3.1.2函数的表示1课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.2 函数的表示1 第三章 函数的概念与性质 问题1：初中函数的三种表示法是什么？ 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 问题2：你能从教材P60--61的问题1,2,3,4来举例说明吗？ 解析法 例如：问题1中的S=350t, t∈{t|0≤t≤0.5} 列表法 例如：问题3中的图象 图象法 例如：问题４中的表格 导入 例1.某种笔记本的单价是5元，买()个笔记本需要元.试用函数的三种表示法表示函数. ①解析法： y=5x,x∈{1,2,3,4,5} 笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25 ②列表法： ③图象法： 思考：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？ 在定义域内任取一个值作垂直于轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为函数图象；若无交点或多于1个交点，则不是函数图象 例题巩固 3 列表法 图像法 解析法 定义 用表格的形式把两个 变量间的函数关系 表示出来的方法 用图像把两个变量间的函数 关系表示出来的方法 用解析式把两个变量间的函数关系表示出来的方法 优点 无需通过计算就能知 道两个变量之间的对 应关系，比较 直观 直观地表示函数的局部变化 规律，进而可以预测它的整体趋势 更便利地通过计算等 手段研究函数性质 缺点 只表示有限个 元素的函数关系 一些函数的图像不能精确作出 一些实际问题难以找到 它的解析式 表示方法 比较 探究新知 1、函数的3种不同表示方法 4 例2 画出函数y=|x| 的图象. 解: 由绝对值的概念，我们有 ∴函数y=|x| 的图象如图所示. 0 3 2 1 -1 -2 -3 1 2 3 4 分段函数. 例题巩固 2、分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注意：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； (2)在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； (3)分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集. (4)分段函数的值域通常可结合图象判断，取各段范围的值域的并集。 探究新知 3、几种常见的分段函数： （1）符号函数： = （2）含绝对值符号的函数： = （3）取整函数： (表示不大于的最大整数) 探究新知 例3 给定函数f(x)=x+1, g(x)=(x+1)2, x∈R, （1）在同一直角坐标系中画出函数f(x), g(x)的图象； （2）∀x∈R，用M(x)表示f(x), g(x)中的较大者，记为 M(x)=max{f(x), g(x)}. 请分别用图象法和解析法表示函数M(x). （1）同一直角坐标系中画出函数f(x), g(x)的图象,如图. 解： (2)由(1)中函数图象中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象，如图示 结合函数的图象，可得函数M(x)的解析式为 由(x+1)2= x+1，得x=-1或x=0. 例题巩固 （2）已知函数 则 ( ) 例4（1）若 则 等于( ) C A. B. 0 C. 1 D. 6 [解析] 因为 ，所以 . B A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 [解析] . 例题巩固 （3）已知函数 则 ( ) B [解析] 由题意得 , ， . 例5（1）已知函数 若 ，则实数 的值为 _____， ____. <m></m> <m></m> [解析] 由题意得, ，则 ， 解得 ，所以当 时, ,所以 . （2）已知实数 ，函数 若 ，则 的值为____. <m></m> [解析] 当 时， ， ，由 ，可得 ，解得 ，矛盾； 当 时， ， ，由 ，可得 ，解得 ，满足题意.综上， . 例题巩固 例6 设函数 若 ，则实数 的值为( ) D A. 或4 B. 或 C. 2或4 D. 2或 [解析] 当 时， ，解得 （舍去）或 ； 当 时， ，得 .综上， 或 . 例7、已知函数 若 ,则 的取值范围是_________. [解析] 当 时， 即 ，解得 ，所以 ； 当 时， 即 ，解得 ，所以 ； 当 时， 即 ，无解. 综上， 的取值范围是 . </m> 例题巩固 例8、为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 3元/ 超过 但不超过 的部分 6元/ 超过 的部分 9元/ (1)设每户每月用水量为 时，应缴纳水费 元，写出 关于 的函数关系式； [解析] 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 例题巩固 （2） 甲同学家本月用水 ，则应缴纳水费多少元？ 解: 当 时， ，故甲同学家应缴纳水费90元. 解：当 时，令 ，解得 ，不满足题意； 当 时，令 ，解得 ，满足题意； 当 时，令 ，解得 ，不满足题意. 综上所述，乙同学家本月用水量为 . （3） 若乙同学家本月缴纳的水费为54元，则其本月用水量是多少？ 例题巩固 课堂小结 课堂检测 1、 15 2、已知函数则使成立的的值组成的集合为 ． 【答案】【解析】由题意可得或 由 解得；由 解得． 综上所述，使成立的的值组成的集合为． 故答案为：． 课堂检测 3、已知，若，则的取值范围是 ． 【答案】【解析】当时，即当时， 由可得，矛盾； 当时，即当时，由可得，可得， 解得，此时； 当时，由可得，即，矛盾． 综上所述，满足不等式的的取值范围是．故答案为：． 课堂检测 4、已知， （1）用分段函数表示的解析式，并作出其图象； （2）指出函数的定义域与值域； （3）解不等式． 【解析】（1）当时，， 当时，， 当时，， 所以，，作出函数的图象如下图所示： （2）由（1）中的图可知，函数的定义域为，值域为． （3）当时，由可得，此时，， 当时，由可得，此时，， 当时，由可得，此时，． 综上所述，不等式的解集为． 课堂检测 (2)当a>1时，f(a)＝1＋eq \f(1,a)＝eq \f(3,2)， ∴a＝2>1； 当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝eq \f(3,2)， ∴a＝±eq \f(\r(2),2)∈[－1,1]； 当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝eq \f(3,2)， ∴a＝－eq \f(3,4)>－1(舍去)． 综上，a＝2或a＝±eq \f(\r(2),2). 例1已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)，x>1，,x2＋1，－1≤x≤1，,2x＋3，x<－1.)) (1)求f(f(f(－2)))的值； (2)若f(a)＝eq \f(3,2)，求a. 解：(1)∵－2<－1， ∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1， ∴f[f(－2)]＝f(－1)＝2， ∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2). $