浙江绍兴市新昌中学2026-2027学年高三上学期数学周考4

新昌中学2026学年第一学期高三数学周考4试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分， 1.设复数21=5-3i,z2=-2+1,i为虚数单位，则复数z1+z2在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D,第四象限 则A∩B= 3.已知正数a,b,则“na=nb”是“a+是=b+片”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D,既不充分也不必要条件 4.在△ABC中，已知AB=3,BC=4,AC=5,那么AB.BC+BC.CA+CA·AB= A.25 B.24 C.-24 D.-25 5.已知抛物线C:y2=2Px（乃，>0)和C2:x2=2p2y（P2>0)均经过点(4,8)，则C的 焦点与C,的焦点之间的距离为 A.12 B.4V5 C.6 D.65 2 6.已知四面体ABCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD,BC⊥CD, AB=BC=AC=CD-2,则球O的表面积为 A.28V21z B.42ix c.28π D.28z 27 3 3 7.已知函数f)=logz(2+)+b是奇函数，则a+b= A.-3 B.-1 C.-5 D.1 8.设U={(x,x2,)x∈{-2，-1,12，i=1,2,3}为空间中64个点构成的集合，点 P(1,1,1),记样本空间2=CP,，从2中随机取一个点，定义随机变量x如下：对2中的 每个点A(:,x2,为)，令X(A)=x+为+为，则X的数学期望值为 A.、1 B.-1 C.0 D. 1 21 63 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分， 9.已知函数(a)=血(@x+0>0←习引，其图像相邻两条对称轴之间的距离为牙，且 4 直线x=音是其中一条对称轴，则下列结论正确的是 A.函数f()的最小正周期为 B.函数f(x)在区间 ππ 6'12 上单调递增 C.点 5π 240 是函数f(x)图像的一个对称中心 D.将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的 图像向左平移亚个单位长度，可得到g(x)=si血2x的图像 6 10.某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖. 成绩/分919293949596979899100 人数 ▣■1233681212 则下列关于成绩统计的说法，正确的有 A.众数与被遮盖的数据无关 B.方差与被遮盖的数据有关 C.平均数有可能大于中位数 D.三个四分位数a,b,c(a<b<c)成等差数列 11.在空间中，A、B为两个定点，动点C到直线AB的距离为2，动点D到直线AB的 距离为1.若二面角C-AB-D为60°，则 A.∠CAD≥60° B.CD≥V3 C.当AB⊥CD时，CD⊥平面ABD D.当AB⊥平面ACD时，AC⊥AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.等比数列a}满足a☑+a=子，a+a5=34,则当n=_时，a1a取到最小值。 13.若x3=a6+a(x+1)+a2(x+1)2++a(x+1)°，则4= 14.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，观察向上的点数，则点数之差的最大值为4的 概率是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知y关于x的成对数据如下表： 5 5.5 6 6.5 7 45 55 62 68 80 ①求y关于x的回归直线方程； 利用①的回归直线方程，预测当x=10时y的值.（附见下一页) 附：回归方程)=à+x中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 6260, -,a=- 2-可 16.(本小题满分15分)如图所示，已知四棱锥B一ACC1A1,AA1⊥平面ABC,CC1⊥平面 ABC,BA L AC,AB=AC=CC1=2AA1. ①证明：平面ABC1⊥平面BCC1; II)设M为BC1的中点，求直线AM与平面A1BC1所成角的正弦值. 17.(本小题满分15分)已知△ABC的角A,B,C的对边是a,b,c,a2=b2+bc且cosB=, ①求a:b:c; (四若AM为△ABC的中线，AD为△ABC的角平分线，求AM AD 18.(本小题满分17分)已知圆C:(x-4)2+(y-1)2=4,直线：2mx-(3m+1)y+2=0 (①)求证：直线1过定点； I)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值； 四)已知点M(4,5),在直线MC上(C为圆心)，存在定点N(异于点M),满足：对于 圆C上任一点P,都有PN为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数。 19.(本小题满分17分)己知函数f(x)=(x2-ax+1)e×-ea. (I)讨论函数f(x)的单调性； (IⅡ)若函数f(x)有三个不同的零点1，x2,x3· (①)求实数a的取值范围； ()若a>一1，证明：x1+x2+x3>3a-2. 新昌中学2026学年第一学期高三数学周考4答案 1-8:DBADDCCA 9.AC 10.ABD 11.BC 7.考虑f)的定义域，由2+品>0，若a之0，由不等式可解得函数定义域为(-0，- 2空)U(-1,+0),不可能为奇函数，若a<0,解得函数定义域为(-0，-)U(空，+∞)， 若为奇函数，必有-2岁+(-)=0，解得a=-4;又0=f)+f-0=1og22- )+b+1o(2-4)+b=2+2b,解得b=-1,a+b=-5,故答案为C. 8.由题意可知1@上63解法：依题意，可得PX6)卫X=6三急 Px=列-PX=到=P(x=-=P(K=到-后Px-到-合P=到高 PX=-2列=PX=2=PX=刂=P(X=刂-8PX=)=8 所以00-(6+0小高+(5+5-4+4后3x音+3爱+(2+2-1+0x名+0x名员 6321 解法二：根据对称性可知：P(X=6)=P(X=6),P(X=-5)=P(X=5), P(X=-4)=P(X=4),P(X=-2)=P(X=2),P(X=-1)=P(X=1), 又P(X=-)-高P(K=列=高所以(W)=3等+ 。31 63 6321 10.【解析】众数为99和100，与被遮盖的数据无关，A正确； 方差涉及到每个数据，所以与被遮盖的数据有关，B正确； 由于中位数为98，设成绩为91,92的分别有a,b个，当b=3时平均数最大且为97.68，C错 误；因为a=97,b=98,c=99,则D正确.故答案为ABD. 11.不失一般性作图如下， 过点C作CE⊥AB,E为垂足，过点D作DF⊥AB,F为垂足， 过点E作EG/IFD,EG=FD,连接GD, 则EG⊥AB,因为二面角C-AB-D为60°， 所以∠CEG=60°，由已知CE=2,DF=1, 所以CG2=4+1-2×2×1×c0s60°=3，所以CG=√5， 故CG⊥EG,CD≥CG=V3,B正确； 当点A与点E的距离无限大时，CA,AD无限大，CA,CD无限靠近AB, 此时∠CAD趋向于0°，A错误； 因为AB⊥CE,AB⊥EG,CE∩EG=E,CE,EGc平面CEG, 所以AB⊥平面CEG,又CGc平面CEG,所以AB⊥CG, 若AB⊥CD,D,G不重合，结合CG∩CD=C,CG,CDC平面CDG, 可得AB⊥平面CDG,DGC平面CDG,所以AB⊥DG,矛盾，所以D,G重合， 因为AB⊥CG,CG⊥EG,EG∩EF=E,EG,EFc平面EFDG, 所以CG⊥平面EFDG,故CD⊥平面ABD,C正确； 因为AB⊥平面CEG,若AB⊥平面ACD, 则平面CEG与平面ACD重合，此时点A与点E重合，点D与点G重合， 故AC与AD的夹角为60°，D错误， 12.213.-56 14.号 15.【详解】(1)由题意得：x=5+5.5+6+6.5+7=6, y=45+55+62+68+8 =62, 5 2(5-0-列=-x(-17)-05x(-7）+0+05x6+1x18=45, 2-旷-102s+0s+1-25.所以6盛-0-列 41.5 =16.6, 2〔s或 2.5 所以a=y-x=62-16.6×6=-37.6,所以y关于x的回归方程为y=16.6x-37.6. (I1)由(I)知y关于x的回归方程为=16.6x-37.6, 当x=10时，y=16.6×10-37.6=128.4,所以预测值为128.4. 16.(本小题满分13分)法一： (①取BC中点N,联结A1M,MN,AN, 因为AA1ICC1且AA,=,CC,MN ICC,且MN=CC1,所以AA,I MN且AA1=MN,所以四边形A1MNA为平行四边形，所以A1M‖AN.2分 因为AB=AC所以AN⊥BC,又因为AN⊥CC1,且BCnCC1=C,所以AN⊥平面 BCC1, .4分 故A1M⊥平面BCC1,所以平面A1BC1⊥平面BCC1· .5分 I)不妨设正方体边长为2，以A为原点，分别以AB,AC,AA1为x,y,z轴建系 .7分 则B(2,0,0),C1(0,2,2),A1(0,0,1),M(1,1,1),所以A=(1,1,1),9 分BA=（-2,0,1),A1C=(0,2,1), ⑧A元=0得平面A8G,的法向量元=(1，-1,2)，…11分 由 (A1C·元=0 设AM与平面A1BC1所成的角为0，则sin8=lcos<A币，元>=号 .…13分 法二： (I)不妨设正方体边长为2，以A为原点，分别以AB,AC,AA1为x,y,z轴 建系…2分 则B(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),A1(0,0,1), 所以BA=(-2,0,1),A1C=(0,2,1),BC=(-2,2,0),CC=(0,0,2), 由C:元=0得平面BCG,的法向量元=1,10， .5分 (BC·元=0 由 BA:元=0得平面A1BC1的法向量元=(1，-1,2)， 7分 AC·元=0 因为元·元=0，故平面A1BC1⊥平面BCC1· .9分 (Ⅱ)由M(1,1,1),得A=(1,1,1), .11分 BA1=(-2,0,1),A1C1=(0,2,1), 设AM与平面41BG:所成的角为0，则sin0=lcos<丽，元>=9. 13分 17.(本小题满分15分)法一： ①由a2=b2+bc得A=2B. 2分 因为sinB=9,sinA=sin2B=,snC=sin3B- 16 .5分 故a:b:c=6:4:5. .7分 (四不妨设a=6,由b2+c2=a2+2AM2得AM= 2’ .10分 由A=2B得AD=BD=a=号， 3 13分 所以=3V6 AD20· 15分 法二 ()由余弦定理得2=a2+c2-c, 2分 与a2=b2+bc联立得，b+c=a .4分 解得a=b,c=b,故a:b:c=6:4:5. …7分 四不纺设a=6,由尔+c2=a2+2AP得AM=竖.l0分 由bcsinA=(b+c)ADsinB得AD=9，…l3分 0015分 所以4=3V6 18.（I)依题意得，m(2x-3y)+(2-y)=0令2x-3y=0且2-y=0,得x=3,y=2.直 线1过定点A(3,2) (Ⅱ)当AC⊥1时，所截得弦长最短，由题知C(4,),r=2 2-1=-1,得kc了 3-4 ==1,由2m=1得m=-1 3m+1 (Ⅲ)由题知，直线MC的方程为x=4,假设存在定点N(4,t)满足题意， 则设P(xy), =元，得PM=PwPa>0,且(x-4=4-(0- PN .4-(0y-1)2+(y-5)}2=422-(y-102+22(y-t)2 整理得，[(2-21)22+8]y+(3+2)22-28=0 上式对任意y∈[-1,3]恒成立，：(2-2)22+8=0且(3+2)22-28=0 解得2-7t+10=0,说以t=2,t=5(舍去，与M重合)，入2=4,1=2 综上可知，在直线MC上存在定点N4,2),使得PN PM 为常数2 19.①因为f(x)=(x2+(2-a)x+1-a)ex=(x+1)(x+1-a)ex, 2分 所以当a>0时，f()的增区间为(-oo,-1),(a-1,+∞)，减区间(-1，a-1); 当a<0时，f(x)的增区间为(-o,a-1),(-1,+o),减区间(a-1,-1); 当a=0时，f(x)的增区间为R. 5分 (Ⅱ)(i)因为f(-1)=(a+2)e1-ea≤0，所以a<0, …7分 故f(a-1)=(2-a)ea-1-ea>0,得a<2-e, 9分 所以实数a的取值范围为(-o∞，-1)U(-1,2-e). .10分 (的因为f(a=0,不妨设x1<a-1<x2<-1,x3=a. .12分 要证为1+x2>2a-2即2a-2-x2<x1<a-1,只要证f(2a-2-2)<f(x1)即 f(2a-2-x2)<f(x2) .14分 令gx)=f(2a-2-x)-f(x), 则g'()=-f(2a-2-x)-f)=(x+1-a(2a-1-x)e2a-2-x-(x+1)e) 令h(x)=(2a-1-x)e2a-2-(x+1)e2x,则h'(x)=-e2a-2-(2x+3)e2x,h"(x)=-(4x+ 8)e2x<0,故h(x)在区间(a-l,-1)上单调递减，所以h(x)<h(a-1)<0,故h(x)在区 间(a-1,-1)上单调递减， 所以h(x)<h(a-1)=0,则g'(x)<0,故g(x)在区间(a-1,-1)上单调递减，所以g(x2)< g(a-1)=0,即f(2a-2-x2)<f(2),得证.所以x1+x2+x3>3a-2.17分