精品解析：山东枣庄市滕州市育才学校2026—2027学年度第一学期第一次学情自测八年级数学试卷

2026－2027学年度第一学期第一次质量检测 八年级数学 （总分：120分 时间：120分钟） 一．选择题（每题3分，共10小题，满分30分） 1. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 7，24，25 C. ，， D. 1，， 2. 在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的；③；④正数的两个平方根互为相反数；⑤任意实数都存在倒数；⑥算术平方根等于它本身的数只有0．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，，若，，，则的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 6 5. 如图，长方体的底面是边长为6的正方形，高，若棱的中点处有一只蚂蚁，要沿着长方体的外表面爬到顶点处，则它需要爬行的最短路程是（ ） A. 10 B. C. 12 D. 14 6. 如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 6.5 D. 10 7. 如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ） A. B. 的面积为5 C. D. 点到的距离为 8. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. －3 9. 小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序如图，当输入的值为64时，输出的值是（ ） A. B. C. D. 2 10. 上图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共6小题，满分18分） 11. 的算术平方根是______． 12. 一个正数的两个平方根分别为3x+2和5x+6，则这个正数为_______ 13. 如图，在数轴上表示实数的点可能是_____________________． 14. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计） 15. 设，其中，，则的值为_____． 16. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 19. 某运动会以环保、舒适、温馨为出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图，四边形为休闲区域，四周是步道，，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，经测量，，，． （1）求证：． （2）求四边形的面积． 20. （1）已知，求的值； （2）已知的算术平方根是，的立方根是3．求的平方根． 21. 阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： （1）填空： ； （2）①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； （3）延伸拓展：直接判断与的大小． 22. 我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． （1）化简：； （2）若，求的值； （3）若，，比较和的大小． 23. 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． （1）请利用图①证明：； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形，若该图形的周长为80，，求该图形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度第一学期第一次质量检测 八年级数学 （总分：120分 时间：120分钟） 一．选择题（每题3分，共10小题，满分30分） 1. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 7，24，25 C. ，， D. 1，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股数的定义进行分析． 【详解】、，0.4，0.5都不是正整数，，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意； 、，，24，25是勾股数，符合题意； 、，，都不是正整数，，，不是勾股数，不符合题意； 、，，都不是正整数，，，不是勾股数，不符合题意． 故选：． 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：满足 的三个正整数，称为勾股数． 2. 在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，算术平方根，无理数就是无限不循环小数，首先计算算术平方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：， 无理数有，， （两个1之间依次多一个6），共3个． 故选：C 3. 下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的；③；④正数的两个平方根互为相反数；⑤任意实数都存在倒数；⑥算术平方根等于它本身的数只有0．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，实数与倒数的定义，根据立方根，平方根，算术平方根的定义，实数与倒数的定义逐项判断即可． 【详解】解：①负数有立方根，故①不正确； ②实数和数轴上的点是一一对应的，故②正确； ③，故③不正确； ④正数的两个平方根互为相反数，故④正确； ⑤0是实数，但0没有倒数，故⑤不正确； ⑥算术平方根等于它本身的数有0或1，故⑥错误， 综上所述正确的个数有2个， 故选：B． 4. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，，若，，，则的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据勾股定理可得，即为，求出即可解决问题. 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， 即， ∵，，， ∴， 即, ∴； 故选：D. 5. 如图，长方体的底面是边长为6的正方形，高，若棱的中点处有一只蚂蚁，要沿着长方体的外表面爬到顶点处，则它需要爬行的最短路程是（ ） A. 10 B. C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，熟练掌握该方法是本题解题的关键．根据长方体的展开图，利用勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， ； 如图， ； ∵， ∴需要爬行的最短路径长为10， 故选：A． 6. 如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 6.5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换及勾股定理，先根据矩形的性质求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，在中运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵是翻折而成， ∴是直角三角形， ∴， 在中，， 在中， ∴ 解得， 故选：A． 7. 如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ） A. B. 的面积为5 C. D. 点到的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理求出长可判定A，利用网格图计算三角形的面积可判定B，利用勾股定理及其逆定理判定C；利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D． 【详解】解：A． ∵， ∴，本选项结论正确，不符合题意； B．，本选项结论正确，不符合题意； C．，，， ， ，本选项结论正确，不符合题意； D．点A到的距离，本选项结论错误，符合题意； 故答案为：D 8. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. －3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分x与小数部分y的值是关键．首先根据的整数部分，确定的整数部分x的值，则y即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，即， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴ ． 故选：B． 9. 小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序如图，当输入的值为64时，输出的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据流程图计算即可． 【详解】64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选A． 【点睛】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，解题的关键是正确按照流程图顺序计算． 10. 上图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理得应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：D． 二．填空题（每题3分，共6小题，满分18分） 11. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 一个正数的两个平方根分别为3x+2和5x+6，则这个正数为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求解即可． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别为3x+2和5x+6， 解得： 这个正数是 故答案为： 【点睛】本题考查正数的平方根互为相反数的特点，考查正数的平方根与它本身的关系，掌握以上知识点是解题关键． 13. 如图，在数轴上表示实数的点可能是_____________________． 【答案】M 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小以及实数与数轴的关系，首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．先估算的取值范围，进而可判断表示的点所在的位置． 【详解】解： ， ，即， 数轴上表示的点可能是点M． 故答案为点M． 14. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计） 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了平面展开---最短路径问题，将杯子侧面展开，建立B关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作B关于的对称点， 连接，则即为最短距离， ． 故答案为：13． 15. 设，其中，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简进而求出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 【答案】14.5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设秋千的绳索长尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索长为14.5尺． 故答案为：14.5． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先化简各二次根式，再算除法． （2）化简后去括号、合并同类二次根式． （3）用平方差公式与完全平方公式展开． （4）化简各二次根式，除法转化为乘法后合并． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负性，二次根式的性质，立方根，先得出且，再结合绝对值的性质，二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】解：由数轴可知： ∴且， ∴ ． 19. 某运动会以环保、舒适、温馨为出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图，四边形为休闲区域，四周是步道，，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，经测量，，，． （1）求证：． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在中，，， 由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理得到，再运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，由此即可求解； （2）根据，代入计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1），可得，， ∴ ． 20. （1）已知，求的值； （2）已知的算术平方根是，的立方根是3．求的平方根． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的非负性可得，则有，然后代入求解即可； （2）根据立方根、算术平方根的意义可得a、b的值，然后代入求解即可． 本题主要考查立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握立方根、平方根、算术平方根是解题的关键． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）∵的算术平方根是的立方根是3 ∴， ∴， ∴． ∴的平方根是． 21. 阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： （1）填空： ； （2）①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； （3）延伸拓展：直接判断与的大小． 【答案】（1） （2） ①是直角三角形，理由如下： ，，， ， 是直角三角形； ② （3） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式求解即可； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据三角形三边关系进行判断即可． （3）将，两个式子分别平方后，再进行比较． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①略； ②三角形任意两边之和大于第三边， ． 【小问3详解】 解：，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则． 22. 我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． （1）化简：； （2）若，求的值； （3）若，，比较和的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再代中计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， ， ， ， ． 23. 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． （1）请利用图①证明：； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形，若该图形的周长为80，，求该图形的面积． 【答案】（1） 证明：由图可知， ， ． ； （2）120 【解析】 【分析】本题考查了几何法证明勾股定理及不规则图形面积求解，利用数形结合的思想，准确找出图中各个线段长度及面积关系是解题关键． （1）由图形可知，中间小正方形面积大正方形面积等于四个完全相同的直角三角形的面积，列出等式化简即可得到结论； （2）根据周长得到，设，则，结合勾股定理求出，利用三角形面积公式，进而求出该图形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以，该图形的面积是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $