专题02 整式的乘除16大题型85题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题02 整式的乘除 基础·固本强基 题型1 同底数幂的乘法 题型2 幂的乘方 题型3 积的乘方 题型4 幂的运算性质综合与逆用 题型5 单项式×单项式 题型6 单项式×多项式 题型7 多项式×多项式 提升·进阶突破 题型8 平方差公式 题型9 完全平方公式 题型10 完全平方公式的变形与整体代换 题型11 乘法公式的简便计算 题型12 同底数幂的除法（含零指数幂） 题型13 单项式÷单项式、多项式÷单项式 拔高·压轴破难 题型14 先化简再求值 题型15 图形面积与数式结合 题型16 规律探究 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 同底数幂的乘法（共4小题） 【模型】核心公式：（、 为正整数）。识别特征：两个（或多个）幂相乘，且底数相同。 【步骤】① 看底数是否相同；若不同，先通过符号或“互为相反数”化归为相同底数； ② 底数不变，指数相加； ③ 若带系数，系数一并相乘，结果仍写成幂的形式。 【易错】× 指数误“相乘”：；√ 应为 ； × 漏乘系数： 漏系数得 ；√ 应为 ； × 底数互为相反数不转化：，偶次幂相等、奇次幂相反，要利用“负数的偶次幂为正”统一底数； × 结果写成多项式形式而不再是幂：注意指数相加后的化简。 1．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）计算：________．（结果用幂的形式表示） 3．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：______．（结果用幂的形式表示） 4．（25-26七年级上·上海·期中）计算（结果用幂的形式表示）：______． 题型2 幂的乘方（共7小题） 【模型】核心公式：。识别特征：底数本身是“一个幂”，再对它乘方。 【步骤】① 判定结构是否为“幂的乘方”（底数是幂）； ② 底数不变，指数相乘； ③ 底数若是多项式，先把整个底数看作一个整体再乘方。 【易错】 × 指数误“相加”：；√ 应为 ； × 与同底数幂乘法混淆：（指数相乘）与 （指数相加）意义不同； × 多项式底数漏整体乘方：，指数 。 5．（25-26七年级上·上海·期中）计算：等于（   ） A． B． C． D． 6．（26-27七年级上·上海·期中）计算：=______． 7．（25-26七年级上·上海·期中）计算：______． 8．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算（保留幂的形式）：______． 9．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算：_________．（结果用幂的形式表示） 10．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 11．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 题型3 积的乘方（共3小题） 【模型】核心公式：。识别特征：底数是“几个因式的积”，把它整体乘方。 【步骤】① 把底数中每个因式（数字系数、字母）分别乘方； ② 数字系数的乘方单独算出数值； ③ 字母底数若本身是幂，再用“幂的乘方”性质（指数相乘）。 【易错】 × 系数漏乘方：；√ 应为 ； × 指数漏乘：；√ 应为 ； × 负号处理：（奇次幂保留负号），（偶次幂去负号）。 12．（23-24七年级上·上海·期中）计算：________． 13．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：______． 14．（25-26七年级上·上海崇明·期中）计算：_____________． 题型4 幂的运算性质综合与逆用（共9小题） 【模型】三大性质联用；逆用：，，用于由已知幂的值求未知幂的值。 【步骤】① 先分清每个因式适合“乘法、乘方、还是除法”哪个性质； ② 按“先乘方、再乘积”的顺序计算； ③ 求值类问题：把目标指数拆成已知指数的和与积，再整体代入。 【易错】 × 运算顺序颠倒：先算乘积再乘方，导致指数算错； × 逆用方向错误：应把指数“拆开”，而不是把底数“合并”。 15．（25-26七年级上·上海·期中）已知，那么的值是（   ） A．48 B．24 C．72 D．36 16．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，则______． 17．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）比较大小：______． 18．（25-26七年级上·上海·期中）比较大小：________．（填“”，“”或“”） 19．（25-26七年级上·上海·期中）计算：______． 20．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：______． 21．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，，那么__________（用含和的式子表示） 22．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）已知，则的值为___________________． 23．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 题型5 单项式×单项式（共6小题） 【模型】系数×系数，同底数幂相乘，其余字母连同指数照写，结果仍为单项式。 【步骤】① 系数相乘（注意符号，同号为正、异号为负）； ② 相同字母的指数相加； ③ 只在一个单项式中出现的字母，连同指数照写； ④ 合并为一个单项式（不出现加减号连接）。 【易错】× 漏系数或漏符号； × 指数“相加”与“相乘”混淆； × 漏写只出现在一个因式中的字母。 24．（25-26七年级上·上海·期中）计算：_______． 25．（25-26七年级上·上海崇明·期中）计算：________． 26．（24-25七年级上·上海·期中）计算：_____． 27．（24-25七年级上·上海·期中）计算：________． 28．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 29．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 题型6 单项式×多项式（共6小题） 【模型】乘法分配律：单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。 【步骤】① 单项式逐项“乘进括号”，每一项都带上前面的符号； ② 乘得的各项合并同类项； ③ 检查项数： 项的多项式乘以单项式，合并前应有 项。 【易错】 × 漏乘某一项（最常见）； × 符号错误：括号前是负号时，展开的每项符号都要变号； × 忘记合并同类项。 30．（25-26七年级上·上海·期中）计算________． 31．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算：_________． 32．（25-26七年级上·上海·期中）计算：___________． 33．（24-25七年级上·上海·期中）计算：__________． 34．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 35．（24-25七年级上·上海·期中）化简： 题型7 多项式×多项式（共5小题） 【模型】：用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再合并同类项。 【步骤】① 逐项交叉相乘，项数为“两个多项式项数之积”（再合并）； ② 每项都带上符号； ③ 合并同类项，并按某一字母的降幂排列。 【易错】 × 漏乘： 漏乘得 ；√ 应有 ； × 符号： 展开中带负号的项要注意变号； × 求“不含某次项”：令该次项的系数为 0，切勿直接令该字母为 0。 36．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含有x的一次项，那么t的值是（   ） A．3 B． C． D． 37．（24-25七年级上·上海·期中）计算：_______． 38．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如果关于x的整式与的积中不含x的一次项，那么的值是________． 39．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 40． （24-25七年级上·上海·期中）计算：． 提升·进阶突破 题型8 平方差公式（共3小题） 【模型】核心公式：。识别特征：两数和乘以两数差，中间有“相同项”与“相反项”。 【步骤】① 找出“相同项”与“相反项”； ② 结果 = 相同项的平方 − 相反项的平方； ③ 平方时注意系数也要平方。 【易错】× 结果第二项符号：，中间是“−”不是“+”； × 系数漏平方：； × 找不到“相反项”：如 ，相同项是 ，相反项是 。 41．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 42．（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 43．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 题型9 完全平方公式（共7小题） 【模型】核心公式：，。识别特征：一个二项式的平方。 【步骤】① 判定是“两数和”还是“两数差”的平方；② 写出：首平方 + 末平方 ± 2×首×末； ③ 合并、化简。 【易错】 × 漏中间 项：； × 差的平方中间为负号：； × 系数平方错误：，。 44．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值是______． 45．（25-26七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值为________． 46．（25-26七年级上·上海·期中）关于的整式是个完全平方式，则______． 47．（25-26七年级上·上海金山·期中）如果一个正整数能表示为两个连续非负偶整数的平方差，那么我们称这个正整数为“黄金数”．如：，，，因此，4，12，20这三个数都是“黄金数”．已知2028是黄金数，即（为连续的正偶整数），那么_____． 48．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 49．（25-26七年级上·上海崇明·期中）计算： 50． （25-26七年级上·上海·期中）计算：． 题型10 完全平方公式的变形与整体代换（共5小题） 【模型】三个变形：；；。 【步骤】① 根据已知（两数和 / 两数差 / 两数积），选择对应变形；② 把已知数值整体代入； ③ 计算，注意符号与运算顺序。 【易错】 × 代换方向选错：知道和与积求平方和，用 ； × 忘记 的符号； × 已知 时错用 的公式。 51．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知，那么的值是_______． 52．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知，．则的值是_______． 53．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 54．（25-26七年级上·上海·期中）如果，，计算：的值． 55．（25-26七年级上·上海崇明·期中）已知，求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 题型11 乘法公式的简便计算（共4小题） 【模型】构造“两数和×两数差”或“整十数±小数的平方”，把大数计算化为公式直接口算。 【步骤】① 把数拆成“两数之和×两数之差”或“整十数 ± 某数”的平方； ② 套用平方差或完全平方公式；③ 计算并化简。 【易错】 × 拆数不当： 应拆成 ，而非 ； × 完全平方漏 项。 56．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：______． 57．（25-26七年级上·上海·期中）简便计算：． 58．（25-26七年级上·上海青浦·期中）简便计算：． 59．（25-26七年级上·上海普陀·期中）运用乘法公式计算：． 题型12 同底数幂的除法（含零指数幂）（共6小题） 【模型】核心公式：（，）；（）。 【步骤】① 底数相同，指数相减；② 底数互为相反数，先转化为相同底数； ③ 指数为 0 时，结果为 1（注意底数不为 0）。 【易错】 × 指数误“相除”：；√ 应为 ； × 忘记条件： 不能为 0，如 无意义； × 底数互为相反数不转化：，应先统一底数。 60．（25-26七年级上·上海·期中）若，则所满足的条件是___________． 61．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：__________． 62．（25-26七年级上·上海·期中）______． 63．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，的值是_________． 64．（25-26七年级上·上海宝山·期中）已知的商与是同类项，且，求的值． 65．（25-26七年级上·上海崇明·期中）已知，，求 (1)的值； (2)的值． 题型13 单项式÷单项式、多项式÷单项式（共6小题） 【模型】系数相除、同底数幂相除；多项式除以单项式 = 逐项相除再相加。 【步骤】① 系数相除（注意符号）；② 相同字母的指数相减； ③ 只出现在被除式中的字母照写；④ 多项式逐项除以单项式，再把所得商相加。 【易错】 × 系数与指数混淆： 系数 ，指数 ； × 多项式除法漏项：每一项都要除以单项式； × 符号：被除式中带负号的项，商的符号也带负号。 66．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________． 67．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算：______． 68．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：_____． 69．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：__________． 70．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 71．（25-26七年级上·上海·期中）已知为，为，根据流程图列式计算，求． 拔高·压轴破难 题型14 先化简再求值（共4小题） 【模型】用整式乘法与乘法公式展开 → 合并同类项 → 代入求值；或利用公式变形整体代入。 【步骤】① 先用整式乘法或乘法公式展开；② 合并同类项，化为最简形式； ③ 代入数值（或整体代入）计算。 【易错】× 先代入后化简，导致计算繁琐、易出错； × 展开时漏项、漏符号； × 条件需要先化简的（如非负性、和差积关系）不要直接代。 72．（25-26七年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值：，其中． 73．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：（为正整数），其中． 74．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 75． （25-26七年级上·上海·期中）先化简再求值，，其中． 题型15图形面积与数式结合 （共6小题） 【模型】用整式表示几何图形的边长、面积；或用“面积分割”解释乘法公式。 【步骤】① 用字母表示关键线段；② 由面积公式建立整式关系；③ 化简并回答问题。 【易错】× 边长、面积单位混淆； × 分割图形时漏算某一部分。 76．（24-25七年级上·上海·期中）如图：一套房子的客厅和房间分别是边长为a米和b米的正方形，厨房和卫生间分别是正方形和长方形． (1)求厨房和卫生间的面积（用含的代数式表示）； (2)当时，求卫生间的面积． 77．（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 78．（24-25七年级上·上海·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 79．（23-24七年级下·山东聊城·期末）从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． A．        B．        C． (2)运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 80．（25-26七年级上·上海松江·期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． (2)小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么__________． (3)如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片__________张． 81．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料：在学习乘法公式时，我们知道可以通过不同方法计算几何图形面积得到一些代数恒等式，例如，通过图①中面积计算可以得到完全平方公式：． (1)仿照图①结论，根据图②，写出一个恒等式________________； (2)利用第（1）题中得到的结论，解决如下问题：若，，则________； (3)小杰用图③中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，那么________； (4)事实上，通过不同方法计算几何体的体积也可以得到类似的结论，例如图④展示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体得到的立体图形后重新拼成一个长方体，根据图中的变化关系，写出一个恒等式： ． 题型16 规律探究（共4小题） 【步骤】① 先算前几项，观察规律；② 归纳通式；③ 用乘法公式验证。 【易错】 × 找规律时只看表面不看“连乘凑平方差”的结构； × 化简到第几步停止把握不准。 82．（24-25七年级上·上海·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的规律：                  1               1    1           1     2    1       1     3     3    1    1     4    6      4   1 1     5    10    10    5   1             …… …… 则的展开式中所有项的系数和是（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 83．（25-26七年级上·上海闵行·期中）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应的系数，根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：______． 84．（24-25七年级上·上海松江·期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 85．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知 ，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想： ．（n为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①______． ②______（n为正整数）． ③_______． $专题02 整式的乘除 基础·固本强基 题型1 同底数幂的乘法 题型2 幂的乘方 题型3 积的乘方 题型4 幂的运算性质综合与逆用 题型5 单项式×单项式 题型6 单项式×多项式 题型7 多项式×多项式 提升·进阶突破 题型8 平方差公式 题型9 完全平方公式 题型10 完全平方公式的变形与整体代换 题型11 乘法公式的简便计算 题型12 同底数幂的除法（含零指数幂） 题型13 单项式÷单项式、多项式÷单项式 拔高·压轴破难 题型14 先化简再求值 题型15 图形面积与数式结合 题型16 规律探究 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 同底数幂的乘法（共4小题） 【模型】核心公式：（、 为正整数）。识别特征：两个（或多个）幂相乘，且底数相同。 【步骤】① 看底数是否相同；若不同，先通过符号或“互为相反数”化归为相同底数； ② 底数不变，指数相加； ③ 若带系数，系数一并相乘，结果仍写成幂的形式。 【易错】× 指数误“相乘”：；√ 应为 ； × 漏乘系数： 漏系数得 ；√ 应为 ； × 底数互为相反数不转化：，偶次幂相等、奇次幂相反，要利用“负数的偶次幂为正”统一底数； × 结果写成多项式形式而不再是幂：注意指数相加后的化简。 1．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ， 故选 ：D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）计算：________．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：______．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海·期中）计算（结果用幂的形式表示）：______． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 题型2 幂的乘方（共7小题） 【模型】核心公式：。识别特征：底数本身是“一个幂”，再对它乘方。 【步骤】① 判定结构是否为“幂的乘方”（底数是幂）； ② 底数不变，指数相乘； ③ 底数若是多项式，先把整个底数看作一个整体再乘方。 【易错】 × 指数误“相加”：；√ 应为 ； × 与同底数幂乘法混淆：（指数相乘）与 （指数相加）意义不同； × 多项式底数漏整体乘方：，指数 。 5．（25-26七年级上·上海·期中）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， 故选：C． 6．（26-27七年级上·上海·期中）计算：=______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为． 7．（25-26七年级上·上海·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算（保留幂的形式）：______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算：_________．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 11．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： 题型3 积的乘方（共3小题） 【模型】核心公式：。识别特征：底数是“几个因式的积”，把它整体乘方。 【步骤】① 把底数中每个因式（数字系数、字母）分别乘方； ② 数字系数的乘方单独算出数值； ③ 字母底数若本身是幂，再用“幂的乘方”性质（指数相乘）。 【易错】 × 系数漏乘方：；√ 应为 ； × 指数漏乘：；√ 应为 ； × 负号处理：（奇次幂保留负号），（偶次幂去负号）。 12．（23-24七年级上·上海·期中）计算：________． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·上海崇明·期中）计算：_____________． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 题型4 幂的运算性质综合与逆用（共9小题） 【模型】三大性质联用；逆用：，，用于由已知幂的值求未知幂的值。 【步骤】① 先分清每个因式适合“乘法、乘方、还是除法”哪个性质； ② 按“先乘方、再乘积”的顺序计算； ③ 求值类问题：把目标指数拆成已知指数的和与积，再整体代入。 【易错】 × 运算顺序颠倒：先算乘积再乘方，导致指数算错； × 逆用方向错误：应把指数“拆开”，而不是把底数“合并”。 15．（25-26七年级上·上海·期中）已知，那么的值是（   ） A．48 B．24 C．72 D．36 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴ ． 故选：C 16．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，则______． 【答案】54 【详解】解：当，时， ． 故答案为：． 17．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）比较大小：______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 18．（25-26七年级上·上海·期中）比较大小：________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（25-26七年级上·上海·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 20．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解： 故答案为 ． 21．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，，那么__________（用含和的式子表示） 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 22．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）已知，则的值为___________________． 【答案】72 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：72． 23．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【答案】 【详解】 ， ， ， ， ， ， ． 题型5 单项式×单项式（共6小题） 【模型】系数×系数，同底数幂相乘，其余字母连同指数照写，结果仍为单项式。 【步骤】① 系数相乘（注意符号，同号为正、异号为负）； ② 相同字母的指数相加； ③ 只在一个单项式中出现的字母，连同指数照写； ④ 合并为一个单项式（不出现加减号连接）。 【易错】× 漏系数或漏符号； × 指数“相加”与“相乘”混淆； × 漏写只出现在一个因式中的字母。 24．（25-26七年级上·上海·期中）计算：_______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 25．（25-26七年级上·上海崇明·期中）计算：________． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 26．（24-25七年级上·上海·期中）计算：_____． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 27．（24-25七年级上·上海·期中）计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 28．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 29．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 题型6 单项式×多项式（共6小题） 【模型】乘法分配律：单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。 【步骤】① 单项式逐项“乘进括号”，每一项都带上前面的符号； ② 乘得的各项合并同类项； ③ 检查项数： 项的多项式乘以单项式，合并前应有 项。 【易错】 × 漏乘某一项（最常见）； × 符号错误：括号前是负号时，展开的每项符号都要变号； × 忘记合并同类项。 30．（25-26七年级上·上海·期中）计算________． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 31．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算：_________． 【答案】 【详解】原式 ． 故答案为 ． 32．（25-26七年级上·上海·期中）计算：___________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 故答案为 ． 33．（24-25七年级上·上海·期中）计算：__________． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 34．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 35．（24-25七年级上·上海·期中）化简： 【答案】 【详解】解： ． 题型7 多项式×多项式（共5小题） 【模型】：用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再合并同类项。 【步骤】① 逐项交叉相乘，项数为“两个多项式项数之积”（再合并）； ② 每项都带上符号； ③ 合并同类项，并按某一字母的降幂排列。 【易错】 × 漏乘： 漏乘得 ；√ 应有 ； × 符号： 展开中带负号的项要注意变号； × 求“不含某次项”：令该次项的系数为 0，切勿直接令该字母为 0。 36．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含有x的一次项，那么t的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ， 又∵ 乘积中不含有的一次项， ∴ 一次项系数 ， 解得， ∴ 的值为， 故选：C． 37．（24-25七年级上·上海·期中）计算：_______． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 38．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如果关于x的整式与的积中不含x的一次项，那么的值是________． 【答案】 【详解】解： ． 由于积中不含x的一次项，则一次项系数， 解得， 即． 故答案为：． 39．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 40．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 提升·进阶突破 题型8 平方差公式（共3小题） 【模型】核心公式：。识别特征：两数和乘以两数差，中间有“相同项”与“相反项”。 【步骤】① 找出“相同项”与“相反项”； ② 结果 = 相同项的平方 − 相反项的平方； ③ 平方时注意系数也要平方。 【易错】× 结果第二项符号：，中间是“−”不是“+”； × 系数漏平方：； × 找不到“相反项”：如 ，相同项是 ，相反项是 。 41．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A： 与即无相同项也无相反项，不能用平方差公式计算； 选项B： ∵ ， ∴可用平方差公式计算； 选项C： 与互为相反数，不能用平方差公式计算； 选项D： 与相同，乘积为完全平方式，不能用平方差公式计算； 故答案选：B. 42．（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 43．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型9 完全平方公式（共7小题） 【模型】核心公式：，。识别特征：一个二项式的平方。 【步骤】① 判定是“两数和”还是“两数差”的平方；② 写出：首平方 + 末平方 ± 2×首×末； ③ 合并、化简。 【易错】 × 漏中间 项：； × 差的平方中间为负号：； × 系数平方错误：，。 44．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值是______． 【答案】或6 【详解】解：∵关于x的整式是某个关于x的整式的平方， ∴， ∴， ∴，解得或． 故答案为：或6． 45．（25-26七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值为________． 【答案】或 【详解】解：∵关于的整式是某个整式的平方， ∴可设， 比较系数得：． 当时， ∴， 即， 解得：； 当时， ∴，即， 解得：． 故的值为或． 故答案为：或． 46．（25-26七年级上·上海·期中）关于的整式是个完全平方式，则______． 【答案】或 【详解】解：由整式是一个完全平方式， 设， ∴比较系数得，即，，即，又， ∴，即或， 当时，，当时，， 故答案为：或． 47．（25-26七年级上·上海金山·期中）如果一个正整数能表示为两个连续非负偶整数的平方差，那么我们称这个正整数为“黄金数”．如：，，，因此，4，12，20这三个数都是“黄金数”．已知2028是黄金数，即（为连续的正偶整数），那么_____． 【答案】510 【详解】解：∵2028是黄金数，即 ∴， ， ， ， ， 故答案为： 48．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： 49．（25-26七年级上·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 50．（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型10 完全平方公式的变形与整体代换（共5小题） 【模型】三个变形：；；。 【步骤】① 根据已知（两数和 / 两数差 / 两数积），选择对应变形；② 把已知数值整体代入； ③ 计算，注意符号与运算顺序。 【易错】 × 代换方向选错：知道和与积求平方和，用 ； × 忘记 的符号； × 已知 时错用 的公式。 51．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知，那么的值是_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ， ∴，， 解得：，． 因此． 故答案为：． 52．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知，．则的值是_______． 【答案】 【详解】解：①， ② ②①得： ， ， ， ，，，， ，，，， ； 故答案为：． 53．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ． 54．（25-26七年级上·上海·期中）如果，，计算：的值． 【答案】19 【详解】解： ， ∵，， ， 原式． 55．（25-26七年级上·上海崇明·期中）已知，求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当时， 原式 ； （3）解： ， 当时， 原式 ． 题型11 乘法公式的简便计算（共4小题） 【模型】构造“两数和×两数差”或“整十数±小数的平方”，把大数计算化为公式直接口算。 【步骤】① 把数拆成“两数之和×两数之差”或“整十数 ± 某数”的平方； ② 套用平方差或完全平方公式；③ 计算并化简。 【易错】 × 拆数不当： 应拆成 ，而非 ； × 完全平方漏 项。 56．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 57．（25-26七年级上·上海·期中）简便计算：． 【答案】159996 【详解】解： ． 58．（25-26七年级上·上海青浦·期中）简便计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 59．（25-26七年级上·上海普陀·期中）运用乘法公式计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型12 同底数幂的除法（含零指数幂）（共6小题） 【模型】核心公式：（，）；（）。 【步骤】① 底数相同，指数相减；② 底数互为相反数，先转化为相同底数； ③ 指数为 0 时，结果为 1（注意底数不为 0）。 【易错】 × 指数误“相除”：；√ 应为 ； × 忘记条件： 不能为 0，如 无意义； × 底数互为相反数不转化：，应先统一底数。 60．（25-26七年级上·上海·期中）若，则所满足的条件是___________． 【答案】 【详解】解：由题意， 成立的条件是底数 ． 解得 ． 故答案为：． 61．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：__________． 【答案】 【详解】解：， 故答案为： 62．（25-26七年级上·上海·期中）______． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 63．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，的值是_________． 【答案】或0或 【详解】解：当底数时， 解得，此时指数为，得到，等式成立； 当指数时， 解得，此时底数为，得到，等式成立； 当底数时， 解得，此时指数为，为偶数，得到，等式成立； 其他情况均不满足等式， 故答案为：或0或． 64．（25-26七年级上·上海宝山·期中）已知的商与是同类项，且，求的值． 【答案】17 【详解】解： ， ∵与是同类项， ∴． 又∵， ∴． 65．（25-26七年级上·上海崇明·期中）已知，，求 (1)的值； (2)的值． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解：， 当，时， 原式． 题型13 单项式÷单项式、多项式÷单项式（共6小题） 【模型】系数相除、同底数幂相除；多项式除以单项式 = 逐项相除再相加。 【步骤】① 系数相除（注意符号）；② 相同字母的指数相减； ③ 只出现在被除式中的字母照写；④ 多项式逐项除以单项式，再把所得商相加。 【易错】 × 系数与指数混淆： 系数 ，指数 ； × 多项式除法漏项：每一项都要除以单项式； × 符号：被除式中带负号的项，商的符号也带负号。 66．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 67．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 68．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：_____． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为： 69．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：__________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 70．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 . 71．（25-26七年级上·上海·期中）已知为，为，根据流程图列式计算，求． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，， ∴． 拔高·压轴破难 题型14 先化简再求值（共4小题） 【模型】用整式乘法与乘法公式展开 → 合并同类项 → 代入求值；或利用公式变形整体代入。 【步骤】① 先用整式乘法或乘法公式展开；② 合并同类项，化为最简形式； ③ 代入数值（或整体代入）计算。 【易错】× 先代入后化简，导致计算繁琐、易出错； × 展开时漏项、漏符号； × 条件需要先化简的（如非负性、和差积关系）不要直接代。 72．（25-26七年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【详解】解： ， 当时，原式． 73．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：（为正整数），其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时， 原式． 74．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 75．（25-26七年级上·上海·期中）先化简再求值，，其中． 【答案】， 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 题型15图形面积与数式结合 （共6小题） 【模型】用整式表示几何图形的边长、面积；或用“面积分割”解释乘法公式。 【步骤】① 用字母表示关键线段；② 由面积公式建立整式关系；③ 化简并回答问题。 【易错】× 边长、面积单位混淆； × 分割图形时漏算某一部分。 76．（24-25七年级上·上海·期中）如图：一套房子的客厅和房间分别是边长为a米和b米的正方形，厨房和卫生间分别是正方形和长方形． (1)求厨房和卫生间的面积（用含的代数式表示）； (2)当时，求卫生间的面积． 【详解】（1）解：根据题意，厨房和卫生间分别是正方形和长方形且边长相等， 卫生间和厨房的面积为： （2）解：当时， 原式平方米． 77．（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【详解】（1）解：图2的 面 积 可 表 示 为 或 ， 图2中所表示的数学等式为； （2），， ，， ， ． 78．（24-25七年级上·上海·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】(1)图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为，乘法公式为 (2)①；②4 (3)长为，宽为， 长方形如图： 【详解】（1）解：如图，设等腰梯形的高为，   ， ， 图中阴影部分的面积： ， 图中阴影部分的面积：， ， ， 故可得到的乘法公式为：； （2）解：设乙同学用4块A木片、1块B木片和m块C木片拼成了一个正方形，则该正方形的面积为， 当时，， 所拼正方形的边长为，所用木片的数量为4， 故答案为：①；②4； （3）解：赞同丁同学的说法；去掉个以后， ， 该情况下所拼长方形的长为，宽为 79．（23-24七年级下·山东聊城·期末）从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． A．        B．        C． (2)运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 【答案】(1)B (2)①；② 【详解】（1）从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图， 图1剩余部分的面积为，图2的面积为，二者相等，从而能验证的等式为：． 故选：B． （2）①， ， ； ②原式 80．（25-26七年级上·上海松江·期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． (2)小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么__________． (3)如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片__________张． 【答案】(1)如图所示： (2)12 (3)８ 【详解】（1）解：由图可知拼成的长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积， ∵拼成的大长方形面积为， ∴大长方形的代数意义为， （2）解：1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为， 故根据的结论可知，，，， 所以，， 故答案为：12； （3）解：∵， ∴需要3号卡片8张． 故答案为：8． 81．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料：在学习乘法公式时，我们知道可以通过不同方法计算几何图形面积得到一些代数恒等式，例如，通过图①中面积计算可以得到完全平方公式：． (1)仿照图①结论，根据图②，写出一个恒等式________________； (2)利用第（1）题中得到的结论，解决如下问题：若，，则________； (3)小杰用图③中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，那么________； (4)事实上，通过不同方法计算几何体的体积也可以得到类似的结论，例如图④展示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体得到的立体图形后重新拼成一个长方体，根据图中的变化关系，写出一个恒等式： ． 【答案】(1) (2)16 (3)6 (4) 【详解】（1）解：由图2得：正方形的面积可表示为， 正方形的面积也可表示为， ， 故答案为：； （2）解：∵， ， ， ， 故答案为：16； （3）解：由题意得：， ， ， ， 故答案为：6； （4）解：∵原几何体的体积， 新几何体的体积， ， 故答案为：． 题型16 规律探究（共4小题） 【步骤】① 先算前几项，观察规律；② 归纳通式；③ 用乘法公式验证。 【易错】 × 找规律时只看表面不看“连乘凑平方差”的结构； × 化简到第几步停止把握不准。 82．（24-25七年级上·上海·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的规律：                  1               1    1           1     2    1       1     3     3    1    1     4    6      4   1 1     5    10    10    5   1             …… …… 则的展开式中所有项的系数和是（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】B 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故选：B． 83．（25-26七年级上·上海闵行·期中）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应的系数，根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：______． 【答案】 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 84．（24-25七年级上·上海松江·期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 【详解】(1)解： ， 成立． （2）解：； （3）解：∵， ． 85．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知 ，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想： ．（n为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①______． ②______（n为正整数）． ③_______． 【答案】(1) (2)①，②，③ 【详解】（1）解：， ， ∴； 故答案为：； （2）解：①把，代入可得； ②把代入可得， ∴， ∴， ∴； ③把代入可得， ∴． 故答案为：，，． $