25.1 一元二次方程的概念 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的概念、一般形式及解的概念。课堂导入通过章引言阅读，类比已学方程研究路径，引导学生构建“实际问题→新方程的概念→解方程→方程的应用”学习支架，梳理前后知识脉络。 特色在于类比迁移与问题驱动的概念生成，结合矩形铁皮制作方盒等实际问题列方程，归纳共性抽象概念，培养抽象能力与推理意识。注重一般形式辨析及变式练习，助力学生构建知识体系，为教师提供清晰教学路径与可操作活动设计。

25.1　一元二次方程的概念 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 25.1　一元二次方程的概念 教学目标 1．能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程． 2．能抽象一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式，理解其意义，发展抽象能力． 3．能把一个一元二次方程化成一般形式，会辨别二次项系数、一次项系数和常数项． 4．能根据方程解的意义判断一个数是否是给定的一元二次方程的解，初步认识一元二次方程的解不止一个． 教学内容 教学重点 一元二次方程及其根的概念、一元二次方程的一般形式． 教学难点 能根据具体问题的数量关系列出一元二次方程，抽象一元二次方程的概念． 教学过程 教学环节 主要师生活动 新课导入 引导语：方程是刻画现实世界相等关系的重要模型．前面我们已经学习了一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程及其应用，接下来我们继续学习一类新的方程． 情景引入：阅读课本第二十五章的章引言，结合以前学习方程的有关经验，你能说说研究这类新方程的基本路径吗？ 师生活动：学生独立阅读章引言，回忆已有研究方程的经验，给出研究新方程的路径，再由学生代表发言交流，师生一起梳理，得出研究这类方程的一般路径： 实际问题→新方程的概念→解方程→方程的应用． 设计意图：一元二次方程的研究路径与一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程的研究路径基本一致．让学生阅读章引言，在培养阅读理解能力的同时，类比已有研究方程的经验，构建一元二次方程的研究路径． 问题：阅读以下问题，分析其中的数量关系，你能根据题意设未知数并列出方程吗？ （1）如图1，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 1. 图1 图2 （2）要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 师生活动：学生阅读题目、分析数量关系并设未知数、列方程．如有需要，教师可通过提示性问题引导学生思考：情境中的已知量、未知量各是什么？哪句话蕴含了相等关系？ 追问：比较你所列出的方程和以前学过的方程，它们有什么异同？依据是什么？ 师生活动：学生独立思考，从多项式的概念出发，归纳方程x2＋5x－25＝0，x2－75x＋350＝0和x2－x－56＝0的共性：等号两边都是整式、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2． 教师总结：我们从多项式概念出发，分析方程的组成要素，得出了这类方程的本质特征． 设计意图：通过列方程表示现实情境中数量关系的过程，让学生感受学习一元二次方程的意义；通过与已学方程对比，从多项式概念出发分析所列方程的共同特征，体会从概念出发思考问题的数学思维方式，感受基于联系的学习方法，体会概念抽象过程中所需的精准归纳和表达． 新知探究 思考：你认为上述方程可以称为什么方程？依据是什么？你能给出这类方程的一般形式吗？ 师生活动：学生独立思考，类比一元一次方程的定义给出一元二次方程的定义．选学生代表发言，师生一起分析、完善： （1）定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程． （2）依据：类比一元一次方程、二元一次方程（组）的定义，根据方程中未知数的个数（元），以及含有未知数项的最高次数（次）对整式方程进行分类和命名． （3）归纳方程一般形式时，教师可以引导学生联系二次三项式及其降幂排列的相关知识；对于“a≠0”的条件，若学生多数忽略该条件，可以通过质疑、举反例引导学生反思、纠正．在此基础上归纳： 一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 追问：类比一元一次方程解的概念，你能给出一元二次方程解的概念吗？ 师生活动：学生独立思考、作答，请一位学生发言，师生一起明确：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根． 设计意图：引导学生从多项式概念出发，类比一元一次方程、二元一次方程（组）的概念，从“元”和“次”两个角度归纳共性，生成一元二次方程的概念，明确识别一元二次方程的三个特征；通过追问，让学生类比一元一次方程、二元一次方程（组）的解的定义，得到一元二次方程的解的定义．在归纳一元二次方程概念时，学生最容易忽视二次项系数不为0的前提，所以要先让学生自己给一般形式，然后引导辨析，使学生理解：如果没有a≠0的规定，就不能保证方程一定是二次的． 例题精讲 例　将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 师生活动：学生独立思考并完成，学生代表发言，教师引导全体学生进行补充和完善． 设计意图：检测学生列方程及化简运算的能力． 拓展提升 变式：已知关于x的一元二次方程4x2＝81． （1）把方程化成的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项； （2）下列哪些数是一元二次方程的根？为什么？ －1，0，，1，， （3）此方程是否有其它根？如果有，求出这个根． 师生活动：学生独立思考并完成，学生代表发言，教师引导全体学生进行补充和完善． 追问：观察找到方程4x2＝81的解的过程，与一元一次方程的解对比，你对一元二次方程的解有什么认识？ 师生活动：学生独立思考并完成，然后学生代表发言，教师引导全体学生进行补充和完善． 设计意图：第（1）题加深学生对方程一般形式的认识，让学生从中了解一元二次方程的一般形式中，一次项系数b或常数项c可以为0；第（3）题引导学生根据方程解的形式和方程的结构特征，开放性地思考解简单、特殊的一元二次方程，也为后续研究解一元二次方程做好铺垫． 课堂练习 1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）5x2－1＝4x； （2）4x(x＋2)＝25； （3）(3x－2)(x＋1)＝8x－3． 2．根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； （3）把长为1 m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长． 师生活动：学生独立完成，教师巡视，对有困难的学生进行指导．完成后集体订正． 设计意图：通过练习，巩固本节课所学的知识，检验学生的掌握情况． 课堂小结 回顾本节课的学习内容，回答下列问题： （1）本节课主要学习了一元二次方程的哪些内容？如何得到一元二次方程及其解的概念？ （2）你认为给出一元二次方程的一般形式的意义是什么？ （3）类比一元一次方程的研究过程，你认为接下来可以研究什么问题？ 师生活动：学生独立思考、小组讨论、全班展示交流，教师予以补充完善： （1）本节课主要学习了一元二次方程的概念、一元二次方程解的概念以及一元二次方程的一般形式．一元二次方程概念的学习，经历了“从实际问题中列出方程→归纳共同特点→下定义→抽象出一般形式”的过程，一元二次方程及其解的概念的学习类比了一元一次方程和一次函数的学习经验． （2）有了一般形式，我们可以探究一元二次方程是否有一般性的解法或是特征；从一般形式中，可以看到二次项系数、一次项系数、常数项是决定一个一元二次方程的解和它的特征的基本元素． （3）接下来将要学习如何系统、规范地解一元二次方程，最后应用一元二次方程解决实际问题． 设计意图：一元二次方程是初中阶段研究的最后一类方程，通过梳理方程研究的一般思路和方法，能帮助学生从整体上构建方程内容的知识体系，同时对本章内容的学习有一个初步的预判，能更有方向地掌握新内容的学习． 课后任务 1．教科书习题25.1第1（1）（2）、2、3题． 2．思考题：一元二次方程可能有几个解？如何验证你的猜想？ 学科网（北京）股份有限公司 $