2.1 圆的方程 第2课时 圆的一般方程 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现圆的一般方程从概念理解到综合应用的递进，适配新授课分层教学需求，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆的一般方程形式与基本计算|以选择填空为主，直接考查方程形式（如1题求圆的方程）、圆心半径计算（如4题），夯实概念理解| |综合|轨迹方程与多条件应用|结合轨迹问题（如5题动点轨迹）、中点轨迹（如8题），融入对称（如10题），发展模型意识| |拓展|动点轨迹与证明探究|涉及四点共圆（13题）、外接圆定点证明（16题），提升逻辑推理与数学表达能力|

第2课时　圆的一般方程 1.经过点A(1,2),且以B(-1,1)为圆心的圆的一般方程为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.x2+y2-2x+2y-3=0 B.x2+y2+2x-2y-3=0 C.x2+y2+2x-2y-7=0 D.x2+y2-2x+2y-7=0 2.过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程是 (　 ) A.x2+y2-7x-3y+2=0 B.x2+y2+7x-3y+2=0 C.x2+y2+7x+3y+2=0 D.x2+y2-7x+3y+2=0 3.[2025·江苏常州二中高二期中] 设甲:实数a<3;乙:方程x2+y2-x+3y+a=0表示圆,则甲是乙的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.[2024·山东临沂高二期中] 已知圆C:x2+y2-2x+4y-6=0的半径为r,则 (　 ) A.C(1,-2),r=2 B.C(-1,2),r= C.C(1,-2),r= D.C(-1,2),r=2 5.已知点M1(-3,0)和点M2(3,0),动点M(x,y)满足MM1=2MM2,则点M的轨迹方程为 (　 ) A.x2+y2+18x+9=0 B.x2+y2+6x+9=0 C.x2+y2+6x-9=0 D.x2+y2-10x+9=0 6.(多选题)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则下列结论正确的是 (　 ) A.F=4 B.圆关于直线y=-2x对称 C.原点在圆的内部 D.的最大值为9 7.过坐标原点,(2,0)(0,3)的圆的一般方程为　　　　　　　　　　.  8.已知线段AB的端点B的坐标为(8,6),端点A在圆C:x2+y2+4x=0上运动,则线段AB的中点P的轨迹方程为　　　　　　　　.  9.(13分)已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示圆. (1)求t的取值范围; (2)求圆的圆心和半径; (3)求圆的半径的最大值及此时圆的标准方程. 10.(13分)已知圆C的圆心在直线y=-x+5上,且圆C过点(2,6),(5,3). (1)求圆C的一般方程; (2)若圆C'与圆C关于直线x+2y-2=0对称,求圆C'的一般方程. 11.[2025·山东莱芜一中高二期中] 若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在直线的方程为 (　 ) A.2x-y-6=0 B.2x+y-6=0 C.2x+y+6=0 D.2x-y+6=0 12.(多选题)[2025·江苏通州金沙中学高二月考] 已知曲线C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0,则下列说法正确的为 (　 ) A.若A=B=1,则C是圆 B.若A=B≠0,D2+E2-4AF>0,则C是圆 C.若A=B=0,D2+E2>0,则C是直线 D.若A≠0,B=0,则C是直线 13.[2025·江苏南通第一中学高二月考] 已知点A(-2,1),B(-1,0),C(2,3),M(a,2)四点共圆,则点M到坐标原点O的距离为　　　　.  14.已知A,B是圆C:x2+y2-4x-8y-5=0上的两个动点,P是线段AB的中点,若AB=6,则点P的轨迹方程为　　　　　　　　.  15.[2025·广东深圳实验中学高二月考] 如图,△ABC是边长为1的正三角形,点P在△ABC所在平面内,且||2+||2+||2=a(a为常数),则下列结论中正确的是 (　 ) A.当0<a<1时,满足条件的点P有且只有一个 B.当a=1时,满足条件的点P有三个 C.当a>1时,满足条件的点P有无数个 D.当a为任意正实数时,满足条件的点总是有限个 16.(15分)若函数y=x2+ax+b的图象与坐标轴分别交于三个不同的点A,B,C,求证:△ABC的外接圆恒过的定点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　圆的一般方程 1.B　[解析] 圆心为B(-1,1),则半径r=AB==,所以所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5,即x2+y2+2x-2y-3=0.故选B. 2.A　[解析] 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0,将A,B,C三点的坐标代入方程,得解得 故所求圆的方程为x2+y2-7x-3y+2=0,故选A. 3.B　[解析] 若方程x2+y2-x+3y+a=0表示圆,则(-1)2+32-4a=10-4a>0,解得a<,所以甲是乙的必要且不充分条件.故选B. 4.C　[解析] 由x2+y2-2x+4y-6=0得(x-1)2+(y+2)2=11,∴C(1,-2),r=.故选C. 5.D　[解析] 因为M1(-3,0),M2(3,0),动点M(x,y),所以MM1=,MM2=.又因为MM1=2MM2,所以=2,整理得x2+y2-10x+9=0,所以点M的轨迹方程为x2+y2-10x+9=0.故选D. 6.ABD　[解析] 由题意知,以(2,-4)为圆心,4为半径的圆的标准方程为(x-2)2+(y+4)2=16,即x2+y2-4x+8y+4=0,故A正确;因为圆心(2,-4)在直线y=-2x上,所以圆关于直线y=-2x对称,故B正确;因为原点到圆心的距离为2,大于半径,所以原点在圆的外部,故C错误;的几何意义为圆上任意一点(x,y)到点(2,1)的距离,所以的最大值为圆心(2,-4)到点(2,1)的距离与半径之和,为+4=9,D正确.故选ABD. 7.x2+y2-2x-3y=0　[解析] 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),因为圆过点(0,0),(2,0)和(0,3),所以解得所以所求圆的一般方程为x2+y2-2x-3y=0. 8.x2+y2-6x-6y+17=0　[解析] 设点P的坐标为(x,y),点A的坐标为(x0,y0),又B(8,6),且P为线段AB的中点,所以则因为点A在圆C:x2+y2+4x=0上运动,所以++4x0=0,所以(2x-8)2+(2y-6)2+4×(2x-8)=0,整理可得x2+y2-6x-6y+17=0,所以中点P的轨迹方程为x2+y2-6x-6y+17=0. 9.解: (1)因为方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示圆, 所以[-2(t+3)]2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0,即-7t2+6t+1>0,解得-<t<1. (2)圆的圆心为, 即(t+3,4t2-1),半径为. (3)圆的半径r==,所以当t= 时,r取得最大值,此时圆的标准方程为+=. 10.解:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0, 因为圆C的圆心在直线y=-x+5上,且圆C过点(2,6),(5,3), 所以解得 故圆C的一般方程为x2+y2-4x-6y+4=0. (2)由(1)得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=9, 则圆C的圆心为C(2,3),半径r=3, 设圆C'的圆心坐标为(x0,y0),因为圆C'与圆C关于直线x+2y-2=0对称, 所以解得即C'. 所以圆C'的标准方程为+=9,所以圆C的一般方程为x2+y2+x+y-=0. 11.A　[解析] 圆x2+y2-8x-4y+10=0的圆心坐标为(4,2),则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长,则最长的弦所在直线的斜率k==2,故所求直线的方程为y=2(x-3),即2x-y-6=0,故选A. 12.BC　[解析] 对于A,当A=B=1时,曲线C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,若D2+E2-4F>0,则C是圆;若D2+E2-4F=0,则C是点;若D2+E2-4F<0,则C不存在,故A错误.对于B,当A=B≠0时,曲线C的方程为Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0,又D2+E2-4AF>0,所以C是圆,故B正确.对于C,当A=B=0时,曲线C的方程为Dx+Ey+F=0,又D2+E2>0,所以C是直线,故C正确.对于D,当A≠0,B=0时,曲线C的方程为Ax2+Dx+Ey+F=0,易知C不一定是直线,故D错误.故选BC. 13.3　[解析] 设过A,B,C的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,则 解得所以过A,B,C的圆的方程为x2+y2-4y-1=0.又因为点M在此圆上,所以a2+4-8-1=0,解得a2=5,所以点M到坐标原点O的距离为=3. 14.(x-2)2+(y-4)2=16　[解析] 由题可知圆C的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=25,则圆心为C(2,4),半径为5.因为线段AB的中点为P,所以CP⊥AB,又AB=6,所以CP==4,所以点P在以C为圆心,4为半径的圆上,其轨迹方程为(x-2)2+(y-4)2=16. 15.C　[解析] 以BC所在直线为x轴,线段BC的中点为原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则A,B,C,设P(x,y),可得=x2+,||2=+y2,||2=+y2,∵||2+||2+||2=a,∴x2+++y2++y2=a,化简得3x2+3y2-y+-a=0,即x2+y2-y+-=0,即x2+=(a-1)①.当a<1时,a-1<0,故方程①不能表示任何图形;当a=1时,a-1=0,方程①表示点,恰好是正三角形的重心;当a>1时,a-1>0,方程①表示以为圆心,为半径的圆.由此对照各个选项,可得只有C项正确.故选C. 16.证明:设函数y=x2+ax+b的图象交y轴于点B(0,b),交x轴于点A(x1,0),C(x2,0), 由题意可知Δ=a2-4b>0,所以x1+x2=-a,x1x2=b, 所以线段AC的中点为,设△ABC所在圆的圆心为P, 由PA2=PB2,可得+t2=+(t-b)2,解得t=,因为+ax1+b=0,所以t==,则t-b=,所以P,PB2=,所以圆P的方程为+=,整理可得(x2+y2-y)+ax+b(1-y)=0, 由可得因此,△ABC的外接圆恒过的定点(0,1). 学科网（北京）股份有限公司 $