重难专题01 高考热点：函数性质的综合应用（九种题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦函数性质综合应用专题，系统整合奇偶性、单调性、周期性、对称性四大核心性质，涵盖比较函数值大小、解不等式、求函数值等9类重难题型，构建从基础性质到综合应用的知识体系。 清单采用题型脑图归纳考法，考法深研模块细化解题步骤，如奇偶性+单调性解不等式明确“转化结构-利用单调性-结合定义域”三步法，培养学生数学思维与逻辑推理能力。特设知识点标注与例题关联，如周期性+奇偶性求函数值强调“符号转化-区间平移-代入计算”技巧，辅助学生规范表达，教师可据此精准指导，提升复习效率。

重难专题01 函数性质的综合应用 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 奇偶性+单调性比较函数值大小 此类题目的核心思路是将不在同一单调区间上的自变量，通过奇偶性转化到同一区间上，再利用单调性判断大小。 【知识点】奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反。 1．已知函数定义域为R，满足，对于，，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，故是偶函数，则， 又，，且，都有， 故在上单调递减， 又，则，即． 2．（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 3．（25-26高二下·福建龙岩·期末）已知函数．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以是偶函数， 因此， 求导，当时：， 令，则，在单调递增， ，可得，故 又时，，故，所以在单调递增， 对取对数得，令，求导得， 当时，单调递增；当时，单调递减； 因为，计算得， 所以，即 因为在单调递增，所以，即， 故选：A. 4．（2026·云南红河·模拟预测）已知定义在上的函数满足，对任意两个不相等的正实数，，都有成立，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 函数在上单调递增，所以， ，， 故，，，则， 又因为函数满足，即， 所以的图象关于轴对称，即为偶函数， 则，， 又因为对任意不相等的两个正实数，，都有成立， 所以在上单调递增， 则，即. 5．（多选）（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知函数的图象关于原点对称，则（   ） A． B． C．函数存在两个零点 D．的解集为 【答案】BC 【详解】对于A，由题意知是奇函数．则， 即， 即， 整理得， 要使这个等式对定义域内所有都成立，则有 ，即，即，因为，所以， ，即，所以， 所以，故A错误； 对于B，由上知， 因为在上分别单调递增和单调递减， 故在上单调递增，故在和上单调递增， 故，故B正确； 对于C，令，得， 在同一直角坐标系中分别作出的大致图象如图所示，观察可知，C正确； 对于D，或， 故D错误． 6．（多选）（2026·江西南昌·三模）设是定义在上的偶函数，且当时，函数，则（     ） A． B．当时， C．恰有个零点 D．当时， 【答案】AC 【详解】当时，， 所以. 所以，故A正确； 由可得；由可得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，所以函数在上只有一个零点. 根据是定义在上的偶函数，图象关于轴对称，可作出函数草图如下： 由图可知，函数有和两个零点，故C正确； 设，则， 因为函数为偶函数，所以，故B错误； 当时，，所以， 因为函数在上单调递减，所以，故D错误. 题型02 奇偶性+单调性解不等式 此类题型核心是将抽象的函数不等式转化为具体的自变量不等式组。解题步骤为： 1.转化不等式结构：利用奇偶性将不等式变形为或的形式。①若为奇函数，利用，将负号移入函数内部，如；②若为偶函数，利用，将变量转化为绝对值形式，直接比较绝对值大小，避免分类讨论。 2.利用单调性去掉“”：根据函数在定义域或特定区间上的单调性，去掉函数符号，转化为自变量的大小关系。若为增函数，则；若为减函数，则。 3.结合定义域列不等式组：函数的自变量必须在定义域内，因此需同时满足：①转化后的自变量关系；②所有自变量均在定义域内，最后求这些条件的交集即为最终解集。 1．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域为R， 因为，所以函数是R上的增函数. 因为，所以函数是奇函数， 所以由得， 则，解得. 所以不等式的解集为. 2．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为R， 且满足， 故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数性质，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 3．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的图象关于点对称， 则函数的图象关于原点对称，即， 从而等价于，即 由函数在定义域上单调递减， 则，解得. 4．（2026·安徽合肥·二模）已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，又， 令，则. 因为，， 所以，所以在上单调递增. 又，所以当时，，即在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式等价于， 即. 又，所以， 即，， 由，得，即； 由，得，即. 综上，， 所以的取值范围为. 5．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 设函数，，则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 6．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 故，单调递增. 又，所以恒成立，等价于，等价于恒成立，即恒成立. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当时，取得最大值， 故 7．（多选）（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】BCD 【详解】令，由题意知在上为减函数． 因为为上的偶函数，为上的奇函数，所以为上的奇函数． 又在上为减函数，，所以为上的减函数． ①当 时，即， 所以，所以，所以，解得； ②当 时，即， 所以，所以，所以，解得． 综上，或． 题型03 对称性+单调性比较函数值大小 此类题型核心思想是将代比较的自变量转化到同一个单调区间内，在依据单调性判断大小，解题步骤为： 1.利用对称性转化区间：若自变量分布在对称轴（或对称中心）的两侧，首先利用对称性将其中一个自变量转化为其对称点，使所有代比较的自变量位于同一侧。 2.判断单调性方程：确定函数在该统一区间上的单调性。 3.比较自变量的大小。 1．已知定义域为的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可知，函数的图象关于直线对称， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 因为，所以，即． 2．（25-26高一下·辽宁营口·期末）已知函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，所以关于对称， 又，， 所以为偶函数， 当时，， 所以在单调递增， 所以，， 又， 所以， 所以. 3．（2026·河南周口·三模）已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，则， 令，则，所以， 因此函数关于点中心对称， 因为在上单调递增，结合又关于点对称， 所以在上也单调递增. 由，则令，所以，即. 因为，在上单调递增， 所以，即. 4．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 所以关于直线对称， 当时，，则， 所以在上单调递增， 由，则，而， 所以，故，即， 由，故，即， 综上，. 5．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，都有成立，则函数图象关于点对称， 为偶函数，的图象关于对称，即， 若，则， 可得，而， 化简得，周期， 而任取，， 在上单调递减， 为偶函数，在上单调递增， 函数图象关于点对称， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， ，， 因为，所以． 6．（2026·广东·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则，，间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，函数的图像关于直线对称，， 又是定义在R上的奇函数，，，则， 即，故，函数的周期为， ，再根据对称性可得， ，， 当时，为增函数， 则，， 故. 7．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数是中心对称图形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以A错误； 因为，所以，所以B正确； ， 又在上单调递增，在上也单调递增， 所以是增函数，又，所以，所以C错误； 因为，所以， 又因为，所以，所以D错误． 题型04 对称性+单调性解不等式 此类题型核心是将抽象的函数不等式转化为具体的自变量不等式组。解题步骤为： 1.转化不等式结构：利用对称性将不等式两边化为同一形式，即或。 2.利用单调性去掉“”：根据函数在定义域或特定区间上的单调性，去掉函数符号，转化为自变量的大小关系（如绝对值大小或距离对称轴的远近）。 3.结合定义域列不等式组：函数的自变量必须在定义域内，因此需同时满足：①转化后的自变量关系；②所有自变量均在定义域内，最后求这些条件的交集即为最终解集。 1.（25-26高二下·山东济宁·期末）已知函数的定义域为，，对，且都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得函数的图象关于直线对称； 对，且都有， 则在上单调递减， 由对称性可得在上单调递增； 结合函数单调性与对称性，等价于到对称轴的距离小到的距离，即； 所以不等式等价于，即； 即，展开整理得，解得. 故不等式的解集是. 2．已知函数，则关于的不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数， 得， 即，所以的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以由，可得，即. 所以，整理得，解得或． 故关于的不等式的解集为. 3．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数关于对称，且在上单调递增， 所以函数关于对称，且在上单调递增， 若，则，得. 4．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 得的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，可得， 所以，整理得， 解得或． 题型05 周期性+奇偶性求函数值 此类题目核心思想是将未知的自变量通过性质转化到已知解析式的区间内。解题步骤为： 1.利用奇偶性转化符号：若函数为偶函数，可将负自变量转化为正自变量；若函数为奇函数，可将负自变量转化为正自变量并添加负号，此外，若奇函数在处有定义，则必有。 2.利用周期性平移区间：通过加减周期的整数倍，将自变量“平移”到题目给出具体解析式的区间范围内。 3.代入解析式计算。 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】由函数的图象关于直线对称，可得对任意，都有， 即，所以为偶函数， 由可得，即， 所以是以4为周期的偶函数， 因此， 由，令可得， 所以． 3．（多选）（2026·安徽·模拟预测）已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由为偶函数，得. 对作变量代换，得，因此，. 将代入上式，得， 结合，得， 进而，，即的最小正周期为； 由，可得的最小正周期也为. 对于选项A：由，令，得，故A错误. 对于选项B：由，令，得，故B正确. 对于选项C：由，令，得，故C正确. 对于选项D：由周期为，得，故D正确. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（   ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又，则有，因为是奇函数，所以， 可得，即，所以， 所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数， 因为是奇函数，所以， 将替换为可得，又， 所以，所以为偶函数，故A错误； 由是奇函数，则，所以，又， 所以，所以C选项错误； 由，得，所以B选项错误； 因为，， 所以， 所以，所以D选项正确． 5．（2026·甘肃张掖·二模）已知定义在上的函数和满足，，若是偶函数，且，则（     ） A．34 B．36 C．38 D．40 【答案】C 【详解】因为是偶函数，， 所以，所以， 又，两式相减可得， 所以可得，两式相减可得， 即，所以函数的周期， 由，令，可得，所以， 由，令，可得，所以， 由，令，可得， 由，令，可得，两式相减可得， 由，令，可得， 故一个周期中， 所以. 6．（多选）（2026·陕西渭南·模拟预测）已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为为偶函数，所以，所以，即， 所以为奇函数，故. 又，所以，即， 所以，所以，即函数是周期为6的函数. 所以函数也是周期为6的函数，即. 由求导得，，即. 对于A：由，，令，得， 令，得，令，得 又，所以. 又，即，故无法确定的值. 而，故无法确定，A错误. 对于B：由，得，故B正确. 对于C：由，，无法确定的值，C错误. 对于D：由，得，，， 所以. 又， 所以，D正确. 题型06 周期性+对称性求函数值 此类题型核心是通过已知性质将未知自变量转化到已知区间或特定值上。解题步骤： 1.根据周期性调整自变量：将较大的自变量减去周期的整数倍，使其落入一个较小的范围，通常靠近对称轴或对称中心； 2.利用对称性进行转化：根据对称轴或对称中心的性质，将自变量进一步转化到已知解析式的定义域内。若关于对称，则；若关于对称，则，特别地，若关于对称，则。 3.代入求值。 1．（2026·河南焦作·模拟预测）已知是函数图象的一条对称轴，且的周期为4，当时，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】因为的周期为，故； 又是的一条对称轴，则，故； 又当，，则，故. 故选：C. 2．（2026·福建龙岩·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期是2 C．关于点中心对称 D．是奇函数 【答案】A 【详解】由，得，周期为2， 但最小正周期不能判定，例如函数满足题设条件，但该函数没有最小正周期，故B错误； 由于周期为2，所以，， 又，得，所以是偶函数，A正确； 由只能推出对称轴为，无中心对称的推导依据，C错误； 令，由是偶函数且， 得，又， 所以，所以为偶函数，D错误. 3．（2026·江西宜春·一模）设函数满足对任意的，都有，且，则（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】B 【详解】因为函数满足对任意的，都有， 所以是周期为2的周期函数， 又因为，令，则， 所以函数的图象关于对称， 令替换上式中的，则， 结合周期性可得：， 即，所以是偶函数， 又因为函数的图象关于对称，所以在上一定不是单调函数，故C、D错误. 4．（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】D 【详解】因为是奇函数，所以. 由，令，得，故， 由，令，得， 所以，即， 所以，故以4为周期， 由，则，， ，， ，， ，， 所以 . 5．（多选）（2026·安徽·模拟预测）已知定义域为R的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为3 B．直线为的图象的一条对称轴 C． D． 【答案】BCD 【详解】依题意，，则， 即，故的周期，故A错误； 已知直线是对称轴，则， 而，则， 故为的图象的一条对称轴，故B正确； 由，则， 令，可得，则， 由，令，可得，故C正确； 由 ， 所以， 已知，而，则， 则，故D正确． 6．（多选）（2026·河南·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，，，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A选项，因为， 用替换得 ，化简 ； 同理可得 ； 又由，用替换得 ； 故 ，用替换得 ， 所以，故， 因此，故A选项正确； 对于B选项，因为，所以关于中心对称， 又因，所以 ，，令， 则， ，解得，因为， 所以， 所以， 故B选项正确； 同理对于D选项， ，故D选项错误； 对于C选项，，因为， 所以，令，则，故， 对 求导得 ，令， 解得 ，故，所以C选项错误. 7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知定义在上的函数满足：，为偶函数，且，若，则正整数的最小值为（    ） A．21 B．25 C．29 D．33 【答案】C 【详解】由得，的周期为8， 由为偶函数知：， 故的图象关于对称， ，，， ， ， 欲使，必有， 而， ， ， ，故的最小值为29． 题型07 奇偶性+对称性=周期性 1.奇函数+轴对称：若函数是奇函数，且图像关于直线对称，则的周期； 2.奇函数+中心对称：若函数是奇函数，且图像关于点对称，则的周期； 3.偶函数+轴对称：若函数是偶函数，且图像关于直线对称，则的周期； 4.偶函数+对称中心：若函数是奇函数，且图像关于点对称，则的周期； 1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】C 【详解】因为是定义在上的偶函数，故； 又因为，则； 故，可得的一个周期为3， 则. 2．（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且， 又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称， 可得函数的图象关于对称，即， 因为，可得， 即，所以函数是以为周期的周期函数， 可得 因为，可得， 所以. 3．（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为奇函数，故， 因为为偶函数，故， 故，所以， 故是周期函数且周期为4，而， 故， 而，故. 4．（2026·山东日照·模拟预测）设为定义在上的奇函数，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且， 又，即，则关于对称， 所以，所以，则， 所以，即的周期为， 所以， 所以. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（） A．1 B．0 C．1013 D．2026 【答案】A 【详解】由已知，且是定义域为的奇函数， 可得， 即，所以， 即函数的最小正周期为4，即，， 又，， 所以，，， 所以， 所以． 6．（2026·湖北武汉·三模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，所以， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以是以为周期的函数， . 7．（2026·山西大同·三模）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】因为函数的图象关于点对称， 则，即， 当时，则， 且，可知对任意恒成立， 又因为是定义在上的奇函数，则，， 可得，即， 则，得，可知4是的一个周期， ，， 所以， 所以， 又因为，即，可得， 所以． 8．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以，令，得， 因为，则， 所以， 所以，即是周期为4的周期函数， 所以. 9．（2026·河南南阳·一模）已知函数是奇函数，是的导函数，且满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 又函数是奇函数，则，， 因此可得，即函数的周期为2， 由，则， 所以，故A正确； 由函数是奇函数，则， 两边求导，得， 又是的导函数，则，故B正确； 由，则，即，故C正确； 由，得为的对称轴，即， 两边求导得：. 令，得，即. 而，由， 得，则为的对称轴，的值不一定为0，故D不正确 10．（2026·四川眉山·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，即. 两边求导，可得：，可得. 因为，所以的图象关于直线对称，则. 用代替可得. 将代入中，可得 ①. 用代替可得 ②. 由②①可得：. 所以是周期为的周期函数. 所以. 因为的图象关于直线对称，所以. 在中，令，可得，解得， 所以，即. 11．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）设奇函数的定义域为，且满足：（1）；（2）当时，，则下列说法不正确的是（    ） A．的图象存在对称轴 B． C．当时， D．方程有四个实数根 【答案】D 【详解】对于A，由，得直线是的图象对称轴，A正确； 对于B，由函数是奇函数，得，则4是函数的一个周期， 而当时，，因此，B正确； 对于C，当时，，则， 因此当时，，，C正确； 对于D，方程，于是方程的实根个数 即为函数的图象与直线的交点个数， 由是奇函数，得当时，，当时，， 则，又函数的一个周期为4， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 观察图象知，函数的图象与直线有五个交点， 即方程有五个实数根，D错误. 12．（多选）（2026·浙江·二模）已知函数的定义域为，且对，和均恒成立，令函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数为奇函数 C．函数的图象关于直线 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，在和中，令得，， 联立解得，A正确； 对于B，由得，所以函数的图象关于点对称， 故函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，B正确； 对于C，由得，故， 则函数的图象关于直线对称，故函数的图象关于直线对称，C错误； 对于D，因为，所以， 即， 所以，， 故，D正确. 13．（多选）（2026·福建·三模）已知为定义在R上的偶函数，且的图象关于直线对称，当时，，则（    ） A． B． C．关于x的方程恰有3个不同的实数解 D．不等式 的解集为 【答案】BD 【详解】因为为定义在R上的偶函数，所以， 又因为的图象关于直线对称，所以 ， 所以 ，所以A错误； 因为 ，所以 ， 所以B正确； 因为，所以函数是周期为4的周期函数， 当时，，所以在，， 所以当，，结合周期性可知函数恒成立， 对于方程，由于，所以仅当时可能存在解， 当时，，解得或， 当时，由且，可得，所以，解得或3， 当时，，因为，所以无解， 综上所述，关于x的方程恰有4个不同的实数解，所以C错误； 因为，所以 等价于 ，当时，不等式也成立， 但的点只有，这些点也满足 , 解得 ，所以解集为，D正确. 14．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知定义在上的函数满足，则______；若为偶函数，，且时，，则图象与曲线的交点个数为______. 【答案】 【详解】在等式中，令可得，解得； 在等式中，用替代可得， 即，即， 因为，则， 由可得，即函数为奇函数， 因为为偶函数，则，即， 所以，函数的图象关于直线对称，且有， 所以，， 所以，函数的图象关于直线对称， 由，可得， 所以，，故函数是周期为的周期函数， 当时，，且， 则， 所以，函数在上单调递增，且， 又因为函数为上的奇函数，则， 设的图象为曲线， 当时，， 在曲线上取点，则点关于轴的对称点为，则， 即点也在曲线上，所以，曲线关于轴对称，作出函数的图象和曲线如下图所示： 由图可知，函数的值域为， 因为，，且，， 所以，点、在曲线上， 对于曲线，将代入曲线的方程可得，可得，且， 由图象可知，函数的图象和曲线有个公共点， 题型08 对称性+对称性=周期性 1.双轴对称推导周期：若有两条不同的对称轴和，则的周期； 2.双中心对称推导周期：若有两个不同的对称中心和，则的周期； 3.轴对称+中心对称推导周期：若函数有一条对称轴和一个对称中心，则的周期； 1．（24-25高三上·四川成都·阶段检测）已知为奇函数，且，当时，，则（    ） A．2 B． C． D．9 【答案】B 【详解】因为为奇函数， 所以， 因为， 所以， 所以， 即， 所以， 故的周期为， 所以. 2．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，则， 由是奇函数，得，因此， 则，因此， 函数是一个周期为4的函数，且， 所以. 3．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 4．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【详解】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②， 由①②可得， 用替换可得 因为， 在中令，得，故， ， 因此. 5．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为，记．若、均为奇函数，当时，，且，则（    ） A．3 B．－1 C．－5 D．7 【答案】A 【详解】因为为奇函数， 所以， 所以，即， 因为为奇函数， 所以，， 所以， 所以为周期函数，周期为4， 因为时，， 所以 因为， 所以 故. 6．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为 ，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项：令，则； 令，则，所以，故A正确； 对于B选项：因为， 两边求导，得，即，即； 因为为偶函数，所以， 所以，故成立，故B正确； 对于C选项：因为， 所以，（为常数） 未必为0，故C错误； 对于D选项：因为， 令，则，故D正确. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得函数关于点对称， 又，得函数关于直线对称且， 故，故，所以， 所以，从而函数是周期为4的周期函数. 又当时，，则， 即是的单调递增函数，，， 又方程的根即与的交点横坐标， 而直线的斜率为，， 故的图像与直线在有且只有一个交点， 又，， 结合的周期性和对称性，在同一坐标系中画出的图像和直线， 如图： 两函数共有个交点，并且关于点对称，故所有根之和为. 8．（2026·山东聊城·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为奇函数，所以． 对上述等式两边求导得， 即，所以的图象关于轴对称． 因为为偶函数，所以． 对上述等式两边求导得，即， 所以的图象关于点中心对称， 所以为周期为4的函数，且． 由，，以及对称性可得，， 则， 则． 9．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（　　） A．函数是奇函数 B．函数的图象关于轴对称 C．函数是最小正周期为2的周期函数 D．若函数满足，则 【答案】ABD 【详解】对于A：因为函数的图象关于点对称，所以，所以函数是奇函数，故A正确； 对于B：因为，所以，又，所以， 所以，所以，所以函数为偶函数，故B正确； 对于C：由B可得，所以，所以函数是最小正周期为4的周期函数，故C错误； 对于D：因为, ,又因为 ， 所以，所以是最小正周期为4的函数， 因为，，所以，. 所以 所以，故D正确. 题型09 函数性质的综合应用 函数性质的综合应用主要涉及单调性、奇偶性、周期性和对称性四大性质的灵活转换与组合。 1．（2026·广东湛江·二模）已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】由， 令，得， 所以的图象关于直线对称，所以. 将换为代入得. 又，因此， 即，则①， 所以， 对①两边求导得，故， 故和的周期均为4， 于是，. 在中，取得. 在中取得， 所以. 2．（2026·四川·二模）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由，则， 所以， 所以函数关于直线对称， 由， 即， 因为是上的奇函数， 所以， 所以， 所以函数最小正周期为8， 由在上单调递增，根据函数对称性知在上单调递减， 由，，， 所以当时，函数与函数大致图象为：        所以与函数交点个数为2个. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数与的定义域均为R，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不正确的有（   ） A．关于对称 B．关于点对称 C．的周期 D． 【答案】B 【详解】对于A，令是函数的图象上任意一点， 因为函数与的定义域均为R，且它们的图象关于对称， 所以在的图象上，即，则， 由为奇函数，得， 所以，有，即函数的图象关于点对称， 又，则，函数的图象关于对称，A正确； 对于C，，即， 则，的周期，C正确； 对于D，，则，D正确； 对于B，由以及周期为4，得，函数的图象关于对称， 若图象关于点对称，则，即， 而没有条件确保恒成立，B错误． 4．（多选）（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知定义在上的函数满足，且对于任意实数，均有，，则（    ） A． B．为奇函数 C．恒成立 D．在上单调递减 【答案】AC 【详解】对A：令，，则，， 则，故， 即，故A正确； 对B：， 则，令，定义域为， 且有，故为偶函数， 即为偶函数，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：由，则有，， 即，故在上不单调递减，故D错误. 选项A：即，但由式④， 得，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，由得， ，故C错误； 选项D：由得，又，故，解得，，， ，. 一个周期和为：，从到共6个完整周期（24项）， 剩余，，总和为： ， 故D正确. 5．已知函数的定义域均为的图象关于直线对称，且，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】的图象关于直线对称，， ， ， ∵ ， ，则为偶函数． 由 ，得， 由，得， 则，则， ，则，的周期为12． ，，则 ， 的图象关于点对称， ． ， ，则， ，． 6．（25-26高三下·贵州黔东南·阶段检测）定义在上的函数与满足：，若是奇函数，则（　　） A．0 B．2025 C．4050 D．6075 【答案】A 【详解】因为是奇函数，所以，换元得， 说明关于点中心对称，令得； 由，得关于轴对称，结合可推得： ，因此的周期，且； 由，得，计算（一个周期）的和： ：，故， ：， ：，故， ：，故， 一个周期和为：； ，即前项共个完整周期，和为； 剩余最后一项，， 故， 因此. 7．（多选）（2026·广西河池·三模）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【详解】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 8．（多选）（25-26高三下·云南昆明·期中）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时， D． 【答案】AC 【详解】由可得得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A正确； 由和偶函数性质，得， 因此，图象关于直线对称，而非点对称，故选项B错误； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，，所以， 从而的值域为，在此区间上，所以， 故恒成立，选项D错误. 9．（多选）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，由，可得， 两式相减可得，故A正确； 对于B，由为偶函数，可得， 即，所以的图象关于直线对称， 由，两边求导得，即， 所以是以4为周期的周期函数， 则有，无法推出，故B错误； 对于C，由，两边求导得， 即，令，可得， 又，令，可得， 并联立，解得，故C正确； 对于D，由，当时，，又，可得， 当时，可得， 由，即， 所以，令，可得， 所以，令，可得，，， 由A知的周期为4，则，所以， ，故D正确. 10．（多选）（2026·重庆渝中·二模）已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．， C． D．在区间上，有2027个零点 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，即， 又，所以，即是以周期为的周期函数， 由，得，所以， 即，所以是奇函数，A正确； 对于B，由，得，所以，B正确； 对于C，，，，， 一个周期内的和：， 所以，C错误； 对于D，是以周期为的周期函数，，， 时，，，所以， 时，，，所以， 所以在内的零点有， 而包含个完整周期， 所以是的零点，共个，D正确． 11．（多选）（2026·广东中山·三模）已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【详解】由关于对称，得， 已知，将第二个式子换元，代入化简得， 因为，则，将用替换，可得， 将用替换，得， 即，故周期为. 又因为，则，即是偶函数. 由和，得， 且，故是偶函数. 选项A，，，由， 得，A正确； 选项B，对任意，，故，B正确； 选项C，推导得，是偶函数不是奇函数，C错误； 选项D，求和分组方式为为一组，为下一组，以此类推，直至，每组和为，共组，总和为，即，D正确. 12．（多选）（2026·湖南长沙·三模）若函数为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（     ） A． B．函数对任意实数，恒有 C．若在值域为，则的范围为 D．， 【答案】ABD 【详解】令，； 函数为奇函数，为偶函数， ，即，整理得. 对于A，令，则，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，得； 令，得或； 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增； 当时，取得极大值，即；当时，取得极小值，即. 令，则，解得或； 令，则，即，解得或； 如图所示： 在值域为，由图可得，故C错误； 对于D， ； ，，，则，即，故D正确. 13．（多选）（2026·浙江·二模）已知定义在R的函数和均为奇函数，且满足函数是奇函数，函数是偶函数．若当时，，则（    ）． A． B．对任意， C．当且仅当， D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据奇偶性，结合上的解析式求解判断；对于B选项，构造函数，，进而结合题意得与分别是以2和4为周期的周期函数，再结合周期性求得对任意，即可判断；对于C，结合B选项，说明不满足条件即可；对于D选项，结合奇函数的定义得，均为奇函数，再根据对称性，结合时的解析式求得，的值域为，再根据即可判断. 【详解】对于A，因为为定义在R上的奇函数，所以， 因为当时，， 所以，故A正确； 对于B，因为函数为奇函数， 所以，即， 所以，又因为， 所以，即， 令， 则，即， 所以是以2为一个周期的周期函数， 因为，，所以， 所以对任意，，即，也即， 因为为定义在R上的奇函数且函数是偶函数， 所以，，， 即，故， 所以， 令，则， 所以，即是以4为一个周期的周期函数， 因为，，，， 所以，对于任意的，，即，也即. 综上，对任意，，故B正确； 对于C，由B选项知，，，，故C错误； 对于D，对于，， ，所以，均为奇函数， 因为当时，， 则当时，，， 所以当时，，， 所以，当时，，， 又，故关于对称，故当时，， 综上，，，的值域为. 所以，即， 所以，D正确. 14．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数满足：①；②；③函数在上单调递减．写出一个同时具有以上性质①②③的函数：________．（答案不唯一） 【答案】 【详解】对于①，若，则的图象关于点对称， 对于②，若，则的图象关于直线对称， 设，则，， 所以． 又的图象关于直线对称， 且函数在上单调递减， 则，， 得，． 所以可令（答案不唯一）． 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题01 函数性质的综合应用 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 奇偶性+单调性比较函数值大小 此类题目的核心思路是将不在同一单调区间上的自变量，通过奇偶性转化到同一区间上，再利用单调性判断大小。 【知识点】奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反。 1．已知函数定义域为R，满足，对于，，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·福建龙岩·期末）已知函数．若，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·云南红河·模拟预测）已知定义在上的函数满足，对任意两个不相等的正实数，，都有成立，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知函数的图象关于原点对称，则（   ） A． B． C．函数存在两个零点 D．的解集为 6．（多选）（2026·江西南昌·三模）设是定义在上的偶函数，且当时，函数，则（     ） A． B．当时， C．恰有个零点 D．当时， 题型02 奇偶性+单调性解不等式 此类题型核心是将抽象的函数不等式转化为具体的自变量不等式组。解题步骤为： 1.转化不等式结构：利用奇偶性将不等式变形为或的形式。①若为奇函数，利用，将负号移入函数内部，如；②若为偶函数，利用，将变量转化为绝对值形式，直接比较绝对值大小，避免分类讨论。 2.利用单调性去掉“”：根据函数在定义域或特定区间上的单调性，去掉函数符号，转化为自变量的大小关系。若为增函数，则；若为减函数，则。 3.结合定义域列不等式组：函数的自变量必须在定义域内，因此需同时满足：①转化后的自变量关系；②所有自变量均在定义域内，最后求这些条件的交集即为最终解集。 1．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽合肥·二模）已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 题型03 对称性+单调性比较函数值大小 此类题型核心思想是将代比较的自变量转化到同一个单调区间内，在依据单调性判断大小，解题步骤为： 1.利用对称性转化区间：若自变量分布在对称轴（或对称中心）的两侧，首先利用对称性将其中一个自变量转化为其对称点，使所有代比较的自变量位于同一侧。 2.判断单调性方程：确定函数在该统一区间上的单调性。 3.比较自变量的大小。 1．已知定义域为的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·辽宁营口·期末）已知函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南周口·三模）已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，设，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广东·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则，，间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 7．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数是中心对称图形，则（   ） A． B． C． D． 题型04 对称性+单调性解不等式 此类题型核心是将抽象的函数不等式转化为具体的自变量不等式组。解题步骤为： 1.转化不等式结构：利用对称性将不等式两边化为同一形式，即或。 2.利用单调性去掉“”：根据函数在定义域或特定区间上的单调性，去掉函数符号，转化为自变量的大小关系（如绝对值大小或距离对称轴的远近）。 3.结合定义域列不等式组：函数的自变量必须在定义域内，因此需同时满足：①转化后的自变量关系；②所有自变量均在定义域内，最后求这些条件的交集即为最终解集。 1.（25-26高二下·山东济宁·期末）已知函数的定义域为，，对，且都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则关于的不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型05 周期性+奇偶性求函数值 此类题目核心思想是将未知的自变量通过性质转化到已知解析式的区间内。解题步骤为： 1.利用奇偶性转化符号：若函数为偶函数，可将负自变量转化为正自变量；若函数为奇函数，可将负自变量转化为正自变量并添加负号，此外，若奇函数在处有定义，则必有。 2.利用周期性平移区间：通过加减周期的整数倍，将自变量“平移”到题目给出具体解析式的区间范围内。 3.代入解析式计算。 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．2 D．1 3．（多选）（2026·安徽·模拟预测）已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（   ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 5．（2026·甘肃张掖·二模）已知定义在上的函数和满足，，若是偶函数，且，则（     ） A．34 B．36 C．38 D．40 6．（多选）（2026·陕西渭南·模拟预测）已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 题型06 周期性+对称性求函数值 此类题型核心是通过已知性质将未知自变量转化到已知区间或特定值上。解题步骤： 1.根据周期性调整自变量：将较大的自变量减去周期的整数倍，使其落入一个较小的范围，通常靠近对称轴或对称中心； 2.利用对称性进行转化：根据对称轴或对称中心的性质，将自变量进一步转化到已知解析式的定义域内。若关于对称，则；若关于对称，则，特别地，若关于对称，则。 3.代入求值。 1．（2026·河南焦作·模拟预测）已知是函数图象的一条对称轴，且的周期为4，当时，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 2．（2026·福建龙岩·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期是2 C．关于点中心对称 D．是奇函数 3．（2026·江西宜春·一模）设函数满足对任意的，都有，且，则（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 4．（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 5．（多选）（2026·安徽·模拟预测）已知定义域为R的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为3 B．直线为的图象的一条对称轴 C． D． 6．（多选）（2026·河南·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，，，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知定义在上的函数满足：，为偶函数，且，若，则正整数的最小值为（    ） A．21 B．25 C．29 D．33 题型07 奇偶性+对称性=周期性 1.奇函数+轴对称：若函数是奇函数，且图像关于直线对称，则的周期； 2.奇函数+中心对称：若函数是奇函数，且图像关于点对称，则的周期； 3.偶函数+轴对称：若函数是偶函数，且图像关于直线对称，则的周期； 4.偶函数+对称中心：若函数是奇函数，且图像关于点对称，则的周期； 1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 2．（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 3．（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 4．（2026·山东日照·模拟预测）设为定义在上的奇函数，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（） A．1 B．0 C．1013 D．2026 6．（2026·湖北武汉·三模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 7．（2026·山西大同·三模）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（    ） A． B． C．2 D．4 8．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2026·河南南阳·一模）已知函数是奇函数，是的导函数，且满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·四川眉山·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 11．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）设奇函数的定义域为，且满足：（1）；（2）当时，，则下列说法不正确的是（    ） A．的图象存在对称轴 B． C．当时， D．方程有四个实数根 12．（多选）（2026·浙江·二模）已知函数的定义域为，且对，和均恒成立，令函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数为奇函数 C．函数的图象关于直线 D． 13．（多选）（2026·福建·三模）已知为定义在R上的偶函数，且的图象关于直线对称，当时，，则（    ） A． B． C．关于x的方程恰有3个不同的实数解 D．不等式 的解集为 14．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知定义在上的函数满足，则______；若为偶函数，，且时，，则图象与曲线的交点个数为______. 题型08 对称性+对称性=周期性 1.双轴对称推导周期：若有两条不同的对称轴和，则的周期； 2.双中心对称推导周期：若有两个不同的对称中心和，则的周期； 3.轴对称+中心对称推导周期：若函数有一条对称轴和一个对称中心，则的周期； 1．（24-25高三上·四川成都·阶段检测）已知为奇函数，且，当时，，则（    ） A．2 B． C． D．9 2．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 5．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为，记．若、均为奇函数，当时，，且，则（    ） A．3 B．－1 C．－5 D．7 6．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为 ，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A． B． C． D． 8．（2026·山东聊城·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（　　） A．函数是奇函数 B．函数的图象关于轴对称 C．函数是最小正周期为2的周期函数 D．若函数满足，则 题型09 函数性质的综合应用 函数性质的综合应用主要涉及单调性、奇偶性、周期性和对称性四大性质的灵活转换与组合。 1．（2026·广东湛江·二模）已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（   ） A． B． C．1 D．3 2．（2026·四川·二模）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数与的定义域均为R，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不正确的有（   ） A．关于对称 B．关于点对称 C．的周期 D． 4．（多选）（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知定义在上的函数满足，且对于任意实数，均有，，则（    ） A． B．为奇函数 C．恒成立 D．在上单调递减 5．已知函数的定义域均为的图象关于直线对称，且，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 6．（25-26高三下·贵州黔东南·阶段检测）定义在上的函数与满足：，若是奇函数，则（　　） A．0 B．2025 C．4050 D．6075 7．（多选）（2026·广西河池·三模）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 8．（多选）（25-26高三下·云南昆明·期中）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时， D． 9．（多选）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）（2026·重庆渝中·二模）已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．， C． D．在区间上，有2027个零点 11．（多选）（2026·广东中山·三模）已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 12．（多选）（2026·湖南长沙·三模）若函数为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（     ） A． B．函数对任意实数，恒有 C．若在值域为，则的范围为 D．， 13．（多选）（2026·浙江·二模）已知定义在R的函数和均为奇函数，且满足函数是奇函数，函数是偶函数．若当时，，则（    ）． A． B．对任意， C．当且仅当， D． 14．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数满足：①；②；③函数在上单调递减．写出一个同时具有以上性质①②③的函数：________．（答案不唯一） 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $