江苏扬州市2027届高三年级上学期10月供题训练数学试题

扬州市2027届高三年级10月供题训练 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效。 3.本试卷共4页，考试时间120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交 回 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1.已知复数z满足z(1+)=2i,则z的实部为 A.-1 B.0 C.1 D.2 2.已知集合A={x|-2<x≤3，x∈N,则集合A的元素个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 3.函数f()=m3x+写到的最小正周期为 A.π 2 B. c胃 D. 4.设甲：a+≤2，乙：a2+b2≤2，则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知eosa=号，0<a<受，则an2a的值等于 3 2 A-29 B. 7 c D.-16 5 2 6.已知函数∫(=m-3+的图象关于原点对称，则实数m= A.1 B.-1 C.2 D.-2 S数学试卷第1页共4页 7.三个电流瞬时值的函数表达式为1(t)=sint,I2(t)=sin(t+p),I,()=sin(t+2p),pe(0,π)，它 们合成后的电流瞬时值的函数为I(t)=1(t)+2(t)+13(t)的部分图象如图所示，则 I(t)的最大值为 A.1 B.√2 C.5 D.2 8。设点M(,(G》和点N(,8(》分别是函数f=。-和8)=x-1图象上的点， 且x≥0，x>0,若直线MN//x轴，则M,N两点间的距离的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=x(e+ae)是奇函数或偶函数，则y=f(x)的图象可能是 B 10.已知0<a<月<登，且ina+cosa=2sn0,smB+cosB=1eosa,1eR,则 AB的取值范周为信引 B.存在a,B,使得t=2 C当=时，am月=月 D.t的取值范围为 11.已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为4，点E在棱A,B上，若正方体的一个截面经过 点E,A,C,且将正方体分成体积比为17：7的两部分，则 A.该截面为梯形 B.AE:EB=3:1 C。点8到该被面的距离为 D.点E,A,B,C都在同一个球面上，且该球的表面积为41π S数学试卷第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数f(x)=xnx-2x+3的单调递减区间为 1B.若点(mm>0)是函数y=2c0后-图像上的一点，则m的最小值是 14.正实数少z满足x+2y2+4x2y2z2=8,则1og4x+log2y+1og8z的最大值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm)介于[15,25]之间，现 对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. ◆频率/组距 0.150 (1)求a的值： (2)以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在19,21)内0,100 0.075 0.050 的株数为X,求X的分布列及数学期望E(X): 0151719212325高度/cm 16.(15分) 已知f(x)=log2(ax+1)(a∈R), (1)当a=2时，求不等式f(3x-2)>0的解集； (2)若函数g(x)=f(x)+log2x只有一个零点，求实数a的取值范围. 17.(15分) 如图在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，四边形CDEF为等 腰梯形，且CD1/EF,AD1DE,EF-CD,∠CDE=6. (I)证明：平面ABCD⊥平面CDEF; (2)求平面ADE与平面AFC所成角的正弦值； (3)求点B到平面AFC的距离. S数学试卷 第3页共4页 18.(17分) 己知函数f)=1n1+) 1+x (1)求曲线y=f(x)在(0，f(O)处的切线方程： (2)若f(x)≤a在x∈[0，+∞)上恒成立，求实数k的最小值： (3)求证：对任意的x∈[0，+o),都有f(f(x)≤f(x). 19.(17分) 若存在xeR,n,∈N(n,≥2)，使得{xx=x, +2血，keZ恰为函数f(x)的全部零点 no 所构成的集合，则称∫(x)为“分圆函数” (1)分别判断下列函数是否为“分圆函数”，并证明”： ①y=sinx-cosx ②y=2cosx+1. (2)求证：对任意a∈R,f(x)=tan2x-atanx-1均为“分圆函数”； (3)若g()=0s2-b为“分圆函数，证明b一定存在不同的取值. S数学试卷第4页共4页 扬州市2027届高三年级10月供题训练 数学参考答案与评分建议 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.C 2.B3.C4.B 5.A6.A7.D 8.B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目 要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9.BC 10.AD 11.ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.(0,e) 13.酒 14.号 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【解】(1)依题意可得(0.05+0.075+a+0.15+0.1)×2=1,解得a=0.125 (5分) (2)由(1)可得高度在[19,21)的频率为0.125×2=0.25，则X~B(4,0.25) (6分) P(x-1-G Px-2-周- Px-)-c得)a Px=4=G=6 (10分) 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 81 27 27 1 256 64 128 64 256 所以，E(X)=4× 4 =1 (13分) 扬州市2027届高三年级10月供题训练参考答案与评分建议第1页（共7页） 16.(15分) 【解】(1)'f(x)=log2(ax+1)(aeR),a=2 ∴f(x)=log2(2x+1) .2x+1>0, )的定文城x>之》 f3x-2)中3x-2>-1, 1 ,x 2 f3x-2)的定义域xx> (3分) :f(x)=log2(2x+1) ∴.f(3x-2)=1og2(6x-4+1)>0 ∴.f(3x-2)=1og2(6x-3)>0 6x-3>1,即x>2 ∴.不等式f(3x-2)>0的解集为 (7分) (2).f(x)=log,(ax+1)(aER),g(x)=f(x)+log2x ..g(x)=l0g2 (ax+1)+l0g2x=l0g2 (ax2+x), :函数g(x)=f(x)+log2x只有一个零点 ax2+x=1 ax+1>0只有一解 x>0 .ax2+x=1 a-是 .'ax+1>0 .1-.x+1>0 x2 .1-x+1>0, x>0 :1-x+1>0恒成立 扬州市2027届高三年级10月供题训练参考答案与评分建议第2页（共7页） ∴.关于x的方程ax2+x=1只有一个正根 (11分) 当a=0时，ax2+x=1转化为x=1,符合题意： 当a≠0时，若ar2+x=1有两个相等的实数根，则△=1+4a=0,解得a=-子 此时方程的根为x=2,符合题意： 当a≠0时，若ax2+x=1有两个相异的实数根，则△=1+4a>0,解得a>- 4 1 1+2= 此时设方程的两个根为x,x2,则有 a 1 :方程的两个根只能异号 -1<0 a .a>0,此时方程只有一个正根，符合题意 综上可知，实数a的取值范围为{a|a20或a= (15分) 17.(15分) 【解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形 AD⊥DC, :AD⊥DE,DCODE=D,DC,DEC平面CDEF .AD⊥平面CDEF, ·ADC平面ABCD :.平面ABCD⊥平面CDEF. (4分) (2)过点E作EO⊥DC于O,由(1)知EO⊥平面ABCD, :四边形CDEF是等腰梯形，∠CDE=6O°，EF=CD,CD=4 .D0=1,E0=√5. 作OMI/DA,以O为坐标原点，分别以OM、OC、OE所在直 线为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系O-z,∴.O(0,0,0), A(4,-1,0),B(4,3,0),C(0,3,0),F(0,2,5. CB=DA=(4,0,0),DE=(0,1⑤). mDA=0 4x=0 设平面ADE的一个法向量m=(x,y,z),则 mDE=0'即 y+5z=0' 令z=1,“m=(0,-5, 扬州市2027届高三年级10月供题训练参考答案与评分建议第3页（共7页） 又：AC=(-4,4,0),AF=（4,3,5) 设平面ACF的一个法向量万=(x,y,名)，则 AC=0 -4x+4y=0 即 AF=0'即1-4x+3y+32=01 令x=1, 3 mV5+5 3 -√7 ∴.cosm,n= 7 ∴.sinm,n -7 故平面ADE与平面AFC所成角的正弦值为√ (13分) 7 (3)设点B到平面AFC的距离为d, 由(2)知CB=(4,0,0),平面ACF的一个法向量7 CB.n 4 4V21 .d= 7· (17分) V1+1+3 3 18.(17分) 【解】(1)f)=1+x ,10+x)-(+1-1+, (1+x (1+x) 因为f(0)=0,f'(0)=1 所以曲线y=f(x)在(0，f(O)处的切线方程为y=x (4分) (2)fs,即n1+≤c在x∈0，+o)上恒成立， 1+x 则ln(1+x)≤kx(x+1)在x∈[0，+o)上恒成立， 则lnx≤c(x-1)在x∈[l,+oo)上恒成立 (5分) 令8()=nx-x-lx≥1，则g)-=2x-)=2+c+ 令h(x)=-2kx2+kx+l,x≥1， 若k=0,则g(x)=nx20在x∈[l,+o)上恒成立，不符合题意： 若k≠0，则h(x)的对称轴为x=4: 1 扬州市2027届高三年级10月供题训练参考答案与评分建议第4页（共7页） 若k<0,则h(x)≥h(1)=-k+1>1,则g'(x)>0, 则g(x)在[1，+∞)上单调递增，则g(x)≥g(1)=0,不符合题意： 若k>0,则h(x)在[1，+∞)上单调递减， 若h(1)=-k+1>0,即0<k<1,则h(x)在[1，+o)上存在一个零点x, 则当x∈[x)时h(x)>0,g(x)>0,g(x)在[1，x)上单调递增， 则g(x)≥g(1)=0,不符合题意： 若h(1)=-k+1≤0，即k≥1，则h(x)≤0，g(x)≤0在x∈[l,+oo)上恒成立， 则g(x)在[1，+∞)上单调递减，则g(x)≤g(1)=0,符合题意， 综上，实数k的最小值为1： (10分) (3)因为f(x)=1+x +x)-n(1+x)_1-n(+ (1+x)2 (1+x)2 则当x∈[0，e-1)时，f'(x)>0,则f(x)在[0，e-l)上单调递增： 当x∈(e-l,+o)时，f'(x)<0,则f(x)在(e-1,+o)上单调递减： 则e=e-- 又/0=0，且x≥0时20，故fe[0时 (13分) 欲证对任意的x∈[0，+o),都有f(f(x)≤f(x), 只需证对任意的x∈ 都有f(x)≤x, e 只需证对任意的x∈ 都有n(x+1)-x(x+1)≤0， x+1 则k(x)在0， 上单调递减，则k(x)≤k(O)=0,命题得证 (17分)》 19.(17分) 【解】(1)①是： 令y=sinx-cosx=0,解得tanx=l; 即可得x=子+低ke乙，所以y=sin co的零点的解集为x=晋+红keZ: 4 所以存在无=孕%=2使得y=nX-Q0sx为分圆函数 (2分) ②不是： 扬州市2027届高三年级10月供题训练参考答案与评分建议第5页（共7页） 令y=2cosx+1=0,即cosx=- 解得x=2π+2km,k∈Z或x=4+2m,k∈Z: 3 3 显然这两部分解无法用同一个表达式来表示 所以y=2cosx+1不是“分圆函数” (4分) (2)令t=tanx,f(x)=0→t2-at-1=0,△=a2+4>0 故其必有两个不等实根5,2(：<2) 由韦达定理：2=-1 令m气=0%引则m6+引4 因此f(的全部零点为x=。+2,keZ: 故对任意a∈R,f(x)=tan2x-atanx-l均为“分圆函数” (9分) (3)证明：令s=cosx≠0，g(x)=0→2s2-bs-1=0 易知△=b2+8>0,故其必有两个不等实根s,52(S,<S2), s+s2=2 由韦达定理可得 1 S52=- 2 因为cosx=,在(0,2π上至多有两个解，cosx=S2在(0,2元上至多有两个解； 所以g(x)=0在[0,2π)上至多有4个解，则2≤n。≤4， 当n=2时：由于△>0，则s,=-1且S2=1,不合题意， 当n。=3时：必有s,=-1或S2=1. (13分) 0若=-1，则品=克，6=2+s)=-1, 比时，8)的全部零点为了+空(：eZ列，故6=1合愿意： 若马=1，则5=片b=26+)=1, 此时，g(x)的全部零点为x= ke2.故b=1合题意 当%=4时：若8()=0，则8+受28+列=0， 则cosx,cos(x+元)均为2s2-bs-1=0的根， 扬州市2027届高三年级10月供题训练参考答案与评分建议第6页（共7页） 而cosx,≠0，故cosx,≠cos(x,+π)， 因此c0s+c0s(k+)=名=0→b=0, 2 此时，g)的全部零点为x-子+经k∈Z,故b=0合愿意：、 综上b=0或b=±1，即b一定存在不同的取值 (17分) 扬州市2027届高三年级10月供题训练参考答案与评分建议第7页（共7页）