第17讲 抛体运动 讲义-2027届高三物理一轮复习

第17讲 抛体运动 考点一遍过 考点1 平抛运动 1 考点2 平抛运动的临界和极值问题 5 考点3 有约束条件的平抛运动模型 10 考点4 斜抛运动 16 考点5 类平抛运动 20 考点1 平抛运动 考点一遍过 1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。 2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3.研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动。 4.规律 (1)基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。 (2)平抛运动物体的速度变化量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。 (3)两个推论 ①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 ②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。 【例1】（25-26高一上·辽宁大连·期末）如图甲，投壶是古代“六艺”之一。如图乙，A、B两位投者在同一高度的不同位置、沿水平方向各射出一支完全相同的箭，箭都插入壶中。忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响，则两支箭（     ） A．在空中运动时间不相同 B．在空中运动的加速度不同 C．射出时的初速度相同 D．插入壶中瞬间竖直分速度相同 1．（26-27高三上·广东中山·阶段检测）如图甲所示为农场扬场机分离谷物示意图。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。不计空气阻力，假设谷粒1和谷粒2的质量相等，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（     ） A．谷粒1的速度变化率较大 B．谷粒1和谷粒2从O到P的运动时间相等 C．谷粒1和谷粒2从O到P的动能变化量相等 D．谷粒1和谷粒2在P点时重力的瞬时功率相等 2．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）在一次训练中，滑雪运动员（可视为质点）以某一水平速度从点沿着圆轨道加速下滑，至点脱离轨道，最终落在地面上的点，如图所示。其中段为光滑圆轨道（圆心为），不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在点时，该运动员所受支持力等于重力 B．从点到点的过程中，运动员做平抛运动 C．从点到点的过程中，运动员的速率变化快慢不变 D．从点到点的过程中，运动员对轨道的压力逐渐减小 3．（25-26高三下·甘肃嘉峪关·阶段检测）如图所示，某运动员正对竖直墙练习足球时，在、两点分别将足球踢出，两次足球均垂直打在墙壁上的点，不计空气阻力。则足球从被踢出到打在点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．两次足球到达点时速度相等 B．足球从到的运动时间较长 C．从处踢出的足球初速度与水平方向夹角较大 D．从处踢出的足球速度变化的和处的足球一样快 考点2 平抛运动的临界和极值问题 考点一遍过 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向。 2．解题技巧 在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 【重点突破】 1．求解平抛运动临界问题的一般思路 (1)确定临界状态，若有必要，画出临界轨迹。 (2)找出临界状态对应的临界条件。 (3)根据平抛运动的规律列方程求解。 【例2】（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）（多选）“刀削面”是一种广受消费者喜爱的面食，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，厨师将小面圈沿锅的某条半径方向水平削出，小面圈距锅的高度，与锅沿的最近水平距离，锅可视为半径的半球壳（不计锅的厚度），水面到锅底的距离。不计一切阻力，小面圈的运动可视为平抛运动，则（     ） A．落入锅中的小面圈速度的变化量均相同 B．落入锅中的小面圈，速度范围为 C．直接落入水中的小面圈，速度范围为 D．直接落入水中的小面圈，速度范围为 1．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）如图所示，球网位于球台的中间位置，球台的左、右边界分别记为MN、PQ，边界MN中点a正上方h处为b点。某次运动员将球从b点垂直于MN水平向右击出，恰好经过网上边沿的c点后落在球台上d点，不计空气阻力。已知网高为，MN、PQ之间的距离为2L，重力加速度为g。以下说法正确的是（　　） A．乒乓球被击出时的初速度大小为 B．球的落点d与击出点b之间的位移为 C．球在落点d处的速度方向与水平方向夹角的正切值为 D．若只限定在b点水平击出，球的初速度只有不大于，才会落在对方台面上 2．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）智能网球发球机可将网球从发球口沿水平面内任意方向以不同大小的速度击出，供运动员进行训练。如图所示，发球机置于网球场左侧底线AB的中点M处，发球口在M点正上方高度为的O点。球网两侧球场ABCF与FCDE为边长相同的正方形，球网高度为。不计空气阻力。则网球直接落在右侧球场中所有可能落点构成图形的形状（图中阴影区域）为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）抛体运动在体育运动中很常见，如网球运动。现讨论网球发球问题，设网球单打场地标准长度为2L，球网高为h，如图所示，不考虑网球的旋转和空气阻力，重力加速度为g。 (1)若网球在球场边缘O点正上方某处以初速度水平发出，刚好落在球网底部处（），求发球点距O点的高度； (2)若网球在球场边缘O点正上方以某一初速度水平发出，恰好越过球网且落在对方场地的边缘处（），求初速度； (3)已知网球落地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。若网球在O点正上方高为2h处以初速度水平发出后，试讨论网球经己方场地反弹后能否越过球网。若不能，说明理由；若能，求落在对方场地的落点到O点的距离。 考点3 有约束条件的平抛运动模型 考点一遍过 1.与斜面结合的抛体运动分解方法 (1)水平方向：匀速直线运动 竖直方向：匀变速直线运动。 (2)沿斜面方向：加速度为gsin θ的匀变速直线运动。(θ为斜面与水平方向的夹角) 垂直斜面方向：加速度为gcos θ的类竖直上抛运动。 (3)斜抛运动：沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动。 2.几种常见情形 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 已知速度 方向垂直 从斜面外平抛，垂直落在斜面上， 如图所示。 分解速度tan θ＝ 从斜面外斜抛，垂直落在斜面上， 如图所示。 分解速度 tan θ＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示。 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度 tan θ＝ 已知位移方向 已知位移 方向沿斜 面向下 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示。 分解位移 tan θ＝ 从斜面上斜抛又落到斜面上，如图所示。 分解位移 tan θ＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示。 已知位移方向垂直斜面　　 分解位移 tan θ＝ 利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知位移大小等于半径R　　 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知水平位移x与半径R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径R的平方　　 【例3】（2026·山东济南·模拟预测）跳台滑雪是冬奥会上极具观赏性的项目。如图所示，某运动员（视为质点）从跳台末端处以水平速度飞出，经过时间恰好落在倾斜的着陆坡的中点。若该运动员从同一位置以的水平速度飞出，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．运动员在空中飞行的时间为 B．运动员在空中飞行的时间为 C．运动员将落在着陆坡底端点 D．运动员将落在着陆坡底端点与跳台之间的位置 1．（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）（多选）如图所示，一架水平匀速飞行的飞机在斜坡上空进行救援演练，某时刻从飞机上释放第一批物资，物资落在A点，释放第一批物资后经过时间释放第二批物资，物资落在B点，释放第二批物资后再经过时间释放第三批物资，物资落在C点。已知第一批和第二批物资落到山坡上的时间间隔为，第二批和第三批物资落到山坡上的时间间隔为，A、B、C三点共线且AB=BC，物资刚离开飞机时的速度与飞机相同，不计空气阻力。则这三批物资（     ） A．在空中速度变化量的方向相同 B．落到山坡上时的速度方向相同 C．落到山坡上的时间间隔 D．从飞机上释放的时间间隔 2．（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）（多选）如图甲所示，一水平平台与水平地面间有一斜面（斜面倾角未知）连接，连接点分别为、。现有一小球（可视为质点）从平台以水平向右、大小不同的初速度抛出，测得在空中飞行的时间与对应的初速度之间的关系图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度取，结合图中相关信息，下列说法正确的是（     ） A．斜面长度 B．平台与地面间的高度差为 C．小球分别以和的速度水平抛出，均落在斜面上不同处，但两小球落到斜面前瞬间的速度方向一定相同 D．小球分别以和的速度水平抛出，均落在地面上不同处，但两小球落到地面前瞬间的速度方向一定相同 3．（25-26高一上·四川成都·期末）如图所示，倾角为37°的固定斜面，在斜面底端正上方的O点将一小球以v0=6m/s的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块，且小球下降的高度是滑块位移的2倍。（小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取） (1)小球平抛运动的时间； (2)滑块与斜面间的动摩擦因数μ。 考点4 斜抛运动 考点一遍过 1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。 2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3.研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动。 4.基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 (1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t，vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt (2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时 ①射高：h＝。 ②斜抛运动的飞行时间：t＝。 ③射程：s＝v0cos θ·t＝， 对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 【重点突破】 逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。 【例4】（26-27高三上·甘肃·阶段检测）（多选）如图所示，在倾角的固定斜坡顶端，将小球甲以初速度大小，与水平方向成角抛出，同时一光滑的小球乙以某初速度沿斜坡向下滑动，两球在斜坡上的点相遇。忽略空气阻力，已知重力加速度为，小球都可看作质点。下列说法正确的是（     ） A．两球相遇前的运动时间为 B．、之间的距离为 C．小球乙的初速度大小为 D．从到小球乙的平均速度大小为 1．（26-27高三上·河南平顶山·阶段检测）如图，某田间安装有一种自动浇水装置，由于出水口的自动调节，水柱可以从水平方向到竖直方向间的任一夹角射出，已知出水口离水平地面的高度为h，水柱从出水口射出和落地的速度大小分别为、，不计空气阻力，重力加速度为g，则自动浇水过程中水柱水平射程的最大值为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）如图甲，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（     ） A．谷粒2在最高点的速度小于 B．从O到P两谷粒的路程相同 C．从O到P两谷粒的运动时间相等 D．从O到P两谷粒的速度变化相同 3．（2026·山东济南·模拟预测）小明同学课间踢毽子，毽子运动轨迹如图实线所示，、、为轨迹上三点，为轨迹最高点。已知两点的连线、两点的连线与水平方向夹角分别为和，毽子从运动到的时间为，不计空气阻力，重力加速度为。 (1)求毽子从运动到的时间； (2)求毽子经过点时的速度大小。 考点5 类平抛运动 考点一遍过 1．受力特点 物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。 2．运动特点 在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。 3．求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。 【例5】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示的光滑固定斜面长为l＝1.6m、宽为b＝1.2m、倾角为θ＝30°，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点P沿水平方向射入，然后沿斜面下滑，最后恰好从底端右侧Q点离开斜面，已知重力加速度g＝10，不计空气阻力，则（　　） A．物块由P运动到Q所用的时间t＝0.6s B．物块由P运动到Q所用的时间t＝0.4s C．物块由P点水平射入时初速度的大小m/s D．物块由P点水平射入时初速度的大小m/s 1．（25-26高三上·山东青岛·期末）（多选）如图，一光滑斜面固定在地面上，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以一定水平速度射出，最后从B处离开斜面，水平方向位移为x，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为一条抛物线 B．小球到达B处时，速度方向与水平方向的夹角的正切值为 C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球的初速度大小为 2．（25-26高一上·山东威海·阶段检测）如图所示，光滑斜面长为 ，宽为b，高为h，水平间距为c ，倾角为 ，OPMN为竖直面，有三个完全相同的小球ABC，从斜面左上方P点同时沿水平方向抛出，重力加速度为g。 (1)小球A沿PM方向水平抛出，平行竖直面OPMN运动，落点恰为N点，求小球A入射初速度v1 (2)小球B沿PM方向水平抛出，从斜面右下方顶点Q离开斜面，求小球B入射初速度v2 及整个过程平均速度 (3)小球C沿与PM方向夹角水平抛出，从斜面右下方顶点Q离开斜面，求小球C在Q点速度 3．（25-26高二上·四川凉山·期中）如图，ABD为竖直平面内的绝缘轨道，其中AB段是长为的粗糙水平面，其动摩擦因数为，BD段为半径的光滑半圆轨道，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，电场强度大小。一质量为m电量为q的绝缘小球A，以某一速度从A点进入水平轨道向右运动，到达B点后与质量电量相同的小球B发生弹性碰撞，碰撞后小球B进入半圆轨道后，恰能通过最高点D点。已知小球的质量为，，g取。（水平轨道足够长，小球可视为质点，整个运动过程无电荷转移） (1)小球恰能通过轨道最高点D时的速度大小； (2)小球从D点飞出后，首次在水平轨道上的落点与B点的水平距离x； (3)小球的初速度大小。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 抛体运动 考点一遍过 考点1 平抛运动 1 考点2 平抛运动的临界和极值问题 5 考点3 有约束条件的平抛运动模型 10 考点4 斜抛运动 16 考点5 类平抛运动 20 考点1 平抛运动 考点一遍过 1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。 2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3.研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动。 4.规律 (1)基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。 (2)平抛运动物体的速度变化量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。 (3)两个推论 ①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 ②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。 【例1】（25-26高一上·辽宁大连·期末）如图甲，投壶是古代“六艺”之一。如图乙，A、B两位投者在同一高度的不同位置、沿水平方向各射出一支完全相同的箭，箭都插入壶中。忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响，则两支箭（     ） A．在空中运动时间不相同 B．在空中运动的加速度不同 C．射出时的初速度相同 D．插入壶中瞬间竖直分速度相同 【答案】D 【详解】A．箭在空中做平抛运动，竖直方向有，解得，h、g相同，则两支箭在空中运动时间相同，故A错误； B．平抛运动的加速度都为重力加速度g，故B错误； C．水平方向有，由于水平位移不同，运动时间相同，则射出时的初速度不同，故C错误； D．根据竖直方向的运动规律可知，相同，则两支箭插入壶中瞬间竖直分速度相同，故D正确。 故选D。 1．（26-27高三上·广东中山·阶段检测）如图甲所示为农场扬场机分离谷物示意图。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。不计空气阻力，假设谷粒1和谷粒2的质量相等，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（     ） A．谷粒1的速度变化率较大 B．谷粒1和谷粒2从O到P的运动时间相等 C．谷粒1和谷粒2从O到P的动能变化量相等 D．谷粒1和谷粒2在P点时重力的瞬时功率相等 【答案】C 【详解】A．速度变化率即为加速度。两谷粒在空中都仅受重力作用，加速度均为，所以速度变化率相同，故A错误； B．设到的竖直高度差为；谷粒竖直方向做自由落体运动，运动时间 谷粒竖直方向先减速上升后加速下降，其下落过程的总高度大于，且多了一段上升耗时，因此运动时间 则，故B错误； C．两谷粒从到的过程中，只有重力做功，且质量和竖直位移均相同，因此重力做功均为，根据动能定理可知动能变化量相等，故C正确； D．重力的瞬时功率为 谷粒在点的竖直分速度为 谷粒在竖直方向先上升后下落，相当于从比点更高的位置由静止下落，因此到达点的竖直分速度大于由同一高度自由落体下落至点的竖直分速度 则，因此两谷粒在点时重力的瞬时功率不相等，故D错误。 故选C。 2．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）在一次训练中，滑雪运动员（可视为质点）以某一水平速度从点沿着圆轨道加速下滑，至点脱离轨道，最终落在地面上的点，如图所示。其中段为光滑圆轨道（圆心为），不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在点时，该运动员所受支持力等于重力 B．从点到点的过程中，运动员做平抛运动 C．从点到点的过程中，运动员的速率变化快慢不变 D．从点到点的过程中，运动员对轨道的压力逐渐减小 【答案】D 【详解】A．M点处运动员做圆周运动，向心力指向圆心（竖直向下），由合力提供向心力： 得 支持力小于重力，故A错误； B．运动员从N点脱离轨道后，仅受重力，但N点的速度方向沿轨道切线方向，是斜向下的，并非水平，因此运动员做斜抛运动，不是平抛运动，故B错误； C．速率变化快慢由切向加速度决定。设与竖直方向夹角为，切向加速度 从M到N，逐渐增大，增大，因此增大，速率变化快慢逐渐变大，故C错误； D．运动员沿圆轨道外侧运动，轨道支持力背离圆心。径向合力提供向心力： 结合动能定理： 整理得： 从M到N，逐渐增大，逐渐减小，因此支持力逐渐减小。根据牛顿第三定律，运动员对轨道的压力等于，也逐渐减小，故D正确。 故选D。 3．（25-26高三下·甘肃嘉峪关·阶段检测）如图所示，某运动员正对竖直墙练习足球时，在、两点分别将足球踢出，两次足球均垂直打在墙壁上的点，不计空气阻力。则足球从被踢出到打在点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．两次足球到达点时速度相等 B．足球从到的运动时间较长 C．从处踢出的足球初速度与水平方向夹角较大 D．从处踢出的足球速度变化的和处的足球一样快 【答案】D 【详解】B．将足球的运动逆向看作平抛运动，足球在点的速度即为平抛运动的初速度（水平速度）。竖直方向上，足球做自由落体运动，满足 解得 由于高度相同，故两次的运动时间相同，由运动的反演可知两次足球到达点用时相等，故B错误； A．水平方向上，足球做匀速直线运动，满足 解得 由于点离墙更远，即 结合运动的反演可知足球从到达点时速度更大，故A错误； C．设足球踢出时初速度与水平方向夹角为，则 由于高度相同，足球从到的水平位移更大，则对应的更小，因此从处踢出的足球初速度与水平方向夹角较小，故C错误； D．足球在空中只受重力作用，加速度均为重力加速度，加速度是描述速度变化快慢的物理量，所以两次足球速度变化一样快，故D正确。 故选D。 考点2 平抛运动的临界和极值问题 考点一遍过 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向。 2．解题技巧 在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 【重点突破】 1．求解平抛运动临界问题的一般思路 (1)确定临界状态，若有必要，画出临界轨迹。 (2)找出临界状态对应的临界条件。 (3)根据平抛运动的规律列方程求解。 【例2】（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）（多选）“刀削面”是一种广受消费者喜爱的面食，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，厨师将小面圈沿锅的某条半径方向水平削出，小面圈距锅的高度，与锅沿的最近水平距离，锅可视为半径的半球壳（不计锅的厚度），水面到锅底的距离。不计一切阻力，小面圈的运动可视为平抛运动，则（     ） A．落入锅中的小面圈速度的变化量均相同 B．落入锅中的小面圈，速度范围为 C．直接落入水中的小面圈，速度范围为 D．直接落入水中的小面圈，速度范围为 【答案】BD 【详解】A．小面圈做平抛运动，速度变化量为 由于小面圈落入锅中的位置不同（如锅沿、内壁、水面），其竖直方向下落的高度也不同 根据可知，下落时间不一定相同，因此速度变化量也不一定相同，故A错误； B．小面圈要落入锅中，水平位移范围为，即 下落高度为，运动时间为 由可解得速度极值为：， 因此落入锅中的小面圈的速度范围为，故B正确； CD．水面距锅底，由几何关系得水面圆半径为     小面圈要直接落入水中，水平位移范围为，即 下落高度变为 则运动时间 因此解得对应速度最值为：， 由于小面圈要落入水中的前提是不能撞在锅的外壁上，则必须先越过左锅沿，由B项可知越过左锅沿的最小速度为，因此直接落入水中的实际最小速度为 综上所述，直接落入水中的小面圈的速度范围为，故C错误，D正确。 故选BD。 1．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）如图所示，球网位于球台的中间位置，球台的左、右边界分别记为MN、PQ，边界MN中点a正上方h处为b点。某次运动员将球从b点垂直于MN水平向右击出，恰好经过网上边沿的c点后落在球台上d点，不计空气阻力。已知网高为，MN、PQ之间的距离为2L，重力加速度为g。以下说法正确的是（　　） A．乒乓球被击出时的初速度大小为 B．球的落点d与击出点b之间的位移为 C．球在落点d处的速度方向与水平方向夹角的正切值为 D．若只限定在b点水平击出，球的初速度只有不大于，才会落在对方台面上 【答案】A 【详解】A．乒乓球做平抛运动，水平方向有 竖直方向有 球恰好经过网上边沿的点，此时竖直位移 水平位移 则下落时间 解得初速度，故A正确； B．球落到台面上点时，竖直位移 下落总时间 此时水平位移 球的落点与击出点之间的位移大小为，故B错误； C．球在落点处竖直方向的分速度 速度方向与水平方向夹角的正切值，故C错误； D．若保持击球高度不变，且垂直击打乒乓球，当球恰好不出界时，则平抛运动的速度为 但若只限定在点水平击出，则水平位移的最大值应该是点与或的连线，大于，因此最大速度应该大于，而平抛运动的最小速度为，故D错误。 故选A。 2．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）智能网球发球机可将网球从发球口沿水平面内任意方向以不同大小的速度击出，供运动员进行训练。如图所示，发球机置于网球场左侧底线AB的中点M处，发球口在M点正上方高度为的O点。球网两侧球场ABCF与FCDE为边长相同的正方形，球网高度为。不计空气阻力。则网球直接落在右侧球场中所有可能落点构成图形的形状（图中阴影区域）为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正方形球场边长为。如图所示，以点为原点，垂直边向右为轴， 平行边为轴。 网球直接落在右侧球场中落点离球网最近的点均恰好过球网。网球做平抛运动，刚过球网时，竖直方向上 水平方向上 网球下落到球场，竖直方向 水平方向上 则 由几何关系可得，临界过网时，网球直接落在右侧球场中落点在轴的坐标有 则各方向射出的网球，网球直接落在右侧球场中的临界过网落点在轴的坐标为 在临界坐标及右侧范围构成的长方形是落点构成图形的形状。 故选A。 3．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）抛体运动在体育运动中很常见，如网球运动。现讨论网球发球问题，设网球单打场地标准长度为2L，球网高为h，如图所示，不考虑网球的旋转和空气阻力，重力加速度为g。 (1)若网球在球场边缘O点正上方某处以初速度水平发出，刚好落在球网底部处（），求发球点距O点的高度； (2)若网球在球场边缘O点正上方以某一初速度水平发出，恰好越过球网且落在对方场地的边缘处（），求初速度； (3)已知网球落地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。若网球在O点正上方高为2h处以初速度水平发出后，试讨论网球经己方场地反弹后能否越过球网。若不能，说明理由；若能，求落在对方场地的落点到O点的距离。 【答案】(1) (2) (3)能， 【详解】（1）网球做平抛运动，在水平方向，有 竖直方向 联立解得 （2）从O到P2，在水平方向，有 竖直方向，有 从 O到P1，在水平方向，有    竖直方向，有 联立解得 （3）在水平方向，有 竖直方向，有 解得 由对称性可得能越过，且OP3= 考点3 有约束条件的平抛运动模型 考点一遍过 1.与斜面结合的抛体运动分解方法 (1)水平方向：匀速直线运动 竖直方向：匀变速直线运动。 (2)沿斜面方向：加速度为gsin θ的匀变速直线运动。(θ为斜面与水平方向的夹角) 垂直斜面方向：加速度为gcos θ的类竖直上抛运动。 (3)斜抛运动：沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动。 2.几种常见情形 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 已知速度 方向垂直 从斜面外平抛，垂直落在斜面上， 如图所示。 分解速度tan θ＝ 从斜面外斜抛，垂直落在斜面上， 如图所示。 分解速度 tan θ＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示。 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度 tan θ＝ 已知位移方向 已知位移 方向沿斜 面向下 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示。 分解位移 tan θ＝ 从斜面上斜抛又落到斜面上，如图所示。 分解位移 tan θ＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示。 已知位移方向垂直斜面　　 分解位移 tan θ＝ 利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知位移大小等于半径R　　 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知水平位移x与半径R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径R的平方　　 【例3】（2026·山东济南·模拟预测）跳台滑雪是冬奥会上极具观赏性的项目。如图所示，某运动员（视为质点）从跳台末端处以水平速度飞出，经过时间恰好落在倾斜的着陆坡的中点。若该运动员从同一位置以的水平速度飞出，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．运动员在空中飞行的时间为 B．运动员在空中飞行的时间为 C．运动员将落在着陆坡底端点 D．运动员将落在着陆坡底端点与跳台之间的位置 【答案】B 【详解】AB．设第一次落在斜坡中点时的水平位移为、竖直下降高度为，由平抛运动规律得， 中点到坡底的水平距离和竖直高度也分别为和。第二次水平速度为，到正上方所用时间仍为，此时只下降，尚未着地。设落到坡底以外水平地面时的飞行时间为，由竖直分运动得 结合首次下落高度，解得，故A错误，B正确； CD．第二次飞越的正上方后才落地，水平落点位于的右侧，故CD错误。 故选B。 1．（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）（多选）如图所示，一架水平匀速飞行的飞机在斜坡上空进行救援演练，某时刻从飞机上释放第一批物资，物资落在A点，释放第一批物资后经过时间释放第二批物资，物资落在B点，释放第二批物资后再经过时间释放第三批物资，物资落在C点。已知第一批和第二批物资落到山坡上的时间间隔为，第二批和第三批物资落到山坡上的时间间隔为，A、B、C三点共线且AB=BC，物资刚离开飞机时的速度与飞机相同，不计空气阻力。则这三批物资（     ） A．在空中速度变化量的方向相同 B．落到山坡上时的速度方向相同 C．落到山坡上的时间间隔 D．从飞机上释放的时间间隔 【答案】AC 【详解】A．根据速度变化量可知，速度变化量方向就是重力加速度g方向，而g方向是不变的，因此在空中速度变化量的方向相同，故A正确； B．物资刚离开飞机后做平抛运动，且物资刚离开飞机时的速度与飞机相同，即物资做平抛运动的初速度相同，但每次释放的物资在空中运动时间不同，根据可知，则物资落在山坡时竖直方向速度不同，因此落到山坡上时的速度方向不相同，故B错误； C．由于AB=BC，物资相邻落点的水平距离相等，根据可知，物资落到山坡上的时间间隔相等，即，故C正确； D．在竖直方向上，根据 解得 由于AB=BC，物资相邻落点的竖直距离相等，则第一批物资与第二批物资在空中运动的时间之差小于第二批物资与第三批物资在空中运动的时间之差，而物资落到山坡上的时间间隔又相等，故物资从飞机释放的时间间隔，故D错误。 故选AC。 2．（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）（多选）如图甲所示，一水平平台与水平地面间有一斜面（斜面倾角未知）连接，连接点分别为、。现有一小球（可视为质点）从平台以水平向右、大小不同的初速度抛出，测得在空中飞行的时间与对应的初速度之间的关系图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度取，结合图中相关信息，下列说法正确的是（     ） A．斜面长度 B．平台与地面间的高度差为 C．小球分别以和的速度水平抛出，均落在斜面上不同处，但两小球落到斜面前瞬间的速度方向一定相同 D．小球分别以和的速度水平抛出，均落在地面上不同处，但两小球落到地面前瞬间的速度方向一定相同 【答案】BC 【详解】AB．图乙中，飞行时间随初速度增大的斜线段对应小球落在斜面上的情形，飞行时间不变的水平线段对应小球落在水平地面上的情形，转折点对应小球恰好落在点。设此时的初速度为，飞行时间为，平台与地面间的高度差为，则 设、两点间的水平距离为，则 由几何关系，斜面长度为，A错误，B正确； C．两小球的初速度均小于，均落在斜面上。设斜面倾角为，小球从抛出到落在斜面上的水平位移、竖直向下位移分别为、，则 设小球落到斜面前瞬间的速度与水平方向的夹角为，由速度的合成可得 斜面倾角一定，两小球落到斜面前瞬间的速度均斜向右下方，且与水平方向的夹角相同，故速度方向相同，C正确； D．两小球的初速度均大于，均落在水平地面上，飞行时间均为，落地前瞬间的竖直分速度均为 设初速度分别为、的小球落地前瞬间的速度与水平方向的夹角分别为、，则， 两夹角不同，故两小球落地前瞬间的速度方向不同，D错误。 故选BC。 3．（25-26高一上·四川成都·期末）如图所示，倾角为37°的固定斜面，在斜面底端正上方的O点将一小球以v0=6m/s的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块，且小球下降的高度是滑块位移的2倍。（小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取） (1)小球平抛运动的时间； (2)滑块与斜面间的动摩擦因数μ。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设小球击中滑块时的速度为v，竖直分速度为，如图所示 由几何关系得 解得 则平抛运动的时间 （2）小球下降的高度为 则滑块下滑的位移为 设滑块下滑的加速度为a，则运动学公式 由牛顿第二定律有 代入数据联立解得 考点4 斜抛运动 考点一遍过 1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。 2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3.研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动。 4.基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 (1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t，vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt (2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时 ①射高：h＝。 ②斜抛运动的飞行时间：t＝。 ③射程：s＝v0cos θ·t＝， 对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 【重点突破】 逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。 【例4】（26-27高三上·甘肃·阶段检测）（多选）如图所示，在倾角的固定斜坡顶端，将小球甲以初速度大小，与水平方向成角抛出，同时一光滑的小球乙以某初速度沿斜坡向下滑动，两球在斜坡上的点相遇。忽略空气阻力，已知重力加速度为，小球都可看作质点。下列说法正确的是（     ） A．两球相遇前的运动时间为 B．、之间的距离为 C．小球乙的初速度大小为 D．从到小球乙的平均速度大小为 【答案】BD 【详解】A．小球甲做斜抛运动，甲的水平初速度 竖直初速度 以A为原点，向下为竖直正方向，设相遇时间为，则水平位移 竖直位移 相遇点B在斜坡上，斜坡倾角为，因此相遇时甲的竖直位移和水平位移满足几何关系 联立解得，故A错误； B．根据， 可得 AB之间的距离，故B正确； C．光滑小球乙沿斜坡下滑，对其受力分析有 可得加速度 乙的位移为，由 代入、 解得，故C错误； D．根据 代入、 解得，故D正确。 故选BD。 1．（26-27高三上·河南平顶山·阶段检测）如图，某田间安装有一种自动浇水装置，由于出水口的自动调节，水柱可以从水平方向到竖直方向间的任一夹角射出，已知出水口离水平地面的高度为h，水柱从出水口射出和落地的速度大小分别为、，不计空气阻力，重力加速度为g，则自动浇水过程中水柱水平射程的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设射出的初速度为，落地的速度为，射出时与水平方向夹角为，水平射程为，作出落地时速度矢量三角形 由几何知识得三角形面积 易得当时面积最大 而 代入数据，联立解得 故选A。 2．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）如图甲，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（     ） A．谷粒2在最高点的速度小于 B．从O到P两谷粒的路程相同 C．从O到P两谷粒的运动时间相等 D．从O到P两谷粒的速度变化相同 【答案】A 【详解】B．路程代表物体运动的轨迹长度，二者路程不同，故B错误； C．从O到P两谷粒在竖直方向的高度相等，令其为h，谷粒1做平抛运动，则有 谷粒2做斜抛运动，令其初速度与水平方向夹角为，则有 解得， 可知，故C错误； A．谷粒2做斜抛运动，水平方向上的分运动是匀速直线运动，则谷粒2在最高点的速度为，从O到P两谷粒的水平分位移相等，则 由于，则有 即谷粒2在最高点的速度小于，故A正确； D．根据竖直方向的运动规律有， 则，故D错误； 故选A。 3．（2026·山东济南·模拟预测）小明同学课间踢毽子，毽子运动轨迹如图实线所示，、、为轨迹上三点，为轨迹最高点。已知两点的连线、两点的连线与水平方向夹角分别为和，毽子从运动到的时间为，不计空气阻力，重力加速度为。 (1)求毽子从运动到的时间； (2)求毽子经过点时的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设毽子在最高点的速度为，方向水平，毽子从到做平抛运动，竖直分位移 水平分位移 则 从运动到的时间 从运动到可视为从到平抛运动的逆运动，同理可得 故 解得毽子从运动到的时间为 （2）毽子经过点时的竖直分速度大小为 则经过点时的速度大小为 考点5 类平抛运动 考点一遍过 1．受力特点 物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。 2．运动特点 在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。 3．求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。 【例5】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示的光滑固定斜面长为l＝1.6m、宽为b＝1.2m、倾角为θ＝30°，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点P沿水平方向射入，然后沿斜面下滑，最后恰好从底端右侧Q点离开斜面，已知重力加速度g＝10，不计空气阻力，则（　　） A．物块由P运动到Q所用的时间t＝0.6s B．物块由P运动到Q所用的时间t＝0.4s C．物块由P点水平射入时初速度的大小m/s D．物块由P点水平射入时初速度的大小m/s 【答案】D 【详解】物块在斜面上做类平抛运动，沿斜面长的方向做匀加速运动，有 沿斜面宽的方向做匀速运动，有   根据牛顿第二定律有   代入数据联立解得，   故选D。 1．（25-26高三上·山东青岛·期末）（多选）如图，一光滑斜面固定在地面上，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以一定水平速度射出，最后从B处离开斜面，水平方向位移为x，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为一条抛物线 B．小球到达B处时，速度方向与水平方向的夹角的正切值为 C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球的初速度大小为 【答案】AC 【详解】A．小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，大小不变，方向与初速度方向垂直，做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确； B．根据平抛运动规律可知，速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平夹角正切值的2倍，小球沿斜面向下的位移大小为 水平位移为，则位移与水平夹角正切值为，所以速度方向与水平方向的夹角的正切值为，故B错误； C．根据牛顿第二定律可知 解得 根据 解得，故C正确； D．小球的初速度大小为，故D错误。 故选AC。 2．（25-26高一上·山东威海·阶段检测）如图所示，光滑斜面长为 ，宽为b，高为h，水平间距为c ，倾角为 ，OPMN为竖直面，有三个完全相同的小球ABC，从斜面左上方P点同时沿水平方向抛出，重力加速度为g。 (1)小球A沿PM方向水平抛出，平行竖直面OPMN运动，落点恰为N点，求小球A入射初速度v1 (2)小球B沿PM方向水平抛出，从斜面右下方顶点Q离开斜面，求小球B入射初速度v2 及整个过程平均速度 (3)小球C沿与PM方向夹角水平抛出，从斜面右下方顶点Q离开斜面，求小球C在Q点速度 【答案】(1) (2)， (3)，速度的水平投影与方向夹角为，与竖直方向呈夹角，，斜向右下方 【详解】（1）小球A做平抛运动，竖直方向 水平方向 解得小球A入射初速度 （2）小球B做类平抛运动，所受合力 沿斜面方向 水平方向 解得小球B入射初速度 整个过程平均速度 （3）小球C做平抛运动，竖直方向 水平方向 小球C在点的速度 与方向夹角，与竖直方向呈斜向右下方 3．（25-26高二上·四川凉山·期中）如图，ABD为竖直平面内的绝缘轨道，其中AB段是长为的粗糙水平面，其动摩擦因数为，BD段为半径的光滑半圆轨道，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，电场强度大小。一质量为m电量为q的绝缘小球A，以某一速度从A点进入水平轨道向右运动，到达B点后与质量电量相同的小球B发生弹性碰撞，碰撞后小球B进入半圆轨道后，恰能通过最高点D点。已知小球的质量为，，g取。（水平轨道足够长，小球可视为质点，整个运动过程无电荷转移） (1)小球恰能通过轨道最高点D时的速度大小； (2)小球从D点飞出后，首次在水平轨道上的落点与B点的水平距离x； (3)小球的初速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）轨道对小球弹力为0，竖直向下的合力提供向心力 代入数据解得 （2）小球从D飞出后做类平抛运动，竖直方向下落高度 ，加速度为 解得为 由 代入数据得 水平方向匀速运动 （3）对碰撞后的B球，从B到D由动能定理： 代入数据得碰撞后B的速度 。 弹性碰撞，两球质量相等，碰撞前B静止，因此碰撞后交换速度，即碰撞前A到达B点时的速度 对A从A到B的过程，水平轨道支持力 ，摩擦力做功，由动能定理 代入数据解得 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $