精品解析：浙江省上虞中学2026-2027学年第一学期高三数学10月月考试卷

上虞中学2026学年第一学期高三数学10月月考试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求出即可. 【详解】因为，，所以. 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果. 【详解】因为，所以， . 故选：B. 3. 已知是第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦二倍角公式，结合同角三角函数平方和为1及商的关系，化简求值即可. 【详解】因为，所以． 4. 如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增， 要让整体在上单调，只需保证在上单调即可， 令，则函数开口向上，对称轴为， 单调递减区间是，单调递增区间是， 在上单调，只需满足对称轴不在内部， 即：或，解得或， 故的取值范围. 5. 直线与圆交于A，B两点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线方程与圆的方程联立，求出，利用两点之间的距离公式即可求得结果. 【详解】 设，联立，消去y整理得：， 解得，故， 利用两点之间的距离得， 故选：C 6. 如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设四棱柱的底面梯形的高为，的中点分别为，所求的水面高为，利用等体积法求解即可. 【详解】设四棱柱的底面梯形的高为， 的中点分别为， 所求的水面高为h， 则水的体积， 所以. 7. 已知的图象关于原点对称，且在区间上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性可得，再根据单调性结合周期性特征可得，代入检验可得，即可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为函数的图象关于原点对称， 则，且，可得，即， 又因为在区间上单调递减，则，可得， 且，则，解得，可得， 若，则在区间上单调递减，符合题意； 若，则在区间上单调递增，不符合题意； 综上所述：，，所以. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得对于恒成立，进而得到函数和在上有共同的零点，可得，进而得到，设，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，则， 即对于恒成立， 而函数和在上均为增函数， 则函数和在上有共同的零点， 即，则，即， 设，则， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，，且， 则，即的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则的平均数为 B. 若，则的方差为0 C. 若的极差是，则 D. 若，则这组数据的第75百分位数是 【答案】AB 【解析】 【分析】由平均数以及方差的性质即可判断AB，结合极差的定义，举出反例，即可判断C，由百分位数的计算公式，即可判断D. 【详解】对于A，由原数据的平均数， 可得新数据的平均数为， 故A正确； 对于B，由原数据的方差是， 可得新数据的方差为， 故B正确； 对于C，若样本数据为，则其极差为， 此时数据为，则其极差， 即，故C错误； 对于D，由，所以数据的第75百分位数是，故D错误； 故选：AB 10. 记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据三角函数关系求出，再利用正弦定理求出与的关系，进而判断与的关系，最后根据余弦定理求出与的关系，即可判断各选项. 【详解】因为，是三角形内角，则. 所以 ， 已知，由正弦定理可得： ， 又因为，所以. 因为，所以，且，那么或. 若，又，则，这与矛盾，所以，故选项正确，错误. 由余弦定理可得：，即， 即，得，则或. 因为，所以，故选项正确，错误. 故选：BD. 11. 王虹因彻底证明了困扰数学界逾百年的“三维挂谷猜想”于年月日获得菲尔兹奖（国际数学界最高荣誉）.定义方向向量为的直线上长度为的线段为“理想线段”，下列结论正确的是（ ） A. ，平移“理想线段”可使其两端点均在直径为的圆上 B. ，平移“理想线段”，可使其两端点均在勒洛三角形的边界上（的边长均为，分别以，，为圆心，为半径的三段劣弧，，所围成的平面区域称为勒洛三角形） C. ，平移“理想线段”，可使其两端点均在双曲线（，）上 D. ，平移“理想线段”，若其两端点均可在椭圆（）上，则该椭圆的离心率 【答案】ABD 【解析】 【分析】易知“理想线段”的长度均为，所以平移后，可使其两端点均在直径为的圆上，所以A正确；只需将平移后的“理想线段”的一个端点与顶点或或重合，另一端点一定会落在勒洛三角形的边界上，所以B正确；分析时的情况，可知当双曲线的实轴长大于时，与结论不符，所以C不正确；平移“理想线段”，若其两端点均可在椭圆（）上，只需令即可，从而求得离心率和的关系，从而判断D. 【详解】“理想线段”的长度均为，所以平移后，可使其两端点均在直径为的圆上，所以A正确； “理想线段”的长度均为，将其平移后，使其一端点与顶点或或重合，则其另一端点一定相应的落在以，，为圆心，为半径的三段劣弧，，上，即在勒洛三角形的边界上，又点也在勒洛三角形的边界上，所以B正确； 当时，，方向向量为的直线与轴平行， 与轴平行的直线与双曲线（，）相交的线段最短为双曲线的实轴长，即. 因为“理想线段”的长度均为，所以若，则“理想线段”的两端点就不能落在双曲线（，）上， 所以C不正确； ，平移“理想线段”，若其两端点均可在椭圆（）上， 则该椭圆的短轴长，即， 所以，， 所以，即. 所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，若，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合平面向量的数量积和垂直关系的坐标运算，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，所以， 解得. 故答案为：. 13. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______． 【答案】60 【解析】 【分析】先利用正态分布对称性求出的值，然后利用二项展开式求出常数项即可. 【详解】由随机变量，正态分布关于均值对称， 因为， 所以和关于2对称， 所以， 所以二项式为：， 又二项展开式的通项为：， 令解得：， 所以二项展开式中常数项为：， 故答案为：60. 14. 如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴，建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进一步得平面与平面夹角的余弦值的最大值的表达式，结合换元法、基本不等式求解即可. 【详解】因为平面，平面，所以，， 因为，又，所以平面， 又平面，所以， 易知在和中，斜边AD的中点到点A，B，C，D的距离相等， 即AD为球O的直径，设，因为，， 所以，，因为，， 所以中，，． 以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设，， 由题可知，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得． 设平面的一个法向量为， 则，取，可得． 设平面与平面的夹角为． 因为 ， 令，则，，， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 此时即取得最大值． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2） 因为， 所以， 即， 所以 . 因为，所以，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用与的关系结合等比数列的通项公式求解即可； （2）结合（1）可得，利用裂项相消即可求出. 【小问1详解】 因为 所以令，可得， 解得. 当时，， 则，即， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 略. 16. 某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图， （1）求图中的值和样本成绩的中位数； （2）已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列和数学期望． 【答案】（1），中位数为75 （2）的分布列为 0 1 2 期望为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积为1即可求得a，再由频率分布直方图求中位数； （2）根据分层抽样得出每组的人数，再根据超几何分布的概率公式求出相应的概率即可得分布列以及数学期望. 【小问1详解】 ∵每组小矩形的面积之和为1， ∴， ∴ 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， ∴中位数落在内， 设中位数为，则，解得，即中位数为75． 【小问2详解】 由分层抽样可知，成绩在的人数为人，成绩在的人数为2人， 故的可能取值为0，1，2， 且, 所以的分布列为 0 1 2 故． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱柱的体积为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点为，连接， 因为为的中点，所以且， 又因为为的中点，，，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，证明四边形为平行四边形，进而可得，可证结论； （2）由已知可得平面，结合柱体的体积公式求得，建立空间直角坐标系，利用向量法可求得与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，所以为三棱柱的高， 所以， 所以，解得， 在平面内作， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 所以. 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 设抛物线的焦点为，过的直线与交于两点（点在轴上方），点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （1）若的倾斜角为，求； （2）探究直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由； （3）若线段的中点分别为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，结合抛物线关系化简出直线的方程，由于直线过，代入得，由的倾斜角得出斜率关系，得，结合抛物线定义求弦长； （2）结合（1），设，得出，，，得出直线所过定点； （3）结合（1）（2），令，设与轴交于，逐步表示出点的坐标，利用得出的表达式，换元求范围即可. 【小问1详解】 设， 当不与轴垂直时，直线的两点式方程为， 代入整理得， 当与轴垂直时也符合， 故直线的方程为. 由于直线过，代入得， 若的倾斜角为，则，则，， 则. 【小问2详解】 设，由（1）同理可得直线的方程为， 由于直线过点，代入得， 设，则直线的方程为， 由于直线过，代入得， 则， 直线的方程为， 即，过定点. 【小问3详解】 由（1）（2），令，则，，， 则，， ，， 设与轴交于， 直线的两点式方程为， 代入得， 则， 设，则， 则， 由于，则单调递增， 则， 的取值范围为. 19. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）讨论的单调性； （3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点． 【答案】（1） （2）在上单调递减. （3）证明：由函数，可得， 则，其中， 当时，，，此时，单调递减， 所以函数在区间上无极值点； 设，可得， 所以在上单调递增， 又因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理可知，存在唯一的使得， 当时，；当时，， 综上可得，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在上有且只有一个极小值点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，把不等式转化为，求得，进而得到不等式的解集； （2）求得，令，得到，求得的单调性与极值，得到，即，即可求解； （3）根据题意，得到，先求得在上无极值点，设，求得和在上单调递增，得到在上单调递增，得到存在唯一的使得，得出的单调性，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，又由不等式，可得， 整理得，即， 可得，所以， 因为，即，可得， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 解：由函数，可得， 设，可得， 当时，；当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又因为，， 所以当时，，即，所以在上单调递减. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上虞中学2026学年第一学期高三数学10月月考试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知是第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A. B. C. D. 5. 直线与圆交于A，B两点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 7. 已知的图象关于原点对称，且在区间上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则的平均数为 B. 若，则的方差为0 C. 若的极差是，则 D. 若，则这组数据的第75百分位数是 10. 记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 王虹因彻底证明了困扰数学界逾百年的“三维挂谷猜想”于年月日获得菲尔兹奖（国际数学界最高荣誉）.定义方向向量为的直线上长度为的线段为“理想线段”，下列结论正确的是（ ） A. ，平移“理想线段”可使其两端点均在直径为的圆上 B. ，平移“理想线段”，可使其两端点均在勒洛三角形的边界上（的边长均为，分别以，，为圆心，为半径的三段劣弧，，所围成的平面区域称为勒洛三角形） C. ，平移“理想线段”，可使其两端点均在双曲线（，）上 D. ，平移“理想线段”，若其两端点均可在椭圆（）上，则该椭圆的离心率 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，若，则实数___________． 13. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______． 14. 如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）设，数列的前项和为，证明：． 16. 某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图， （1）求图中的值和样本成绩的中位数； （2）已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列和数学期望． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱柱的体积为，求与平面所成角的正弦值. 18. 设抛物线的焦点为，过的直线与交于两点（点在轴上方），点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （1）若的倾斜角为，求； （2）探究直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由； （3）若线段的中点分别为，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）讨论的单调性； （3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $