精品解析：北京市第十五中学2026-2027学年高三上学期10月阶段性测试数学试题

北京十五中 高三年级阶段测试试卷 数学 2026.10 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 2. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】复数，，则, 故. 3. 在平行四边形中，为的中点．记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 可知. 4. 等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入等差数列的通项公式，结合等比数列的性质，求公差，最后代入等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，，前项和为， 则，，， 由条件可知，，即， 整理为，得或（舍）， 则前6项的和. 5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为R，，所以函数为偶函数，所以A错误； 函数是奇函数，在上单调递减，在上单调递增，所以B错误； 函数的定义域为R，因为， 所以函数为奇函数，又为减函数，为增函数，所以函数为减函数，所以C错误； 由，得，即，所以， 所以函数的定义域为， 函数在上单调递增，函数是增函数，所以函数是增函数. 又，所以函数是奇函数，所以D正确. 6. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A. B. 1 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】建立坐标系，依次求得，，借助向量数量积的坐标运算法则计算即可得. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系.由图可知，, ， 故. 故选：A. 7. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，由正弦定理可得. ，，故 . 又，，C正确. 8. 已知函数，，那么“”是“在上是增函数”的（    ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义结合正弦函数的单调性可得答案. 【详解】当，， 单调递增. 则当时，是增函数, 当时, 在单调递增， 可得在上是增函数； 当时, 在单调递增， 可得在上是增函数； 反之，当在上是增函数时，由， 可知，此时，即不成立. 所以“”是“在上是增函数”的充分而不必要条件. 故选：A. 9. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的函数模型，代入列式，利用指数运算化简得答案. 【详解】依题意，，则， 由、，得， 所以. 故选：A 10. 已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知当时，，当时，，进而分，，三种情况，数形结合求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以，当，即，作出函数的图象，如图， 显然，当，都有，且， 所以, 当，即时，作出函数的图象，如图， 当，都有，且 所以， 当，即时，作出函数的图象，如图， 当时，则需满足，即，解得， 所以， 综上，，即的取值范围为. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在中，若，，，则__________． 【答案】2 【解析】 【详解】根据余弦定理， 得， 化简得，， 即， 因为，所以， 解得. 12. 已知向量满足，，且()，则__． 【答案】 【解析】 【分析】 根据可得与共线，再根据模长关系求解即可. 【详解】因为，故，故与共线且. 又，，所以． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量坐标与模长的运用.属于基础题. 13. 设，其中．当时，____；当时，的一个取值为____． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】将代入计算可得，利用两点间距离公式可知；由即可得，化简整理可得，即可写出一个合适的值. 【详解】根据题意可得当时，可得， 所以； 当时，即， 整理可得，即， 可得，所以的一个取值为. 故答案为：, 14. 已知数列是首项为16，公比为的等比数列，是公差为2的等差数列.若集合中恰有3个元素，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得,,且，从而得，代入求解即可. 【详解】由题意可得,, 又因为集合中恰有3个元素， 即只有3个解， 因为单调递减，单调递增， 所以， 所以，即，解得，即的范围为. 故答案为： 15. 已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】②④ 【解析】 【分析】取可判断①，取化简后可判断②，先化简，取可判断③，取可判断④. 【详解】对于①，当时，其最大值为1，最小值为0，的最大值与最小值的差为1，故①错误； 对于②，当时，，，因此对任意，，故②正确； 对于③，，，当时，故③错误； 对于④，当时，取，，使得对任意，都有，故正确. 故答案为：②④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的值； （2）若在区间上是单调函数，且对任意的，都有成立．求当在区间上有且仅有一个零点时，实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简的解析式，即可求解； （2）判断当时，取到最大值，由此可求得，结合在区间上是单调函数，求出，即可求出，继而结合在区间上有且仅有一个零点列不等式即可求解. 【小问1详解】 ， 故； 【小问2详解】 对任意的，都有成立，即得当时，取到最大值， 则，则， 又在区间上是单调函数，则，则， 结合，，可得，故， 令，则， 则时的值依次为， 当在区间上有且仅有一个零点时，有. 17. 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. （1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率； （2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值 【解析】 【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率; （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求. （ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解. 【小问1详解】 设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. 【小问2详解】 （ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 18. 在中，． （1）求； （2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选②或③， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果； （2）条件①，由，角可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转边，再结合条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果； 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，， 又，所以，得到， 又，所以， 又，所以，得到， 所以. 【小问2详解】 选条件①： 由（1）知，，根据正弦定理知，，即， 所以角有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件. 选条件②： 因为，所以， 又，得到，代入，得到，解得，所以， 由余弦定理得，， 所以. 选条件③： 因为，所以， 由，得到， 又，由(1)知， 所以 又由正弦定理得，，得到， 代入，得到，解得，所以， 由余弦定理得，， 所以. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）求导，再分类讨论，根据导数的符号即可求出函数的单调区间； （3）当时，不等式恒成立，只需即可，结合（2）求出函数的最小值即可得解. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 ， 当时，， 令，则，令，则， 所以函数的增区间为，减区间为； 当时，， 令，则或， 当且，即时，， 所以函数的增区间为，无减区间； 当且，即时， 令，则或，令，则， 所以函数的增区间为，减区间为； 当且，即时， 令，则或，令，则， 所以函数的增区间为，减区间为， 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为； 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 只需即可， 由（2）得，当时，函数在上单调递减， 而，与题意矛盾，故； 当时，函数在上单调递增， 所以，所以符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，与题意矛盾； 当时，函数在上单调递增， 所以，所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 20. 已知函数，其中． （1）若在处取得极小值，求的值； （2）当时，求在区间上的最大值； （3）证明：有且只有一个极值点． 【答案】（1） （2） （3） 由， 当时，，由二次函数的单调性可得： 在上单调递减，在上单调递增， 所以恰有一个极值点； 当时，设， 则． 因为，且， 所以，即在上单调递增． 因为，， 所以存在，使， 根据在上单调递增， 可知当时，，所以在上单调递减， 可知当时，，所以在上单调递增， 即恰有一个极值点． 综上所述，当时，有且只有一个极值点． 【解析】 【分析】（1）利用可导函数的极小值点是导数值为0的充分不必要条件来解题需要检验； （2）一阶导函数不能够判断正负，需要借助二阶导函数来进一步研究一阶导函数的取值恒为正，从而来判断原函数在区间是单调递增的，即可得到最大值； （3）一阶导函数看不出零点及取值的正负，但可以对参数分两类讨论，当时，是二次函数易得证，当，则需要二阶导函数，此时联想到不等式可证，则可判断，从而得到的单调性，然后判断函数零点的存在性，问题即可得证. 【小问1详解】 由， 因为在处取得极小值,所以， 即，解得， 检验：当时，，由二次函数的性质可得： 在上单调递减，在上单调递增，满足题意， 所以． 【小问2详解】 当时，，． 令，则， 因为，所以， 即在区间上单调递增， 所以，即， 所以在区间上单调递增，即的最大值为． 【小问3详解】 略 21. 如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且满足与均是公差不为的等差数列． … … … … 若根据条件，能求出数表中所有的数，则称能被确定． （1）已知，分别根据下列条件，直接判断数表能否被其确定： 条件“已知”； 条件“已知”． （2）设条件“任意给定数表中的个数”，能被确定，证明：的最小值为； （3）设条件“已知集合或其中中的任意个元素”，求的最小值，使得能被确定． 【答案】（1）数表不能被确定，数表能被确定 （2） 对于一个公差为的等差数列，若知其中两项与， 便可根据，求出该等差数列中的每一项． 故对于数表中的任意一行（或列），若知道其中的两个数，便可利用条件得到该行（或列）中的所有数． 一方面，若知这个数，则无法求出，故不能得出数表中所有的数， 所以． 另一方面，若知数表中的任意个数，则必存在表中的两行，且这两行中至少有两个数已知， 于是数表中这两行的数都能被求出，即数表中每一列都至少有两个数已知， 所以数表中所有的数都能求出，即能被确定． 综上，的最小值为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中定义直接判断即可； （2）对于一个公差为的等差数列，若知其中两项与，便可根据，求出该等差数列中的每一项．分析可知，数表中每一列都至少有两个数已知，由此可得出的最小值； （3）先讨论，结合（1）中的结论可判断不成立，再讨论，通过等差数列的定义进行逻辑推理，可推断出数表能被确定，由此可得出的最小值. 【小问1详解】 数表不能被确定；数表能被确定． 对于条件，假设数表中每行、每列的公差都相等，均为， 则，，， 则， 、均无法确定，故数表不能被确定； 对于条件，因为、确定，可以根据确定，则第二行可以全部确定， 对于第二列，由于确定，结合可确定第二列的公差，进而可求出，则第二列可以全部确定， 对于第三行，由于确定了，结合可求出第三行的公差，由此可确定，则第三行可以全部确定， 对于第一列，由于确定了、，可以求出第一列的公差，由此可确定，则第一列可以全部确定， 综上所述，数表可由条件确定. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，若知中的个数，则不能求出中所有的数． 当时，已知与中的任意个数， 则必存在两个数在中位于同一行（记为第行），从而可求出这一行中的所有数． 因为与中至多有两个数在同一行， 所以除去第行的两个数外，余下已知的个数必在其余的行中． 当时，通过列举可知：余下已知的2个数不在同一列中（所在列分别记为第列和第列）； 当时，， 因为在与中至多有两个数在同一列， 所以至少有两列（记为第列和第列）中含有这已知的数中的数． 又因为第行的数均已得到， 所以在第列与第列中均至少知道两个数，故这两列中所有的数都可求出， 于是数表中每一行至少有两个数均已得到，从而可求出数表中所有的数． 综上，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十五中 高三年级阶段测试试卷 数学 2026.10 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，为的中点．记，，则（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A. B. 1 C. D. 7 7. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，那么“”是“在上是增函数”的（    ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在中，若，，，则__________． 12. 已知向量满足，，且()，则__． 13. 设，其中．当时，____；当时，的一个取值为____． 14. 已知数列是首项为16，公比为的等比数列，是公差为2的等差数列.若集合中恰有3个元素，则的取值范围为________. 15. 已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的值； （2）若在区间上是单调函数，且对任意的，都有成立．求当在区间上有且仅有一个零点时，实数的取值范围． 17. 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. （1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率； （2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 18. 在中，． （1）求； （2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 20. 已知函数，其中． （1）若在处取得极小值，求的值； （2）当时，求在区间上的最大值； （3）证明：有且只有一个极值点． 21. 如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且满足与均是公差不为的等差数列． … … … … 若根据条件，能求出数表中所有的数，则称能被确定． （1）已知，分别根据下列条件，直接判断数表能否被其确定： 条件“已知”； 条件“已知”． （2）设条件“任意给定数表中的个数”，能被确定，证明：的最小值为； （3）设条件“已知集合或其中中的任意个元素”，求的最小值，使得能被确定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $