福建省莆田十五中学2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学试题

2026-2027学年莆田第十五中八年级上学期数学第一次月考卷 审核：八年级数学组 （满分150分，时间120分钟） 班级： 姓名： 座号： 评价： 第I卷（选择题） 一、单选题（每题4分，共40分） 1．在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A．B． C． D． 2．下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，四个图形中，线段是的高的图是（    ） A． B． C． D． 4．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 5.如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 第5题图 第7题图 6. 若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于5，则它的周长等于（ ） A. 15或16 B. 16 C. 17 D. 16或17 7.如图，在中，D是的中点，E是的中点，阴影部分的面积为2，则的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．如图，用尺规作出了，其作图依据是（   ） 第8题图 第9题图 第10题图 A． B． C． D． 9．如图，在中，平分，点F在线段上，过点F作，垂足为F，与的延长线交于点E．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 10.如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题4分，共24分） 11．如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的________． 第11题图 第12题图 第14题图 12．如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 13． 设三角形三边长分别为、、，则的取值范围是______． 14．如图，若，则________． 15．如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求________． 16. 如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为_______，可以使与全等。 三、解答题（共9题，共86分） 17. （8分）在中，，，求的度数． 18.（8分）已知：如图，，，求证：． 19. （8分）如图，已知点E、C在线段上，，，．求证：． 20.（8分）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 21．（8分）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长。 (2)求与的周长差。 22．（10分）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数。 (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简：。 23．（10分）小萌同学与爸妈周末去公园游玩——荡秋千，如图所示，小萌坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小萌时． (1)判断与是否全等，并说明理由； (2)求处距离地面的高度． 24．（12分）【探究与发现】 (1)如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A．    B．    C．    D． 【变式与应用】 (2)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】 (3) 如图2，，，与互补，连接，E是的中点，试说明：． 25．（14分）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标。 答案第1页（共2页） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $《2026-2027学年十五中八年级上学期数学第一次月考卷》 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案D 0 C B D B A 0 B 二、填空题 11、稳定性 12、AC=DF 【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可. 【详解】解：BF=CE, .'BC=EF, AB=DE, 添加AC=DF, △ABC≌△DEF(SSS) 添加∠B=∠E, 片aMBC2aDEF(SAS) 添加AB∥DE, .∠B=∠E, △ABC≌ADEF(SAS) 故答案为：AC=DF(答案不唯一). 13、4<a<10 【分析】根据三角形三边关系，即任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， 列出不等式，解不等式即可得到a的取值范围. 【详解】解：三角形的三边长分别为3、8、a+1, .8-3<a+1<8+3, 整理得：5<a+1<11, .4<a<10 14、150 【分析】利用三角形内角和为180°求得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，结合 ∠A+∠B+∠C=210°推导出∠D+∠E+∠F的数值. 【详解】解：如图， A 2 :∠A+∠B+∠2=∠1+∠D+∠F=∠C+∠E+∠3=180° .∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=540°， :∠1+∠2+∠3=180°. ∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°， ∠A+∠B+∠C=210 ∴.∠D+∠E+∠F=150° 15、114° 【分析】根据折叠性质得出∠ADE=∠PDE,∠AED=∠PED,结合平角定义和三角形内 角和定理求出∠A的度数，再利用角平分线定义及三角形内角和定理求出∠BPC的度数. 【详解】解：由折叠可知，△ADE≌aPDE, .∠ADE=∠PDE,∠AED=∠PED :∠I+∠PED+∠AED=180°，∠2+∠PDE+∠ADE=180° A :.∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180° .∠I+∠2+2(LADE+∠AED)=360°. :∠ADE+∠AED=180°-∠A, ∴.∠1+∠2+2180°-∠)=360° .∠1+∠2=2∠A, :∠1+∠2=96°， .2∠A=96°， .∠A=48°， .BP,CP ∠ABC,∠ACB 分别平分 2Pac-4c,∠nB-4cm, 2Pac+∠P8=MBC+4c, :∠ABC+∠ACB=180°-∠A, :∠PBC+∠PCB=Q80°-∠0=90°-)∠A， 2 :∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB) ∠ac=18w-ow-0=0+3<A ∠BPC=90°+x48°=1140 2 16、【答案】2.4或2 BP=CO AB=PC 【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定.分两种情况：当 时， △ABP≌APCO,当MB=CO,BP=CP时，△MBP≌△OCP, 分别求解即可 得出答案。 【详解】解：四边形ABCD是长方形， .∠B=∠C=90°. 当BP=CO.AB=PCt,△ABP≌△PCQ 时， AB=CD=12cm, .PC=AB=12cm, .BP=BC-CP=20-12=8cm, :t=8÷2=4sC0=BP=8cm x=8÷4=2; 当MB=Ce.BP=CPt,△ABP≌△QCP 时， D(O) BP=CP,BC=20cm, .'BP=CP=10cm. .t=10÷2=5s, .x=12÷5=2.4; 综上所述，x的值为2.4或2 故答案为：2.4或2. 三、解答题 17、【详解】解：设∠B=x,则∠A=2x,∠C=3x+24°， ~任意三角形的内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°， .2x+x+3x+24°=180° 解得x=26°，即∠B=26° 18、证明：在△BAC和△BDC中， BA=BD AC=DC BC=BC :.△BAC≌△BDC(SSS) .∠A=∠D 19、证明：AB∥DE, ∴.∠ABC=∠DEF .·BE=CF .BE+CE =CF+CE, .BC=EF 在△ABC和△DEF中 AB=DE ∠ABC=∠DEF BC=EF ∴.△ABC≌△DEF SAS 20、证明：AB⊥CD, .∠CBF=90° :∠A+∠AEF+∠AFE=180°，∠C+∠CFB+∠CBF=180°， ∴.∠AEF=180°-∠A-∠AFE,∠CBF=180°-∠C-∠CFB, :∠A=∠C.∠AFE=∠CFB. .∠AEF=∠CBF=90° △CED是直角三角形. 60 21、(1)3cm (2)7cm 【分析】四根据三角形的面积公式解答即可： (2)利用三角形中线的定义可得4E=BE,即得△BCE的周长aMCE的周长=BC-1C 代入已知数据即可求解， 【详解】(1)解：：CD是△ABC的高，∠ACB=90°， Sme4a(D-号4cc， AC=5cm,BC=12cm,AB=13cm. x13xCD=1x5x12 .2 2 :CD=60 m 13 (2)解：，CE是△ABC的中线， .AE=BE, .△BCE的周长-△ACE的周长 BC+CE+BE-(AC+CE+AE) BC-AC =12-5 =7cm」 22、(1)等腰三角形 (2)a+b+c 【分析】(1)根据三角形三边关系确定C的取值范围为3<c<7,结合c为奇数得c=5,从 而b=C,判定△ABC为等腰三角形 (2)利用三角形两边之和大于第三边判定三个绝对值内的代数式均为负数，去绝对值后合 并同类项化简得a+b+c. 【详解】(1)解：a,b,c是△ABC的三边长 且a=2,b=5」 .5-2<c<5+2,即3<c<7, c是奇数， c=5 ..b=c .△ABC是等腰三角形： (2)解：a,b,c是△ABC的三边长 :.a-b<c,b-c<a,c-a<b. .a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0 ∴.原式=-a+b+c+(-b)+c+a+(-c)+a+b =a+b+c 23、(1)aCOE≌aOBD,，理由如下： 由题意可知∠CE0=∠BD0=90°，OB=OC, 故∠BOD+∠OBD=90°， :∠B0C=90°， .∠COE+∠BOD=90°， .∠COE=∠OBD 在△COE和△OBD中， ∠COE=∠OBD ∠CEO=∠ODB OC=OB ACOE≌AOBD(AAS) (2)1.4m 【分析】(1)根据等角的余角相等和直角三角形的性质得出∠COE=∠OBD,即可证明 ACOE≌AOBD! (2)根据全等三角形的性质得出CE=OD,OE=BD,结合题意，即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：，aCOE≌aOBD」 .CE=OD,OE=BD. ,BD,CE分别为l.4m和1.8m, DE=OD-OE=CE-BD=1.8-1.4=0.4(m) MD=1m, :ME=MD+DE=1+04=1,4m ∴.C处距离地面的高度为1.4m, 24、(1)B (2)1<AD<5 (3)证明：如图，延长OE至H,使EH=OE,连接CH. :E是AC的中点， .AE=CE, 在△AEO和△CEH中， AE=CE ∠AEO=∠CEH OE=EH △AEO≌ACEH(SAS) .CH=OA,∠EAO=∠ECH .CHIOA ,∠OCH+∠AOC=180°， :∠AOC与∠BOD互补， ∴.∠AOC+∠BOD=180°， .∠OCH=∠BOD: .OB=OA, ...CH=OB. 又.OC=OD AOCH≌ADOB(SAS) .BD=OH, OH=OE+HE=20E, :0E=号0H 2 .OE=IBD 【分析】(1)由三角形中线的定义得到BD=CD,再根据AD=ED,∠ADC=∠EDB,可 利用SAS证明△ADC≌aEDB: (2)由全等三角形的性质得到BE=AC,根据三角形三边的关系求出AE的取值范围，则 可求出AD的取值范围： (3)由全等三角形的性质得到CH=OA,∠EA0=∠ECH,则可证明CHI‖OA,得到 ∠OCH+∠AOC=180°，据此可证明∠OCH=∠BOD,再证明△OCH≌△DOB,得到 BD=OH,据此可证明OE=、BD 2 【详解】(1)解：：AD是△ABC的中线， .BD=CD. 又·AD=ED,∠ADC=∠EDB」 、△ADC≌△EDB(SAS) (2)解：由(1)得△ADC≌aEDB, .'BE=AC, 在△ABE中，由三角形的三边关系可得AB-BE<AE<AB+BE, .6-4<AE<6+4, .2<AE<10 又：AE=AD+ED=2AD, .2<2AD<10, .1<AD<5: (3)略 25、(1)CD=BE (2)BE=0.4cm (3)存在：P点的坐标为： (10,10）(2,14)(4,8) 【分析】(1)利用AAS证明△ADC≌△CEB,即可得到CD=BE: (2)利用AAS证明△BCE≌aCAD,再利用全等三角形的性质运算即可： (3)分类讨论P点的位置，结合全等三角形的性质运算即可. 【详解】(1)解：CD=BE,理由如下： .AD⊥DE,BE⊥DE, ∴∠D=∠E=90°=∠ACB】 ,∠D+∠DAC=∠ACE=∠ACB+∠BCE, .∠DAC=∠BCE, 在aADC与△CEB中， 「∠D=∠E ∠DAC=∠BCE AC=BC △ADC≌△CEB(AAS) .CD=BE, (2)解：：AD⊥CE,BE⊥CE, ∴.∠E=∠ADC=90°， ,∠ACB=90°， .∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°， ∴.∠BCE=∠CAD ,△BCE和△CAD中， 「∠E=∠ADC ∠BCE=∠CAD BC=AC △BCE≌ACAD(AAS) .'BE=CD,CE=AD=2cm, .BE=CD=CE-DE=2-1.6=0.4cm; (3)解：存在，理由如下： ①：当PB=AB,∠ABP=90°时，过点B作平行于x轴的直线DE,AD⊥DE于点D, PE⊥DE于点E,如图所示： D 4(-2,6)B(6,2) AD=6-2=4 BD=6-(-2)=8 由(1)同理可证△ABD≌△PEB, .AD=BE=4,PE=BD=8. :P点的横坐标 BE+xB=4+6=10P =PE+yB=8+2=10 点的纵坐标 :Pt@10) ②：当PA=AB,∠PAB=90时，过点A作平行于y轴的直线GF,PG⊥GF于点G, BF⊥GF于点F,如图所示： G Fh. 4-26)B(6,2) :AF=6-2=4.BF=6-(-2)=8 由(1)同理可证△PGA≌AAFB, .'.PG=AF=4,GA=BF=8. P点的横坐标 PG+,=4+(2列=2.P点的纵坐标=61+y=8+6=14, P2,14 ③：当PA=PB,∠APB=90°时，过点P作平行于x轴的直线MN,AM⊥MN于点M, BN⊥MN于点N,如图所示： M PN A B 设P(ab) 4(-2,6)B(6,2) :PW=-=6-a.NB=y,-⅓=b-2.PM=x-x,=a-(-2)=a+2 MA=yp-yA=b-6 由(1)同理可证△APM≌aPBN, .PN=MA,PM=NB. 6-a=b-6 ∴.a+2=b-2, a=4 解得： b=8, :P(48) 综上，P点的坐标为： (10,10)(2,14)(4,8)■口口☐ 莆田十五中八年级上学期数学第一次月考 班级： 姓名 考场： 座位号： 注意事项 准考证号 1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或 者铅笔填写准考证号和姓名等，再用2B铅 C0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] C0] [1门 [1们 [1们 [1 [1们 [1们 [1们 [1们 笔把准考证号的对应数字涂黑。 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] 3] [3] [3] [3] 2.保持卡面整洁，不要折叠，不要弄破 [4幻 [4幻 [4幻 幻 [ [4] [4幻 3.考生不得填涂缺考。 [5] [5] [5] [5] [5] [5] 5] [5] [6] [6] [6] [6 [6] 必在对应的答 域内作答超 [73 ] [7] 73 7 C8] [8] [8] 8 [8 [8] [8] 正确填涂■ 缺考标记口 [9] [9] L9] [9 ] [9] [9] [9] 客观题40分) 1 CA]C3]CC]CD] 6 CA]3] 2 CA]C33 CC]CD] 7 CA]C3]CC]CD] 3 CA]C3]C]CD] 8 CA]C3]CC]CD] 4 CA]C3 CC]CD] 9 CA]C3]C]CD] 5[A][3][C]CD]10[A][3][C]CD] 填空题24分) 11、(4分) 12、(4分) 13、4分) 14、(4分) 15、4分) 16、(4分) 三、解答题86分) 17、(8分) A 18. B C D 19、(8分) 20、(8分) F B D 第1面共2面 4 21、(8分) 22、(10分) ■ 口■口▣ 23、(10分) Eh----- B D 77777n777777 777777 M ■ 24、(12分) B D B 图1 图2 (1)】 (2) (3) 第2面共2面 25、(14分) 0 图1 图2 图3 备用图 (1) 3) 0 ■ ■