6.2.2 线段的比较与运算 教学设计 2026—2027学年人教版数学七年级上册

6.2.2 线段的比较与运算 教学设计 课题 6.2.2 线段的比较与运算 学科 数学 年级 七年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1 课时 课型 新授课 教学目标 1. 掌握用度量法与叠合法比较线段的长短；2. 理解两条线段长短比较所隐含的意义，能从“量”与“形”上进行转化；3. 借助具体情境，了解“两点之间，线段最短”的性质；4. 在活动中体验两点之间线段最短性质的形成过程，感受数学与生活的联系；5. 掌握线段中点的性质及其简单运用. 教学重点 掌握比较线段长短的正确方法，理解线段中点的概念及应用. 教学难点 理解线段的中点、三等分点、四等分点的概念及运用. 教学方法 情境导入、动手操作、讲练结合 教学准备 多媒体课件、直尺、圆规、学案 课后练习 教材本节课后练习中与本课时相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 环节一 温故知新 一、温故知新 1．经过两点有　　　条直线，并且只有　　　条直线．简单说成　　　　　　　　． 答案：一；一；两点确定一条直线. 2．当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线　　　，这个公共点叫作它们的　　　． 答案：相交；交点. 3．可以用一条直线上的　　　点或一个小写字母来表示这条直线；可以用一条线段的两个　　　点或一个小写字母来表示这条线段；可以用一条射线的　　　点和射线经过的一点或一个小写字母来表示这条射线. 答案：两；端；端. 学生独立完成填空，同桌互查；教师抽答并板书要点. 回顾旧知，为本节课比较线段长短、研究线段数量关系做好铺垫. 环节二 创设情境 导入新课 二、创设情境、导入新课 【课堂引入】你们平时是如何比较两个同学的身高的？你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？ 比一比：160 cm 与 170 cm 【情景导入】做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的长，我们可以用什么方法进行比较呢？ 截木棍问题 【悬念激趣】1. 如图，草坪上被踩出了一条小路，在这里，从 A 地到 B 地，人们为什么不走马路而走踩出来的小路？2．怎样走最近？如图，从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？通过这两个问题，结合我们前面学过的图形（直线、射线和线段），你能得出什么结论？ 踩出的小路与四条道路 【师生活动】学生结合生活经验自由发言（目测、并排、用尺量等），教师肯定并提炼：比较身高“站平齐、看头顶”就是叠合的思想，从而引出课题. 学生从生活经验出发提出比较高矮的方法，初步感知“度量”与“叠合”两种比较方式. 从生活实际出发，把现实问题转化为数学探索问题，激发兴趣，形成认知冲突. 环节三 实践探究 交流新知 三、实践探究、交流新知 问题1：(1) 上节课我们学习了直线、射线和线段，请同学们在练习本上任意画一条线段，并把它表示出来；(2) 你还能再作出一条与它同样大小的线段来吗？想一想，然后说一说你的想法. 所画的线段（示例） 追问：如果只想到“度量法”，教师引导：如果没有带刻度的尺子怎么办？ 问题2：黑板上有两条线段，你能判断它们的长短吗？有什么方法来验证你的判断？ 线段 a 与线段 b 比较两个同学高矮的方法迁移到线段： ①用刻度尺分别度量出两条线段的长度，将所得的数值进行比较——度量法； ②把两条线段的一个端点重合，将两条线段叠合在一起，直接比出长短——叠合法. 【师生活动】学生先直观判断再独立思考验证方法；小组讨论后由代表边阐述边演示，教师结合“比身高”启发思路并板演示范（圆规截取叠合）. 问题3：如图，线段 AB 和 AC 的大小关系是怎样的？线段 AC 与线段 AB 的差是哪条线段？你还能从图中观察出其他线段之间的和、差关系吗？ 线段的和与差 【师生活动】学生观察并回答（AB＞AC，AB−AC＝BC，AC+BC＝AB），教师点评并板书示范线段和、差的记法. 问题4：(1) 如图，已知线段 a 和线段 b，怎样通过作图得到 a 与 b 的和、a 与 b 的差呢？ 已知线段 a、b 作法：①作线段 AC＝a；②在线段 AC 的延长线上作 BC＝b，则 AB＝a+b；在线段 AC 上截取 CD＝b，则线段 AD 就是线段 a 与 b 的差. 作 a+b（尺规截取痕迹） 追问：反思以上作图过程，总结作图方法——先用圆规截取第一条线段，再在其延长线（或线上）顺次截取，保留作图痕迹. 问题5：(1) 如图，已知线段 a，求作线段 AB，使 AB＝2a. 已知线段 a 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 BM，点 M 叫作线段 AB 的中点，其中的数量关系可表示为：AM＝BM＝AB. 线段的中点 追问1：类似地，线段还有三等分点、四等分点等，你认为该怎样描述三等分点和四等分点的概念？它们又包含了怎样的数量关系？ 三等分点：将线段分成相等三段的两个点，如点 M、N 三等分 AB，则 AM＝MN＝NB＝AB；四等分点：将线段分成相等四段的三个点，每一段为AB. 追问2：怎样用折叠法得到线段的中点、四等分点？画一条线段，然后折折看——对折使两端点重合，折痕与线段的交点即中点；再对折可得四等分点. 【师生活动】学生分析题意后独立完成作图与折叠操作，教师巡视指导，总结归纳：由“形”的叠合得到“数”的数量关系. 学生动手画图、用圆规截取叠合、折叠验证，经历“操作—比较—归纳”的过程，掌握度量法、叠合法与尺规作图，理解中点及等分点的概念与数量关系. 作一条线段等于已知线段是几何基本作图，让学生在自主探索中掌握比较方法；由形到数认识图形，明确符号表示线段和、差的方法；层层递进学习等分点，理解等分点的产生过程与数量关系. 环节四 典型例题 规范格式 四、学以致用、典型例题 例1 如图，点 C 是线段 AB 上的点，点 D 是线段 BC 的中点． A—C—D—B (1) 若 AB＝10，AC＝6，求 CD 的长；(2) 若 AC＝30，BD＝10，求 AB 的长. 解：(1) 因为点 D 是线段 BC 的中点，所以 CD＝BC. 因为 AB＝10，AC＝6，所以 BC＝AB−AC＝10−6＝4，所以 CD＝×4＝2. (2) 因为点 D 是线段 BC 的中点，所以 BC＝2BD＝2×10＝20. 因为 AB＝AC+BC，所以 AB＝30+20＝50. 【师生活动】学生独立完成(1)，教师板演规范步骤；学生口述(2)思路，教师点拨“遇中点先写二倍关系”，强调几何计算要“言必有据”. 学生规范书写利用中点进行线段计算的过程，体会“中点→二倍关系”的转化. 通过例题讲解，示范几何计算题的规范格式，加深对本课时知识的理解. 环节五 变式训练 巩固提升 五、变式训练、巩固提升 例2 如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何设计线路？在图中画出，并说明你的理由. A、B 两地公路 解：如图所示，连接 AB. 理由：两点之间，线段最短. 【变式1】如图，在直线上顺次取 A，B，C 三点，使 AB＝4 cm，BC＝3 cm，如果 O 是线段 AC 的中点，求线段 OB 的长度. A—O—B—C 解：因为 AB＝4 cm，BC＝3 cm，所以 AC＝AB+BC＝7 cm. 因为点 O 是线段 AC 的中点，所以 OC＝AC＝3.5 cm. 所以 OB＝OC−BC＝3.5−3＝0.5(cm). 【变式2】如图，平面上有 A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画出蓄水池 P 的位置，使它与 4 个村庄的距离之和最小. 四村庄选址问题 解：连接 AC、BD，其交点即为 P 点的位置（依据：两点之间，线段最短）. 【师生活动】给予学生一定的时间思考、充分讨论，争取让学生自己得到正确答案；对学习有困难的学生适当引导、点拨. 学生独立作图并说理，交流“最短路线”“选址”问题的解决方案，感受线段性质的实际价值. 应用“两点之间，线段最短”解决实际问题，发展应用意识与作图说理能力. 环节六 拓展辨析 命题角度 六、拓展辨析、命题角度 命题角度1　用尺规作一条线段等于已知线段 1．已知线段 a，b，作线段 AB＝a+b（要求：保留作图痕迹）. 已知线段 a、b 解：如图：①作线段 AC＝a；②在线段 AC 的延长线上作 BC＝b. 线段 AB 就是所求的线段. 命题角度2　线段的长度比较及和差 2．如图所示，比较线段 a 和线段 b 的长度，结果正确的是（B） 刻度尺比较 a、b A．a＞b　B．a＜b　C．a＝b　D．无法确定 3．已知线段 AC＝1，BC＝3，则线段 AB 的长是（D） A．4　B．2　C．2或4　D．无法确定 【辨析】题目未说明 C 在 AB 上或 AB 延长线上的位置关系，故 AB 可为 4、2 或 2 以外的情形吗？——当 C 在线段 AB 上时 AB＝3−1＝2；当 C 在 AB 延长线一侧时 AB＝3+1＝4，故选 C 的“2或4”看似合理，但 C 还可能不与 A、B 共线，此时 AB 无法确定，故选 D. 命题角度3　利用“两点之间，线段最短”解决问题 4．小光准备从 A 地去往 B 地，打开导航，显示两地距离为 37.7 千米，但导航提供的三条可选路线长却分别为 45 千米、50 千米、51 千米（如图）．能解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短. 导航路线与直线距离 命题角度4　线段的中点及等分点 5．线段 AB＝12 cm，点 C 在 AB 上，且 BC＝3AC，M 为 BC 的中点，则 AM 的长为（C） A．4.5 cm　B．6.5 cm　C．7.5 cm　D．8 cm 【解析】由 BC＝3AC 且 AC+BC＝12，得 AC＝3 cm，BC＝9 cm；M 为 BC 中点，BM＝4.5 cm，故 AM＝AB−BM＝12−4.5＝7.5(cm)，选 C. 【师生活动】学生限时独立完成，教师讲评时突出各命题角度的关键词：“尺规—保留痕迹”“和差—分类讨论”“最短—基本事实”“中点—二倍关系”. 学生限时训练并相互批阅，归纳四类命题的解题关键，完善错题记录. 按中考命题角度重组题组，帮助学生辨析易错点（位置关系不确定需分类、中点性质），提升应试与反思能力. 环节七 课堂检测 堂堂清 七、课堂检测 堂堂清 1．下列说法正确的是（D） A．连接两点的线段就叫作两点间的距离 B．在所有连接两点的线中直线一定最短 C．线段 AB 就是表示点 A 到点 B 的距离 D．线段 AB 的长度是点 A 到点 B 的距离 2．如图，下列关系式中与图不符合的式子是（C） A—B—C—D A．AD−CD＝AB+BC　B．AC−BC＝AD−BD　C．AC−BC＝AC+BD　D．AD−AC＝BD−BC 3．为比较两条线段 AB 与 CD 的大小，小明将点 A 与点 C 重合，使两条线段在一条直线上，点 B 在 CD 的延长线上，则（B） A．AB＜CD　B．AB＞CD　C．AB＝CD　D．以上都有可能 4．如图，从 A 到 B 有 4 条路径，最短的路径是③，理由是（D） 四条路径 A．因为③是直的　B．两点确定一条直线　C．两点间距离的定义　D．两点之间，线段最短 5．已知线段 AB＝6，若 C 为 AB 的中点，则 AC＝　　　． 答案：3. 6．若线段 AB＝5 cm，BC＝2 cm，且 A，B，C 三点在同一条直线上，则点 C 可能在 AB 上，也可能在 AB 的延长线上，则 AC 的长等于　　　cm 或　　　cm． 答案：3 或 7. 7．如图，已知线段 a 和 b，且 a＞b，用直尺和圆规作一条线段，使它等于 2a+b. 已知线段 a、b 解：图略（在线段上顺次截取 a、a、b，保留作图痕迹）. 8．已知，如图，AB＝16 cm，C 是 AB 上一点，且 AC＝10 cm，D 是 AC 的中点，E 是 BC 的中点，求线段 DE 的长. A—D—C—E—B 解：因为 D 是 AC 的中点，AC＝10 cm，所以 DC＝AC＝5 cm. 又因为 AB＝16 cm，所以 BC＝AB−AC＝6 cm. 因为 E 是 BC 的中点，所以 CE＝BC＝3 cm. 所以 DE＝DC+CE＝8(cm). 【师生活动】学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 学生限时独立完成 8 道检测题，检验对本节课知识的掌握程度、理解能力和运用程度. 通过设置当堂检测，进一步巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”. 环节八 课堂小结 布置作业 八、课堂小结 （1）你在本节课中有哪些收获？哪些进步？（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？ 【归纳】①比较线段长短：度量法与叠合法；②尺规作图：作一条线段等于已知线段、作线段的和与差（保留作图痕迹）；③线段的中点：AM＝BM＝AB，以及三等分点、四等分点；④基本事实：两点之间，线段最短；⑤两点间的距离：连接两点间的线段的长度；⑥实际应用：选址问题（距离之和最小）. 【布置作业】教材本节课后练习中与本课时相关的题目. 学生自主归纳比较方法、尺规作图、中点性质与基本事实，养成系统整理知识的习惯；课后独立完成作业. 复盘本节课内容，加强反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯. 板书设计 6.2.2 线段的比较与运算 一、比较线段长短 目测法、度量法、叠合法（叠合：端点重合、沿同方向） 二、尺规作图 作线段等于已知线段；作线段的和与差（保留痕迹） 三、线段的中点 AM＝BM＝AB（三等分点：每段为AB） 四、基本事实 两点之间，线段最短；两点间的距离：线段的长度 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $