精品解析：北京教育学院附属丰台实验学校2027届高三年级上学期数学阶段性测试试题（二）

北京教育学院附属丰台实验学校 2027届高三数学学科阶段性测试（二） 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A，再求两集合的交集即可 【详解】解：由，得， 所以， 因为， 所以， 故选：C 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法计算方法，求解. 【详解】已知,则. 故选:A. 3. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式直接判断单调性. 【详解】A选项：函数的定义域为，且在上单调递增，A选项错误； B选项：函数的定义域为，且在上单调递减，B选项正确； C选项：函数的定义域为，且在上单调递增，C选项错误； D选项：函数的定义域为，且在上单调递增，D选项错误； 故选：B. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定的取值范围即可得出结论. 【详解】根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即； 由三角函数单调性可知； 利用指数函数为单调递增可得； 所以. 故选：C 5. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， ，可以看出AB选项错误； ，故C正确，D错误. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，再结合余弦公式化简即可求解. 【详解】若，则， ， 所以“”是“”的充分条件； 若，则，即或， 当时，，不一定满足， 所以“”不是“”的必要条件； 综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故A正确. 7. 将函数的图象向右平移个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移个单位所得函数图象关于轴对称，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到函数关于原点对称，函数的图象关于轴对称，得到和，进而求得 ，结合，即可求解. 【详解】由函数的图象向右平移个单位，可得， 又由函数的图象向左平移个单位，可得， 因为函数关于原点对称，可得， 解得，即 又因为的图象关于轴对称，可得， 解得， 则，即， 因为，可得. 故选：D. 8. 已知是公差为的等差数列，集合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理求解. 【详解】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为，而， 即最多3个不同取值，又 ， 则在中，或 或. 于是有或， 即有，解得； 或者 ，解得； 所以 或. 9. 设，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，得，由，可得，再构造函数，利用导数求的取值范围即可. 【详解】设，由得. 由，得，则. 由，得. 由，得，所以，则. 而， 设，则. 令，得或. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以，又， 所以，即的取值范围为. 10. 某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务.现有三项任务，，，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：）依次为，，，其中.一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比.下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特例可得正确的选项. 【详解】假设. 顺序A的三项任务相对等待时间之和为 顺序B的三项任务相对等待时间之和为 顺序C的三项任务相对等待时间之和为 顺序D的三项任务相对等待时间之和为 故选：A. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】由解析式有意义列不等式组，求其解集可得函数的定义域. 【详解】因为有意义， 所以，所以且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12. 若，且，则_____，的最大值为_______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【详解】由，可得， ， 故的最大值为. 13. 我国在机器人技术领域取得了一系列重要成就．在处理机器人语音信号时，常用公式（其中常数）将声音频率（单位：）转换为．若的取值范围是，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，则，解得， 所以f的取值范围为. 14. 已知等比数列的公比为，且（），则满足条件的一个的取值为______． 【答案】（答案不唯一，满足即可) 【解析】 【分析】利用等比数列列出关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】由（），得. 显然，即. 所以，解得. 15. 已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性概念判断A，根据导函数值域判断B，利用特例法排除选项C，利用指数运算及指数函数的单调性结合不等式的性质即可判断D. 【详解】对于A，易知，， 所以，所以，错误； 对于B，因为，所以， 由知，错误； 对于C，，， 虽然，但是， 故对，不恒成立，错误； 对于D，函数， 则，， 因为，所以，所以， 所以，所以， 即，所以， 所以， 又， 所以， 所以， 即， 所以，正确. 故选：D 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）单调递增区间是和，单调递减区间是 （2）最大值为，最小值为． 【解析】 【小问1详解】 函数的定义域为R， 则， 因为恒成立，令，得或， 与的变化情况如下表： x ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 【小问2详解】 由（1）知在单调递增，单调递减，单调递增， 而，＝，，， 所以函数在区间[－2，4]上的最大值为，最小值为. 17. 已知函数． 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值． 条件①：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为； 条件②：； 条件③：函数在区间上具有单调性，且. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）选择条件①或③，的值为 （2）在区间上的最大值为，最小值 【解析】 【分析】（1）先化简函数，再根据所选条件确定的值，进而求出的值. （2）先求出的范围，再根据三角函数的性质求出给定区间上的最值. 【小问1详解】 选条件①：根据题意，解得，即，因为，所以， 则，． 选条件②：由，可得， 因为正弦函数的值域为，而，所以此条件下函数不存在. 选条件③：因为函数在单调，且， 所以，解得，即，因为，所以， 则，． 【小问2详解】 据题意，，， 当，即时，，所以的最大值为． 当，即时，，所以的最小值为. 18. 已知数列满足，，数列满足，且是公差为2的等差数列． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求的前n项和． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用等差数列以及等比数列的通项公式，转化求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）利用分组求和法求{bn}的前n项和Sn即可． 【详解】解：（Ⅰ）由，，是首项为，公比为的等比数列.所以． 因为，所以是首项为，公差为的等差数列． 可得．所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，． 数列的前项和为 . 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的应用，考查分组求和法，是基本知识的考查． 19. 某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内） （1）求两点之间的距离； （2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由． 【答案】（1） （2）直线与直线不垂直，理由如下： 在三角形中，由余弦定理得， ， 在三角形中，由正弦定理得， ， 直线与直线不垂直，理由如下： , 所以直线与直线不垂直. 【解析】 【分析】（1）先求得，利用余弦定理求得. （2）先求得，然后根据向量法进行判断. 【小问1详解】 依题意，，，， 所以， ，所以， 在三角形中，由正弦定理得， 在三角形中，由余弦定理得. 【小问2详解】 略 20. 已知：函数与在处具有公共切线 （1）求和的值； （2）求曲线与曲线的公共点坐标； （3）若对恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）公共切线问题的核心是“切点处函数值相等、导数值相等”，据此列方程组即可直接求解参数； （2）研究两曲线公共点，可构造两函数的差函数，通过导数判断单调性，结合零点确定公共点个数与坐标； （3）恒成立求参数最值，可转化为函数恒正/恒负问题，通过分类讨论加上二阶导数分析单调性，验证参数边界的可行性. 【小问1详解】 由，，得，， 两函数在处有公共切线，需同时满足且，得 且，解得； 【小问2详解】 由(1)得，，构造差函数，两曲线的公共点对应的解， ， 由基本不等式得，当且仅当时取等号； 因此，当且仅当时等号同时成立， 故在R上单调递增，又， 因此是的唯一零点，即两曲线的公共点坐标为. 【小问3详解】 当时，，不等式等价于， 令，，则. 当时，由(2)知在恒成立， 因此，满足恒成立条件. 当时，令，，则. 当时，和均单调递增，故单调递增， 因此，即在上单调递增，又， ，故存在唯一，使得，即， 当时，，单调递减，因此， 即，不满足恒成立条件， 综上，的最大值为. 21. 已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P； ①； ②对任意的、，与至少有一个是数列中的项． （1）分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由； （2）若数列具有性质，求证：； （3）若数列具有性质，且不是等比数列，求的值． 【答案】（1）数列、、、不具有性质，数列、、、不具有性质，理由见解析 （2） 证明：因为， 因为，则为数列中的项，所以，， 设且，因为，则不是数列中的项， 所以，为数列中的项， 因为， 所以，，，，， 上述等式全部相乘可得，因此，. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中定义判断即可得出结论； （2）推导出，设且，分析可知为数列中的项，根据不等式的性质可得出，可得出，，，，利用累乘法可证得结论成立； （3）分析可知当时，、、成等比数列；根据（1）可知满足题意；讨论当时，由（2）可知，，当时，根据题中定义以及不等式的性质推导出，结合等比数列的定义可知不成立，从而可得出的值. 【小问1详解】 解：对于数列、、、，因为，， 所以，数列、、、不具有性质； 对于数列、、、，当时，，， 所以，数列、、、不具有性质. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，由（2）可知， 由题意可得，这与数列是等比数列矛盾； 当时，由（1）可知，数列、、、具有性质； 当时，由（2）可知，，① 当时，，所以，不是数列中的项， 因为，， 所以，，，，，所以，， 因为，所以，，， 所以，，，所以，，② 由①②可得，这与数列不是等比数列矛盾，不合题意. 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题的关键在于根据题中的定义结合不等式的性质进行推导，在求解第3问时，要充分利用题中定义结合不等式的基本性质进行推导，进而求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京教育学院附属丰台实验学校 2027届高三数学学科阶段性测试（二） 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 将函数的图象向右平移个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移个单位所得函数图象关于轴对称，其中，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是公差为的等差数列，集合，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 设，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务.现有三项任务，，，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：）依次为，，，其中.一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比.下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为__________. 12. 若，且，则_____，的最大值为_______． 13. 我国在机器人技术领域取得了一系列重要成就．在处理机器人语音信号时，常用公式（其中常数）将声音频率（单位：）转换为．若的取值范围是，则的取值范围是________． 14. 已知等比数列的公比为，且（），则满足条件的一个的取值为______． 15. 已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 17. 已知函数． 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值． 条件①：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为； 条件②：； 条件③：函数在区间上具有单调性，且. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 已知数列满足，，数列满足，且是公差为2的等差数列． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求的前n项和． 19. 某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内） （1）求两点之间的距离； （2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由． 20. 已知：函数与在处具有公共切线 （1）求和的值； （2）求曲线与曲线的公共点坐标； （3）若对恒成立，求的最大值． 21. 已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P； ①； ②对任意的、，与至少有一个是数列中的项． （1）分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由； （2）若数列具有性质，求证：； （3）若数列具有性质，且不是等比数列，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $