浙江省上虞中学2026-2027学年第一学期高三数学10月月考试卷

上虞中学2026学年第一学期高三数学10月月考试卷 全解全析 (考试时间：120分钟，分值：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知袋合4=-3<头，B=创s4号，则4n8=（) {-2≤x<2} B.0<x<2y {x-2<x<2} D.u-2sx≤2y 1.【答案】A 【解析1因为B=产≤=-2≤x≤2斗，4=-3<x<2引，放4nB=-2s<2列 故选：A 2i 2.已知；为虚数单位，若2=1+i,则z2=（) A.v② B.2 C.-2i D.2i 2.【答案】B 【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果， 2i 2i0-)_2i0-边-1+i 【详解】因为1+i(1+i)(1-i)2 ,所以z=1-i, zz=(1+i)(1-i)=2 故选：B. tana= 2 3.已知0是第三象限角， 3,则sin2a=() 1/23 5 5 12 12 A.13 B.13 C.13 D. 13 3.【答案】D 2 2sina cosa 2tana 2× 3 12 sin 2a= 【解析】因为 2,所以 sin2a+cos2a tan2a+1 tand= 3 3 故选：D 4如果函数f)=3在(-0上是单调函数，那么实数“的取值范国是) A.（-2,2) B[-2,21 c（←0，-2U2,+o)D(←m,-2U2,+*m) 4.【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出口的取值范围 【详解】(x)=3-a+1 是底数大于1的指数函数，在R上严格单调递增， 要让整体f()在1，）上单调，只需保证2-ac+1在-，) 上单调即可， x= 令(x)=X-心+1，则函数开口向上，对称轴为 2 单调递减区间是 f()在(，1)上单调，只需满足对称轴不在（内部， as-1 a≥21 即：2或2，解得a≤-2或a≥2， 故a的取值范国（-0，-2小[2，+∞)】 2/23 5.直线y=2x与圆x2+y-2x-3=0交于A,B两点，0为坐标原点，若04=V5,则OB=() 4 B,25 c.35 D.45 5 5 5 5 5.【答案】C 【解析】 法一联立y=2x， 消去y并整理 x2+y2-2x-3=0 得5一2x-3=0,解得=1或x=一号 3 故A(1,2),B-5 5 所以OB 5 法二 圆的方程x2+y2-2x一3=0可化为x一1)2+y2=4, 则其圆心为点(1,0)，半径为2，则圆心到直线y=2x的距离为 2 -25 22+(-12 故4B=2 2V5 8V5, 5 5 所以O=AB-O41=3VE 5 6如图，一个直四枝柱形容器中整有水，底面BCD为梯形，4B=2CD=4,侧楼MM=8,若侧面 AABB 水平放置时，水面恰好过AD的中点，那么当底面ABCD水平放置时，水面的高度为() B 3/23 8 A.4 B.6 C.3 D.3 6.【答案】C 【解析】 2a AD,BC F.E h 【分析】设四棱柱的底面梯形的高为 的中点分别为 ,,所求的水面高为”，利用等体积 法求解即可. 【详解】设四棱柱的底面梯形的高为2a, AD,BC F,E 的中点分别为 所求的水面高为h, 则水的体积 =SmM-4+38=5nh-4+220h 2 14 h= 所以3 C C D D 7已知f=os(ar+p(oeN,05p<2的周象关于原点对练，且f问在区(0到 上单调递 √5 1 5 A.2 C.2 D.2 7.【答案】C 4/23 【解析】 π3π 得2’2，再根据单调性结合周期性特征可得@、， 0= 即可得结果 【详解】设函数()的最小正周期为T, 因为函数f()=c0s(@x+)的图象关于原点对称。 则0=c+k∈ π3元 2,且0≤p<2m,可得k=0,1,即”= ”2’2, 0,0 T≥ 又因为f(x)在区间2上单调递减，则42，可得T≥2元， 2Tz2R 且0∈N,则0，解得0<0≤1，可得0=1， 0,元 综上所速：p=五，了)=5n,所（得） -sin=-1 in6-2. m &已知函数f()=(2x-m)l血x8(x)=2x-mn,若f()≥8()恒成立，则n的取值范围是( a（o2+1+o) B（os+o) c.（-∞，0)U[e+l,+∞) D.（-o∞，0)U[2e,+o) 5/23 8.【答案】D 【解折1由()2g(),则期(2x-m)hx之2r-mm,即(2x-m)(血x-m20对于x>0恒成立 而函数y=2x-m和y=lh-”在(0，+o）上均为增函数，则西数y=2x-m和y=血x-n在(0，+o） m=e,即n，设nV，则”》 m-2e” 上有共同的零点，即2 n n2 令(m)<0,得n<0或0<n<1,令h四）>0，得n>1,所以商数h四在(，0)和0,1)上单调递 减，在L,+切)上单调递增，又n<0时，h()<0,n>0时，h(m)>0,且h0)=2e. 则h(n)e(-∞，0U[2e,+∞），即n的取值范围是（-o,0U[2e,+∞) 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9样本数据，，，，的平均数是式，方差是，极差为R,则下列判断正确的是() A若，2,3x,4,5x,6的极差是R,则R'>R B.若=l,则a+b,a+bx,a+bx,a+b,a+bx,a+b的平均数为a+b C若s2=0,则a+hx,a+b,a+h,a+h,a+b,a+b的方差为0 X4+X5 D.若<x<x<x4<x<x6,则这组数据的第75百分位数是2 9.【答案】BC -10,-4,-3,-2,-1,0 R=10 【解析】对于A,若样本数据为 ，则其极差为 6/23 此时数据5,2元，3,4,5x,6为10，-8-9，-8，-5,0 则其极差R'=10 即R=R',故A错误： 对于B,由原数据，，5，，的平均数元=1， 可得新数据 a+bx,a+b,a+bx,a+bc,a+b,a+b的平均数为a+bx=a+b, 故B正确： 对于C,由原数据，，，，，的方差是s=0, 可得新数据 +bc,a+bh,a+bc,a+bx,a+hx,a+bx的方差为bs=0, 故C正确： 对于D,由 6×75%=4.5 所以数据的第75百分位数是，故D错误： 故选：BC V66 10.记△MBC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b>c,cosB=4,a=2b,则( ) V6 AA-2B BA=2B C.b=V3c D.b=2c 10.【答案】BD 6 【解析】因为cosB=4，B是三角形内角，则smB>0, 所以imB=1-cos2B=1- V6 6b×0 已知a=2b,由正弦定理可得nA=asinB 4=60_15, b 0 8 4 106_60=/15 又因为sin2B=2 sin Bcos B=2X4X4=8 , 所以sinA=sin2B. 因为b>C,所以B>C,且A十B十C=π，那么A=2B或A十2B=π. 7/23 若A十2B=π，又A十B十C=π，则B=C,这与B>C矛盾，所以A=2B,故选项B正确，A错 误 12 由余弦定理可得b 即b-bc+c2=0,得b-3bc+2c2=0, 则b=c或b=2c. 因为b>C,所以b=2c,故选项D正确，C错误 11.王虹因彻底证明了困扰数学界逾百年的“三维挂谷猜想”于2026年7月23日获得菲尔兹奖（国际数 学界最高荣誉)·定义方向向量为 v=(cose,sine) 的直线上长度为1的线段为“日-理想线段”，下列结论 正确的是() AV0∈[0，)，平移“0-理想线段”可使其两端点均在直径为1的圆上 B.V0∈[0，)，平移“0-理想线段”，可使其两端点均在勒洛三角形的边界上（△MBC的边长均为l, 分别以4，B,C为圆心，1为半径的三段劣弧BC,C,B所围成的平面区域称为勒洛三角形) x2 y2 C∀0e[0,π)，平移“日-理想线段”，可使其两端点均在双曲线d户=1， (a>0,b>0)上 D.0∈[0，m,平移“0-理想线段”，若其两端点均可在椭圆+户=1 (a>b>0)上，则该椭圆 的离心率e 4a2 11.【答案】ABD 【解析】 8/23 【分析】易知“日-理想线段”的长度均为1，所以平移后，可使其两端点均在直径为1的圆上，所以A正 确：只需将平移后的“日-理想线段”的一个端点与顶点A或B或C重合，另一端点一定会落在勒洛三角 形的边界上，所以B正确：分析日=0时的情况，可知当双曲线的实轴长大于1时，与结论不符，所以C不 x2.y2 正确：平移“日-理想线段”，若其两端点均可在椭圆。+存京=1 (a>b>0)上，只需令2b≥1即可， 从而求得离心率e和a的关系，从而判断D. 【详解】“日-理想线段”的长度均为l,所以平移后，可使其两端点均在直径为1的圆上，所以A正确： “B-理想线段”的长度均为1，将其平移后，使其一端点与顶点A或B或C重合，则其另一端点一定相 应的落在以A,B,C为圆心，1为半径的三段劣弧BC,C,AB上，即在勒洛三角形的边界上，又 A,B,C 点 也在勒洛三角形的边界上，所以B正确： 当8=0时，v=(1,0 ,方向向量为” =(cose,sine) 的直线与x轴平行， x2 y2 与x轴平行的直线与双曲线(6反=1 (a>0,b>0)相交的线段最短为双曲线的实轴长，即2a: 因为“日-理想线段”的长度均为1，所以若2a>1,则“0-理想线段”的两端点就不能落在双曲线 (a>0,b>0)上， 所以C不正确： 9/23 x2,y2 ∀0[0，π)，平移“日-理想线段”，若其两端点均可在椭圆示+方=1 (a>b>0)上， 则该椭圆的短轴长2b≥1，即46≥1 4e-e.l-(8a 所似c≤1 4a,即e≤V1- a2 所以D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量a=(,1.6=(L),若（2a+6)16,则实数x 12.【答案】-2 【解析】由向量a=(x,),b=(,),可得a~6=x+1,同=V2 因为(2a+)16,所以(2a+万)6=2a-6+万=2(x+1)+2=2x+4=0,解得x=-2 故答案为：一2 1.已知随机变量X~N2,4且px<0=PX>a则x-的展开式中带数项为 *x 13.【答案】60 【解析】由随机变量X~N2,4,正态分布关于均值μ=2对称， 因为PX<0=PX>a, 所以0和a关于2对称， 所以0+0=2→a=4, 2 所以二项式为： 腰 10/23 又二项展开式的通项为：T,1=C:x6-2=-2.C6x6-3n, 令6-3r=0解得：r=2, 所以二项展开式中常数项为：(-2×C=60 故答案为：60. 14.如图1，已知球O的半径R=V3.在球O的内接三棱锥D-ABC中.DB⊥平面ABC,AC⊥BC, AC=V2BC,BD=V6.P,Q分别为线段AC,BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合）， 如图2.则平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值的最大值为 D G A<------- B C 图1 图2 15 14.【答案】5 【解析】因为DB⊥平面ABC,'AC,ABC平面ABC,所以DB⊥AC,DB⊥AB, 因为AC⊥BC,又BDn BC=B,所以AC⊥平面BCD, 又CDC平面BCD,所以AC⊥CD, 易知在Rt△ACD和Rt△ADB中，斜边AD的中点到点A,B,C,D的距离相等， 即AD为球O的直径，设BC=aa>0,因为AC⊥BC,AC=V2BC, 所以AB=3a,AC=V2a,因为AD=23,BD=6, 所以Rt△ADB中，AB=V6=V3a,a=V2. 以点C为坐标原点，直线CB,CA分别为x,y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴建立如图所示的空 间直角坐标系， 11/23 G入 B 则c10,00'A02,0'BR2,00D2,06设BG=tt∈0,6 p0orQ号，od小G小2,0ro号1 则ò竖，9，威2,0a竖-10小竖o小 设平面OBC的一个法向量为市=X1,y1,24 则2取2，=-2可得m=0,6,-2 设平面GPQ的一个法向量为方=X2,y2,2 则2：取x,=V2t可得D=R2t,t-1 设平面OBC与平面GPQ的夹角为0. 因为ams0=kas元，n-副- R6t+2=5xR3t+2 91032+153t2+1 x3+82-5×1+26, 5 3t+1 5 3t2+1 26:32=s-1P 令5=26+1，则s∈1,131，t=9品， 8 2V6t+1_s 8s 8 8 一≤一 一= 8-=2 可得30+1s1+1s-2s+9s+9-2259 6-2 8 9-2 12/23 当且仅当s=3,即t= 时等号成立， 6 此时cos0= 5 ×1+ 26t+1s15即os6取得最大值V西 5 3t+1 5 9V15 故答案为： 5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列a,}的前n项和为S,且S=2a,-2 （)求数列{a,}的通项公式。 1 (2)设bn=log2a,log2an1'数列b.了的前n项和为T,证明：T,<1 15【答案】，=2” (2)见解析 【解析】(1)因为 n=2a.-2,S=4 所以令n=1 可得9=242 解得82 1分 当n≥2时， Sm1=2a-1-2 则4，=2a。-2a,即4，=20 4分 所以a,}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列a,}的通项公式为4，=2” 6分 (②)因为4，=2”，所以10g,a,=log22”=n 1分 13/23 a=au小吃d 9分 1+1 所u21k2十2x3+.+n-(+0 r日++ 1、1 n+1 11分 >01-1<1 1 因为neN，,所以n+10,即n+1,所以T,<l 13分 16.(15分) 某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩 均为不低于40分的整数)分成六组： [40,50）.[50,60）,[90.10] 得到如图所示的频率分布直方图， 个频率/组距 a 0.025 0.020 0.010 0.005 0405060708090100分数 (1)求图中a的值和样本成绩的中位数： ②已知学校用分层抽样的方法，从[80,90），[90,10] 两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学 生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在9010 内的有X人，求X的分布列和数学期望 16.【答案】1)a=0.030,中位数为75 6 (2)分布列见解析，亏 【分析】(1)根据频率分布直方图中所有矩形面积为1即可求得a,再由频率分布直方图求中位数： 14/23 (2)根据分层抽样得出每组的人数，再根据超几何分布的概率公式求出相应的概率即可得分布列以及数 学期望 【详解】(1)，每组小矩形的面积之和为1， (0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1 ∴.a=0.030 40,70) 0.005+0.010+0.020)×10=0.35<0.5 成绩落在 内的频率为 成绩落在0,80) 0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65>0.5 内的频率为 70,80) ·中位数落在 内， 设中位数为m,则 .35+(m-70)×0.030=0.5 ,解得m=75,即中位数为75. 7分 0.025 (2)由分层抽样可知，成绩在[30,90)的人数为7×0025+0.01-5人，成绩在90,100]的人数为2人， 故X的可能取值为0,1,2， P(x=0)=CC=2 =答号=答月 X 0 1 2 2 4 1 P > 7 故E(X)=0x2+1×4+2×=0 4 7=7 15分 ABC-4B,C中，平面 BB,A⊥ABC,AB⊥AB,∠BAC=120°AB=AB,=4,D 17.如图，在三棱 广平面 为 48的中点，E为的中点 CC 15/23 D B (I)求证：DE∥平面ABC: ABC-ABC (2)若三棱柱 的体积 83,求15与平面 BCC B 所成角的正弦值 17.【答案】(1)证明见解析 √3 (2)31 AB MD,MC 【分析】(4)取“的中点为M,连接 证明四边形CEDM 为平行四边形，进而可得 MC//DE 可证结论： AB⊥ ABC (2)由已知可得 平面 结合柱体的体积公式求得1C=2, ,建立空间直角坐标系，利用向量法 可求得4E与平面 BCC B 所成角的正弦值。 AB 的中点为M,连接 D,MC 【详解】(1)取 4. 因为D为AB的中点，所以MD11A4且MD= CC 又因为E为CC的中点， CIA4.CG=4,所CB1MD且CE=D。 所以四边形CEDM是平行四边形，所以MCIIDE, 又MCC平面ABC,DE文平面AB,C, 所以DE∥平面ABC: 6分 ABBA⊥ (2)因为平面 平面4BC,平面B84平面4BC=,B1服 平面BC,所以4B为三楼柱 AB⊥ AB 所以 ABC-ABC 的高， 16/23 所以'c-4G=S4cAB=)AB.AC.sin∠BAC-AB=8N5 所以2×4×ACx 3×4=8V5 ,解得AC=2, 8分 在平面ABC内作Ay⊥AB, 以A为坐标原点， AB,Ay,AB 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(4,00,B(00,4).CL5,04〔0,00)，.C55,4E(-3,V5,2 10分 所以B丽（(4.0,4)Bc=(55,0以正=(3,5,2)】 BCC,B 设平 的法向量为 m=(x,八，z) B m.BB=-4x+4z=0 则m.BC=-5x+√3y=0,令x=3,则y=5,z=5, B 则平面8CC8的一个法向量为m=(5,5V) 12分 设正与平面 BCCB 所成角为， -33+55+2V3 所以sinB=cos(m,AE m·AE 93 mAEV9+3+4×V3+25+331 v93 所以AE与平面BCCB所成角的正弦值为31· 15分 18.(17分) 设抛物线C:y=4的焦点为F,过F的直线1与C交于4B两点(A点在x辅上方)，点M(2,0) 直线AM与C的另一个交点为D,直线DF与C的另一个交点为E. π (1)若1 倾斜角为3，求AB, 17/23 (2)探究直线BE是否过定点，若是，求出定点的坐标：若不是，请说明理由； (3③)若线段1B,DE的中点分别为P,,求Sw0的取值范围。 16 18.【答案】(1)3 1 ，0) (2)过定点2 3W2 3)8,t) 【解析】（山）设4(，少Axy) y-y_x-x 当AB不与x轴垂直时，直线AB的两点式方程为2--， 代入专s业 4整理得4x-(y+y2)y+yy3=0, 当AB与x轴垂直时也符合， 故直线AB的方程为 4x-(y+y2)y+yy2=0 由于直线B过F1,O),代入得4=4 4-5.+5 若1的倾斜角为3，则kB=V3,则片+2 3 则48车5+5+2=42+2=+-2+2-6 4 4 3 5分 (2)设D(云，少），由（山）同理可得直线D的方程为 x-(y+y3)y+yy3=0 由于直线4AD过点M(2,0),代入得=-8， 18/23 设B,）,则直线DE的方程为-0g+%D+,=0, 由于直线DE过F0:代入得y=-4,则==-2 直线BE的方程为 4x-(y2+y4)y+y2y4=0 即4x-02+y4)y-2=0,过定点5,0 10分 由山24=2>0，则4=是.为= t,y=t, 安兰品 2 t, 2 8 6业--引g9 y-yp_x-xp 设PQ与x轴交于N(xw,O),直线PO的两点式方程为yg-ypxg-Xp, 代人相w=业16 ⅓p49-+》 4 w.wonno) =+225国5+月-4，则5g=侧-2-5% 2 t ，则 由时222，则四=6-5加华建.则/2f2)=3 3W2 S,wno的取值范围为8，+o) 17分 19/23 19已知函数T(x)=5+cosx0<x<2π (1)求不等式f()>2f(2)的解集， (2)讨论f(x)的单调性： （3)已知函数A()=[f(-si血x-小5(0<1<1)，证明：h()在0，刘上有且只有一个极小 值点. 19.【答案】(1) 0, 2)f()在(0,2) 上单调递减， (3)详细见证明 【解析】 1 <cosx<1 【分析】(1)根据题意，把不等式转化为c0sx>2c0s2x-1,求得2 进而得到不等式的解 集： (2)求得 (x)=-xsinx-5-cosx ,令8(x)=-sinr-cosx-5,得到g(x)=-cosr,求得8(x) 的单调性与极值，得到8()<0，即(<0，即可求解： 20/23 （3)根据题意，得到h()=cosr-sir-任，先求得h)在0,2)上无极值点，设H)=-osx, π 我得风四和y=2S1在办上单调递馆，相到y=RE在2不上单调造增，存到存在 的号传0，得出难选，意 【小问1详解】 解：由函数f()=S+cosx 5+cosx>x5+cos2.x x,又由不等式f(x)>2f(2x),可得x 2x, 整理得c0sx>c0s2x,即c0sx>2cos2x-1 2分 可得(2cosx+10(cosx-)<0,所以2cosr<1 0<x<2π 因为0<2x<2π，即0<x<π，可得 3, 2 所以原不等式的解集为”3 5分 【小问2详解】 f(x)=5+cosx f(x)=-xsinx-5-cosx 解：由函数 x,可得 x2 设8()=-sinr-cosr-5,(0<x<2列)，可得8'()=-cosx.7分 下t3元 当2 资.g小>0我 π <x<2π时，g()<0, 21/23 π π3π 0, g在92通成：在22上单调递指，金 上单调递减， 80)6.）-5<0 所以当0<x<2π时， 8(x)<0,即'(x<0 所以f(冈在(0,2)上单调递减 10分 【小间3详解】由函数)-5+cosx x,可得h(x)=cosx-sinx-x(0<x<x). 则h()=-2sin-osr-t,其中0<1<1， 11分 当0<x 2时，six>0,cosx>0,此时h(x)<0,h(x)单调递减， 0. 所以函数h(x)在区间2上无极值点： 13分 语Hx)==xcox,x∈分，四7 ,可得H'(x)=-cosx+xsinx>0 所以H(x)在(2 上单调递增， 又因为y=-2sin-1在(2元 上单调递增， 所以灯三2smr-cosr=L东2不上单调速霜 因为}2-1<0，到=-1>0， 22/23 π 由零点存在定理可知，存在唯一的。气2π使得以(x)=0, <≤时)<0，当<<时，0 当2 16分 综上可得，当0<x<时，h()K0,当<x<元时，h()>0, 故h()在(0,6)上单调递减，在，)上单调递增， 所以h()在(（0，)上有且只有一个极小值点x=, 17分 23/23报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 回研▣ 上虞中学2026学年第一学期高三数学10月月考答题卡 阳 可 考场号： 座位号： 姓名： 班级： 准考证号 注意事项 [0] [0] [0] [0] [0] [o] [o] 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [1] [ [1] [1] [1] [1] [1] 2. 客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净 [21 [2] [2] [2] [2] 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 5. 保持答卷清洁、完整。 [5] [5] [5] [5] [5] ] [5] 5 [6] [6] [6] [6] [6 [6] 6 正确填涂 缺考标记 口 [ 7 [7] [7] [7] ] [7] [8] 8 [8] [8] [8] [8] [8] [8l [9 [9 [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题18为单选题；911为多选题) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 填空题 12 13. 14 解答题 囚囚■ 第1页共4页 ■ 16. 17. D C B E B 囚囚■ a 第2页共4页 ■ 18. I I 1 1 I ■ ㄖ■ㄖ 第3页共4页 逆并逆熊 ■ 囚■囚 61 ▣ ■ 上虞中学2026学年第一学期高三数学10月月考试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，若，则（    ） A． B．2 C． D． 3.已知是第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A. B. C. D. 5.直线y＝2x与圆x2＋y2－2x－3＝0交于A，B两点，O为坐标原点，若|OA|＝，则|OB|＝(　　) A. B. C. D. 6.如图，一个直四棱柱形容器中棱盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 7. 已知的图象关于原点对称，且在区间上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若的极差是，则 B. 若，则的平均数为 C.若，则的方差为0 D. 若，则这组数据的第75百分位数是 10. 记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b>c，cos B＝，a＝b，则(　　) A. A＝B B. A＝2B C.b＝c D.b＝2c 11. 王虹因彻底证明了困扰数学界逾百年的“三维挂谷猜想”于年月日获得菲尔兹奖（国际数学界最高荣誉）.定义方向向量为的直线上长度为的线段为“理想线段”，下列结论正确的是（ ） A. ，平移“理想线段”可使其两端点均在直径为的圆上 B. ，平移“理想线段”，可使其两端点均在勒洛三角形的边界上（的边长均为，分别以，，为圆心，为半径的三段劣弧，，所围成的平面区域称为勒洛三角形） C. ，平移“理想线段”，可使其两端点均在双曲线（，）上 D. ，平移“理想线段”，若其两端点均可在椭圆（）上，则该椭圆的离心率 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面向量，若，则实数___________． 13．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 ． 14．如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）设，数列的前项和为，证明：． 16．（15分） 某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图， (1)求图中的值和样本成绩的中位数； (2)已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列和数学期望． 17．（15分）如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱柱的体积为，求与平面所成角的正弦值. 18．（17分） 设抛物线的焦点为，过的直线与交于两点（点在轴上方），点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （1）若倾斜角为，求； （2）探究直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由； （3）若线段的中点分别为，求的取值范围． 19. （17分）已知函数． （1）求不等式的解集； （2）讨论的单调性； （3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $