． （1）试求M点的轨迹C2的方程； （2）若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长． 11.〔多选〕已知A，B是平面内两个定点，且AB=6，则满足下列条件的动点P的轨迹为圆的是（　　） A．PA＋PB=6　 　B．•=－1 C．PA=2PB　 　D．PA2＋PB2=18 12.存在如下结论：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．现已知在平面直角坐标系中A（－2，0），B（2，0），动点P满足PA=λPB（λ＞0），若点P的轨迹为一条直线，则λ=　　　　；若λ=2，则点P的轨迹方程为　　　　　　　　． 13.如图所示，过圆O：x2＋y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线l，M为l上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，则△MAQ垂心P的轨迹方程为　　　　． 14.已知点M（－2，0），N（1，0），点P（x，y）满足PM=2PN． （1）求点P（x，y）的轨迹方程； （2）求PM＋PN的最大值． 答案 第3课时　与圆有关的轨迹问题 1.D　2.C　3.D 4.C　设线段AB的中点M（x，y），A（x0，y0），则即 因为端点A在圆x2＋y2＝4上运动，所以＋＝4，即（2x－4）2＋（2y－3）2＝4，整理得：（x－2）2＋（y－）2＝1，所以点M的轨迹是圆心为（2，），半径为r＝1的圆.所以该圆的面积为S＝πr2＝π.故选C. 5.C　设C（x，y），由AB＝＝，得（x－4）2＋（y－2）2＝10，又点A，B，C组成三角形，所以点C不能在直线AB上，易得直线AB的方程为y＝－3x＋14，若C点在直线AB上，则C（x，－3x＋14），由AC＝＝，得x＝3或x＝5，故x≠3且x≠5，故选C. 6.CD　对A，由圆的标准方程可知，r2≠0，所以方程x2＋y2＝0不表示圆，A错误；对B，由x2＋y2－2x＋4y＋6＝0，得（x－1）2＋（y＋2）2＝－1＜0，可知该方程不表示圆，B错误；对C，由x2＋y2＋2ax－b2＝0，得（x＋a）2＋y2＝a2＋b2，因为ab≠0，所以a≠0，b≠0，所以a2＋b2＞0，由圆的标准方程可知，该方程表示圆心为（－a，0），半径为的圆，C正确；对D，由（θ为参数，r≠0），得（x－a）2＋（y－b）2＝r2cos2θ＋r2sin2θ＝r2，因为r≠0，所以r2＞0，该方程表示圆心为（a，b），半径为｜r｜的圆，D正确.故选C、D. 7.（x＋）2＋y2＝1　解析：设M（x，y），则Q（2x＋1，2y），因为Q在圆x2＋y2＝4上，所以（2x＋1）2＋4y2＝4，即（x＋）2＋y2＝1，所以轨迹C的方程是（x＋）2＋y2＝1. 8.x2＋y2－2x＋y＝0　解析：设AB的中点为Q（x，y），若AB的斜率不存在，则Q（2，0），若AB的斜率为0，则Q（0，－1），若AB的斜率存在且不为0，则AB的斜率为k＝，又OQ⊥AB，所以kOQ·k＝－1，即·＝－1，整理得x2＋y2－2x＋y＝0，点（2，0），（0，－1）也满足，所以点Q的轨迹方程为x2＋y2－2x＋y＝0. 9.－1　解析：设此点的坐标为（x，y），则依题意有（）2＋（）2＝1，化简得（＋）x2＋（＋）·y2－（＋1）xy＝1，此方程要表示圆，则＋1＝0，且＝，解得k＝－1. 10.解：（1）设M（x，y），B（x'，y'），则由题意可得解得 ∵点B在圆C1：x2＋（y－4）2＝16上， ∴（2x－4）2＋（2y－4）2＝16，即（x－2）2＋（y－2）2＝4. ∴M点的轨迹C2的方程为（x－2）2＋（y－2）2＝4. （2）由方程组得直线CD的方程为x－y－1＝0， 圆C1的圆心C1（0，4）到直线CD的距离d＝＝， 又圆C1的半径为4， ∴线段CD的长为2＝. 11.BC　PA＋PB＝6＝AB，显然P的轨迹是线段AB，故A错误；以AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，设A（－3，0），B（3，0），设P（x，y），则＝（－3－x，－y），＝（3－x，－y），已知·＝－1，则x2＋y2＝8，所以点P的轨迹是圆，故B正确；由两点间距离公式得PA＝，PB＝，代入PA＝2PB中化简得x2－10x＋y2＋9＝0，即（x－5）2＋y2＝16，故P的轨迹是圆，故C正确；代入PA2＋PB2＝18中化简得x2＋y2＝0，显然P的轨迹是一个点，故D错误.故选B、C. 12.1　x2＋y2－x＋4＝0 解析：设P（x，y），由PA＝λPB（λ＞0），可得＝λ，两边平方，整理得点P的轨迹方程为（1－λ2）x2＋（1－λ2）y2＋4（1＋λ2）x＋4－4λ2＝0.若点P的轨迹为一条直线，则解得λ＝1或λ＝－1（舍去）.若λ＝2，则点P的轨迹方程为3x2＋3y2－20x＋12＝0，即x2＋y2－x＋4＝0. 13.x2＋（y－2）2＝4（x≠0）　解析：连接OQ（图略），则由OQ⊥MQ，AP⊥MQ，得OQ∥AP.同理，OA∥PQ.又OA＝OQ，所以OAPQ为菱形，所以PA＝OA＝2.设P（x，y），Q（x0，y0），则又＋＝4，所以x2＋（y－2）2＝4（x≠0）. 14.解：（1）由PM＝2PN可知， ＝2，化简得（x－2）2＋y2＝4， 即点P（x，y）的轨迹为以C（2，0）为圆心，半径为2的圆，方程为（x－2）2＋y2＝4. （2）由题意可知，PN＝PM，所以PM＋PN＝PM， 点M（－2，0）在圆外，所以PM的最大值为MC＋r＝4＋2＝6， 所以PM＋PN的最大值为×6＝9. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $