精品解析：广东深圳市龙岗区同心实验学校2026-2027学年上学期八年级数学练习题

八年级数学练习题 （练习时间90分钟） 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 若a、b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( ) A. 2.2米 B. 2.3米 C. 2.4米 D. 2.5米 4. 如图，在中，．以，两边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（ ） A. 2 B. C. D. 1 6. 如图，长方体的长为15 cm，宽为，高为，点B离点C的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，过点A作直线，点B在直线l上，，以点O为圆心，以长为半径作弧，与的延长线交于点C，则点C表示的实数是（ ） A. B. C. 7 D. 29 8. 在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），．点在边上，沿折叠，点落在边的处．则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2.5 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 9. 的算术平方根为___________． 10. 已知x，y为实数，若满足，则的值为______． 11. 比较大小________ （填＞，＝，或＜） 12. 如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为_____． 13. 由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中为三角形三边长，）可以求出三角形面积．已知三边长分别是，，，则的面积为___________． 三、解答题（共7题，共61分） 14. 计算 （1） （2） （3） （4）解方程： 15. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 16. 如图，，，是数轴上A，，三点所对应的实数，试化简：． 请完成下列解答过程： 解：由数轴可得，______0，______0，______0，______0， 故原式__________________， __________________， __________________ 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点，均在格点上． （1）______， ______，______； （2）判断的形状，并说明理由； （3）求四边形的面积． 18. 如图，风等在点C处，在A，B两处各用一根引线固定着这个风筝，其中引线与水平地面垂直，引线的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米（风筝本身的长宽忽略不计）． （1）求此时风筝离地面的高度； （2）现要使风筝沿竖直方向上升9米至M处，若A，B位置不变，引线的长度应加长多少米？ 19. 【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）若，求的值． 20. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学练习题 （练习时间90分钟） 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 若a、b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握若三角形的三边a、b、c满足，则三角形是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】A：，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项不符合题意； B：，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项不符合题意； C：，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项符合题意； D：，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故本选项的计算结果错误； B、，故本选项的计算结果错误； C、与的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算结果错误； D、，故本选项的计算结果正确． 故选：D 3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( ) A. 2.2米 B. 2.3米 C. 2.4米 D. 2.5米 【答案】A 【解析】 【分析】将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案. 【详解】 如图，在Rt△ACB中， ∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米， ∴ 在Rt△A‘BD中， ∵∠A’BD=90°，A’D=2米， ∴ ∴ ∵BD>0， ∴BD=1.5米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米 即小巷的宽度为2.2米，故答案选A 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知并熟练运用勾股定理求斜边和直角边是解题的关键 4. 如图，在中，．以，两边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理；在中,，，得到，据此解答即可． 【详解】解：由正方形的面积计算可知，， ∵在中，， ∴． 故选：B． 5. 若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】同一个数的两个不等的平方根互为相反数，据此可得到关于a的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意有：， 解得：， 则这个数的其中一个平方根为：, 这个数为：． 6. 如图，长方体的长为15 cm，宽为，高为，点B离点C的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照三种不同的展开方式，结合勾股定理分别求出每种方式的爬行距离，再比较即可得出最短距离． 【详解】解：分情况讨论： 第一种：将上图的前面和上面两个面展开在一个平面内，如图， 此时蚂蚁从点A沿直线爬到点B距离最短，最短距离为的长度， 利用勾股定理有：； 第二种：将上图的前面和右面两个面展开在一个平面内，如图， 同理有：； 第三种：将上图的底面和右面两个面展开在一个平面内，如图， 同理有：； ∵，，， ∴， 综上：需要爬行的最短距离是． 7. 如图，，过点A作直线，点B在直线l上，，以点O为圆心，以长为半径作弧，与的延长线交于点C，则点C表示的实数是（ ） A. B. C. 7 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，则可得到的长，据此可得答案． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理得， ∴ ，故点C表示的实数是． 8. 在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），．点在边上，沿折叠，点落在边的处．则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，接着在中，利用勾股定理求得，设，在中利用勾股定理列式计算求得，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠可得， ∴，， ∵四边形是长方形，，， ∴，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，得， 解得，， ∴的面积为． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 9. 的算术平方根为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：，2的算术平方根是， 所以的算术平方根为． 10. 已知x，y为实数，若满足，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：有意义， 故， 解得， 故， 故， 故答案为：5. 11. 比较大小________ （填＞，＝，或＜） 【答案】＜ 【解析】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，先求出，再得到，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即 故答案为：＜． 12. 如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到的值，由已知条件得到的值，根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：大正方形的面积为16， ， 由题意， ， ∴． 13. 由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中为三角形三边长，）可以求出三角形面积．已知三边长分别是，，，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可得，，， 则， ∴的面积． 三、解答题（共7题，共61分） 14. 计算 （1） （2） （3） （4）解方程： 【答案】（1） （2）5 （3） （4）或 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：， ， ， 即或， 解得或． 15. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小以及平方根与立方根；的立方根是，可得，的算术平方根是，可得，可分别求出a、b；根据是的整数部分求出c，然后即可求出的平方根. 【详解】解：∵的立方根是， ∴， 解得． ∵的算术平方根是， ∴， 解得． ∵， ∴， 又∵是的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根为. 16. 如图，，，是数轴上A，，三点所对应的实数，试化简：． 请完成下列解答过程： 解：由数轴可得，______0，______0，______0，______0， 故原式__________________， __________________， __________________ 【答案】；；；；；； 【解析】 【分析】根据数轴上点的特点及点在数轴上的位置可得：，得出，，，，然后根据二次根式性质，立方根定义，绝对值意义进行化简即可． 【详解】解：∵，，是数轴上A，，三点所对应的实数， ∴， ∴，，，， 故原式 ． 故答案为：；；；；；；． 【点睛】本题主要考查了立方根定义，二次根式性质，绝对值意义，实数与数轴，解题的关键是数形结合，根据数轴得出． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点，均在格点上． （1）______， ______，______； （2）判断的形状，并说明理由； （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 解：是直角三角形，理由如下： ∵,， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理以及二次根式的运算，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键； （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可； （3）根据四边形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：根据勾股定理可得：，，； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形的面积． 18. 如图，风等在点C处，在A，B两处各用一根引线固定着这个风筝，其中引线与水平地面垂直，引线的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米（风筝本身的长宽忽略不计）． （1）求此时风筝离地面的高度； （2）现要使风筝沿竖直方向上升9米至M处，若A，B位置不变，引线的长度应加长多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）在中利用勾股定理求解即可； （2）在中利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，， ∴， ∴此时风筝离地面的高度的长为米； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理， ∴， ∴引线的长度应加长米． 19. 【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ，即， ． 20. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）千米； 知识迁移：20． 【解析】 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ， ， ， 则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E， ， ， ， 由勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点， 设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，作点关于的对称点，连接交于点， 过作， 根据对称性：， 设，则，由勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $