25.1 一元二次方程的概念 教学设计-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十五章 一元二次方程 单元教学设计 1 学科网（北京）股份有限公司 ◎课标要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 3.了解一元二次方程的根与系数的关系. 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. ◎知识框图 ◎教材教法 【教材分析】 本单元是初中代数的重要内容，承接一元一次方程、整式运算、因式分解等知识，是对 “方程模型” 的进一步拓展，也是后续学习二次函数、一元二次不等式等内容的基础。通过本单元的学习，学生将从 “一次” 方程过渡到 “二次” 方程，初步掌握 “降次” 这一重要的代数思想，提升数学建模、运算求解和逻辑推理能力，同时体会数学与现实生活的密切联系，增强模型观念。 【教法建议】 1.问题驱动教学：以实际问题为切入点，通过 “提出问题 — 分析问题 — 建立方程 — 求解验证” 的流程，引导学生主动探究，感受方程模型的意义. 2.分层探究与讲授结合：对于概念和简单解法，采用自主探究、小组讨论的方式；对于配方法、公式法等难点内容，采用教师示范、分步讲解、强化训练的方式，突破重点难点. 3.解法对比优化：在学生掌握多种解法后，通过对比不同解法的适用场景（如直接开平方法适用于形如 (x+m)2=n(n≥0)的方程，因式分解法适用于能分解为两个一次因式乘积的方程），引导学生选择高效的解题策略. 4.数形结合渗透：结合二次函数图象，辅助学生理解一元二次方程根的情况，建立代数与几何的联系，深化对知识的理解. 5.实际应用强化：设计贴近生活的实际问题，分类型（增长率 / 下降率、几何问题、传染问题、球赛问题等）进行专项训练，提升学生建模能力和解决实际问题的能力. 6.数学文化融入：介绍黄金分割、韦达定理的历史背景，丰富教学内容，提升学生的数学文化素养. ◎学情学法 【学情分析】 1.已有基础：九年级学生已掌握一元一次方程的概念、解法及应用，熟练进行整式的四则运算、因式分解，了解平方根的意义，具备一定的列方程解决实际问题的能力和抽象概括能力. 2.潜在困难： 理解 “降次” 思想的本质，掌握从二次方程转化为一次方程的方法； 配方法中 “配方” 步骤的严谨性（如二次项系数化为 1、两边同加一次项系数一半的平方）； 公式法中根的判别式的灵活运用，以及系数符号的准确把握； 从实际问题中抽象等量关系，建立一元二次方程模型，尤其处理含增长率、几何图形等复杂问题时容易混淆数量关系； 忽视方程解的实际意义，未对根进行检验和取舍. 3.学习特点：九年级学生逻辑思维逐渐从具体形象向抽象逻辑过渡，对动手操作、探究发现类学习活动兴趣较高，适合通过问题链引导、小组合作探究等方式开展学习. 【学法建议】 1.教学过程中尽量采取多鼓励、多引导、少批评的教育方法. 2.教学速度以适应大多数学生为主，尽量兼顾后进生，注重整体推进. 3.新课教学中涉及到旧知识时，对其作出相应的复习回顾. 4.复习阶段多让学生动脑、动手，通过各种习题、综合试题和模拟试题的训练，使学生逐步熟悉各知识点，并能熟练运用. ◎课时安排 25.1 一元二次方程的概念（1课时） 25.2 降次——解一元二次方程（6课时） 25.3实际问题与一元二次方程（3课时） 回顾与复习（2课时） 总计 12课时 25.1 一元二次方程的概念 教学设计 课题 25.1 一元二次方程的概念 授课人 教学目标 1.了解一元二次方程的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 及其有关的概念，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项． 3.理解一元二次方程的根的意义. 4.（2022新课标）能针对具体问题列出方程. 5.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，发展学生的数学思维，让学生感受数学学习过程中的乐趣，增强学生学好数学的愿望与信心. 教学重点 掌握一元二次方程的概念、一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及一元二次方程的根等概念，并能用这些概念解决简单问题. 教学难点 把实际问题转化为一元二次方程模型. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 同学们，至今为止我们学习了哪些方程？它们都有什么特点？能举例说明吗？ 类似于3x2＋2x－1＝0的方程我们学习过吗？这类方程有什么特点？属于什么方程呢？它们存在于我们的实际生活中吗？下面请大家随我一起探索新知，揭开它的神秘面纱吧！ 通过创设情境，引导学生复习一元一次方程等概念和举例为后面学习一元 二次方程的有关内容做好铺垫 探究新知 1.一元二次方程的定义 问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：等量关系为__底面的长×宽＝底面积__．设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)__cm，宽为__(50－2x)__cm.根据方盒的底面积为3600 cm2，得方程__(100－2x)(50－2x)＝3600__．整理，得__4x2－300x＋1400＝0__． 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？ 师生活动：教师引导学生先自主探究、分析，再在小组内合作讨论，设出合适的未知数，根据等量关系列出方程． 分析：设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共x(x－1)场，于是得到方程x(x－1)＝28，整理，得x2－x－28＝0. 师生活动：观察上面所列的两个方程，分析以上两个方程与一元一次方程有什么区别与联系．学生观察、思考、讨论、交流、汇报． 教师重点引导学生观察得到所列方程的特点：①整式方程；②一元；③二次． 归纳：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 注意：三个关键点：一是整式方程；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式 思考：类比一元一次方程的一般形式，你能写出一元二次方程的一般形式，并说出各项的名称吗？ 一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 思考：为什么二次项系数a≠0？ a=0时，此方程就没有二次项，就成了一元一次方程了. 思考：除了一般形式，还有哪些是一元二次方程？ 特殊形式：；； 注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号；二次项系数 a≠0 是一个重要条件，不能漏掉. 师生活动：指出下列各方程的二次项、一次项和常数项.①3x2＋2x－1＝0；②2x2＝3；③＝0. 探究点3 一元二次方程的根 思考：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？ 一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元次方程的根. 下列哪些数是方程x2－x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4. 通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出一元二次方程与一元一次方程的联系。巩固一元二次方程的概念，让学生在实践中感悟，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力。 此环节让学生通过自主探究，类比一元一次方程一般形式，得出一元二次方程一般形式和项，系数的概念，从而达到真正理解并掌握的目的。 此环节让学生在实际问题出发的基础上理解一元二次方程的根的概念，达到真正理解并掌握的目的。 典例精析 【例1】判断下列关于x的方程是不是一元二次方程． （1）3x2＋7＝0； （2）2x2−3y＋1＝0； （3）3x2−＋6＝0； （4）ax2−bx＋c＝0． 【解】（1）符合一元二次方程的概念，是一元二次方程． （2）含有两个未知数，不是一元，故不是一元二次方程． （3）不是整式方程，故不是一元二次方程．． （4）a的取值不确定，若a＝0，则不是一元二次方程． 【方法总结】一个方程是一元二次方程必须同时满足三个条件：(1)整式方程.(2)只含有一个未知数.(3)未知数的最高次数是2. 【例2】若方程(m＋2)x|m|−3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．m≠±2　　　B．m＝2　　　C．m＝−2　　　D．m＝±2 【解析】根据一元二次方程的概念，可得 , 解得m＝2. 答案：B. 【方法总结】确定一元二次方程待定字母的值(或取值范围)的步骤 (1)列：根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数等于2,二次项系数不为零，列出关于某个字母的方程或不等式组； (2)解：解方程或不等式组； (3)定：确定字母的值(或取值范围). 【例3】(教材p3例)将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 【解】去括号，得 ． 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 ． 其中二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． 【方法总结】化一元二次方程为一般形式的步骤 第1步：去分母； 第2步：去括号； 第3步：移项； 第4步：合并同类项. 【例4】下列哪些数是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根？ －1，0，1，3． 【解】把-1代入到式子x2－4x＋3中，得(-1)2-4×(-1)+3=8≠0，所以-1不是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根； 把0代入到式子x2－4x＋3中，得02-4×0+3=3≠0，所以0不是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根； 把1代入到式子x2－4x＋3中，得12-4×1+3=0，所以1是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根； 把3代入到式子x2－4x＋3中，得32-4×3+3=0，所以3是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根. 【方法总结】1.判断一个数是不是一元二次方程的根的方法 (1)代：将已知数值代入一元二次方程. (2)看：看方程左右两边是否相等.若左右两边相等，则这个数值是一元二次方程的根；若不相等，则这个数值不是一元二次方程的根. 2.已知方程的一个根，求代数式或待定系数的值时，可根据一元二次方程的根的定义，把根代入原方程，得到一个关于某个字母的方程，通过方程巧求代数式的值或解方程求字母的值. 【针对训练】已知a是方程x2-3x-1=0的一个根，则代数式a2-3a+6的值是 ． 【解】由条件可得a2-3a-1=0，即a2-3a=1， ∴代数式a2-3a+6=1+6=7． 答案：7． 【例5】有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　） A.x(x+1)=45 B.x(x-1)=45 C.x(x-1)=45 D.x(x+1)=45 【解】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为x（x-1）， ∴共比赛了45场， ∴x（x-1）=45， 答案：B． 【方法总结】根据实际问题列一元二次方程的一般步骤 （1）审：阅读题干，弄清问题中已知量是什么,未知量是什么. （2）找：找出题中包含已知量和未知量的等量关系. （3）列：设未知数，根据等量关系，列出一元二次方程. 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。 随堂检测 1．一元二次方程3x2＝5x的二次项系数和一次项系数是（　　） A．3，5　　　　 B．3，0　　　　 C．3，－5　　　　 D．5，0 答案：C. 2．下列哪些数是方程x2＋x－12＝0的根？ －4， －3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4． 答：－4， 3是方程的根． 3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）3x2＋1＝6x； （2）4x2＝81－5x； 解：（1）一般形式：3x2－6x＋1＝0． 二次项系数：3． 一次项系数：－6． 常数项：1． （2）一般形式：4x2＋5x－81＝0． 二次项系数：4． 一次项系数：5． 常数项：－81． 4． 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式． （1）有一根1 m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06 m2的长方形？ （2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加这次聚会？ 解：（1）设长方形的长为x m，则宽为(0.5－x)m． 根据题意，得x(0.5－x)＝0.06， 整理，得50x2－25x＋3＝0． （2）设有x人参加了这次聚会， 根据题意，得x(x－1)＝10， 整理，得x2－x－20＝0． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结，从方法上学到了什么方法?从知识内容上学到了什么内容?分清楚概念的区别和联系? 1.将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法. 2.整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项，归纳所学过的整式方程. 3.一元二次方程的意义与一般形式 ax²+bx+c=0(a≠0)的区别和联系.强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳一元二次方程的定义、一般形式和解． 巩固所学知识，加深对一元二次方程相关概念的理解. 作业布置 完成本课时对应练习 板书设计 一元二次方程的概念 1.一元二次方程概念 2.一元二次方程的一般形式 3.一元二次方程的解(根) 教学反思 $