第一章空间向量与立体几何单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

云南省高二数学上学期单元测试（人教A版选择性必修第一册第一章）（答案及解析） 一、单项选择题 第 1 题 【答案】A 【考点】空间向量数量积的坐标运算 由 ，故选 A。 第 2 题 【答案】C 【考点】空间向量垂直的坐标条件 由 得 ，解得 ，故选 C。 第 3 题 【答案】B 【考点】异面直线所成角（坐标法） 以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系， 则 ，，，，。 故选 B。 【易错点】异面直线所成角取锐角或直角，数量积必须取绝对值。 第 4 题 【答案】D 【考点】点到平面的距离 ， 故选 D。 【易错点】点面距公式中分子为向量与法向量数量积的绝对值。 第 5 题 【答案】C 【考点】空间向量的运算性质 A 错：（均非零）时也有 ； B 错：由 只能得 ，不能推出 ； C 对：由 且 ，即得 ； D 错：数量积不满足结合律。故选 C。 第 6 题 【答案】A 【考点】空间向量共线的坐标条件 由 可设 ，即 ， 由对应坐标成比例得 ，故选 A。 【易错点】共线向量对应坐标成比例，先定比例系数再求未知坐标。 第 7 题 【答案】B 【考点】二面角（几何法） 设底面中心为 ， 的中点为 ，则 。 底面边长为 ，故 ，由侧棱长 得 侧面与底面所成二面角的平面角为 ， 故选 B。 【易错点】二面角的平面角应在垂直于棱的截面内寻找，勿把侧棱与底面的夹角当作二面角。 第 8 题 【答案】B 【考点】异面直线所成角（坐标法） 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系，棱长为 ： 则 ，，，。 故选 B。 【易错点】建系时确定坐标轴方向后各点坐标要一致，勿混用不同原点。 二、多项选择题 第 9 题 【答案】ACD 【考点】投影向量、夹角、基底、垂直 A 对： 在 方向上的投影向量为 ； B 错：，夹角为 而非 ； C 对：空间一组基底要求三个向量不共面，题设已满足； D 对：，得 。故选 ACD。 第 10 题 【答案】ABC 【考点】正方体中的线面关系（坐标法） 建系 ，，，，，。 A 对：，，； B 对：，，，所成角为 ； C 对：平面 的法向量 ，点 到该平面的距离 ； D 错：，底面法向量 ，正弦值为 。故选 ABC。 【易错点】线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值。 第 11 题 【答案】BC 【考点】垂直、二面角、点面距综合（建系法） 以 为原点， 及过 垂直于底面的直线分别为 轴建系： 则 ，，。 A 错：，，点积为 ； B 对：平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，点积为 ，两平面垂直； C 对：底面 的法向量 ，； D 错：点 到平面 的距离 。故选 BC。 【易错点】判断面面垂直用两法向量点积为零；二面角余弦值需结合图形判断正负。 三、填空题 第 12 题 【答案】 【考点】空间向量垂直与模长 由 得 ，解得 ， 故 ，。 第 13 题 【答案】 【考点】向量垂直的坐标条件 ，， 由垂直得 ，解得 。 第 14 题 【答案】 【考点】点到平面的距离 建系：，，，，。 平面 的法向量 ，即 ， 故点 到平面 的距离为 分米。 四、解答题 第 15 题 【答案】（1）；（2）， 【考点】空间向量共线、数量积与夹角 【解析】 （1） 由 可设 ，即 。 由 得 ，故 。 （2） ，解得 。 【评分参考】（1）共线设参、求出 与 各 3 分，结论 1 分，共 7 分； （2）数量积求 3 分，模长 3 分，余弦值 2 分，共 8 分。 【易错点】夹角余弦公式中分子为数量积（带符号），若求的是锐角余弦也应先取绝对值后再判断符号。 第 16 题 【答案】（1）；（2） 【考点】建系求异面直线所成角、直线与平面所成角 【解析】 （1） 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系： 则 ，，，，，。 （2） 平面 的法向量 ， 【评分参考】（1）建系与坐标 4 分，数量积与模长 2 分，余弦值 1 分，共 7 分； （2）法向量 4 分，正弦值 4 分，共 8 分。 【易错点】异面直线所成角取锐角（数量积取绝对值）；线面角正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值。 第 17 题 【答案】（1）见解析；（2） 【考点】线面平行的判定、点到平面的距离 【解析】 （1） 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系： 则 ，，，，，。 设平面 的法向量为 ，由 ， 得 。 而 ，， 又 不在平面 内，故 平面 。 （2） 由（1）平面 的法向量 ， 【评分参考】（1）建系与坐标 3 分，法向量 3 分，证平行 3 分，共 9 分； （2）套用点面距公式 4 分，计算 2 分，共 6 分。 【易错点】证线面平行需说明直线不在平面内；点面距公式分子必须取绝对值。 第 18 题 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【考点】线面平行、二面角、点面距综合 【解析】 （1） 建系：，，，，， ，。则 ， 故 ，又 在平面 内， 不在平面 内，所以 平面 。 （2） 由 ， 得平面 的法向量 ； 由 ， 得平面 的法向量 。 结合图形，， 在棱 的同侧，二面角 为锐角，其余弦值为 （3） 点 到平面 的距离（）： 【评分参考】（1）4 分；（2）法向量各 3 分，判断钝角 1 分，余弦值 2 分，共 9 分；（3）4 分。 【易错点】二面角余弦值的正负需结合图形判断：两法向量同向夹角为锐角时二面角可能为钝角。 第 19 题 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【考点】面面垂直、二面角、点面距综合（菱形底面） 【解析】 （1） 建系：，，，，，。 平面 的法向量 ， 平面 的法向量 ， 故平面 平面 。 （2） 平面 的法向量 ， 平面 的法向量 ， 结合图形，二面角 为钝角，其余弦值为 。 （3） 平面 的法向量 ，， 【评分参考】（1）建系与坐标 3 分，两个法向量 4 分，垂直结论 2 分，共 9 分； （2）两个法向量 3 分，数量积 2 分，结论 2 分，共 7 分；（3）3 分。 【易错点】菱形 底面的 点坐标为 ，勿写成 或 。 附：双向细目表 题型 题号 分值 考查内容 难度 来源 单选题 1 5 空间向量数量积的坐标运算 易 改编 单选题 2 5 空间向量垂直的坐标条件 易 改编 单选题 3 5 异面直线所成角（坐标法） 易 改编 单选题 4 5 点到平面的距离 易 改编 单选题 5 5 空间向量运算性质（命题判断） 中 改编 单选题 6 5 空间向量共线的坐标条件 易 改编 单选题 7 5 二面角（几何法） 中 改编 单选题 8 5 异面直线所成角（正方体·云南茶礼盒情境） 中 原创 多选题 9 6 投影向量、夹角、基底、垂直 中 改编 多选题 10 6 正方体中的线面关系 中 改编 多选题 11 6 垂直、二面角、点面距综合 中 原创 填空题 12 5 空间向量垂直与模长 易 改编 填空题 13 5 向量垂直的坐标条件 中 改编 填空题 14 5 点到平面的距离（正方体礼盒情境） 中 原创 解答题 15 13 共线、数量积与夹角 易 改编 解答题 16 15 建系求异面直线角与线面角 中 改编 解答题 17 15 线面平行与点面距 中 原创 解答题 18 17 线面平行、二面角、点面距综合 较难 原创 解答题 19 17 面面垂直、二面角、点面距综合（菱形底面） 难 原创 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省高二数学上学期单元测试（人教A版选择性必修第一册第一章）（原卷） 考试时间：120 分钟　　满分：150 分 姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________ 得分：____________ 注意事项 　1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在试卷规定的位置上。 　2．回答选择题时，选出每小题答案后，将答案填写在题号后的括号内；填空题将答案填写在题号后的横线上。 　3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间向量 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．已知空间向量 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在直三棱柱 中，，，，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 4．已知平面 的一个法向量为 ，点 ，则点 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 5．下列命题中，正确的是（　　） A．若 ，则 与 中至少有一个为零向量 B．若 ，则 C．对任意向量 ，恒有 D．对任意向量 ，恒有 6．已知 ，，若 与 共线，则 的值为（　　） A． B． C． D． 7．正四棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 8．某茶企推出一款正方体礼盒装普洱茶，礼盒的棱长为 分米。如图，在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对且无错选的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列说法正确的是（　　） A．已知 ，，则 在 方向上的投影向量为 B．若 ，，，则 与 的夹角为 C．若 不共面，则 可以作为空间的一组基底 D．已知 ，，若 ，则 10．在棱长为 的正方体 中，下列说法正确的是（　　） A． B．异面直线 与 所成角为 C．点 到平面 的距离为 D．直线 与底面 所成角的正弦值为 11．在三棱锥 中， 平面 ，，，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 与平面 互相垂直 C．二面角 的余弦值为 D．点 到平面 的距离为 三、填空题 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知空间向量 ，，若 ，则 ________。 13．已知空间向量 ，，若 ，则 ________。 14．某茶企正方体礼盒的棱长为 分米。在正方体 中， 为棱 的中点，则点 到平面 的距离为________分米。 四、解答题 本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知空间向量 ，。 （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 的值，并求 与 夹角的余弦值。 16．（15分）如图，在直三棱柱 中，，，棱 ， 为 的中点。 （1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值。 17．（15分）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，，， 底面 ，， 为 的中点。 （1）求证： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离。 18．（17分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 底面 ，，， 分别为 ， 的中点。 （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值； （3）求点 到平面 的距离。 19．（17分）如图，在直四棱柱 中，底面 为菱形，，，。 （1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 的余弦值； （3）求点 到平面 的距离。 学科网（北京）股份有限公司 $