精品解析：湖南长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

初三数学练习 总分：120分 时长：120分钟 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，除文字以外，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 图像在第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 点不在该图像上 4. 如图，工人师傅经常站在人字梯上安全地工作，这里面蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 两点确定一条直线 5. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. 8 B. 12 C. 9 D. 10 6. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形三条高线的交点一定在三角形的内部 B. 三角形的外角等于两个内角之和 C. 在中，， 则为钝角三角形 D. 三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 7. 将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（ ） A. 先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B. 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D. 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 8. 已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 10. 图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，、、、为固定长度的连杆．支点固定在上，支点固定在连杆上，支点固定在连杆上．支点可以在上滑动，点的滑动带动点、、、的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点、、、都在滑轨上．当窗户开到最大时，．窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点移动的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 已知一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为________． 12. 已知抛物线的部分图象如图所示，则方程的解为_______． 13. 如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． 14. 已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系是______________． 15. 跳台滑雪可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段．为了寻找更为有利的起跳条件，小北利用红外线摄像仪记录数据并得出运动员从起跳点起跳后的飞行高度（米）与滑行时间（秒）之间的关系式为，飞行的最大高度为______________． 16. 小明设计了一个纸牌魔术游戏，他准备了一副不含大、小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张纸牌，再让小红将这张纸牌的点数（、、、分别对应1，11，12，13，按数字取值）加上6，将上一步的结果乘这张纸牌的点数，再减去10．最后加上花色代号，其中花色黑桃、梅花、红桃、方块的代号分别是1、2、3、4，最后小红说出运算结果是9．由此，请你推断小红抽出的纸牌是___________． 三、解答题（本题共8小题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 已知二次函数． （1）请指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当时，求函数的最大值和最小值． 19. 如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 （1）画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． （2）在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 20. 如图，在中，弦的中点为点，连接、，并分别延长它们与相交于点、． （1）若，求的大小． （2）若，求的长． 21. 为了解学生在阅览室的阅读情况，某校随机抽取了部分学生，并对他们在阅览室的一周阅览时长进行了收集、整理和描述．所抽取学生在阅览室的一周阅览时长（单位：小时）均不高于小时． 【收集数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长如下： ， ， ， ． 【整理数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计表如下： 分组 组 （） 组 （） 组 （） 组 （） 人数 【描述数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计图如下： 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的频数直方图 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的扇形统计图 根据以上信息，解决下列问题： （1）补全频数直方图； （2）所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的众数为________小时；所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的中位数为________小时； （3）扇形统计图中，组所对应的扇形圆心角度数为________； （4）该校共有名学生，请估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于小时的学生人数． 22. 【问题背景】公元前4世纪，古希腊数学家发现了“黄金长方形”，即长方形的长和宽之比为最佳比例（看起来赏心悦目），这个美妙的比例实质上是将一条单位长的线段分成两段，使小段：大段=大段：全段，这就是众所周知的“黄金分割比”．比如：是线段的“黄金分割点”， 如图： 则有 【问题解决】设全段为1，大线段为，则小线段长为，于是有解得． （1）如图，上海东方明珠塔的塔身高度为，塔身上装置了下球体，中球体和上球体（太空舱）．分别位于塔身的，，之间，若要使得塔身显得非常协调美观，请直接写出塔身的一个黄金分割点位于______________球体内． （2）若要作线段的黄金分割点，小军认为他可以这样实现．步骤如下： ①作于点，且使得． ②连接，以为圆心，的长为半径作弧，交于点． ③以为圆心，长为半径作弧交于点． ④点即为的一个黄金分割点． 请你判断他的作图是否正确，并说明理由． （3）已知，求的值． 23. 【问题背景】1896年，挪威生理学家古德贝发现：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象． 【收集数据】经研究，蒙上眼睛走出的大圆圈的半径与两腿迈出的步长之差之间有如下表的关系： 1 2 5 7 1400 700 280 200 【问题解决】 （1）请写出与之间的函数关系式． （2）当某人两腿迈出的步长之差为时，他闭上眼睛走出的大圆圈的半径为______________． （3）【问题拓展】如图，学校运动场有一块矩形的草坪，一次游戏要求同学们闭眼从边的中点走向边，大家发现走着走着就走偏了，很难回到边．这是为什么呢？经测量，在矩形中，，． ①要想抵达草坪的对面，走偏最多的弧线为弧，求弧所在圆的半径． ②有研究显示，健康人群的步长之差约为，请根据以上数据，分析为什么很难闭上眼睛走到草坪对面． 24. 解决下面的问题： （1）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转得．求______________，______________． （2）中，，，，在边上（如图），，若，，．试探究，，之间的数量关系，并说明理由． （3）中，，，，点为内一动点，连接，，．当为多少度时，有最小值，请求出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学练习 总分：120分 时长：120分钟 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，除文字以外，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A，不是中心对称图形； B，是中心对称图形； C，不是中心对称图形； D，不是中心对称图形． 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断一元二次方程需同时满足三个条件：仅含一个未知数、未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：A选项，仅含未知数，最高次数为2，是整式方程，符合要求． B选项，含有两个未知数，不符合． C选项，含有分式，不是整式方程，不符合． D选项，未明确，当时无二次项，不符合．故答案为A． 3. 已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 图像在第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 点不在该图像上 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求得的值，进而可得该函数解析式，结合反比例函数的图像与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴，即该函数解析式为， ∴该函数图像在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当时，，即点在该函数图像上， ∴选项A、B、D错误，不符合题意，选项C正确，符合题意． 4. 如图，工人师傅经常站在人字梯上安全地工作，这里面蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【详解】解：人字梯与地面组成一个三角形．这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性． 5. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. 8 B. 12 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 即； ∴ k的值可能是8． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形三条高线的交点一定在三角形的内部 B. 三角形的外角等于两个内角之和 C. 在中，， 则为钝角三角形 D. 三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 【答案】D 【解析】 【分析】根据钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶点上，可判断A，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可判断B，根据三角形内角和为，可判断C错误，根据三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，可判断D． 【详解】A∵钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶点上， ∴不是所有三角形高线交点都在三角形内部，故A错误． B.∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴选项缺少限制条件，故B错误． C.∵三角形内角和为，， ∴最大角为， ∴是直角三角形，不是钝角三角形，故C错误． D.根据三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，故D正确． 7. 将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（ ） A. 先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B. 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D. 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】B 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到， 再向下平移4个单位长度，得到． 8. 已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，数形结合是关键．根据的图象的开口向下，得出，抛物线的对称轴在x的正半轴，得，整理得，因为函数与y轴的交点在正半轴，得，即可作答． 【详解】解：由图象的开口向下可知， ∵抛物线的对称轴在x的正半轴， ∴对称轴， ∴，， ∵函数与y轴的交点在正半轴， ∴， 故选：C． 9. 如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象过点求出的值，再利用反比例函数的几何意义求解的面积． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∵点是图象上任意一点，轴， ∴． 10. 图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，、、、为固定长度的连杆．支点固定在上，支点固定在连杆上，支点固定在连杆上．支点可以在上滑动，点的滑动带动点、、、的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点、、、都在滑轨上．当窗户开到最大时，．窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点移动的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当窗户开到最大时，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 已知一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知菱形两条对角线的长度，利用菱形面积公式，即菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，直接计算即可． 【详解】解：∵这个菱形两条对角线长分别为和， ∴这个菱形的面积为． 12. 已知抛物线的部分图象如图所示，则方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，抛物线与x轴的交点横坐标即为二次函数函数值为0时的一元二次方程的解，据此进行求解即可． 【详解】解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是,对称轴为直线， ∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为， ∴令，即， ∴方程的解是． 故答案为：． 13. 如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，．   ，  ．  四边形内接于 ，  ， ． 14. 已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系是______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 15. 跳台滑雪可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段．为了寻找更为有利的起跳条件，小北利用红外线摄像仪记录数据并得出运动员从起跳点起跳后的飞行高度（米）与滑行时间（秒）之间的关系式为，飞行的最大高度为______________． 【答案】米 【解析】 【分析】求解二次函数的最大值即可. 【详解】解：， ， ∴当时，函数最大值为， ∴飞行的最大高度为米. 16. 小明设计了一个纸牌魔术游戏，他准备了一副不含大、小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张纸牌，再让小红将这张纸牌的点数（、、、分别对应1，11，12，13，按数字取值）加上6，将上一步的结果乘这张纸牌的点数，再减去10．最后加上花色代号，其中花色黑桃、梅花、红桃、方块的代号分别是1、2、3、4，最后小红说出运算结果是9．由此，请你推断小红抽出的纸牌是___________． 【答案】红桃 【解析】 【分析】设抽出的纸牌点数为，花色代号为，可得，再进一步讨论即可. 【详解】解：设抽出的纸牌点数为，花色代号为， 由题意得，运算结果为：， 整理得：， ∵为1，2，3，4，为正整数， 当时，，此时不是正整数； 当时，，此时不是正整数； 当时，， ∴（舍去）， ∴， ∴小红抽出的纸牌是红桃； 当时，，此时不是正整数． 综上小红抽出的纸牌是红桃． 三、解答题（本题共8小题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 已知二次函数． （1）请指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】（1）开口向上，对称轴，顶点坐标 （2）函数最大值8，最小值 【解析】 【分析】（1）把原二次函数变成顶点式即可作答； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴， ∴开口向上，对称轴，顶点坐标； 【小问2详解】 解：开口向上，对称轴，， 当时，最小值为； ， 当时，最大值为8； 综上所述，当时，函数最大值8，最小值． 19. 如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 （1）画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． （2）在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 【答案】（1） 如图，即为所求,． （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． 根据旋转的性质作图即可； 利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴点B的运动路径长为 20. 如图，在中，弦的中点为点，连接、，并分别延长它们与相交于点、． （1）若，求的大小． （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可知，得到，进而求出，根据圆周角定理计算即可； （2）由题意可知，设的半径为，则，在中，由勾股定理求出，在中，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：∵弦的中点为点，是过圆心的线段， ∴， 即， 在中，， ∴， ∴， 根据圆周角定理可知； 【小问2详解】 解：∵是中点，， ∴， 设的半径为，则， 已知，而， 因此． 在中，由勾股定理， 代入得： 解得， 因此直径． ∵是的直径， ∴． 在中，． 21. 为了解学生在阅览室的阅读情况，某校随机抽取了部分学生，并对他们在阅览室的一周阅览时长进行了收集、整理和描述．所抽取学生在阅览室的一周阅览时长（单位：小时）均不高于小时． 【收集数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长如下： ， ， ， ． 【整理数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计表如下： 分组 组 （） 组 （） 组 （） 组 （） 人数 【描述数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计图如下： 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的频数直方图 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的扇形统计图 根据以上信息，解决下列问题： （1）补全频数直方图； （2）所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的众数为________小时；所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的中位数为________小时； （3）扇形统计图中，组所对应的扇形圆心角度数为________； （4）该校共有名学生，请估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于小时的学生人数． 【答案】（1）补全频数直方图如图所示， （2）；； （3） （4）估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于小时的学生有人 【解析】 【分析】（1）先根据组人数与占比算出样本总人数，再求出组的人数频数补全直方图即可； （2）根据全部数据以及样本总人数，找出出现最多的数据得到众数，取排序后第位数据平均值得到中位数； （3）求出组占样本总人数的比例，乘即可求出圆心角的度数； （4）先计算出本次抽样调查中阅览时长不低于小时人数，再根据用样本估计总体即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵组共人，扇形图组占， ∴本次抽样调查的总人数为：（人）， ∴组的人数为：， 补全频数直方图略； 【小问2详解】 解：根据抽取学生的一周阅览时长数据，本次抽样调查的总人数为人， 出现次数最多共次，所以众数为， 中位数是第个数的平均数，即：； 【小问3详解】 解：∵组共人， ∴组所对应的扇形圆心角度数为：； 【小问4详解】 解：本次抽样调查中阅览时长不低于小时人数，即组和组的人数和：（人）， 估计该校一周阅览时长不低于小时的学生人数为：（人）． 答：估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于小时的学生有人． 22. 【问题背景】公元前4世纪，古希腊数学家发现了“黄金长方形”，即长方形的长和宽之比为最佳比例（看起来赏心悦目），这个美妙的比例实质上是将一条单位长的线段分成两段，使小段：大段=大段：全段，这就是众所周知的“黄金分割比”．比如：是线段的“黄金分割点”， 如图： 则有 【问题解决】设全段为1，大线段为，则小线段长为，于是有解得． （1）如图，上海东方明珠塔的塔身高度为，塔身上装置了下球体，中球体和上球体（太空舱）．分别位于塔身的，，之间，若要使得塔身显得非常协调美观，请直接写出塔身的一个黄金分割点位于______________球体内． （2）若要作线段的黄金分割点，小军认为他可以这样实现．步骤如下： ①作于点，且使得． ②连接，以为圆心，的长为半径作弧，交于点． ③以为圆心，长为半径作弧交于点． ④点即为的一个黄金分割点． 请你判断他的作图是否正确，并说明理由． （3）已知，求的值． 【答案】（1）中 （2）证明：作图正确，理由如下： 设，则， 设，即，， 为直角三角形， ． 即， 化简得， ，（舍去）， 即 ， 点为线段的黄金分割点． （3） 【解析】 【分析】（1）根据黄金分割的定义，先计算塔身高度的黄金分割点对应的长度，再判断该长度所在的区间，从而确定位置． （2）设，，设，即，，由勾股定理得，即，然后解方程，再根据黄金分割的定义即可求解． （3）由，可得，进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵ 黄金分割比值约为，塔身高度为， ∴ 黄金分割点对应的长度为． ∵ ，此区间对应中球体的位置， ∴ 塔身的黄金分割点位于中球体． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴即， ∴. 23. 【问题背景】1896年，挪威生理学家古德贝发现：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象． 【收集数据】经研究，蒙上眼睛走出的大圆圈的半径与两腿迈出的步长之差之间有如下表的关系： 1 2 5 7 1400 700 280 200 【问题解决】 （1）请写出与之间的函数关系式． （2）当某人两腿迈出的步长之差为时，他闭上眼睛走出的大圆圈的半径为______________． （3）【问题拓展】如图，学校运动场有一块矩形的草坪，一次游戏要求同学们闭眼从边的中点走向边，大家发现走着走着就走偏了，很难回到边．这是为什么呢？经测量，在矩形中，，． ①要想抵达草坪的对面，走偏最多的弧线为弧，求弧所在圆的半径． ②有研究显示，健康人群的步长之差约为，请根据以上数据，分析为什么很难闭上眼睛走到草坪对面． 【答案】（1） （2） （3）①； ②当时，， ∴人很难闭上眼睛走到草坪对面. 【解析】 【分析】（1）由题意设反比例函数解析式为，进一步利用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式即可得到答案； （3）①设，可得，进一步结合勾股定理求解即可；②把代入反比例函数解析式，进一步比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意设反比例函数解析式为， 由表格可知，反比例函数过点， ∴， ∴，经检验符合题意． 【小问2详解】 解：当时，． 【小问3详解】 解：①∵在矩形中，，， ∴， ∵，设， ∴， ∴， 解得：， ∴弧所在圆的半径为； ②略 24. 解决下面的问题： （1）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转得．求______________，______________． （2）中，，，，在边上（如图），，若，，．试探究，，之间的数量关系，并说明理由． （3）中，，，，点为内一动点，连接，，．当为多少度时，有最小值，请求出最小值． 【答案】（1）， （2）解：，理由如下： 如图，把绕旋转得到， ∴， ∴，，，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过作于， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：. （3）， 【解析】 【分析】（1）如图，过作于，连接，进一步结合等腰直角三角形与勾股定理可得答案； （2）如图，把绕旋转得到，可得，，可得，过作于，进一步结合勾股定理可得结论； （3）如图，把绕顺时针旋转得到，过作于，可得，，是等边三角形，结合，可得当共线时，取最小值，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：如图，过作于，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转得． ∴，，， ∴. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，把绕顺时针旋转得到，过作于， ∴，，，，， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当共线时，取最小值， 此时， ∴， ∵， ∴的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $