精品解析：广东深圳市龙岗区部分学校2026-2027学年 上学期八年级数学第一次素养练习

2026-2027学年八年级数学（上册）学科素养形成练习 练习一第一章第二章 （满分：100分） 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 的算术平方根是3 B. 27的立方根是 C. 5的平方根是 D. 1的平方根与立方根都是1 6. 小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板（，，，．），并拼出一个新图形如图所示，若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 7. 勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，于点D，平分交于点E，交于点F，，，，则的长为（ ） A. B. 5 C. 7 D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 计算___________． 10. 二次根式中，字母的取值范围是_______． 11. 如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B、C之间的距离为_____米． 12. 与最简二次根式是同类二次根式，则______． 13. 中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为_____米． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）已知的平方根是的立方根是2． ①求的值； ②求的算术平方根． 15. 如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． （1）是直角三角形吗？说说你的理由； （2）求边上的高． 16. 如图所示，某市规划在一块总面积为的空地上修建一个口袋公园，公园分为活动广场和绿化区两部分，要求绿化区的面积大于总面积的． 设计方案 已知：，． 解决问题： （1）为方便市民进出，计划在绿化区中铺设一条直道，这条直道的长度为__________； （2）请判断上述设计方案是否符合规划要求，并说明理由． 17. 综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 （1）消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ （2）消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 18. 如图，已知四边形中，，，，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒． （1）求的长； （2）若为直角三角形，求t的值． 19. 【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： 因为， 所以． 所以 所以 所以 所以 小明的做法是将已知条件适当地变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： 因为， 所以当时，原式 小丽的做法是将结论中代数式适当地变形，再将已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 （1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”解题“已知，求的值”； （2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 20. 项目式学习 项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以直角三角形的三条边为边长作正方形，然后由两个小正方形向外分别作直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，如此重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：①画出不同类型三角形形成的树形图；②所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为．根据规则，三位同学分别画出下面不同类型的树形图并进行探究． 【解决问题】 （1）如图1所示，小明画出了锐角三角形，计算的值，并写出过程： （2）如图2所示，小金画出了直角三角形，，，计算的值，并写出过程； （3）如图3所示，小山画出了钝角三角形，则___________． 【项目总结】综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论；周长一定的情况下，由___________（选填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形形成的（）总面积最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学（上册）学科素养形成练习 练习一第一章第二章 （满分：100分） 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义找到立方等于的数即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 根据立方根的定义可得，的立方根是． 2. 下列各数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合要求； B、是无限不循环小数，因此也是无限不循环小数，属于无理数，符合要求； C、，是整数，属于有理数，不符合要求； D、是有限小数，可转化为分数，属于有理数，不符合要求． 3. 在下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据最简二次根式的定义得出： A.，故此选项错误； B.，故此选项错误； C.，故此选项错误； D.不能再化简，是最简二次根式，故此选项正确； 4. 下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，用到三角形内角和定理与勾股定理逆定理，分别对各选项验证即可得到结果． 【详解】解：对于选项A，∵ ，移项得 ，符合勾股定理逆定理，∴ 是直角三角形，故A不符合题意； 对于选项B，∵ 三角形内角和为 ，，∴ ，得 ，∴ 是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C，∵ ，，，且 ，即 ，符合勾股定理逆定理，∴ 是直角三角形，故C不符合题意； 对于选项D，∵ ，三角形内角和为 ，∴ ，，，没有直角，∴ 不能判定为直角三角形，故D符合题意． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 的算术平方根是3 B. 27的立方根是 C. 5的平方根是 D. 1的平方根与立方根都是1 【答案】A 【解析】 【详解】解：，9的算术平方根是3，A正确． 27的立方根是3，不是，B错误． 5的平方根是，C错误． 1的平方根是，立方根是1，D错误． 6. 小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板（，，，．），并拼出一个新图形如图所示，若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据全等三角形的性质求出，，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， ， ，， ． 7. 勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过面积法分别对四幅图列出面积等式并化简，验证是否能推导出，以此判断各图能否证明勾股定理，最终选出符合要求的选项． 【详解】A、梯形的面积为， 三个直角三角形的面积之和为， 令二者相等，两边乘化简得， 即，故A选项可以证明勾股定理． B、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为 令二者相等，展开化简得， 即，故选项B可以证明勾股定理． C、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为， 令二者相等，得，故选项C可以证明勾股定理． D、大正方形的面积为， 其余各部分面积之和为， 令二者相等，得，故选项D不能证明勾股定理． 8. 如图，在中，于点D，平分交于点E，交于点F，，，，则的长为（ ） A. B. 5 C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股定理可得，则可得，利用勾股定理可得，再根据角平分线的性质定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作过点E作， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 计算___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 10. 二次根式中，字母的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解即可得到字母的取值范围． 【详解】解：由题意得， ∴ ． 11. 如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B、C之间的距离为_____米． 【答案】21 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AB、AC长分别为13米、20米，AD的高度为12米， ∴BD＝（米），DC＝（米） ∴BC＝BD+DC＝5+16＝21（米）， 故答案为：21． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 12. 与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，根据同类二次根式的概念得到关于的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， ， 移项得， 系数化为得． 13. 中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆柱表面绕线最短问题，核心是将圆柱侧面展开为长方形，将空间曲线转化为平面直角三角形的斜边，再利用勾股定理求解． 将圆柱侧面展开，每圈龙的长度与高度的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图： 根据题意可得柱身高为米，底面周长为米， 有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，米， 米， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为米． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）已知的平方根是的立方根是2． ①求的值； ②求的算术平方根． 【答案】（1） （2） （3）①；②5 【解析】 【分析】（1）先计算立方根，绝对值，及实数的乘法，再计算加减法； （2）根据完全平方公式去括号，及计算除法，再计算加减法； （3）①根据平方根及立方根的定义即可求得答案； ②将①中结果代入中计算后根据算术平方根的定义即可求得答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：①由题意，得，， 解得，； ②解：，， ， ， 的算术平方根为5． 15. 如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． （1）是直角三角形吗？说说你的理由； （2）求边上的高． 【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下： 根据题意得：， ∴， ∴是直角三角形； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理分别求出，再利用勾股定理逆定理解答即可； （2）设边上的高为h，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， 设边上的高为h， ∵是直角三角形， ∴， 即， 解得：， 即边上的高为2． 16. 如图所示，某市规划在一块总面积为的空地上修建一个口袋公园，公园分为活动广场和绿化区两部分，要求绿化区的面积大于总面积的． 设计方案 已知：，． 解决问题： （1）为方便市民进出，计划在绿化区中铺设一条直道，这条直道的长度为__________； （2）请判断上述设计方案是否符合规划要求，并说明理由． 【答案】（1）15 （2）解：不符合规划要求，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴上述设计方案不符合规划要求． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，然后根据计算出面积，再计算出总面积的，比较即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴直道的长度为； 【小问2详解】 略 17. 综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 （1）消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ （2）消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 【答案】（1）消防车距离着火楼距离是15米 （2）消防车靠近的为8米才能完成处救援任务 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）延长交于点，则，．在中根据勾股定理求出即可； （2）在中根据勾股定理求出，在根据即可解答． 【小问1详解】 解：延长交于点，则，． ∵， ∴在中，， 即此时消防车距离着火楼距离是15米． 【小问2详解】 解：∵，， ∴在中，， ∴， 即消防车靠近的为8米时才能完成处救援任务． 18. 如图，已知四边形中，，，，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒． （1）求的长； （2）若为直角三角形，求t的值． 【答案】（1）5 （2）当秒或秒时，为直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质与判定： （1）先求出，在中根据勾股定理计算即可； （2）分、两种情况，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：，， ， 在中，； 【小问2详解】 解：当时，如下图： ， ， ∵， ∴， 四边形为矩形， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动， ∴（秒， 当时，如图，过点P作于Q， 同理可得四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 由（1）得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 解得，， 当秒或秒时，为直角三角形． 19. 【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： 因为， 所以． 所以 所以 所以 所以 小明的做法是将已知条件适当地变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： 因为， 所以当时，原式 小丽的做法是将结论中代数式适当地变形，再将已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 （1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”解题“已知，求的值”； （2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）仿照小明的做法时，先计算出的值；仿照小丽的做法时，将原式变形为； （2）仿照小明的做法，结合已知条件可得，进而得到，，再将原式变形为，代入求解即可． 【小问1详解】 解：仿照小明的做法： ， ， ， ， ， ； 仿照小丽的做法： ， 当时，原式； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，， ． 20. 项目式学习 项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以直角三角形的三条边为边长作正方形，然后由两个小正方形向外分别作直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，如此重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：①画出不同类型三角形形成的树形图；②所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为．根据规则，三位同学分别画出下面不同类型的树形图并进行探究． 【解决问题】 （1）如图1所示，小明画出了锐角三角形，计算的值，并写出过程： （2）如图2所示，小金画出了直角三角形，，，计算的值，并写出过程； （3）如图3所示，小山画出了钝角三角形，则___________． 【项目总结】综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论；周长一定的情况下，由___________（选填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形形成的（）总面积最大． 【答案】（1）解：，过程如下： ∵所画的基础三角形周长为，， ∴， ∴； （2）解：过程如下： ∵所画的基础三角形周长为，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）；钝角 【解析】 【分析】（1）求出的长，即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，即可求解； （3）根据正方形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴； 【项目总结】由锐角三角形形成的总面积为， 由直角三角形形成的总面积为， 由钝角三角形形成的总面积为， ∵， ∴周长一定的情况下，由钝角三角形形成的（）总面积最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $