精品解析：湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校　2025-2026学年上学期九年级第三次月考数学试卷

初中学业水平质量监测 数学 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最大的是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比较实数的大小，掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可判断求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵正数大于负数， ∴最大的数是3， 故选：A． 2. 下图是由六个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何体的左视图，掌握左视图的观察方向和画法是解题的关键． 根据左视图是从左边观察到的图形，即可求解． 【详解】解：几何体的左视图为： ， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、单项式的乘法、幂的乘方和积的乘方，准确的计算是解答本题的关键． 根据同底数幂的乘法、单项式的乘法、幂的乘方和积的乘方逐项计算即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、与不是同类项，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意； 故选D． 4. 2025年五一假期，长沙再度掀起“味蕾游”热潮．从繁华商圈到网红店门口，游客们慕名而来，“打卡”地道湘味．数据显示，5月1日，长沙五一商圈核心区累计客流量达人次．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 将表示为科学记数法，需使满足，故向左移动小数点位得． 【详解】解：， 故选：D． 5. 2020年，我国承诺，力争2030年前实现“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足迹”的情况，收集了本组7名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为76，79，78，77，79，81，80．则这组数据的中位数是（ ） A. 77 B. 78 C. 79 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，理解题意是解决本题的关键． 中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间的数，据此求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排序：76，77，78，79，79，80，81； ∵数据个数，为奇数， ∴中位数为第4个数，即79， 故选C． 6. 若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了弧长的计算，理解记忆弧长公式是解题的关键． 由弧长公式分别代入相应的数值求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， 解得． 故选：C． 7. 如图，已知平行线和被直线所截，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟知“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键．根据两直线平行，同位角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，的顶点A，B，C均在上，连接，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，掌握同弧所对圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 由解得，结合，可计算出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选A． 9. 要得到抛物线，可以将抛物线：（ ） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可； 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到抛物线； 故选D． 【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 10. 如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴，以及一次函数的斜率与截距的意义是解题的关键． 先根据一次函数的图象确定的符号，再结合二次函数的开口方向、对称轴等性质，逐一判断选项是否符合． 【详解】解：A、二次函数开口向上，；一次函数过一、三象限，，一次函数与y轴的正半轴相交，二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴右侧，符合，故A项可能． B、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故B项不可能． C、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故C项不可能． D、二次函数开口向下，；一次函数过二、四象限，，但二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴左侧，而图中对称轴在轴右侧，矛盾，故D项不可能． 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 12. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击的次数 20 40 100 200 400 1000 2000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 322 801 1596 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为________（结果保留一位小数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，理解题意是解决本题的关键． 根据表格进行求解即可． 【详解】解：从表格数据可以看出，随着射击次数的增加，“射中9环以上”的频率逐渐稳定在附近， ∴估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为． 故答案为：． 13. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，将分式方程转化为一元一次方程是解本题的关键． 解分式方程需去分母转化为整式方程，求解后检验根是否使分母为零． 【详解】解： 解得， 检验：当时，分母，， 故是原方程的解． 故答案为：． 14. 宽与长的比值为（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，．若四边形是黄金矩形（），则________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，矩形的性质，二次根式的运算，正确计算是解题的关键． 先根据黄金矩形的宽与长的比为黄金分割比，计算出矩形的宽，再根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：黄金矩形的宽与长的比为黄金分割比， ， 矩形中，， , ，即， ， ． 故答案为． 15. 如图，，是两条互相垂直的弦，于点，于点，连接．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．利用垂径定理求出、的长度，结合勾股定理得出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，， 故答案为： 16. 为隆重纪念中国人民抗日战争胜利暨世界反法西斯战争胜利80周年，某中学的数学课外活动小组举办了一场精彩纷呈的庆祝活动．该活动主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9，这九个数字中任取一个数字，先将选取的这个数字乘以3，将得到的乘积加上3，然后将此结果乘以3，最后将得到的两位数的个位数字与十位数字相加，主持人要求参与者将最后得到的结果记在心里，不用告诉主持人．主持人牛皮哄哄地说他有神机妙算的“猜心术”，无论参与者最先选择的是哪个数字，他都可以猜出最后的结果．聪明的各位同学，你认为最后的结果是________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了数字规律探索，理解题意是解决本题的关键． 设选取的数字为，经过运算后得到，根据题意可知对应的数为：18、27、36、45、54、63、72、81、90，进而即可求解． 【详解】解：设选取的数字为， ∴数字乘以3：； 乘积加3：； 结果乘以3：． ∵n是1至9的整数，是2至10的整数， ∴对应的数为：18、27、36、45、54、63、72、81、90． ∴将这些数的个位与十位数字相加：，，，，，，，，． ∴最终结果恒为． 故答案为：9． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的运算，零次幂，负整数指数幂的含义，先化简绝对值，求解负整数指数幂，二次根式的乘法运算，零次幂，再合并即可． 【详解】解： 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练解每个不等式，准确确定不等式组的解集． 先分别算出每个不等式的解集，再取公共部分的解集，即可作答． 【详解】解：： 解得， ： 解得， ∴不等式组解集为． 19. 如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． （1）求证∶与相切； （2）若正方形的边长为1，求的半径． 【答案】（1） 证明∶过作于，连接， 与相切于点， ， 四边形为正方形， ， ， 又为正方形对角线， ， ∴， ， 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）过作于，连接，由正方形的性质结合已知条件可得出，由三角形内角和可得出，进一步即可证明与相切； （2）由（1）易知为等腰直角三角形，为半径，设，由勾股定理可得出，进而可得出，再由勾股定理可得出，由正方形的性质可得出，求出，进而列出等式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶由（1）易知为等腰直角三角形，为半径， 设， ∴ ， 在中，， ∴， ， ． ， ， 的半径为. 【点睛】本题主要考查了圆的性质，正方形的性质，证明某直线是圆的切线，等腰直角三角形的判定以及性质，勾股定理，平行线的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 20. 从2025年春季学期开始，湖南省义务教育学校把课间休息时间从10分钟延长至15分钟，学生的课间休息时间更加充分，学生利用课间休息时间开展了形式多样的活动．为了解某学校学生课间自主活动的情况，进行了随机问卷调查，调查结果分为四类：A．篮球运动，B．乒乓球运动，C．羽毛球运动，D．其他．将收集的信息进行统计，绘制成如下两幅待完善的统计图表．请你根据以上信息，解答下列问题： 类别 频数 频率 A 12 B 20 C 16 a D b （1）本次调查随机抽查了________名学生；表中________，________； （2）扇形统计图中D类所在扇形的圆心角度数为________度； （3）该校七年级一班有甲、乙、丙、丁四名羽毛球爱好者，课间开展活动时，从这四名同学中随机抽取两名同学进行羽毛球单打，用列表法或树状图法求抽取的两名同学恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1）80，，32 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量，根据频数之和等于样本容量，求得对应的频数频率之和为1，求得相应的频率即可． （2）利用圆心角的计算方法解答即可． （3）根据列表或画树状图法，解答即可． 本题考查了频数分布表、扇形统计图，样本容量，圆心角的计算，列表或画树状图法求概率，熟练掌握统计图的意义，频率，概率计算，正确计算样本容量，计算概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， (人)， ， 故答案为：80，，32． 【小问2详解】 解：故D类的圆心角为：， 故答案为：144． 【小问3详解】 解： 根据题意，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中恰好是甲和乙的情况有2种， （恰好是甲和乙的概率）． 21. 如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧在的内部相交于点D，作射线交于点E． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，三角形全等的判定及性质，勾股定理，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）根据勾股定理求出的长即可； （2）过点E作于点F，由作图可得是的角平分线，根据角平分线的性质得到，从而证得，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴； 【小问2详解】 解：过点E作于点F，如图所示： 由作图可得是的角平分线， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 22. 乡村全面振兴有序推进．某村开展了主题为“善读书·兴业富民”的读书活动，用书香涵养乡村新貌．为配合活动的开展，村委会决定增加村图书馆的藏书数量，准备购进一批农业类书籍和科技类书籍，其中购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元． （1）求农业类书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若准备用9200元购买农业类书籍和科技类书籍共200本，问至多购买农业类书籍多少本？ 【答案】（1）农业类书籍的单价是50元，科技类书籍的单价是40元 （2）至多购买农业类书籍120本 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意、列出方程组和一元一次不等式是解决本题的关键． （1）设农业类书籍单价为x元，科技类书籍单价为y元，根据：购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元，即可得出方程组，解方程组即可； （2）设购买农业类书籍m本，则购买科技类书籍本，再根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设农业类书籍单价为x元，科技类书籍单价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：农业类书籍单价为元，科技类书籍单价为元； 【小问2详解】 解：设购买农业类书籍m本，则购买科技类书籍本， 根据题意得：， ； 解得：， 答：至多购买农业类书籍本． 23. 如图，，平分，交于点C，平分，分别交，于点O，D，连接，过点C作于点E． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 解：∵平分， ∴， 又∵， ∴，结合， ∴， ∴． （2） 解：∵平分，， 由（1）中同理可证，结合， ∴，又∵， ∴四边形为平行四边形，又∵， ∴四边形为菱形． （3）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质、菱形的判定与性质，熟练运用各部分知识点是解题的关键． （1）由平分与，证出角度之间的等量关系，即可证明； （2）同（1）中方式，证出，结合平行，先证四边形为平行四边形，再因为，可证四边形为菱形； （3）由于菱形的性质，可求出，通过菱形的面积计算求出的长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形为菱形， ∴、互相平分且垂直， ∵，， 由勾股定理可得， ∴， 又∵，即， 解得， 故的长为． 24. 我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“伴随点”．若某函数的图象上至少存在一对“伴随点”，我们就称该函数为“伴随函数”．根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①函数的图象上不存在“伴随点”；（ ） ②若一次函数是“伴随函数”，则必有（ ） ③函数不是“伴随函数”．（ ） （2）若关于x的一次函数与（，，是非零常数）都是“伴随函数”，求这两个函数的图象与两坐标轴围成的平面图形的面积； （3）若关于x的二次函数是“伴随函数”，求的取值范围． 【答案】（1）①×，②×，③√ （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目中给出的“伴随点”，“伴随函数”的定义结合分段函数，一次函数的性质进行分析得出结果； （2）根据题意求得，再分情况讨论和的情况画出图形，根据一次函数与坐标轴交点求面积并最后求和； （3）由题意可得，且，则有，令，则，利用关于x的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，，即，， ∴“伴随点”为，，且， ①：对于函数，当时，，，，代入得，即， 解得或， 而不满足，时，， ∴存在“伴随点”，故①错误，应打“×”； ②：设一次函数图象上有“伴随点”，， 则，，， 将代入得， 又∵，两式相减得， ∵， ∴，即，故②错误，应打“×”； ③：设函数图象上有“伴随点”，， 则，，， 即，， 若，，则，不满足条件， ∴函数不是“伴随函数”，故③正确，应打“√”． 【小问2详解】 解：设存在一对“伴随点”为，，， 将，代入，得 ，解得：， 同理可得：， ∴， 则与x轴交点为，与y轴交点为，与x轴交点为，与y轴交点为， ∵两直线平行，， ①如图，当时： ∴； ②如图，当时： ∴； ③如图，当时： ∴； ④如图，当时： ∴； ⑤如图，当时： ∴； ⑥如图，当时： ∴， 综上所述，面积为或． 【小问3详解】 解：∵二次函数是“伴随函数”， 设其图象上有“伴随点”，， 则，，， 将代入得：， 又∵， 由，可得，， 将代入得：， 令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 将代入得：， 整理得：， ∵关于的一元二次方程有解， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，半径为r的半圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C．直线与该半圆相切于点F，与x，y轴分别交于点G，H，过A，B两点作该半圆的切线分别交直线l于点N，D，过点C作该半圆的切线，交于点M，交直线l于点E． （1）当时，求的值； （2）连接，过点F作轴于点P，令，求四边形的面积； （3）延长，交于点K，当时，令．设，，，，求y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3），且． 【解析】 【分析】（1）计算，根据，得到，， 整理得即，得到． （2）过点D作于点Q，得到四边形是矩形，于是，得到；，根据函数的定义得到，根据切线长定理，得，结合梯形的面积计算即可． （3）设．则，根据题意，切线长定理，得，设，则，，根据勾股定理，得， 解得，，设， 得，，求得，根据（2）得，，解答即可． 本题考查了切线性质，切线长定理，三角函数的应用，勾股定理，正方形的判定和性质，梯形的判定和性质，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用，勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵直线与该半圆相切于点F，与x，y轴分别交于点G，H， ∴，，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵直线与该半圆相切于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点D作于点Q， ∵过A，B两点作该半圆的切线分别交直线l于点N，D， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线与该半圆相切于点F，与x，y轴分别交于点G，H，过A，B两点作该半圆的切线分别交直线l于点N，D， 根据切线长定理，得，， ∴，四边形是梯形， ∴． 【小问3详解】 解：切线的性质，得， 根据题意，得， ∴四边形，四边形都是正方形， ∴， ∵． ∴， 根据题意，切线长定理，得， 设， 则，， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 设， ∴， ∴， 解得， ∴， ， ∴， 根据（2）得，， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中学业水平质量监测 数学 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最大的是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下图是由六个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年五一假期，长沙再度掀起“味蕾游”热潮．从繁华商圈到网红店门口，游客们慕名而来，“打卡”地道湘味．数据显示，5月1日，长沙五一商圈核心区累计客流量达人次．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 2020年，我国承诺，力争2030年前实现“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足迹”的情况，收集了本组7名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为76，79，78，77，79，81，80．则这组数据的中位数是（ ） A. 77 B. 78 C. 79 D. 80 6. 若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 7. 如图，已知平行线和被直线所截，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的顶点A，B，C均在上，连接，．若，则（ ） A. B. C. D. 9. 要得到抛物线，可以将抛物线：（ ） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 10. 如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 12. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击的次数 20 40 100 200 400 1000 2000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 322 801 1596 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为________（结果保留一位小数）． 13. 方程的解为________． 14. 宽与长的比值为（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，．若四边形是黄金矩形（），则________（结果保留根号）． 15. 如图，，是两条互相垂直的弦，于点，于点，连接．若，，则的长为________． 16. 为隆重纪念中国人民抗日战争胜利暨世界反法西斯战争胜利80周年，某中学的数学课外活动小组举办了一场精彩纷呈的庆祝活动．该活动主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9，这九个数字中任取一个数字，先将选取的这个数字乘以3，将得到的乘积加上3，然后将此结果乘以3，最后将得到的两位数的个位数字与十位数字相加，主持人要求参与者将最后得到的结果记在心里，不用告诉主持人．主持人牛皮哄哄地说他有神机妙算的“猜心术”，无论参与者最先选择的是哪个数字，他都可以猜出最后的结果．聪明的各位同学，你认为最后的结果是________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． （1）求证∶与相切； （2）若正方形的边长为1，求的半径． 20. 从2025年春季学期开始，湖南省义务教育学校把课间休息时间从10分钟延长至15分钟，学生的课间休息时间更加充分，学生利用课间休息时间开展了形式多样的活动．为了解某学校学生课间自主活动的情况，进行了随机问卷调查，调查结果分为四类：A．篮球运动，B．乒乓球运动，C．羽毛球运动，D．其他．将收集的信息进行统计，绘制成如下两幅待完善的统计图表．请你根据以上信息，解答下列问题： 类别 频数 频率 A 12 B 20 C 16 a D b （1）本次调查随机抽查了________名学生；表中________，________； （2）扇形统计图中D类所在扇形的圆心角度数为________度； （3）该校七年级一班有甲、乙、丙、丁四名羽毛球爱好者，课间开展活动时，从这四名同学中随机抽取两名同学进行羽毛球单打，用列表法或树状图法求抽取的两名同学恰好是甲和乙的概率． 21. 如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧在的内部相交于点D，作射线交于点E． （1）求的长； （2）求的面积． 22. 乡村全面振兴有序推进．某村开展了主题为“善读书·兴业富民”的读书活动，用书香涵养乡村新貌．为配合活动的开展，村委会决定增加村图书馆的藏书数量，准备购进一批农业类书籍和科技类书籍，其中购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元． （1）求农业类书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若准备用9200元购买农业类书籍和科技类书籍共200本，问至多购买农业类书籍多少本？ 23. 如图，，平分，交于点C，平分，分别交，于点O，D，连接，过点C作于点E． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形； （3）若，，求的长． 24. 我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“伴随点”．若某函数的图象上至少存在一对“伴随点”，我们就称该函数为“伴随函数”．根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①函数的图象上不存在“伴随点”；（ ） ②若一次函数是“伴随函数”，则必有（ ） ③函数不是“伴随函数”．（ ） （2）若关于x的一次函数与（，，是非零常数）都是“伴随函数”，求这两个函数的图象与两坐标轴围成的平面图形的面积； （3）若关于x的二次函数是“伴随函数”，求的取值范围． 25. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，半径为r的半圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C．直线与该半圆相切于点F，与x，y轴分别交于点G，H，过A，B两点作该半圆的切线分别交直线l于点N，D，过点C作该半圆的切线，交于点M，交直线l于点E． （1）当时，求的值； （2）连接，过点F作轴于点P，令，求四边形的面积； （3）延长，交于点K，当时，令．设，，，，求y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $