内容正文:
宝安中学(集团)初中部九年级上数学(十)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1. 如图,图2是神舟十五号火箭(图1)模型的半成品,则该模型半成品的俯视图是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了俯视图,俯视图是从物体的上面看得到的视图.
根据从上面看立体图形得到的图形即可,看见的棱用实线表示,隐藏的棱用虚线表示.
【详解】解:从上面看,是两个同心圆,里面的圆画成虚线.
故选:D.
2. 一元二次方程的根为( )
A. B. C. , D. ,
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程,通过因式分解求解即可,掌握一元二次方程解法是解题的关键.
【详解】解:
或
∴,,
故选:.
3. 围棋起源于中国,棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚,每枚棋子除颜色外都相同.将盒子中的棋子搅拌均匀,从中随机摸出一枚棋子,记下颜色后再放回盒子中.不断重复这一过程,共摸了100次,发现有70次摸到白色棋子,估计盒子中白色棋子有( )
A. 3枚 B. 4枚 C. 6枚 D. 7枚
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了通过频率估计概率,根据概率求数量.
通过频率估计概率,摸到白棋的频率为,据此估计白棋概率,从而求出白棋数量.
【详解】解:∵摸到白棋的频率,
∴估计摸到白棋的概率为,
设白棋有x枚,
则,
∴,
故估计白棋有7枚.
故选:D.
4. 如图,五线谱是由等距、等长的五条平行横线组成的.已知直线l上的点A,B,C都在横线上,且线段,则线段的长是( )
A. 3 B. 4 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例,根据平行线分线段成比例,得到,求出的长,根据线段的和差关系,进行求解即可.
【详解】解:∵五线谱是由等距、等长的五条平行横线组成的,
∴,
∴,
∴;
故选:D.
5. 已知,如图,在菱形ABCD中.(1)分别以C,D为圆心,大于长为半径作弧,两弧分别交于点E,F;(2)作直线EF,且直线EF恰好经过点A,且与边CD交于点M;(3)连接BM.根据以上作图过程及所作图形,判断下列结论中错误的是( )
A. ∠ABC=60° B. 如果AB=2,那么BM=4
C. BC=2CM D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接AC,根据线段重直平分线的性质及菱形的性质即可判断A选项正确;根据线段垂直平分线的性质及菱形的性质求出∠BAM=90°,利用三角函数求出AM,即可利用勾股定理求出BM,由此判断B选项;根据线段垂直平分的性质和菱形的性质可得BC=2CM,由此判断C选项;利用同底等高的性质证明△ABM的面积=△ABC的面积=△ACD的面积,再利用线段垂直平分线的性质即可判断D选项.
【详解】如图,连接AC,
由题意知:EF垂直平分CD,
∴AC=CD,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB=BC=CD,
∴AC=AD=CD=AB=BC,
∴△ABC和△ACD都是等边三角形,
∴∠BAC=∠CAD=∠ABC=60°,故A正确;
∵AM垂直平分CD,
∴∠CAM=∠DAM=30°,
∴∠BAM=90°,
∴S△ABM=S△ABC=S△ABD=2S△ADM,故D项正确;
∵AB=2,
∴AC=CD=2,
∴AM=AC·cos30°=2×=,
∴BM===,故B项错误;
由AM垂直平分CD可得CM=CD,
又∵BC=CD,
∴CM=BC,即BC=2CM,故C项正确;
故选:B.
【点睛】本题考查线段垂直平分线的作图,线段垂直平分线的性质,等边三角形的判定及性质,菱形的性质,三角函数,勾股定理,是一道综合题,掌握知识点是解题关键.
6. 如图,线段上的一点把分割为两条线段,,当满足时,则称点是线段的黄金分割点.主持人在舞台上主持节目时,站在黄金分割点上,观众看上去感觉最好,若舞台长米,主持人从舞台一侧进入,设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上(的长为米),则满足的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查黄金分割,掌握相关知识是解决问题的关键.的长为米,则长为米,根据列方程即可.
【详解】解:的长为米,则长为米,
根据得:
,
∴.
故选:A.
7. 如图,已知直线是线段的中垂线,与相交于点C,D是位于直线下方的上的一动点(点D不与点C重合),连接,过点A作,过点B作于点E,若,设,,则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为( ).
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据得,根据直线是线段的中垂线可得,,再证,然后根据相似三角形列比例式化简可得,再结合确定函数图像即可即可解答.
【详解】解:∵,
∴,
∵直线是线段的中垂线,
∴,,,
∵,
∴,
∴,
∴
∴,即,可得,即函数图像为B选项.
故选B.
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像,证得得到是解答本题的关键.
8. 如图,菱形ABCD∽菱形AEFG,菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动,GF与AB相交于点H,∠E=60°,若CG=3,AH=7,则菱形ABCD的边长为( )
A. 8 B. 9 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接AC,首先证明△ABC是等边三角形,再证明△BGH∽△CAG,推出,由此构建方程即可解决问题.
【详解】解:连接AC.
∵菱形ABCD∽菱形AEFG,
∴∠B=∠E=∠AGF=60°,AB=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
设AB=BC=AC=a,则BH=a﹣7,BG=a﹣3,
∵∠AGB=∠AGH+∠BGH=∠ACG+∠CAG,∠AGH=∠ACG=60°,
∴∠BGH=∠CAG,
∵∠B=∠ACG,
∴△BGH∽△CAG,
∴,
∴,
∴a2﹣10a+9=0,
∴a=9或1(舍去),
∴AB=9,
故选:B.
【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质,菱形的性质,相似三角形的判定及性质,连接AC证明△ABC是等边三角形是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共15分)
9. 若(),则的值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了比例的基本性质,掌握比例的基本性质是解题的关键.根据比例的基本性质直接得出答案即可.
【详解】解:∵,
∴的值为,
故答案为:.
10. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根,则的值可能是_____.(只需写出一个即可)
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程的根与有如下关系:①,方程有两个不相等的实数根,②,方程有两个相等的实数根,③,方程没有实数根.由题意可得,计算即可得解.
【详解】解:∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根,
∴,
解得:,
∴的值可能是,
故答案为:.
11. 如图,一张长方形纸板长,宽,剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉部分),剩余的部分可折成一个有盖的长方体纸盒,若纸盒底面的面积等于,设剪掉的小正方形边长为,则根据题意可得方程________.
【答案】
【解析】
【分析】根据各边之间的关系,可得出折成的纸盒底面是长为,宽为的长方形,结合纸盒底面的面积等于,可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
【详解】解:∵剪掉的小正方形边长为,
∴折成的纸盒底面是长为,宽为的长方形,
依题意得:.
故答案为:.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
12. 如图,点是反比例函数图象上的一点,直线分别与轴、轴交于点和,轴于点,若与的相似比为,的面积为,则值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质、反比例函数的系数的几何意义,根据相似比求出是解题的关键.连接,根据相似比得到,求出,根据反比例函数的系数的几何意义解答即可.
【详解】解:连接,
∵轴,,
∴,
∴
与的相似比为,
,
,
,
,
故答案为:.
三、计算题
13. (1)解方程:.
(2)小明同学在解一元二次方程时,他是这样做的:
解一元二次方程,
移项得: 第一步,
两边都除以得: 第二步,
移项得: 第三步.
①小明的解法从第___________步开始出现错误;此题的正确结果是___________.
②用因式分解法解方程:.
【答案】
(1)或;(2)① 二;或②或
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程:
(1)先配方再开方;
(2)①当时,两边同除以无意义,所以第二步错了;通过因式分解法求解即可;
②先移项,用因式分解法即可.
【详解】解:(1)
解得或.
(2)①当时,两边同除以无意义,
第二步错了;
则正确的解法是:
解得或,
故答案为:二;或.
②
解得或.
14. 《哪吒2》自年1月日上映以来,在电影市场掀起了巨大的波澜,电影的出圈也点燃文创消费新热潮.以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片,四张卡片分别用编号A,B,C,D来表示,这4张卡片背面完全相同,现将这四张卡片背面朝上,洗匀放好.
A—哪吒 B—太乙真人
C—申公豹 D—敖丙
(1)从中任意抽取一张卡片,恰好是“哪吒”的概率为_____;
(2)小明从中随机抽取两张卡片,想恰好组成“一套”(A与D组合或B与C组合),求小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式计算概率,列表法或树状图法求概率,解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解.
(1)利用概率公式直接求解;
(2)先画出树状图,再求概率.
【小问1详解】
解:∵某款盲盒里有哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片四张,
∴从中任意抽取一张卡片,恰好是“哪吒”的概率为,
故答案为:;
【小问2详解】
画树状图如下:
共有种等可能的结果,其中小明抽到的两张卡片恰好一套的结果有4种,
∴抽到的两张卡片恰好一套的概率为.
15. 如图,在平面直角坐标系中,各顶点的坐标分别是,与关于原点位似,的对应点分别为,其中的坐标是.
(1)和的相似比是 ;
(2)请画出;
(3)边上有一点,在边上与点对应点的坐标是 ;
(4)的面积是 .
【答案】(1)
(2)
如图所示,即为所求;
(3)
(4)3
【解析】
【分析】(1)直接利用点对应点坐标,即可得出相似比;
(2)利用相似比即可得出对应点位置,进而确定答案;
(3)直接利用位似图形的性质得出点坐标即可;
(4)利用三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
解:和的相似比是;
故答案为:;
【小问2详解】
略
【小问3详解】
边上有一点,在边上与点对应点的坐标是;
故答案为:;
【小问4详解】
的面积是:.
故答案为:3.
【点睛】本题主要考查了位似变换以及三角形面积求法,正确得出对应点位置是解题关键.
16. 随着科技的不断进步,人工智能()正逐渐渗透到我们的生活和工作.从家庭助手到自动驾驶汽车,再到智能医疗,的应用前景广阔且充满无限可能.某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动,团体票收费标准为:如果人数不超过10人,人均费用为240元;如果人数超过10人,每增加1人,人均费用降低5元,但人均旅游费用不得低于170元.
(1)若有14人参加旅游,人均费用是________元.
(2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动,团体票的费用共3600元,求参加活动的学生人数.
【答案】(1)220 (2)参加活动的学生人数为18人
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用,理解题意,弄清数量关系是解题关键.
(1)根据“如果人数超过10人,每增加1人,人均费用降低5元”列式求解即可;
(2)设参加活动的学生人数为x人,根据题意列出关于x的一元二次方程,求解并对结果进行分析,即可获得答案.
【小问1详解】
解:根据题意,若有14人参加旅游时,
人均费用为:元.
故答案为:220;
【小问2详解】
解:设参加活动的学生人数为人,
由题意得,.
解得,.
当时,(元),符合题意.
当时,(元),
∵不符合题意,
∴舍去.
答:参加活动的学生人数为18人.
17. 如图,在中,,是边上一点,连接,是的中点,过点作的平行线,交的延长线于点,连接.
(1)下列条件:①是的角平分线;②是的中线;③.请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件,并写出证明过程;
(2)若四边形是菱形,且,,求的长.
【答案】(1)
能证明四边形是菱形
平行于,
,
,
,
,
是的中线,且,
,
平行于,,
四边形是平行四边形,
,
四边形是菱形.
(2)
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、相似三角形的判定与性质以及勾股定理:
(1)先证明,得到,根据是的中线得到,进而证明菱形;
(2)先根据勾股定理求,因为是菱形得到,过点作延长线的垂线交于点,则,先用相似三角形求出,在中用勾股定理即可.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:,
,
四边形是菱形,
,
,
过点作延长线的垂线交于点,则,
,
平行于,
,
,
,
,
,
解得:,
,
.
18. 【问题背景】由光的反射定律知:反射角等于入射角(如图,即).小军测量某建筑物高度的方法如下:在地面点E处平放一面镜子,经调整自己位置后,在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A.经测得,小军的眼睛离地面的距离,,,求建筑物AB的高度.
【活动探究】
观察小军的操作后,小明提出了一个测量广告牌高度的做法(如图):他让小军站在点D处不动,将镜子移动至处,小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G,测出;再将镜子移动至处,恰好通过镜子看到广告牌的底端A,测出.经测得,小军的眼睛离地面距离,,求这个广告牌AG的高度.
【应用拓展】
小军和小明讨论后,发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度.他们给出了如下测量步骤(如图):①让小军站在斜坡的底端D处不动(小军眼睛离地面距离),小明通过移动镜子(镜子平放在坡面上)位置至E处,让小军恰好能看到塔顶B;②测出;③测出坡长;④测出坡比为(即).通过他们给出的方案,请你算出信号塔AB的高度(结果保留整数).
【答案】[问题背景] ;[活动探究] ;[应用拓展]
【解析】
【分析】[问题背景]根据反射定理,结合两个三角形相似的判定与性质,列出相似比代值求解即可得到答案;
[活动探究] 根据反射定理,结合两个三角形相似的判定与性质,运用两次三角形相似,列出相似比代值,作差求解即可得到答案;
[应用拓展] 过点作于点,过点作于点,证,得,再由锐角三角函数定义得,设,,则,,进而由勾股定理求出,然后由相似三角形的性质得,即可解决问题.
【详解】解:[问题背景]如图所示:
,,
,
,
,
,,,
,解得;
[活动探究]如图所示:
,
,
,
,
,,
,
,
,解得;
,
,
,
,
,,
,
,
,解得;
;
[应用拓展] 如图,过点作于点,过点作于点,
由题意得:,,
,
,
,
即,
,,
,
,
即,
,
,
,
由题意得:,
,
,,
设,,则,,
,
,
解得:(负值已舍去),
,,
,
,
同【问题背景】得:,
,
,
解得:,
,
答:信号塔的高度约为.
【点睛】本题考查解直角三角形综合,涉及相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理等知识,读懂题意,熟练掌握相似三角形测高、三角函数测高的方法步骤是解决问题的关键.
19. 如图,在平行四边形中,点为边上一动点,连接,将沿折叠,点的对应点为.
(1)如图1,若,且的延长线恰好经过点.求证: ;
(2)如图2,若,延长、分别与边、相交于、,若,,求的值;
(3)如图3,若,,,、所在直线分别与直线、直线相交于、.作于点,若,直接写出 的值.
【答案】(1)
证明:∵平行四边形,,
∴平行四边形是矩形,
∴,
∴,
∵折叠,
∴,
∴,
∴,
∴;
(2)
(3)或
【解析】
【分析】(1)折叠得到,矩形的性质,得到,,进而得到,进而得到,得到,等量代换即可得出结论;
(2)折叠得到,,设,推出,在中,利用勾股定理求出的值,证明,列出比例式进行求解即可;
(3)分点在点的左侧和右侧,两种情况进行讨论求解即可.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
∵平行四边形,,
∴平行四边形是矩形,
∴,,
同(1)可得:,
∵折叠,
∴,,
∴,
设,
则:,
在中,由勾股定理,得:,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴;
【小问3详解】
∵平行四边形,,
∴四边形为菱形,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
当点在点的左侧时,过点作,如图:则:,,
∵,
∴,
∵折叠,
∴,
同(1)可得:,
设,
∴,
∴,
在中,由勾股定理,得:,
∴,
∵,
∴,
∴;
当点在点的右边时,过点作,如图
∵
∴,
∵折叠,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
设,
∴,
在中,由勾股定理得:,
解得:,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
综上:或.
【点睛】本题考查矩形的判定和性质,菱形的判定和性质,折叠问题,含30度角的直角三角形的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,综合性强,难度大,计算量大,属于压轴题,熟练掌握相关知识点,利用数形结合和分类讨论的思想进行求解,是解题的关键.
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宝安中学(集团)初中部九年级上数学(十)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1. 如图,图2是神舟十五号火箭(图1)模型的半成品,则该模型半成品的俯视图是( )
A. B. C. D.
2. 一元二次方程的根为( )
A. B. C. , D. ,
3. 围棋起源于中国,棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚,每枚棋子除颜色外都相同.将盒子中的棋子搅拌均匀,从中随机摸出一枚棋子,记下颜色后再放回盒子中.不断重复这一过程,共摸了100次,发现有70次摸到白色棋子,估计盒子中白色棋子有( )
A. 3枚 B. 4枚 C. 6枚 D. 7枚
4. 如图,五线谱是由等距、等长的五条平行横线组成的.已知直线l上的点A,B,C都在横线上,且线段,则线段的长是( )
A. 3 B. 4 C. 8 D. 9
5. 已知,如图,在菱形ABCD中.(1)分别以C,D为圆心,大于长为半径作弧,两弧分别交于点E,F;(2)作直线EF,且直线EF恰好经过点A,且与边CD交于点M;(3)连接BM.根据以上作图过程及所作图形,判断下列结论中错误的是( )
A. ∠ABC=60° B. 如果AB=2,那么BM=4
C. BC=2CM D.
6. 如图,线段上的一点把分割为两条线段,,当满足时,则称点是线段的黄金分割点.主持人在舞台上主持节目时,站在黄金分割点上,观众看上去感觉最好,若舞台长米,主持人从舞台一侧进入,设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上(的长为米),则满足的方程是( )
A. B.
C. D.
7. 如图,已知直线是线段的中垂线,与相交于点C,D是位于直线下方的上的一动点(点D不与点C重合),连接,过点A作,过点B作于点E,若,设,,则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为( ).
A. B.
C. D.
8. 如图,菱形ABCD∽菱形AEFG,菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动,GF与AB相交于点H,∠E=60°,若CG=3,AH=7,则菱形ABCD的边长为( )
A. 8 B. 9 C. D.
二、填空题(每小题3分,共15分)
9. 若(),则的值为______.
10. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根,则的值可能是_____.(只需写出一个即可)
11. 如图,一张长方形纸板长,宽,剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉部分),剩余的部分可折成一个有盖的长方体纸盒,若纸盒底面的面积等于,设剪掉的小正方形边长为,则根据题意可得方程________.
12. 如图,点是反比例函数图象上的一点,直线分别与轴、轴交于点和,轴于点,若与的相似比为,的面积为,则值为_____.
三、计算题
13. (1)解方程:.
(2)小明同学在解一元二次方程时,他是这样做的:
解一元二次方程,
移项得: 第一步,
两边都除以得: 第二步,
移项得: 第三步.
①小明的解法从第___________步开始出现错误;此题的正确结果是___________.
②用因式分解法解方程:.
14. 《哪吒2》自年1月日上映以来,在电影市场掀起了巨大的波澜,电影的出圈也点燃文创消费新热潮.以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片,四张卡片分别用编号A,B,C,D来表示,这4张卡片背面完全相同,现将这四张卡片背面朝上,洗匀放好.
A—哪吒 B—太乙真人
C—申公豹 D—敖丙
(1)从中任意抽取一张卡片,恰好是“哪吒”的概率为_____;
(2)小明从中随机抽取两张卡片,想恰好组成“一套”(A与D组合或B与C组合),求小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率.
15. 如图,在平面直角坐标系中,各顶点的坐标分别是,与关于原点位似,的对应点分别为,其中的坐标是.
(1)和的相似比是 ;
(2)请画出;
(3)边上有一点,在边上与点对应点的坐标是 ;
(4)的面积是 .
16. 随着科技的不断进步,人工智能()正逐渐渗透到我们的生活和工作.从家庭助手到自动驾驶汽车,再到智能医疗,的应用前景广阔且充满无限可能.某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动,团体票收费标准为:如果人数不超过10人,人均费用为240元;如果人数超过10人,每增加1人,人均费用降低5元,但人均旅游费用不得低于170元.
(1)若有14人参加旅游,人均费用是________元.
(2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动,团体票的费用共3600元,求参加活动的学生人数.
17. 如图,在中,,是边上一点,连接,是的中点,过点作的平行线,交的延长线于点,连接.
(1)下列条件:①是的角平分线;②是的中线;③.请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件,并写出证明过程;
(2)若四边形是菱形,且,,求的长.
18. 【问题背景】由光的反射定律知:反射角等于入射角(如图,即).小军测量某建筑物高度的方法如下:在地面点E处平放一面镜子,经调整自己位置后,在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A.经测得,小军的眼睛离地面的距离,,,求建筑物AB的高度.
【活动探究】
观察小军的操作后,小明提出了一个测量广告牌高度的做法(如图):他让小军站在点D处不动,将镜子移动至处,小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G,测出;再将镜子移动至处,恰好通过镜子看到广告牌的底端A,测出.经测得,小军的眼睛离地面距离,,求这个广告牌AG的高度.
【应用拓展】
小军和小明讨论后,发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度.他们给出了如下测量步骤(如图):①让小军站在斜坡的底端D处不动(小军眼睛离地面距离),小明通过移动镜子(镜子平放在坡面上)位置至E处,让小军恰好能看到塔顶B;②测出;③测出坡长;④测出坡比为(即).通过他们给出的方案,请你算出信号塔AB的高度(结果保留整数).
19. 如图,在平行四边形中,点为边上一动点,连接,将沿折叠,点的对应点为.
(1)如图1,若,且的延长线恰好经过点.求证: ;
(2)如图2,若,延长、分别与边、相交于、,若,,求的值;
(3)如图3,若,,,、所在直线分别与直线、直线相交于、.作于点,若,直接写出 的值.
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