精品解析：广东深圳市龙岗区部分学校2026-2027学年上学期九年级数学第一次素养练习

2026-2027学年九年级数学学科素养形成练习 练习一 上册第一章~第二章 （满分：100分） 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 已知平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 若，是方程的两个根，则（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，则位于第一象限的D点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣题探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为平方米，从水池边到圆周，每边均相距米．设水池的边长为米，则下列方程能正确表示数量关系的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则坐标为的点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 在菱形中，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 7. 如图，在矩形中，交于点，，，垂足为，，则矩形两条对角线的长度之和是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，过与的交点的直线，分别交，于，两点，且．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分） 9. 如图，平行四边形的顶点，分别在直线，上，．若，，则的度数为___________． 10. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为___________． 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________． 12. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心、的长为半径作弧交边于点，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点，此时恰有．若，则平行四边形的周长是___________． 13. 若关于的一元二次方程（），当，2，3，…，2026时，相应的一元二次方程的两根分别记为，；，；…；，，则的值为______． 三、解答题（本大题有7小题，共61分） 14. 如图，为的对角线的中点，过点作一条直线分别与交于点，，点在直线上，且． （1）求证：； （2）图中一共有_______组全等三角形． 15. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 16. 解一元二次方程． （1）； （2）． 17. 如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 18. 【问题情境】如图，某校“几何之美”社团利用四根木条钉制了一个平行四边形框架．已知边，小华同学将一根细绳拉直，绳子的一端固定在顶点，且始终经过边的中点，绳子的另一端恰好落在边的延长线上的点处． （1）【模型探究】请证明：，并求出线段的长度； （2）【拓展提升】当细绳与的夹角与互余时，测得，求此时细绳的长． 19. 把整式通过配凑，得到完全平方式，再运用完全平方公式的逆运用 ，得到平方式：， 再利用平方的非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法． 例如：求的最小值． 解：， ， ， ∴当时， 的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1． 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）填空： （_______________）， （2）求 的最小值； （3） ，求的值． 20. 如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点． （1）求证：； （2）若，求的长度； （3）若，设，，求与之间的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学学科素养形成练习 练习一 上册第一章~第二章 （满分：100分） 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 已知平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形ABCD的性质可得，∠A=∠C，∠A+∠B＝180°．再根据，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A=∠C，∠A+∠B＝180°． 又∵∠A+∠C=240°， ∴∠A=∠C=120°， ∠B=180°－∠A=60°． 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的基本性质，利用平行四边形的对角相等，邻角互补是解题的关键． 2. 若，是方程的两个根，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系求得两根的和与积，再结合各选项即可解答． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，即选项D符合题意． 3. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，则位于第一象限的D点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，从而得到点D的纵坐标为2，点D的横坐标为，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴，点D的纵坐标为2， ∴点D的横坐标为， ∴点D的坐标为． 故选：A 4. 为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣题探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为平方米，从水池边到圆周，每边均相距米．设水池的边长为米，则下列方程能正确表示数量关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设水池的边长为米，每边均相距米，则圆的半径为米，可种植绿植的面积为圆的面积减去正方形的面积，根据可种植绿植的面积恰好为平方米即可列出方程． 【详解】解：设水池的边长为米，每边均相距米， 则圆的半径为米， 可种植绿植的面积恰好为平方米， ． 5. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则坐标为的点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系求出的值，再代入，，然后根据平面直角坐标系中点的坐标特征判断点所在象限即可． 【详解】解：由得， ∴，， ∴，， ∴坐标为的点在平面直角坐标系中位于第二象限． 6. 在菱形中，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点C作于点E，结合菱形的性质可得为等边三角形，可求出，再根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点E， ∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 7. 如图，在矩形中，交于点，，，垂足为，，则矩形两条对角线的长度之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形性质可得，，，所以，然后通过可得到，所以，再由勾股定理可得，则，从而得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形两条对角线的长度之和是． 8. 如图，在中，，过与的交点的直线，分别交，于，两点，且．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由平行四边形性质可得，，然后证明，所以，故有是的垂直平分线，由垂直平分线性质可得，，所以，从而得四边形是菱形，所以，再通过勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分） 9. 如图，平行四边形的顶点，分别在直线，上，．若，，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作，利用平行线的判定和性质，平行四边形的性质，解答即可． 【详解】解：过点D作， ， ， ， ， ， ， 平行四边形，， ， ， ． 10. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，利用矩形对角线将矩形分成面积相等的两部分这一性质，证明，再结合矩形对边相等求出的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点，交于点， 四边形是矩形，， 四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形． 是矩形的对角线， ， 同理可得，， ， 即． ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】先把x=2代入原方程即可解出m的值，再用两根之和求解即可 【详解】把x=2代入原方程得22＋5×2－m=0，解得m=14， ∴原方程为 解得x1=-7,x2=2, 故另一个解为. 故答案为：． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是先求出原方程，再进行求解． 12. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心、的长为半径作弧交边于点，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点，此时恰有．若，则平行四边形的周长是___________． 【答案】30 【解析】 【分析】根据作图易得平分，为含30度角的直角三角形，证明为等腰三角形，得到，进而求出的长，利用周长公式进行求解即可. 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， 由作图可得平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长是. 13. 若关于的一元二次方程（），当，2，3，…，2026时，相应的一元二次方程的两根分别记为，；，；…；，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到对任意， ， ，将所求式子变形后，利用裂项相消法计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ， ∴由根与系数的关系得： ， ； ， ； ， ； ∴原式 ． 三、解答题（本大题有7小题，共61分） 14. 如图，为的对角线的中点，过点作一条直线分别与交于点，，点在直线上，且． （1）求证：； （2）图中一共有_______组全等三角形． 【答案】（1）证明：中，， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵O为的对角线的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴． （2）4 【解析】 【分析】（1）结合平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质证明，即可证明； （2）根据（1），即可找出所有的全等三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得，共有4对全等三角形，分别为：，，，． 15. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确；不正确 （2） 【解析】 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的解法分析即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或不正确； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法不正确； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 16. 解一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， 解得，． 17. 如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，证明，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 18. 【问题情境】如图，某校“几何之美”社团利用四根木条钉制了一个平行四边形框架．已知边，小华同学将一根细绳拉直，绳子的一端固定在顶点，且始终经过边的中点，绳子的另一端恰好落在边的延长线上的点处． （1）【模型探究】请证明：，并求出线段的长度； （2）【拓展提升】当细绳与的夹角与互余时，测得，求此时细绳的长． 【答案】（1）证明：在中，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）16 【解析】 【分析】（1）利用可证明，即可得到； （2）先推导出，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵与互余， ∴， ∴， 在中，，，是的中点， ∴，，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 19. 把整式通过配凑，得到完全平方式，再运用完全平方公式的逆运用 ，得到平方式：， 再利用平方的非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法． 例如：求的最小值． 解：， ， ， ∴当时， 的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1． 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）填空： （_______________）， （2）求 的最小值； （3） ，求的值． 【答案】（1），3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式变形即可； （2）利用完全平方公式变形，再根据偶次方的性质即可解答； （3）利用完全平方公式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ， ， 故当时，取最小值0，最小值为； 【小问3详解】 解： ， ， ， ， ， 当且仅当且时，等式成立， 解得， ∴ ． 20. 如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点． （1）求证：； （2）若，求的长度； （3）若，设，，求与之间的函数关系式． 【答案】（1）证明：过点作，垂足为，作，垂足为， 四边形是正方形 ，平分， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， ， ， ， 即， 在和中 ， ； （2）的长度为或 （3）当点在线段上时，与的函数关系式为，当点在的延长线上时，与的函数关系式为 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，作，垂足为，先推导出，可证明出矩形是正方形，推导出，继而证明，则，即可解答； （2）设正方形的边长为，则，分类讨论：①点在线段之间时，②点在的延长线上时，逐个分析求解即可； （3）设，正方形的边长为，，求出，分类讨论： ①点在线段之间时，②点在的延长线上时，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是正方形，， ， 设正方形的边长为，则， 由，可得， ①点在线段之间时，如图 ，， ， 解得， 是等腰直角三角形 ； ②点在的延长线上时，如图 ， ， ， ， 解得， 是等腰直角三角形 ， 综上，的长度为或； 【小问3详解】 解：设，正方形的边长为，， ，， ， ①点在线段上时，如图 则， ， ， 由，得 ， ， ， 解得， 是正方形边长， ， ，恒成立， 将代入，得 ； ②点在的延长线上时，如图 则，即， 垂足在B，C之间， 由，得， 解得， 是正方形边长， ， ，解得， 联立条件：且，得， 将代入，得 ， 综上，当点在线段上时，与的函数关系式为，当点在的延长线上时，与的函数关系式为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $