第21讲 万有引力定律及应用 讲义-2027届高考物理一轮复习

第21讲 万有引力定律及应用 考点一遍过 考点1 开普勒定律 1 考点2 万有引力定律 5 考点3 天体质量和密度的计算 10 考点4 宇宙速度 14 考点5 相对论时空观与牛顿力学的局限性 19 考点1 开普勒定律 考点一遍过 一、开普勒三大定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时k是一个与中心天体有关的常量。 【重点突破】 1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 2．由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 【例1】（26-27高三上·甘肃·阶段检测）2026年8月25日11时21分，长征六号丙遥一运载火箭在太原卫星发射中心发射升空，将中科卫星14星等7颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务取得圆满成功。某卫星发射变轨过程的示意图如图所示，卫星先进入近地圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，再经椭圆轨道Ⅱ变轨，最终进入圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动。已知、两点分别是椭圆轨道Ⅱ的近地点和远地点，卫星沿椭圆轨道从点运动到点所用的最短时间为，地球的半径为，地球表面的重力加速度为，则（　　） A．卫星在轨道Ⅰ上的点减速可由轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ B．卫星在轨道Ⅰ的线速度小于卫星在轨道Ⅱ上点的线速度 C．卫星在轨道Ⅲ上运行的周期大于 D．圆轨道Ⅲ的半径为 【答案】C 【详解】A．卫星从近地圆轨道Ⅰ变轨到更高的椭圆轨道Ⅱ，需要在P点加速，做离心运动才能脱离圆轨道进入椭圆轨道；若减速会做近心运动向地球靠近，无法完成该变轨，A错误； B．卫星在轨道Ⅰ的线速度满足近地圆轨道的万有引力公式 得 卫星在椭圆轨道Ⅱ的远地点Q，若要进入和Q点同半径的圆轨道，需要加速才能做匀速圆周运动，说明椭圆轨道上Q点的线速度小于同半径圆轨道的线速度；而圆轨道的线速度满足，轨道半径r>R时，线速度小于近地轨道的v1。因此轨道Ⅰ的线速度大于轨道Ⅱ上Q点的线速度，B错误； C．卫星从P点到Q点的运动是椭圆轨道的半周，因此椭圆轨道Ⅱ的周期 设轨道Ⅲ的轨道半径为，椭圆半长轴 显然>a 根据开普勒第三定律：绕同一中心天体地球运动的卫星，轨道半长轴越大，周期越大，因此轨道Ⅲ的周期T3>T2=2t C正确； D．在轨道Ⅰ上运行的周期为，则有， 解得 根据开普勒第三定律，有 联立解得 D错误。 故选C。 1．（26-27高二上·甘肃武威·阶段检测）天王星是太阳系由内向外的第七颗行星。已知天王星质量约为地球质量的14.5倍，天王星的直径约为地球直径的4倍，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的19倍。则天王星表面与地球表面的重力加速度大小之比和天王星与地球公转周期之比分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】忽略行星自转的影响，行星表面物体的重力等于万有引力，则 整理得行星表面的重力加速度通式为 已知天王星质量， 天王星直径是地球的4倍，因此半径，可得 已知天王星公转轨道半径，由开普勒第三定律可得 解得 故选A。 2．（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）如图所示，天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备，虚线所夹阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星中心的连线单位时间扫过的面积。下列说法正确的是（     ） A．图中两阴影部分的面积相等 B．探测器在调相轨道上运行经过点时的加速度小于在停泊轨道上运行经过点时的加速度 C．探测器从点到的时间和从点到的时间相等 D．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器的机械能变小 【答案】D 【详解】A．因为探测器在“调相轨道”与“停泊轨道”两个不同的轨道上运动，开普勒第二定律适用于同一轨道，图中两阴影部分的面积不相等，故A错误； B．根据万有引力提供向心力有 可得 则探测器在调相轨道上运行经过点时的加速度等于在停泊轨道上运行经过点时的加速度，故B错误； C．根据开普勒第三定律 可知探测器在“调相轨道”运动的周期较大，从点到的时间和从点到的时间为，则二者时间不同，故C错误； D．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器要在P点点火减速，推力做负功，则机械能变小，故D正确。 故选D。 3．（26-27高三上·河南·阶段检测）已知某卫星绕地球做椭圆运动，观测到其近地点到地心的距离为，其在远地点的速度大小只有近地点速度大小的一半。地面附近的重力加速度大小为，地球半径为，忽略地球自转，则该卫星的运动周期为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设卫星在近、远地点到地心的距离分别为和，速度大小分别为和。两点的速度均与地心连线垂直，由开普勒第二定律，等时间扫过的面积相等，得 近地点地心距为，远地点速率是近地点的一半，代入上式得 椭圆轨道的半长轴为 设绕地球做近地圆周运动的卫星周期为。忽略地球自转，近地重力提供向心力，有 解得 椭圆轨道与近地圆轨道绕同一地球，开普勒第三定律给出周期平方之比等于半长轴立方之比。代入两轨道半长轴和近地圆轨道的周期，得到卫星的运动周期 故选B。 考点2 万有引力定律 考点一遍过 1.万有引力定律 (1)内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。即F＝G，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定。 (2)适用条件 ①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝G，得g＝。 (2)地球上空的重力加速度大小g' 地球上空距离地球中心r＝R＋h处由mg'＝，得g'＝。 3．万有引力与重力的关系 (1)地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (2)万有引力与重力的定量关系： ①在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 ②在两极上：G＝mg0。 ③由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G＝mg。 4．不同位置处重力加速度的比较 地面 地下 天上 两极 (或不计自转) 赤道 g＝G＝G(R－h) g＝G＝G g＝G g＝G－Rω 【重点突破】 万有引力的“两个推论” 　推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论 2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F＝G。 【例2】（山西部分校2026-2027学年高三上学期10月学情调研物理试题）在2026深空探测国际会议上，我国正式启动国际地月立方星座大科学计划，立体组网开展月球资源勘探等工作。已知月球的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在月球表面与在地球表面受到的引力的比值约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据万有引力定律表达式，则同一物体在月球表面与在地球表面受到的万有引力的比值为 故选B。 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体引力为0。P、Q两个星球的质量分布均匀且自转角速度相同，两星球某位置的重力加速度大小随该位置到星球中心的距离r变化的图像如图所示，关于P、Q星球，下列说法正确的是（     ） A．P、Q两个星球质量之比为 B．Q星球的密度大于P星球的密度 C．P、Q两个星球的第一宇宙速度大小之比为 D．P、Q两个星球的同步卫星距星球表面的高度之比为 【答案】D 【详解】两星球质量分布都是均匀的，在星球内部某一位置，设该位置到球心的距离为，等效重力加速度为，则质量为的物体在该处有 即 在星球外部某一位置，该位置到星球球心的距离为时有 即 由题中图像可知，星球P的半径为，表面处重力加速度为，星球Q的半径为，表面处重力加速度为 AB．在星球表面有 可得星球质量 对应密度 两星球质量有， 可得 两星球密度有， 则两星球密度相等，故AB错误； C．由 可得第一宇宙速度表达式 结合本题有，故C错误； D．同步卫星的角速度等于星球自转的角速度，设同步卫星到星球表面的高度为，由 得 对星球P有 对星球Q有 则有，故D正确。 故选D。 2．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）“卫星巡田”让农业生产焕发新活力。卫星绕两极在距地面h=0.44R高度的圆轨道上运行，监测的农田南北长为L=25km，地球的半径R=6400km。忽略地球自转，地球表面重力加速度g取10m/s2，π取3.14，（结果均保留两位有效数字）。求： (1)该卫星的运行速度大小v； (2)该卫星通过农田正上方的时间t； (3)若考虑地球自转周期为T0=24h，只改变卫星的圆轨道高度，要求卫星在每天同一时刻经过该农田上空，则该卫星的最小运行周期为多少小时。 【答案】(1)6.7km/s (2)5.4s (3)1.4h 【详解】（1）设卫星质量为m，地球质量为M，根据万有引力提供向心力可得 根据万有引力与重力的关系可得 解得 代入数据解得 （2）卫星通过农田正上方时通过的路程为s，则， 解得 代入数据解得 （3）卫星绕行N圈，在第二天同一时刻经过该农田，设卫星周期为T，则，（N=1，2，3……） 解得 由于h大于0，则 故运行周期最小时N取17，所以该卫星的最小运行周期 3．（24-25高三·全国·一轮复习）已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，忽略地球的自转，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为（     ） A． B．（）2 C． D． 【答案】C 【详解】卫星在距离地面高度为处受到的重力，即为它在该处受到的万有引力，有 设地球表面的重力加速度为，根据万有引力等于重力，有 设地球的密度为，根据密度公式，有，其中 联立得， 依题意，质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，在深度为的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于其在半径为的球体表面的重力，根据前面的分析，可知“蛟龙号”在海里所处位置的重力加速度 联立，得 则 故选C。 考点3 天体质量和密度的计算 考点一遍过 1.利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg，得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝。 2.利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G＝mr，得M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 3．天体质量和密度的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 质 量 的 计 算 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ 密 度 的 计 算 利用运行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝G M＝ρ·πR3 ρ＝ 【重点突破】 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有G＝mg。 【例3】（26-27高三上·河南平顶山·阶段检测）（多选）假如航天员乘坐宇宙飞船到达某行星，他在该行星表面附近水平抛出一个小球，经过时间t小球落地。已知小球平抛运动的位移为L，与水平面的夹角为，行星半径为R，引力常量为G。根据这些信息，可以求出（     ） A．该行星表面的重力加速度大小为 B．该行星的第一宇宙速度为 C．该行星的质量为 D．该行星的平均密度为 【答案】BD 【详解】A．小球竖直方向的位移与运动位移的关系为 由公式可得，该行星表面的重力加速度大小为，故A错误； B．行星的第一宇宙速度是在行星表面做半径为的匀速圆周运动的速度，重力提供向心力，则有 则该行星的第一宇宙速度为，故B正确； C．根据万有引力公式可得 该行星的质量为，故C错误； D．该行星的体积为 则该行星的平均密度为，故D正确； 故选BD。 1．（26-27高三·全国·一轮复习）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面的重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设地球质量为，地球半径为。在地球两极，物体不需要随地球自转提供向心力，万有引力等于重力 化简得 在赤道上，万有引力一部分提供自转的向心力，剩余部分表现为重力： 联立解得地球半径 地球密度，地球体积，结合 代入得 将代入化简可得 故选B。 2．（2026·云南昆明·模拟预测）2026年8月5日，我国成功将东方慧眼高光谱01、02星发射升空，进入预定圆轨道稳定运行。若东方慧眼高光谱01星在时间内通过的弧长为，该弧长对应的圆心角为（弧度）。已知引力常量为，据此可推得地球的质量为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设地球质量为，东方慧眼高光谱01星的质量为，轨道半径为。由弧长与圆心角的关系，有 解得 卫星做匀速圆周运动的线速度大小为 由万有引力提供向心力，有 解得 故选A。 3．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）（多选）若在火星上将一小球以大小为的速度竖直向上抛出，经时间小球落回原处，已知火星的半径为，引力常量为，不考虑火星的自转，不计空气阻力，则下列说法正确的是（     ） A．火星的质量为 B．火星的平均密度为 C．火星的第一宇宙速度为 D．环绕火星表面运行的卫星的周期为 【答案】AD 【详解】A．取向上为正方向，全过程位移为0，由竖直上抛运动规律得 解得火星表面重力加速度 不考虑火星自转，火星表面物体的重力等于万有引力 ​可得火星质量，故A正确； B．火星体积，平均密度 联立解得，故B错误； C．设火星的第一宇宙速度为，满足万有引力提供向心力，有 解得，故C错误； D．设环绕火星表面运行的卫星的周期为，则有 解得，故D正确。 故选AD。 考点4 宇宙速度 考点一遍过 1．第一宇宙速度 (1)第一宇宙速度又叫_环绕__速度，其数值为_7.9__km/s。 (2)第一宇宙速度是人造卫星在_地球表面__附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。 (3)第一宇宙速度是人造卫星的最小_发射__速度，也是人造卫星的最大_环绕__速度。 2．第二宇宙速度(脱离速度) 使物体挣脱_地球__引力束缚的最小发射速度，其数值为_11.2__km/s。 3．第三宇宙速度(逃逸速度) 使物体挣脱_太阳__引力束缚的最小发射速度，其数值为_16.7__km/s。 【重点突破】 宇宙速度与运动轨迹的关系 1.v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。 2.7.9 km/s<v发<11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 3.11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。 4.v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 【例4】（26-27高三上·河南平顶山·阶段检测）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船成功发射。飞船入轨后，采用自主快速交会对接技术，成功与空间站天和核心舱径向端口对接，形成了三舱三船组合体。飞船发射后经过变轨成功进入轨道Ⅲ的圆轨道，轨道Ⅱ是椭圆轨道，轨道Ⅰ是近地圆轨道，如图所示。若卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ上的点和轨道Ⅱ、Ⅲ上的点运行的线速度大小分别为、、、。下列说法正确的是（     ） A．神舟二十三号飞船在轨道Ⅱ上各点的速度均小于 B．神舟二十三号飞船在三个轨道上的周期大小关系为 C．神舟二十三号飞船在轨道Ⅱ上经过点的加速度小于在轨道Ⅲ上经过点的加速度 D．卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ上的点和轨道Ⅱ、Ⅲ上的点运行的线速度大小关系为 【答案】D 【详解】A．因为是卫星的最大环绕速度，卫星从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ要在点点火加速，则 A错误； B．由开普勒第三定律得 由于神舟二十三号飞船在三个轨道上的半长轴满足 故神舟二十三号飞船在三个轨道上的周期大小关系为 B错误； C．根据万有引力提供向心力可知 得 故卫星在轨道Ⅱ上经过点的加速度等于在轨道Ⅲ上经过点的加速度，C错误； D．卫星从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ要在点点火加速，则 同理有 根据万有引力提供向心力可知 可知 由于，有 故卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ上的点和轨道Ⅱ、Ⅲ上的点运行的线速度大小关系为，D正确； 故选D。 1．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）如图所示，地球绕太阳的运动可看为匀速圆周运动。已知地球质量为，地球的轨道半径为，公转周期为，太阳质量为，引力常量为。下列说法正确的是（     ） A．根据以上信息，可以计算出地球表面的重力加速度 B．根据以上信息，可以计算出地球的第一宇宙速度 C．根据以上信息，可以计算出太阳的密度 D．对应物理量的单位与动能的单位相同 【答案】D 【详解】A．在地球表面，忽略地球自转影响，有 解得地球表面的重力加速度，由于题目未给出地球半径，故无法计算地球表面的重力加速度，故A错误； B．地球的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，由得 由于题目未给出地球半径 ，故无法计算地球的第一宇宙速度，故B错误； C．太阳的密度 题目已知太阳质量，但未给出太阳半径，无法求出太阳体积，故无法计算太阳的密度，故C错误； D．根据万有引力定律 ，可知 ，即该物理量对应功或能量的量纲，其单位为焦耳（J），与动能的单位相同，故D正确。 故选D。 2．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中，牛顿设想：如图所示，把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落地点也一次比一次远；抛出速度足够大时，物体就不会落回地面，成为人造地球卫星。已知地球质量为，半径为，自转周期为，抛出点位于赤道上海拔高处，引力常量为，不考虑空气阻力。以地心为参考系，求： (1)物体抛出前的线速度大小； (2)物体抛出后恰好能在该高度环绕地球做匀速圆周运动的线速度大小，并通过计算说明与地球第一宇宙速度的大小关系。 【答案】(1) (2)，该高度的环绕速度小于地球第一宇宙速度 【详解】（1）物体抛出前随地球自转做匀速圆周运动，圆周运动的轨道半径为地球半径与海拔高度之和，即 物体随地球自转，周期等于地球自转周期，故物体抛出前的线速度大小 （2）物体在海拔高处环绕地球做匀速圆周运动时，万有引力完全提供向心力，满足 解得 地球的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，近地卫星轨道半径近似等于地球半径，同理，由万有引力提供向心力可得 解得 故该高度的环绕速度小于地球第一宇宙速度。 3．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）地球可近似认为是质量均匀分布的球体，忽略地球自转，重力加速度g随物体到地心的距离r变化关系如图所示。 将g-r曲线与横轴包围的面积，分割成三个部分：①O-R部分的阴影面积；②R-2R部分的阴影面积；③2R~∞部分的阴影面积。已知三部分阴影面积均相等，地球质量为M，半径为R，万有引力常量G。不计空气阻力，不考虑其它星球引力的影响，结果用题目中的已知量表示。求： (1)图中的大小； (2)若将物体从处自由释放，请运用动能定理，并借助本题图像，求物体到达地球表面时的速率； (3)地球的第二宇宙速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）忽略地球自转时，地球表面（处）物体的重力等于万有引力，即 解得 （2）物体从到，重力做功的大小等于第②部分面积与质量的乘积，即 三部分面积相等，则 物体下落过程中，由动能定理得 联立解得 （3）第二宇宙速度是物体从地球表面出发，能脱离地球引力到达无穷远处的最小发射速度，此时物体在无穷远处动能为0。 对物体从地球表面（）到无穷远的过程，引力做功的大小等于曲线区间的总面积与质量的乘积，即 三部分面积相等，因此总面积为 物体从地球表面（）到无穷远的过程，由动能定理得 联立解得 考点5 相对论时空观与牛顿力学的局限性 考点一遍过 1．相对论时空观 (1)爱因斯坦的两个假设：①在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是_相同__的。 ②真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是_相同__的。 (2)爱因斯坦假设的结果 ①时间延缓效应 如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝。△t＝ ②长度收缩效应 如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝l0。 2．牛顿力学的成就与局限性 牛顿力学适用于宏观物体，低速运动。 【重点突破】 1．对光速不变原理的理解 不管光源与观察者的相对运动如何，在任一惯性系中的观察者所观测到的真空中的光速都是相等的。 2．相对论时空观的“两个效应”的理解 (1)时间延缓效应的理解 日常生活中的时间延缓效应可以忽略，但在运动速度接近光速时，时间延缓效应则变得特别重要。 (2)长度收缩效应的理解 ①在垂直于运动方向不发生长度收缩效应现象。 ②我们平常观察不到长度收缩效应，是因为我们生活在比光速低得多的低速世界里，长度收缩效应极不明显。 【例5】（26-27高二上·四川资阳·开学考试）下列说法正确的是（     ） A．牛顿提出的经典力学体系只适用于宏观、低速、弱引力场的情形 B．用起重机拉着物体匀速上升，物体的机械能守恒 C．做匀速圆周运动的物体，在任意时间段内，速度变化量都为0 D．惠更斯通过摆球的碰撞实验发现，两小球相碰前后的“运动量”在同一方向的总和保持不变，这里的“运动量”是指物体的动能 【答案】A 【详解】A．经典力学的适用范围为宏观、低速、弱引力场的场景，高速场景需用相对论力学，微观场景需用量子力学，强引力场场景需用广义相对论，故A正确； B．机械能守恒的条件是只有重力或系统内弹力做功，其余力做功代数和为0。起重机拉物体匀速上升时，拉力对物体做正功，物体动能不变、重力势能增加，机械能增大，故B错误； C．匀速圆周运动的速度为矢量，方向沿切线不断变化，速度变化量 为矢量，例如物体运动半周时速度反向，大小为不为0，并非任意时间段速度变化量都为0，故C错误； D．惠更斯摆球碰撞实验中提到的 “运动量”是动量；碰撞过程动量守恒，而动能在非弹性碰撞中会有损失，不守恒，故D错误。 故选A。 1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）对于经典物理学和相对论的认识，下列说法正确的是（     ） A．经典物理学建立在实验的基础上，它的结论又受到无数次实验的检验，因此在任何情况下都适用 B．相对论给出了物体在低速运动时所遵循的规律 C．相对论的出现使经典物理学在自己的适用范围内不再继续发挥作用 D．相对论具有普遍性，经典物理学是它在低速运动时的特例 【答案】D 【详解】A．经典物理学仅适用于宏观、低速、弱引力的场景，并非在任何情况下都适用，故A错误； B．相对论给出的是物体高速运动时遵循的规律，低速运动场景下经典物理学已足够适用，故B错误； C．经典物理学在自身适用的宏观低速场景下计算简洁、结论准确，依然会继续发挥作用，故C错误； D．相对论适用范围更广、具有普遍性，当物体运动速度远小于光速时，相对论的推导结果与经典物理学结论完全吻合，经典物理学是相对论在低速运动时的特例，故D正确。 故选D。 2．（24-25高一下·全国·课后作业）A、B、C是三个完全相同的时钟，A放在地面上，B、C分别放在两个火箭上，两个火箭以速度和朝同一方向飞行，。在地面上的人看来，关于时钟快慢的说法正确的是（     ） A．B钟最快，C钟最慢 B．A钟最快，C钟最慢 C．C钟最快，B钟最慢 D．A钟最快，B钟最慢 【答案】D 【详解】根据相对论物理学的时间延缓效应 可知速度越大，钟走得越慢， 故选D。 3．（25-26高一下·江西九江·期中）在地面上有一铁轨长1000米，一列车从起点到终点用了50秒，现从以的速率沿铁轨方向向前匀速飞行的飞船中观察（时间延缓公式：，长度收缩公式： (1)铁轨有多长？ (2)列车从起点到终点所用时间为多少？ 【答案】(1)800m (2)62.5s 【详解】（1）由长度收缩公式，可知从以的速率沿铁轨方向向前匀速飞行的飞船中观察铁轨的长度 （2）由时间延缓公式，可知从以的速率沿铁轨方向向前匀速飞行的飞船中观察列车从起点到终点所用时间为 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 万有引力定律及应用 考点一遍过 考点1 开普勒定律 1 考点2 万有引力定律 5 考点3 天体质量和密度的计算 10 考点4 宇宙速度 14 考点5 相对论时空观与牛顿力学的局限性 19 考点1 开普勒定律 考点一遍过 一、开普勒三大定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时k是一个与中心天体有关的常量。 【重点突破】 1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 2．由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 【例1】（26-27高三上·甘肃·阶段检测）2026年8月25日11时21分，长征六号丙遥一运载火箭在太原卫星发射中心发射升空，将中科卫星14星等7颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务取得圆满成功。某卫星发射变轨过程的示意图如图所示，卫星先进入近地圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，再经椭圆轨道Ⅱ变轨，最终进入圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动。已知、两点分别是椭圆轨道Ⅱ的近地点和远地点，卫星沿椭圆轨道从点运动到点所用的最短时间为，地球的半径为，地球表面的重力加速度为，则（　　） A．卫星在轨道Ⅰ上的点减速可由轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ B．卫星在轨道Ⅰ的线速度小于卫星在轨道Ⅱ上点的线速度 C．卫星在轨道Ⅲ上运行的周期大于 D．圆轨道Ⅲ的半径为 1．（26-27高二上·甘肃武威·阶段检测）天王星是太阳系由内向外的第七颗行星。已知天王星质量约为地球质量的14.5倍，天王星的直径约为地球直径的4倍，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的19倍。则天王星表面与地球表面的重力加速度大小之比和天王星与地球公转周期之比分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）如图所示，天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备，虚线所夹阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星中心的连线单位时间扫过的面积。下列说法正确的是（     ） A．图中两阴影部分的面积相等 B．探测器在调相轨道上运行经过点时的加速度小于在停泊轨道上运行经过点时的加速度 C．探测器从点到的时间和从点到的时间相等 D．从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器的机械能变小 3．（26-27高三上·河南·阶段检测）已知某卫星绕地球做椭圆运动，观测到其近地点到地心的距离为，其在远地点的速度大小只有近地点速度大小的一半。地面附近的重力加速度大小为，地球半径为，忽略地球自转，则该卫星的运动周期为（     ） A． B． C． D． 考点2 万有引力定律 考点一遍过 1.万有引力定律 (1)内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。即F＝G，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定。 (2)适用条件 ①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝G，得g＝。 (2)地球上空的重力加速度大小g' 地球上空距离地球中心r＝R＋h处由mg'＝，得g'＝。 3．万有引力与重力的关系 (1)地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (2)万有引力与重力的定量关系： ①在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 ②在两极上：G＝mg0。 ③由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G＝mg。 4．不同位置处重力加速度的比较 地面 地下 天上 两极 (或不计自转) 赤道 g＝G＝G(R－h) g＝G＝G g＝G g＝G－Rω 【重点突破】 万有引力的“两个推论” 　推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论 2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F＝G。 【例2】（山西部分校2026-2027学年高三上学期10月学情调研物理试题）在2026深空探测国际会议上，我国正式启动国际地月立方星座大科学计划，立体组网开展月球资源勘探等工作。已知月球的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在月球表面与在地球表面受到的引力的比值约为（     ） A． B． C． D． 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体引力为0。P、Q两个星球的质量分布均匀且自转角速度相同，两星球某位置的重力加速度大小随该位置到星球中心的距离r变化的图像如图所示，关于P、Q星球，下列说法正确的是（     ） A．P、Q两个星球质量之比为 B．Q星球的密度大于P星球的密度 C．P、Q两个星球的第一宇宙速度大小之比为 D．P、Q两个星球的同步卫星距星球表面的高度之比为 2．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）“卫星巡田”让农业生产焕发新活力。卫星绕两极在距地面h=0.44R高度的圆轨道上运行，监测的农田南北长为L=25km，地球的半径R=6400km。忽略地球自转，地球表面重力加速度g取10m/s2，π取3.14，（结果均保留两位有效数字）。求： (1)该卫星的运行速度大小v； (2)该卫星通过农田正上方的时间t； (3)若考虑地球自转周期为T0=24h，只改变卫星的圆轨道高度，要求卫星在每天同一时刻经过该农田上空，则该卫星的最小运行周期为多少小时。 3．（24-25高三·全国·一轮复习）已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，忽略地球的自转，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为（     ） A． B．（）2 C． D． 考点3 天体质量和密度的计算 考点一遍过 1.利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg，得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝。 2.利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G＝mr，得M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 3．天体质量和密度的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 质 量 的 计 算 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ 密 度 的 计 算 利用运行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝G M＝ρ·πR3 ρ＝ 【重点突破】 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有G＝mg。 【例3】（26-27高三上·河南平顶山·阶段检测）（多选）假如航天员乘坐宇宙飞船到达某行星，他在该行星表面附近水平抛出一个小球，经过时间t小球落地。已知小球平抛运动的位移为L，与水平面的夹角为，行星半径为R，引力常量为G。根据这些信息，可以求出（     ） A．该行星表面的重力加速度大小为 B．该行星的第一宇宙速度为 C．该行星的质量为 D．该行星的平均密度为 1．（26-27高三·全国·一轮复习）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面的重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·模拟预测）2026年8月5日，我国成功将东方慧眼高光谱01、02星发射升空，进入预定圆轨道稳定运行。若东方慧眼高光谱01星在时间内通过的弧长为，该弧长对应的圆心角为（弧度）。已知引力常量为，据此可推得地球的质量为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）（多选）若在火星上将一小球以大小为的速度竖直向上抛出，经时间小球落回原处，已知火星的半径为，引力常量为，不考虑火星的自转，不计空气阻力，则下列说法正确的是（     ） A．火星的质量为 B．火星的平均密度为 C．火星的第一宇宙速度为 D．环绕火星表面运行的卫星的周期为 考点4 宇宙速度 考点一遍过 1．第一宇宙速度 (1)第一宇宙速度又叫_环绕__速度，其数值为_7.9__km/s。 (2)第一宇宙速度是人造卫星在_地球表面__附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。 (3)第一宇宙速度是人造卫星的最小_发射__速度，也是人造卫星的最大_环绕__速度。 2．第二宇宙速度(脱离速度) 使物体挣脱_地球__引力束缚的最小发射速度，其数值为_11.2__km/s。 3．第三宇宙速度(逃逸速度) 使物体挣脱_太阳__引力束缚的最小发射速度，其数值为_16.7__km/s。 【重点突破】 宇宙速度与运动轨迹的关系 1.v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。 2.7.9 km/s<v发<11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 3.11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。 4.v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 【例4】（26-27高三上·河南平顶山·阶段检测）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船成功发射。飞船入轨后，采用自主快速交会对接技术，成功与空间站天和核心舱径向端口对接，形成了三舱三船组合体。飞船发射后经过变轨成功进入轨道Ⅲ的圆轨道，轨道Ⅱ是椭圆轨道，轨道Ⅰ是近地圆轨道，如图所示。若卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ上的点和轨道Ⅱ、Ⅲ上的点运行的线速度大小分别为、、、。下列说法正确的是（     ） A．神舟二十三号飞船在轨道Ⅱ上各点的速度均小于 B．神舟二十三号飞船在三个轨道上的周期大小关系为 C．神舟二十三号飞船在轨道Ⅱ上经过点的加速度小于在轨道Ⅲ上经过点的加速度 D．卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ上的点和轨道Ⅱ、Ⅲ上的点运行的线速度大小关系为 1．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）如图所示，地球绕太阳的运动可看为匀速圆周运动。已知地球质量为，地球的轨道半径为，公转周期为，太阳质量为，引力常量为。下列说法正确的是（     ） A．根据以上信息，可以计算出地球表面的重力加速度 B．根据以上信息，可以计算出地球的第一宇宙速度 C．根据以上信息，可以计算出太阳的密度 D．对应物理量的单位与动能的单位相同 2．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中，牛顿设想：如图所示，把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落地点也一次比一次远；抛出速度足够大时，物体就不会落回地面，成为人造地球卫星。已知地球质量为，半径为，自转周期为，抛出点位于赤道上海拔高处，引力常量为，不考虑空气阻力。以地心为参考系，求： (1)物体抛出前的线速度大小； (2)物体抛出后恰好能在该高度环绕地球做匀速圆周运动的线速度大小，并通过计算说明与地球第一宇宙速度的大小关系。 3．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）地球可近似认为是质量均匀分布的球体，忽略地球自转，重力加速度g随物体到地心的距离r变化关系如图所示。 将g-r曲线与横轴包围的面积，分割成三个部分：①O-R部分的阴影面积；②R-2R部分的阴影面积；③2R~∞部分的阴影面积。已知三部分阴影面积均相等，地球质量为M，半径为R，万有引力常量G。不计空气阻力，不考虑其它星球引力的影响，结果用题目中的已知量表示。求： (1)图中的大小； (2)若将物体从处自由释放，请运用动能定理，并借助本题图像，求物体到达地球表面时的速率； (3)地球的第二宇宙速度大小。 考点5 相对论时空观与牛顿力学的局限性 考点一遍过 1．相对论时空观 (1)爱因斯坦的两个假设：①在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是_相同__的。 ②真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是_相同__的。 (2)爱因斯坦假设的结果 ①时间延缓效应 如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝。△t＝ ②长度收缩效应 如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝l0。 2．牛顿力学的成就与局限性 牛顿力学适用于宏观物体，低速运动。 【重点突破】 1．对光速不变原理的理解 不管光源与观察者的相对运动如何，在任一惯性系中的观察者所观测到的真空中的光速都是相等的。 2．相对论时空观的“两个效应”的理解 (1)时间延缓效应的理解 日常生活中的时间延缓效应可以忽略，但在运动速度接近光速时，时间延缓效应则变得特别重要。 (2)长度收缩效应的理解 ①在垂直于运动方向不发生长度收缩效应现象。 ②我们平常观察不到长度收缩效应，是因为我们生活在比光速低得多的低速世界里，长度收缩效应极不明显。 【例5】（26-27高二上·四川资阳·开学考试）下列说法正确的是（     ） A．牛顿提出的经典力学体系只适用于宏观、低速、弱引力场的情形 B．用起重机拉着物体匀速上升，物体的机械能守恒 C．做匀速圆周运动的物体，在任意时间段内，速度变化量都为0 D．惠更斯通过摆球的碰撞实验发现，两小球相碰前后的“运动量”在同一方向的总和保持不变，这里的“运动量”是指物体的动能 1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）对于经典物理学和相对论的认识，下列说法正确的是（     ） A．经典物理学建立在实验的基础上，它的结论又受到无数次实验的检验，因此在任何情况下都适用 B．相对论给出了物体在低速运动时所遵循的规律 C．相对论的出现使经典物理学在自己的适用范围内不再继续发挥作用 D．相对论具有普遍性，经典物理学是它在低速运动时的特例 2．（24-25高一下·全国·课后作业）A、B、C是三个完全相同的时钟，A放在地面上，B、C分别放在两个火箭上，两个火箭以速度和朝同一方向飞行，。在地面上的人看来，关于时钟快慢的说法正确的是（     ） A．B钟最快，C钟最慢 B．A钟最快，C钟最慢 C．C钟最快，B钟最慢 D．A钟最快，B钟最慢 3．（25-26高一下·江西九江·期中）在地面上有一铁轨长1000米，一列车从起点到终点用了50秒，现从以的速率沿铁轨方向向前匀速飞行的飞船中观察（时间延缓公式：，长度收缩公式： (1)铁轨有多长？ (2)列车从起点到终点所用时间为多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $