重难专题05 解三角形中的最值与范围问题（九种题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难专题05 解三角形中的最值与范围问题 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 面积的最值（范围） 求面积的最值（范围）常用思路是把面积表达成一个角的函数或边的关系式，再利用三角函数的有界性或基本不等式放缩。常用方法有三种：三角函数法、基本不等式法、几何法（外接圆/数形结合）。 一、基本不等式法 1.（26-27高三·全国·一轮复习）的内角的对边分别为．若，则面积的最大值为______． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，内角所对的边分别为，已知 ，则面积的最大值为________. 3．（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，的面积． (1)求证：； (2)求的最大值． 4．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且． (1)求B； (2)若，求面积的最大值． 5．（26-27高三上·浙江·阶段检测）在中，内角，，的对边分别是，，，且． (1)求角的大小； (2)若点满足，且，求面积的最大值． 6．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．为边上的点． (1)求角； (2)若，，且，求线段的长； (3)若，，求面积的最大值． 7．（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，，，分别是角，，所对的边，且满足. (1)求角的大小； (2)若为边上的一点，平分且，求面积的最小值. 二、三角函数求最值 8．（2026·湖南永州·一模）已知的周长为12，且，则面积的最大值为__________． 9．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 10．（2026·湖南益阳·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 11．（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)如图，在所在平面内取一点（与在两侧），连接交于点. （ⅰ）若，且，求的值； （ⅱ）若，，，求面积的最大值. 12．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）记的内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)已知. （i）若的面积为，求的周长； （ii）若为锐角三角形，且角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围. 13．（2026·山东日照·模拟预测）在中，，，，为的中点，，分别在边，上，. (1)若，，求的值； (2)求面积的最小值. 14．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 三、二次函数求最值 15．（2026高三上·全国·专题练习）中，D为BC的中点，G为的重心，，，则的面积的最大值为______． 16．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知O为锐角△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的面积的取值范围为_____． 四、几何法 17．（2026·河南安阳·模拟预测）已知分别为内角的对边，若，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为___________． 18．（2026·广东惠州·二模）在平面四边形ABCD中，与均是正整数且，则四边形ABCD的面积的取值范围是______． 题型02 周长的最值（范围） 求周长的最值（范围）主要是把周长转化为角的三角函数，再求值域。 1. 求最大值：余弦定理+基本不等式更简洁，但只能求最大值，求不出最小值； 2. 求取值范围：必须用正弦定理+三角函数，因为最小值往往取不到（开区间） ； 3. 锐角三角形约束：角的范围要额外满足所有角都是锐角，会改变最终区间。 1、 求周长的最值： 19．（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，求周长的最大值． 20．（26-27高三上·广东江门·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，设． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 21．（26-27高三·全国·一轮复习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知，求的面积； (2)若，求周长的最大值． 22．（2026·湖北鄂州·模拟预测）在中内角的对边分别为，且． (1)若的平分线交于点的面积为，求长； (2)若，求当周长最小时的值． 2、 求取值范围 23．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，，则的周长的取值范围为______. 24．（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，点D，E，F分别是，，上的动点，且为等边三角形，则周长的最小值为_______ 25．（26-27高三·全国·一轮复习）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 26．（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小． (2)若M为的内心，，求周长的取值范围． 27．（2026·河南·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C的取值范围； (2)当角C取最大值时，边上存在一点D，满足，求周长的取值范围. 3、 锐角三角形求周长的取值范围 28．（26-27高三·全国·一轮复习）在锐角中，分别是角所对的边，已知，且则锐角周长的取值范围为（ ） A． B． C． D． 29．（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（2026·陕西榆林·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型03 边长的最值（范围） 求边长的最值（范围）主要是先用正弦定理或余弦定理把边转化为角或边的等量关系，再结合三角形内角与角的范围，用三角函数有界性或基本不等式求出最值（范围）。 1、 基本不等式法 31．（25-26高三下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在中，内角的对边分别是，，，点在边上，且，则线段长度的最小值为 ____________________ ． 32．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知的面积为1，、分别为边、的中点，若，则的最小值为__________． 33．（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角B的大小； (2)若，求的最小值. 34．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）在中，已知． (1)求角； (2)若，且，求的面积； (3)若，求a的取值范围． 2、 三角函数法 35．（2026·四川泸州·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是___________. 36．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边的最小值为____． 37．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为______．为边上一点，且满足，则的取值范围为______． 38．（2026·四川泸州·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是___________. 39．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积为． (1)求； (2)求a的取值范围． 40．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知锐角 的内角 的对应边分别为 ， 如图， 分别在边 上，且 为等边三角形． (1)求 的值及 ； (2)证明: ； (3)求边 的最小值. 41．（2026·陕西榆林·模拟预测）在面积为的锐角中，内角的对边分别为，且，则c的最小值为__________. 三、锐角三角形中边的最值（范围） 42．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知锐角的三个角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围为______． 43．（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知条件：①；②；③.从以上三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：的内角的对边分别为，满足：　　　　. (1)求； (2)若为锐角三角形，，求边长的取值范围. （注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.） 44．（26-27高三上·辽宁鞍山·开学考试）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且，． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 题型04 角（或角的三角函数值）的最值（范围） 求角或角的三角函数值的最值（范围）主要是“先确定角的范围，再转化为三角函数求值域”。 解题步骤：1.边化角：用正弦定理把边换成角的正弦，统一成角的表达式； 2. 消元留一角：利用内角和把三个角消成只含一个角； 3. 锁定角的范围；4.求最值（范围）。 45.高三上·安徽合肥·阶段检测）在中，若，则的最大值为________． 46．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）在中，若，则的最小值为___________． 47．（2026高三上·全国·专题练习）在中，若，则的取值范围是________． 48．（2026·江苏徐州·三模）已知三角形的内角的对边分别为，，，则的最大值为_______． 49．（2026·江苏扬州·三模）在中，D是线段上一点，且，，则的最大值为_________． 50．（2026·安徽合肥·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)求内角的最大值． 51．（25-26高三上·湖北武汉·期末）记的内角所对的边分别为，． (1)若，求； (2)若为边上的点，且，求的最小值． 52．（2027·湖南衡阳·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，其面积． (1)求证：； (2)求的最大值． 53．（2026·河北沧州·一模）已知的内角所对的边分别为，. (1)若，，求； (2)若，求的最小值. 题型05 有关角分线的最值（范围） 求角分线长的最值（范围）主要是：先用角分线长度公式把目标函数表示成边或角的函数，再根据三角形约束条件确定定义域，最后求函数的最值（范围）。 在中，内角所对的边分别为，若是内角的平分线，则解题思路一般有两种： ⑴利用内角平分线定理：； ⑵利用等面积法：。 54．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，角的对边分别为，已知，，则的角平分线的最大长度为（    ） A． B． C． D． 55．（2026高三上·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，角A的内角平分线交BC于点D，若a＝1，，则线段AD长的范围是______ 56．（2026·山东日照·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，的平分线交于点，则线段的最大值为______． 57．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知分别为三个内角的对边，且； (1)求C； (2)若为上一点，为的平分线，且，求线段长度的最大值． 58．（2026·安徽阜阳·模拟预测）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． (1)求A； (2)设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 59．（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）在中，内角的对边分别为，若. (1)求角的大小； (2)若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 60．（26-27高三上·广西贺州·开学考试）在中，，，分别是角，，的对边，若且． (1)求； (2)设角的平分线交边于点，求长度最大值． 61．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）在中，设内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若点在上，，，求的最大值. 题型06 有关中线的最值（范围） 在中，内角所对的边分别为，若是中点，则解题思路一般有两种： ⑴利用向量：，所以； ⑵利用余弦定理：利用找到中线与边的关系。 62．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知分别为的内角所对的边，且． (1)求； (2)已知是边的中点，求的最大值． 63．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为．向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 题型07 有关高线的最值（范围） 求高线长的最值（范围）主要是把高线表示成面积一底边的比值，或者是用正弦定理转化为三角函数。 在中，内角所对的边分别为，若是边上的高，则解题思路一般利用等面积法：。 64．（25-26高一下·重庆·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 65．（2026·山东威海·一模）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求BC边上的高的最大值． 66．（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 67．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）在锐角中，，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，求边上的高长的最大值． 题型08 长度和、差、比的最值（范围） 求边长的和、差、比的最值，本质都是多元问题化为一元问题，核心工具就是正弦定理、余弦定理以及基本不等式。 68．（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）在中，角对边分别为，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 69．（2026·安徽·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 70．（2026·江西·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 71．（2026高三上·全国·专题练习）在锐角中，，，对边是a，b，c，若，，则的取值范围是______． 72．（26-27高三上·辽宁·期中）锐角中，角、、的对边分别为、、，，则的取值范围是______． 73．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且的两条角平分线是与，则当取得最小值时，________. 74．（2026·河南·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，，且． (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 75．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）在锐角三角形中，，，的对边分别为，，，且． (1)求; (2)若点为的垂心，，求的取值范围． 76．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角A． (2)D为边上一点，且． ①若，求面积的最大值； ②若为角平分线，求的取值范围． 77．（2026·河北沧州·模拟预测）在中，角的对边分别为. (1)若，求的大小； (2)若，点为边上的点，且满足，求的最小值； (3)若，点为边上的中点，求的最大值. 题型09 其它类型的最值（范围） 78．（25-26高二下·江西·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 79．（25-26高一下·广东湛江·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 80．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，求的最大值为________． 81．（2026·湖南长沙·三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，且则的最小值为______. 82．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，且，则的取值范围为__________． 83．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是____________． 84．（2026·浙江绍兴·模拟预测）角，，是三角形的内角，已知，是边的中点，是边靠近点的三等分点，且，则的最大值为_________． 85．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）如图，已知矩形，，，，分别是边，上的动点（不含端点），为边的中点，且，设．记的面积为，则的最大值为________． 86．（2026·海南·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为_____． 87．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，满足 ． (1)求证：； (2)求 的取值范围． 88．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知分别为三个内角的对边，满足. (1)求； (2)若的周长为，面积为，求； (3)若，点在边上，且平分内角，求的取值范围. 89．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）设的内角，，所对的边分别为，，，，，且当时，函数取得最大值． (1)求； (2)若为的重心，求的最大值． 90．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，，为边上的动点，，，，． (1)若，，求的长； (2)求的取值范围． 91．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角B的大小； (2)若，，求边a的长； (3)求的取值范围． 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题05 解三角形中的最值与范围问题 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 面积的最值（范围） 求面积的最值（范围）常用思路是把面积表达成一个角的函数或边的关系式，再利用三角函数的有界性或基本不等式放缩。常用方法有三种：三角函数法、基本不等式法、几何法（外接圆/数形结合）。 一、基本不等式法 1.（26-27高三·全国·一轮复习）的内角的对边分别为．若，则面积的最大值为______． 【答案】 【详解】由余弦定理得， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 即的面积的最大值为． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，内角所对的边分别为，已知 ，则面积的最大值为________. 【答案】 【详解】在中，根据正弦定理由得：， 即， 由余弦定理得：， 因为，所以，， 又，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积为， 所以当且仅当时，面积的最大值为. 3．（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，的面积． (1)求证：； (2)求的最大值． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）根据三角形面积公式可得：， 余弦定理可得：， 又因为，所以， 在中，两边同时除以整理可得： 即 . （2）由（1）可知：，两边平方得： ，又因为， 所以，化简可得：， 因为是三角形内角，，解得， 所以，已知， 由基本不等式得 ，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，的最大值是． 4．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且． (1)求B； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理得到，利用三角形内角和结合两角和的正弦公式，通过整理得到，由得到，通过计算得到，由得到. （2）利用三角形的面积公式求出，利用余弦定理通过计算得到，利用基本不等式得到，从而得到面积的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 则， 即， 解得， 因为，所以， 所以转化为，解得， 因为，所以. （2）因为，， 所以， 因为， 代入得到， 因为，所以转化为， 即，解得， 当且仅当时取等号， 则. 5．（26-27高三上·浙江·阶段检测）在中，内角，，的对边分别是，，，且． (1)求角的大小； (2)若点满足，且，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理，转化为边的关系，再与余弦定理比较，即可求出. （2）由可知，点将边按内分，以点为起点表示，利用 和得到关于的约束条件，再求乘积的最大值，从而得到△ABC面积的最大值. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 整理得，则， 因为，所以． （2）以点为起点，记，，则，， 且由，有， 因为，所以， 由，得， 解得，即， 则，即， 当且仅当，即，时取等号， 则， 故面积的最大值为． 6．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．为边上的点． (1)求角； (2)若，，且，求线段的长； (3)若，，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角恒等变换公式即可得解； （2）利用角平分线表示三角形面积，再结合余弦定理即可求出结果； （3）依题意先表示，然后将两边平方，结合数量积的运算律及基本不等式求出的最大值，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）由正弦定理可得，因为,,代入可得,中,所以,得 （2）因为， 所以， 即，所以. 由余弦定理可得，,, ,可得,因为，所以. （3）因为，所以, 两边平方. 因为,所以, 由均值不等式可得, 所以，即，等号成立. 条件：,将其代入原式验证真实存在三角形，. 7．（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，，，分别是角，，所对的边，且满足. (1)求角的大小； (2)若为边上的一点，平分且，求面积的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角可得，化简并结合同角的三角函数关系即可求得答案； （2）根据等面积法可推出，利用基本不等式可得，即可求得答案. 【详解】（1）由可知，得，于是， 即，所以 （2） 即得， ， ，当且仅当时取等号， ，故面积的最小值为 2、 三角函数求最值 8．（2026·湖南永州·一模）已知的周长为12，且，则面积的最大值为__________． 【答案】 【分析】由题设结合二倍角及诱导公式可得，再根据和差化积公式及正弦定理化简可得，进而结合的周长为12可得，再根据余弦定理得到，再由可得，，进而根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】由， 得， 即， 因为，所以， 由和差化积公式可得， ， 设角所对的边为， 由正弦定理得，， 因为的周长为12，所以，则， 由余弦定理得， 则，即，所以， 又，当且仅当且，即，时等号成立， 则，所以，则，即， 又，则， 所以， 则面积的最大值为. 9．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ，∵，所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 10．（2026·湖南益阳·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由已知得，又， 所以，又， 所以． 因为，所以，所以． 又，所以． （2）由及得：． 所以，， 即 ， 因为，所以， 在中，当时，取得最大值1． 所以面积的最大值是． 11．（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)如图，在所在平面内取一点（与在两侧），连接交于点. （ⅰ）若，且，求的值； （ⅱ）若，，，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）首先利用正弦定理进行边角互化，再利用辅助角公式得到，即可求出角； （2）（ⅰ）根据得到，结合余弦定理代入求值，（ⅱ）设，将边及用表示出来，利用正弦定理求面积，根据三角函数求最大值. 【详解】（1），由正弦定理得， 又， 则， 即， 因为，故，则， 所以，即， 因为，所以，所以. （2）（ⅰ）由余弦定理， 若，且， 因为，即， 即， . （ⅱ），所以为正三角形， 设，，， 在中，，， ， 即， ， 在中，由正弦定理得，， ， 因为，当，即时，取得最大值为. 12．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）记的内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)已知. （i）若的面积为，求的周长； （ii）若为锐角三角形，且角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正弦定理和变形得到，从而求出； （2）（i）由的面积得到方程，求出，由余弦定理得，从而得到三角形周长； （ii）由为锐角三角形，得，在中，由正弦定理得到方程，求出，，变形得到，由，得到面积的取值范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 因为，所以，即， 可得， 因为，所以. （2）（i）由以及的面积为，得，则， 因为，由余弦定理得，得， 解得，所以的周长为； （ii）为锐角三角形，，故，且 解得. ，分别平分角，角，则，，. 在中，由正弦定理得， 即，. 又由，得， 所以 . 由，得，故， 因此面积的取值范围为. 13．（2026·山东日照·模拟预测）在中，，，，为的中点，，分别在边，上，. (1)若，，求的值； (2)求面积的最小值. 【答案】(1)2；(2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，由勾股定理可得是直角三角形，从而求出，，在中利用正弦定理求出，所以，从而得出，则在中可计算得出； （2）设，，在，中分别利用正弦定理得出，，然后利用面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 解得，所以，则，， 在中，由正弦定理得，所以， 即，则， 因为，所以， 在中，，则． 又，所以．     （2）设，， 则，，， 在中，由正弦定理得，整理得， 在中，由正弦定理得，整理得，     则， 又，， 所以，     所以． 14．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）利用余弦定理，在与中分别表示公共边，联立两式消去参数，化简得到； （2）将四边形面积拆分为两个三角形面积和，结合第（1）问的结论，通过平方相加消元，求出面积的最大值． 【详解】（1） 如图，连接BD， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则有， 因为，， 所以， 因为，所以； （2）如图，因为， 所以四边形ABCD的面积， 将两边平方，可得， 即①， 由（1）可知，平方可得②， 联立①②，解得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以四边形ABCD面积的最大值为 3、 二次函数求最值 15．（2026高三上·全国·专题练习）中，D为BC的中点，G为的重心，，，则的面积的最大值为______． 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质，结合余弦定理、同角三角函数关系式、三角形面积公式、二次函数的性质进行求解即可. 【详解】设. 因为G为的重心，所以，. 在中，设， 由余弦定理，得， 所以有. 因为D为BC的中点， 所以， 令， 所以当时，该二次函数有最大值， 所以当时，的面积有最大值. 16．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知O为锐角△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的面积的取值范围为_____． 【答案】 【分析】先根据向量等式和外心的性质，转化得出，再根据锐角三角形利用余弦定理得出和的取值范围，最后用面积公式求出面积范围. 【详解】 分别取边，，的中点，，， 因为为锐角的外心，根据中垂线易知， 同理，，， 所以， 同理，． 由题意得，即，于是． 因为为锐角三角形， 所以，所以， 同理，，即． 令，由，得，则且，解得． 又，所以． 又，所以，所以， 又，所以， 又，所以. 4、 几何法 17．（2026·河南安阳·模拟预测）已知分别为内角的对边，若，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据降幂公式结合余弦定理可得，根据面积可得，可知点在抛物线上，结合抛物线的性质分析求解. 【详解】因为， 整理可得，则，可知为等边三角形． 设点到直线的距离为，则，可得， 如图，过点作，垂足为，则， 过点作，垂足为，可知点在以为焦点，所在直线为准线的抛物线上， 可知当点为抛物线顶点（即为的中点）时，取得最小值，此时， 所以的最小值为． 18．（2026·广东惠州·二模）在平面四边形ABCD中，与均是正整数且，则四边形ABCD的面积的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据与均是正整数且，则或，可得或或，分情况讨论得，延长交于点，过点作于点，平移直线，分情况讨论得到答案. 【详解】 如图，因为，，由四边形内角和得， 因为与均是正整数且，则或， 可得或或， ①当时，，不合题意； ②当时，，合题意； ③当时，，不合题意，所以， 延长交于点，过点作于点， 向左平移直线，当点与点重合时，不存在四边形， 在中，，由正弦定理得， 所以； 向右平移直线，当点与点重合时，不存在四边形， 因为，所以，所以， 所以四边形ABCD的面积的取值范围是. 题型02 周长的最值（范围） 求周长的最值（范围）主要是把周长转化为角的三角函数，再求值域。 1. 求最大值：余弦定理+基本不等式更简洁，但只能求最大值，求不出最小值； 2. 求取值范围：必须用正弦定理+三角函数，因为最小值往往取不到（开区间） ； 3. 锐角三角形约束：角的范围要额外满足所有角都是锐角，会改变最终区间。 1、 求周长的最值： 19．（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理得到，进而由余弦定理得到，求出； （2）由条件结合正弦定理可得外接圆半径，再结合正弦定理求，结合余弦定理和基本不等式求的最大值. 【详解】（1）由二倍角公式可得，， 又， 所以， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 所以，又， 所以． （2）由正弦定理得，，其中为外接圆半径．． 由正弦定理得，． 由余弦定理得：，， 由基本不等式可知：， 即有，当且仅当时取等号， 所以当时，的周长取最大值，最大值为． 20．（26-27高三上·广东江门·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，设． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由， 得， 故由正弦定理得， 由余弦定理得， 又因为，所以； （2）由正弦定理可得， 所以， 由可得，即， 所以， 当，即时，有最大值，故有最大值， 所以周长的最大值为. 21．（26-27高三·全国·一轮复习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知，求的面积； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由同角三角函数关系求得，分类讨论，利用正弦定理及三角恒等变换得周长的表达式，然后利用三角函数性质求解即可． 【详解】（1）由题意得， 则， 即，由余弦定理得，整理得，则， 又，则，， 则； （2）由正弦定理得：， 则， 因为，所以， ①当时， 周长 . 当且仅当，时， 取最大值， 即的周长取最大值：． ②当时， 周长 . 当且仅当，时， 取最大值， 即的周长最大值为：． 综上可得：的周长取最大值：． 22．（2026·湖北鄂州·模拟预测）在中内角的对边分别为，且． (1)若的平分线交于点的面积为，求长； (2)若，求当周长最小时的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先用半角公式将条件转化为边的关系，结合余弦定理求出角，再通过已知的及和角公式求出角的正弦值，由正弦定理得到两边比例关系；最后利用三角形面积求出具体边长，并借助角平分线分割面积的性质建立关于的方程求解； （2）由已求得的角用余弦定理消去，将用表示，进而构造出周长关于的函数；利用基本不等式求得的值. 【详解】（1）依题意有即 又由余弦定理有 又为中内角 又而 因为的面积为， 在中， （2）由（1）知． 设周长为，则 令， 当且仅当时周长取最小值． 故当周长最小时． 2、 求取值范围 23．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，，则的周长的取值范围为______. 【答案】 【详解】由正弦定理，得， 即， ， 的周长为： 又，∴， ， 即的周长的取值范围为. 24．（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，点D，E，F分别是，，上的动点，且为等边三角形，则周长的最小值为_______ 【答案】 【分析】由题意可求得，进而得，设，由正弦定理可得，，利用，可得，周长，利用辅助角公式即可求解. 【详解】在中，，，，则， 又因为，所以， 又因为为等边三角形，所以， 所以， 设，则由正弦定理可得，所以， 在中，，所以， 又因为，所以， 所以， 所以周长 （其中）. 当时，可得周长的最小值为. 25．（26-27高三·全国·一轮复习）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）解法一：利用正弦定理化简题中等式，得到，求出答案；解法二：利用正弦定理解方程求得的值可得的值；解法三：由正弦定理可得，根据可得，所以； （2）解法一：根据正弦定理和得到的周长关于的函数，由于是锐角三角形，计算出的范围，最后求解的值域；解法二：由正弦定理得到，由斜率的定义可得的取值范围，进而得答案 【详解】（1）解法一：最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度， 由三角形的内角和定理得， 因为，所以． 所以． 在中，由正弦定理知， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 因为，所以，，故， 解得，所以． 解法二：因为，所以由正弦定理得， 因为，所以，故， 两边平方得，即． 因为，所以，所以， 所以，即， 解得或， 因为，所以，， 又，因此． 解法三：利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系， 因为，所以由正弦定理得， 因为，故，所以． 因为，，故或者， 而根据题意，故不成立，所以， 又因为，代入得，所以． （2）解法一（正弦定理 + 正切函数的单调性）： 因为是锐角三角形，又，所以， 由正弦定理，得：， ，， 展开：， 周长 ， ， 因为在内单调递减，． 所以， 所以， 即． 解法二（正弦定理 + 分式型正余弦函数几何意义：斜率）： 因为是锐角三角形，又，所以， 由正弦定理，得：， ，， 展开：， 周长， 可以看成单位圆上点与连线的斜率， 因为是锐角三角形，又，所以， 所以，所以， 所以， 即． 26．（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小． (2)若M为的内心，，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式化简，可得，即可求解： （2）由M为的内心及，可得，设，利用余弦定理结合基本不等式即可求得周长的取值范围． 【详解】（1）已知，由正弦定理得：， 因为，故， 代入上式化简得：， 在中，，则， 又，所以. （2） 因为M为的内心，由(1)知， 所以， 所以， 设，又，即， 在中，由余弦定理得，， 所以，， ，当且仅当时等号成立， 又，所以， 所以周长的取值范围为：. 27．（2026·河南·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C的取值范围； (2)当角C取最大值时，边上存在一点D，满足，求周长的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理对已知式进行边角互化，利用基本不等式可得的取值范围，从而得到角C的取值范围； （2）由（1）可得是等边三角形，设的边长为x，根据边上的点到的距离的范围，可求得边长x的取值范围，从而得到周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以根据正弦定理，得 由余弦定理，得 化简得． 又当且仅当时，等号成立． 所以. 因为，所以角C的取值范围是． （2）当角C最大时，，且，所以是等边三角形. 设的边长为x， 因为点D在边AB上，所以，即， 由，所以，解得，所以， 即周长的取值范围为． 3、 锐角三角形求周长的取值范围 28．（26-27高三·全国·一轮复习）在锐角中，分别是角所对的边，已知，且则锐角周长的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用正弦定理边角互化求出角，再结合余弦定理、基本不等式与锐角三角形约束，求的取值范围进而得到周长的取值范围. 【详解】因为且，则， 根据正弦定理得，整理得， 因为，则，可得，解得， 由锐角得，即，得， 由正弦定理， 所以， 由，得，所以， 所以， 周长 所以锐角周长的取值范围为． 29．（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正余弦定理进行边角转化得到角的余弦值，结合锐角三角形，求出角的大小，以及角或角的取值范围；根据边和角，结合正弦定理将，表示为对应角的正弦函数，将周长转化为关于角或角的三角函数，结合三角函数的单调性即可求出周长的取值范围. 【详解】在中，，得. 由正弦定理得，； 由余弦定理得，； ，得. 是锐角三角形，，得； ，解得. ，，由正弦定理得； ，. . ，； ，得，即. ，即周长的取值范围为. 30．（2026·陕西榆林·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出角的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到周长的取值范围. 【详解】因为是锐角三角形，所以， 又，所以，所以，由，得， 所以，所以，解得，所以. 由，，，得， ， 所以的周长为． 令，则， 则， 函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以， 所以周长的取值范围为． 题型03 边长的最值（范围） 求边长的最值（范围）主要是先用正弦定理或余弦定理把边转化为角或边的等量关系，再结合三角形内角与角的范围，用三角函数有界性或基本不等式求出最值（范围）。 1、 基本不等式法 31．（25-26高三下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在中，内角的对边分别是，，，点在边上，且，则线段长度的最小值为 ____________________ ． 【答案】 【分析】利用题设条件与正弦定理求出角A，将用，表示，利用向量数量积的运算律求，再利用基本不等式求其最小值. 【详解】由和正弦定理，可得 ， 整理得，由余弦定理，， 因为，故. 由得，即 ， 两边取平方得 （*）， 因，，， 代入（*），整理得， 已知，则， 则， 因，可得，当且仅当即时取等. 因此，故. 32．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知的面积为1，、分别为边、的中点，若，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由，通过平方得到 ，同理得到，再通过余弦定理和面积公式求得，再由同角三角函数平方关系、基本不等式即可求解. 【详解】设中，，，，面积， 分别是中点， 由，平方可得： 即， 同理， 由条件，得， 代入整理得： ， 对用余弦定理：，代入， 整理得： ​， 由面积得：， 由 ，代入得： ， 整理得：， 由基本不等式： ，当且仅当​即​时取等号， 因此​，即的最小值为. 33．（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角B的大小； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为 所以由正弦定理得 即 所以 因为 ，所以 又 ，所以 所以 ,即 因为 ,所以 ． （2）因为 ， 所以 当且仅当 时，取等号， 所以 34．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）在中，已知． (1)求角； (2)若，且，求的面积； (3)若，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）已知， 由余弦定理， 即，代入得：， 又，故. （2）由正弦定理，得：代入，得. 三角形面积公式：， 代入， . （3）由余弦定理：， 由，得， 代入上式：. 由基本不等式，时：， 当且仅当时取等号. 因此：，又， 结合三角形两边之和大于第三边，得：. 2、 三角函数法 35．（2026·四川泸州·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用正弦定理与余弦定理，结合平面向量求长度得出线段的表达式，再由三角函数值域求解即可. 【详解】因为，故，而，则，； 因为角， 设，，代入正弦定理， 化简得，则， 由， 两边平方，整理有： ， ； 由，则有，， 所以 ， 则， 因为，，则，故， 所以，即，当且仅当，等号成立. 36．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边的最小值为____． 【答案】 【分析】利用三角形内角关系结合已知条件表示，进而得出，利用正弦定理结合诱导公式表示，利用倍角公式化简，并利用换元法求出的最小值． 【详解】在中，，已知，即， 联立可得， 由得，故； 由正弦定理得， 已知，则，故， ， ， 则 ， 令，由得，且， 则，当取最大值时，的取值最小， 开口向下，对称轴为，最大值为， 故． 37．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为______．为边上一点，且满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】①根据题意，结合正弦定理得到即可求解；②根据题意，结合余弦定理即可求解. 【详解】①已知， 由正弦定理得，代入已知等式并约去，得， 因为，且，所以， 从而两处等号同时成立，得，， 因为三角形为锐角三角形，所以，由正弦定理得，故， 所以的取值范围为； ②由及，得，， 设，由三点共线，得， 在和中，由余弦定理得，， 因此 ，所以， 令，则，且，， 从而， 取锐角，使，，则， 当时，， 所以，故，的取值范围为． 38．（2026·四川泸州·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用正弦定理与余弦定理，结合平面向量求长度得出线段的表达式，再由三角函数值域求解即可. 【详解】因为，故，而，则，； 因为角， 设，，代入正弦定理， 化简得，则， 由， 两边平方，整理有： ， ； 由，则有，， 所以 ， 则， 因为，，则，故， 所以，即，当且仅当，等号成立. 39．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积为． (1)求； (2)求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，得， 所以， 由余弦定理及， 得， 因为，所以． （2）由（1）得，又因为A为锐角，所以． 所以，则． 因为为锐角三角形，所以，即． 由正弦定理得， 令， 则， 因为，所以． ， 因为，所以． 所以， 故． 40．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知锐角 的内角 的对应边分别为 ， 如图， 分别在边 上，且 为等边三角形． (1)求 的值及 ； (2)证明: ； (3)求边 的最小值. 【答案】(1)，；(2)证明：，∴．(3) 【详解】（1）因为， 所以， 解得或（舍去）， 为锐角 ，所以． （2）略 （3）记，， 设，，，，， ，． ， ， 取等． 即边 的最小值为. 41．（2026·陕西榆林·模拟预测）在面积为的锐角中，内角的对边分别为，且，则c的最小值为__________. 【答案】1 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，化简得到，令，利用导数求得函数单调性和最小值，进而得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以，即， 又因为的面积，故， 所以，其中， 令，所以， 当时，，则，单调递减； 当时，，则，单调递增， 所以，即，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为1． 三、锐角三角形中边的最值（范围） 42．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知锐角的三个角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先将等式变形，再利用二倍角公式求出，利用正弦定理及得到， ，利用两角差的正弦公式展开，再结合的取值范围求出三角函数的值域. 【详解】因为，所以， 则变为， 由正弦定理 ，得， 中，约去得 ， 因为，是锐角三角形，，， 所以，得，，得，所以， 是锐角三角形，所以，且，即， 所以 ， ，， ，， 所以 因为，所以，所以. 43．（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知条件：①；②；③.从以上三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：的内角的对边分别为，满足：　　　　. (1)求； (2)若为锐角三角形，，求边长的取值范围. （注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.） 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）条件①根据正弦和差角公式化简整理求角即可；条件②根据正弦定理及三角恒等变换求角即可；条件③根据式子化简和余弦定理求角即可. （2）因为为锐角三角形，求出角的范围，根据正弦定理及三角恒等变换化简得到，最后求出边长的取值范围即可. 【详解】（1）选择条件①，. 则. 又，所以. 选择条件②，. 于是， 在中，由正弦定理得. 因为，所以，即. 因为，所以，则，即. 又，所以. 选择条件③，，则，化简得， 所以. 又，所以. （2）因为为锐角三角形，且，所以， 所以解得，又，所以结合正弦定理， 得. 因为，所以，则. 所以，即边长的取值范围为. 44．（26-27高三上·辽宁鞍山·开学考试）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且，． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理，将中的角都化为边，再结合余弦定理表示出，结合是锐角三角形，即可求得角的大小； （2）利用正弦定理，将用含角的代数式表示出，再结合角的范围即可求出的取值范围． 【详解】（1）已知，由正弦定理，可得， 去分母，得，即． 由余弦定理，可得． 因为在锐角中，，所以． （2）由正弦定理，可得 ． 因为三角形为锐角三角形，所以，解得． 所以，则，故． 题型04 角（或角的三角函数值）的最值（范围） 求角或角的三角函数值的最值（范围）主要是“先确定角的范围，再转化为三角函数求值域”。 解题步骤：1.边化角：用正弦定理把边换成角的正弦，统一成角的表达式； 2. 消元留一角：利用内角和把三个角消成只含一个角； 3. 锁定角的范围；4.求最值（范围）。 45.高三上·安徽合肥·阶段检测）在中，若，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】先将已知条件切化弦，结合三角形内角关系、正弦定理、余弦定理转化为边的关系，再利用基本不等式求得的取值范围，进而得到的最大值. 【详解】在中，，故. 对已知等式切化弦变形： 代入，得： . 由正弦定理（为外接圆半径）， 得，代入上式化简得： . 结合余弦定理，代入得： . 故，由基本不等式（当且仅当时等号成立）， 得： ，又，余弦函数在上单调递减， 因此，即的最大值为. 46．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）在中，若，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】已知由正弦定理， 整理得：，又， 由基本不等式，可得：，当且仅当时取等， 由可得：， 两边平方得：，两边同乘得：，当且仅当时取等， 故.当且仅当时取等. 47．（2026高三上·全国·专题练习）在中，若，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】，故， 即，， 又，故， 即， 由余弦定理得，故， 即，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 又，故，所以. 48．（2026·江苏徐州·三模）已知三角形的内角的对边分别为，，，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】利用正余弦定理得到，根据两角差的正切公式得到，令，结合基本不等式求解即可. 【详解】由余弦定理得，， 又，所以，即. 由正弦定理得，，所以， 即， 斜三角形中，，， 所以. . 因为，则，所以，若为钝角，也为钝角，不满足，故为锐角， 令，则. 则，当且仅当，即时取等号. 故的最大值为. 49．（2026·江苏扬州·三模）在中，D是线段上一点，且，，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】设角并利用正弦定理转化，将的最值问题转化为三角函数的最值问题，借助辅助角公式求得最大值即可. 【详解】如图，设，则，所以， 由正弦定理可得，在中：； 在中，可得，即， 因为， 所以代入得， 得到， 令，则，设， 则，得到， 可得，解得，即， 得到，因为为锐角，所以，即. 50．（2026·安徽合肥·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)求内角的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【详解】（1）证明：因为， 所以由题得，即， 由余弦定理可得，所以． （2）由（1）知，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，， 所以内角的最大值为． 51．（25-26高三上·湖北武汉·期末）记的内角所对的边分别为，． (1)若，求； (2)若为边上的点，且，求的最小值． 【答案】(1)3；(2) 【详解】（1）因为， 则， 整理可得， 且，则，可得， 又因为，则， 可得，即， 若，所以. （2）设，， 则，，， 在中，由正弦定理可得， 在中，由余弦定理可得： ， 即， 则， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 52．（2027·湖南衡阳·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，其面积． (1)求证：； (2)求的最大值． 【答案】(1)答案见解析；(2)． 【分析】（1）利用三角形面积公式及正弦定理即可. （2）利用三角恒等变换将转换为，再令，可转换为.利用辅助角公式转换为，从而可得即可得的最大值. 【详解】（1）由三角形面积公式得， 因为，所以． （2）方法一：当时，，则，不存在. 所以.又，所以. 由于，故， 则. 所以，即． 令，则， 整理为，即， 要使这样的存在，须，即，化简得，即． 所以的最大值为，此时，对应，即等腰三角形． 方法二：由， 即， 上式化简为，即，其中， 当，即时，达最大，此时最大， ． 方法三：，则， 所以， 得：， 则， 即， 因为，所以， 得，所以． 53．（2026·河北沧州·一模）已知的内角所对的边分别为，. (1)若，，求； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)3；(2) 【分析】（1）利用正弦定理将边的等式转化为角的关系式，结合已知求出，再借助已知条件变形结合正弦定理求得边长； （2）把用与表达，代入化简得到，利用基本不等式确定的上界，进而推出的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以. 因为，所以，又，所以. （2）因为，所以，因为， 所以. 因为，当且仅当时取等号， 所以，所以的最小值为. 题型05 有关角分线的最值（范围） 求角分线长的最值（范围）主要是：先用角分线长度公式把目标函数表示成边或角的函数，再根据三角形约束条件确定定义域，最后求函数的最值（范围）。 在中，内角所对的边分别为，若是内角的平分线，则解题思路一般有两种： ⑴利用内角平分线定理：； ⑵利用等面积法：。 54．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，角的对边分别为，已知，，则的角平分线的最大长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式和二倍角的正弦公式得到，利用基本不等式和三角形边的关系求出的最大长度. 【详解】因为， 所以， 解得， 即， 即， 因为，所以，所以， 所以，又， 则 因为 ， 所以， 因为，，， 所以的最大值在取最小值的时候取到，且， 由，， 当且仅当时，等号成立， 此时 ，，， 故，故选项B正确. 55．（2026高三上·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，角A的内角平分线交BC于点D，若a＝1，，则线段AD长的范围是______ 【答案】 【分析】由，化简得，由，可得，可得，由余弦定理，化简后得：,令函数，定义域函数在定义域上单调递增，可求 【详解】在中，设 ，则 由, 可得, 等式两边同除以 ， 则 ，代入 ：可得， 由，可得，则 即： 令，，，，当且仅当时取等号， 由三角形三边限定条件 ，代入， 整理得：，由于 可得 由上可知，则， 在中，，根据余弦定理， 代入且， 整理得： 令函数，定义域 求导函数在定义域上单调递增， = 综上： 56．（2026·山东日照·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，的平分线交于点，则线段的最大值为______． 【答案】 【详解】因为，由正弦定理可得：， 因为，所以， 又因为，所以，则， 由余弦定理可得：，可得：，即， 当且仅当时取等号， 因为为的角平分线，所以， 所以， 则， 化简得：，所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以线段的最大值为. 57．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知分别为三个内角的对边，且； (1)求C； (2)若为上一点，为的平分线，且，求线段长度的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）；利用正弦定理及两角差的正弦公式化简得到，再根据辅助角公式得，解方程即可求解； （2）根据结合三角形的面积公式得到，利用余弦定理求出，结合基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）， 由正弦定理得， 即， 又， 则， 所以， 因为，所以，故， 即， ，，. （2）由题可知：， 即，即； 由余弦定理知：， 即，当且仅当时取等， ， 即，当且仅当时等号成立， 所以线段长度的最大值为. 58．（2026·安徽阜阳·模拟预测）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． (1)求A； (2)设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用三角形内角和为，结合诱导公式与正弦定理边角互化求解； （2）利用三角形面积公式和三角形面积的几何关系，结合余弦定理把长度的关系式表示出来并化简成基本不等式的形式，利用基本不等式求最值 【详解】（1）由题意，∵， ∴， 整理得：， ∵，∴，∴，又，∴， 由正弦定理得：，∴， ∵，∴，即， ∵，∴. （2）由题意及（1）得， 由几何知识得，， ∵， ， ∴，解得：， 由余弦定理得：， 即，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴（当且仅当时取等号） ∴， ∴的最大值是． 59．（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）在中，内角的对边分别为，若. (1)求角的大小； (2)若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 所以：， 即， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又，所以. （2）因为， 所以，解得， 由余弦定理得，即， 设 ，则 ， 由基本不等式：，故， 解得，故， 又 ，所以， 因此. 60．（26-27高三上·广西贺州·开学考试）在中，，，分别是角，，的对边，若且． (1)求； (2)设角的平分线交边于点，求长度最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先利用三角形内角和转化，代入原式化简可得，结合，利用正弦定理边角互化得到，最后结合角的范围求出角. （2）先利用余弦定理建立，关系，并利用不等式求出，再利用等面积法建立等量关系，得到，最后再利用基本不等式求出长度的最大值. 【详解】（1）由题意，， ，整理得：， ，，，又，， 由正弦定理得：，， ，，即，，. （2）由余弦定理，，即， 当且仅当时，等号成立. 又， 化简可得，. 所以， 当且仅当时等号成立．故长度的最大值为. 61．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）在中，设内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若点在上，，，求的最大值. 【答案】(1)；(2)1 【分析】（1）根据正弦定理将边化为角，结合三角形内角和定理化简式子和，化简得到的值，进而求出. （2）根据角平分线性质和三角形面积公式得到与、的关系，由余弦定理和基本不等式求出的最大值，从而得到的最大值. 【详解】（1）由，利用正弦定理可得， 又，可得， 即. 又因为，故， 因此，即， 又，则. （2）由题意知是的角平分线，， 所以. 由得， ， 所以，当且仅当时，等号成立. 因为， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1. 题型06 有关中线的最值（范围） 在中，内角所对的边分别为，若是中点，则解题思路一般有两种： ⑴利用向量：，所以； ⑵利用余弦定理：利用找到中线与边的关系。 62．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知分别为的内角所对的边，且． (1)求； (2)已知是边的中点，求的最大值． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）根据正弦定理有 ． 因为， 所以 ， ， 则有， ． （2）由（1）及余弦定理可知 ，当且仅当时，“”成立． 是的中点，， 两边平方得，即， 由（1）知，代入得， ， ， 所以的最大值为． 63．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为．向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由向量平行得，用正弦定理边化角，化简得，结合锐角三角形，即可求出角； （2）由中线向量公式得，结合余弦定理，得，再用正弦定理表示，由锐角条件求其范围，即得范围. 【详解】（1）因为，所以． 在中，由正弦定理得：， 展开得：，即． 因为，得．又，故． （2）因为点是边的中点，由向量中线公式：， 两边平方得：，即． 因为，，由余弦定理得：， 则，故． 所以． 因为，所以，即． 因为是锐角三角形，所以有，则． 又， 则 ． 由，得，故， 所以，， 故的长的取值范围为． 题型07 有关高线的最值（范围） 求高线长的最值（范围）主要是把高线表示成面积一底边的比值，或者是用正弦定理转化为三角函数。 在中，内角所对的边分别为，若是边上的高，则解题思路一般利用等面积法：。 64．（25-26高一下·重庆·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合锐角的条件确定角的范围为，利用正弦定理和三角恒等变换得到的取值范围，根据三角形面积公式推导得边上的高，结合的范围即可得到高的取值范围，选出对应选项. 【详解】设边上的高为，推导过程如下： 三角形面积满足：，代入， 化简得： ， 由正弦定理：，得， 因此. 因为锐角中，，且 代入，因为锐角,所以 ，所以 ， 解右半部分不等式： ，左半部分不等式， 所以可得的取值范围： ， 化简： 由，得， 因此： 65．（2026·山东威海·一模）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求BC边上的高的最大值． 【答案】(1)；(2)2 【详解】（1）由可得，     由正弦定理得，   所以，     因为，所以，     因为，所以． （2）依题意，，设BC边上的高为， 由，可得，      由余弦定理 可得， 即，当且仅当时等号成立，     因此， 所以BC边上的高的最大值为2． 66．（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由， 用正弦定理得， 化简得：， 又, 从而，， 得又. （2）由正弦定理得: , 所以 , 在 中， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 67．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）在锐角中，，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，求边上的高长的最大值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）∵，， ，∴， 化简得， 即， 即，在锐角中，， 即，∴，又即， ∴，即,∴. （2）由余弦定理得， 又，∴， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为9，此时，是等边三角形，且， 又∵，∴ 即，又，∴. ∵函数在上单调递减， ∴当时. 题型08 长度和、差、比的最值（范围） 求边长的和、差、比的最值，本质都是多元问题化为一元问题，核心工具就是正弦定理、余弦定理以及基本不等式。 68．（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）在中，角对边分别为，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理得：，所以， 因为，所以，所以 由正弦定理得：， 所以，， 所以， 因为，所以, 所以， 因为，所以， . 69．（2026·安徽·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在锐角中，由，得，则， 即，因此，且，，此时，即， ，由正弦定理得，， 所以的取值范围为. 70．（2026·江西·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理，正弦定理，三角恒等变换得，进而得，再结合锐角三角形求得，最后求解范围即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 所以，所以． 因为， 所以，即， 所以． 因为是锐角三角形，，， 所以，即． 因为， 所以，所以． 因为，所以， 所以． 71．（2026高三上·全国·专题练习）在锐角中，，，对边是a，b，c，若，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用两角和的正弦公式化简等式,结合,为锐角,可以得到与的关系,并进一步精确的取值范围,再利用正弦定理和二倍角公式将变形为有关的式子,化简即可求得范围. 【详解】因为,所以有，, ,即, 即, 因为,为锐角,所以，所以, 即.因为,,, 可得. 所以. 因为, 所以. 72．（26-27高三上·辽宁·期中）锐角中，角、、的对边分别为、、，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由已知条件和余弦定理求出，由锐角三角形求得，再由正弦定理得即可求解． 【详解】由，可得：， 化简可得，即，由正弦定理可得，所以， 又，所以，，因为为锐角三角形，所以 ，解得， 所以，所以， 所以，因为，所以，所以. 73．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且的两条角平分线是与，则当取得最小值时，________. 【答案】 【分析】根据角平分线性质得，，进而结合余弦定理求得，再根据，求解即可求得答案. 【详解】因为，所以 所以，由余弦定理得 将代入得：，即 设边上的高为， 因为为角的角平分线， ，， 所以，，即， 因为，所以，解得 同理，由为角的角平分线得： 所以， 因为 所以， 因为，， 所以，配方得， 所以，当时，取得最小值，即取得最小值. 所以，当取得最小值时， 74．（2026·河南·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，，且． (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用余弦定理将换掉，代入数值即可求解； （2）根据正弦定理及两角和的正弦公式对进行化简得到，根据锐角三角形求出的范围，利用正弦定理及二倍角公式对进行转化得到，令，根据的范围求出的范围，进而求出答案. 【详解】（1）由余弦定理可化为， 将，代入得，解得（负值舍去）. （2）由正弦定理，可化为， 因为，所以， 所以， 即， 即， 因为，所以，即， 由题意得，解得， 由正弦定理得 ， 令，， ， 函数在上单调递增，则， 则， 所以的取值范围为. 75．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）在锐角三角形中，，，的对边分别为，，，且． (1)求; (2)若点为的垂心，，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用同角关系式的平方关系和正余弦定理求解. （2）如图，延长交于，延长交于，从而可得，． 求出和，计算，利用余弦函数的图形和性质求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 由正弦定理得，则， 因为，所以． （2）如图，延长交于，延长交于， 根据题意可得，． 由（1）知，所以， 设，且，又， 则，． 同理可得． 则 ， 因为，所以， 又， ， 所以， 所以的取值范围是． 76．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角A． (2)D为边上一点，且． ①若，求面积的最大值； ②若为角平分线，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)①    面积的最大值；② 【分析】(1)由正弦定理边化为角，用合一变形公式整理后得求得, (2)①由向量知识可得平方后可得结合面积公式可解， ②在中由正弦定理得都是关于角的函数关系，结合均值不等式可解. 【详解】（1） ∴ 由正弦定理得：  ，展开得： 而 ，故等式两边同时除以 得： 故 ． （2） ①    如图所示， 当时取等号, 由面积公式： ②    如图所示， 为角平分线，在中 由正弦定理得 又 当时取等号, 故 77．（2026·河北沧州·模拟预测）在中，角的对边分别为. (1)若，求的大小； (2)若，点为边上的点，且满足，求的最小值； (3)若，点为边上的中点，求的最大值. 【答案】(1)；(2)18；(3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式，化简得出的值，进而求得角； （2）由角平分线性质及面积关系推出​，由“1”的代换将变形，运用基本不等式求出其最小值； （3）先由推出，设，在两个三角形中用正弦定理联立，推导出，再通过辅助角法求该三角函数的最大值，进而得到的最大值. 【详解】（1）由题，利用正弦定理可得， 因为，所以， 所以，又，所以， 又因为，所以. （2）因为，所以为角的平分线， 因为，可得， 又为角平分线，可得， 所以，所以， 故， 由及可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为18. （3）因为，即， 所以，可得， 设，在和中，利用正弦定理可得， 两式联立可得，，即，即， 则，即， 则， 因为，则令， 则，其中，所以为锐角， 则，得，当时，化简得， 因为，则，则，所以， 故当，即时，有最大值，此时，故的最大值为. 题型09 其它类型的最值（范围） 78．（25-26高二下·江西·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：作辅助线，可得，设，可得，结合对勾函数性质求取值范围；解法二：利用正弦定理可得，令，结合题意可得，即可得结果. 【详解】解法一：因为，即， 作，垂足为，则， 过作直线，分别作，，垂足分别为E，F， 因为为锐角三角形，所以点C在线段上运动， 且不能与E，F和线段的中点重合（当点C为的中点时，边上的中线，）， 点在从E到F的运动过程中，b由小变大，而a由大变小， 所以从E到F的运动过程中由小变大， 所以，且， 设，则，且， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 所以的取值范围为； 解法二：因为，由正弦定理得，， 则 ， 由，得， 即. 两边同除以得， 所以. 因为是锐角三角形，所以，，， 则，可得，，其中为锐角， 则，可得， 令，则，， 因为，可得， 即， 所以的取值范围是. 79．（25-26高一下·广东湛江·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形面积公式，余弦定理 化简，求得，最后用正弦定理把转化为函数求解取值范围. 【详解】， 又， 所以，即，即，由于，所以， 由正弦定理可知,，， 由于， 所以， 设，则，， 由于函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时，， 所以，的取值范围为． 80．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，求的最大值为________． 【答案】 【分析】先利用条件消去，结合余弦定理和面积公式将目标式转化为关于的函数，再通过换元转化为二次函数的最值问题求解. 【详解】由条件，得. 由余弦定理，. 三角形面积，故. 由，代入的表达式， 得 因此，. 令，则， 代入得 设（），则， 代入分子得 故. 令，则. 设（），则， 这是开口向下的二次函数，对称轴为. 当时，取得最大值，故. 81．（2026·湖南长沙·三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，且则的最小值为______. 【答案】 【分析】先利用三角恒等变换化简目标式，结合正弦定理、余弦定理，依据已知条件将式子统一为关于的函数，再借助二次函数性质求出最值，并验证取等条件. 【详解】在中，已知，. 因为，， 所以. 设外接圆半径为，由正弦定理可得，，， 所以，且， 所以. 由余弦定理，代入以及，化简得，即. 所以，于是. ，结合，可得. 联立化简. 将代入，，则， 原目标式化为. 令，由边长约束得. 函数是开口向下的二次函数，对称轴为， 当时，取得最大值，此时取得最小值. 因此. 当即时，，，三边满足三角形三边关系，等号成立. 综上，原式的最小值为. 82．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角及三角函数恒等变换化简，再利用换元法，借助导数求出范围. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 由，得，而，由，得， 则，因此，， 由，得，则， 于是 ， 令，函数，求导得， 函数在上单调递减，，则， 所以的取值范围为. 83．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先利用正弦定理、两角和与差正弦公式转化题设条件依次得到、，接着由锐角三角形条件求出 ，再由两角和与差正弦公式、倍角公式将问题式子转化为一角一函数，利用导数工具即可分析求解. 【详解】由及正弦定理得， 整理得， 因为，，所以，即， 所以， 所以 由是锐角三角形得，解得，则， 令， 则， 令解得正根为， 所以在上恒成立，所以在上单调递减， 又， 所以，即. 84．（2026·浙江绍兴·模拟预测）角，，是三角形的内角，已知，是边的中点，是边靠近点的三等分点，且，则的最大值为_________． 【答案】2 【分析】两次余弦定理表达线段长，利用建立等式化简得到边与角A的关系；借助正弦定理转化目标式，利用二倍角三角函数求最值. 【详解】如图所示，设， 因为是边的中点，是边靠近点的三等分点， 所以. 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以，代入得， 化简得，, 当时，. 85．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）如图，已知矩形，，，，分别是边，上的动点（不含端点），为边的中点，且，设．记的面积为，则的最大值为________． 【答案】 【分析】先把边和面积化为角表示，接着求解三角函数的值域，从而确定最大值. 【详解】因为，为边的中点，且，， 所以，，，， 在中，， 同理，在中，， 所以， 所以 ， 取的中点为，连接，则四边形是正方形，所以 是边上的动点（不含端点），所以,即， 因为，所以， 所以，所以，最大值为． 86．（2026·海南·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】先利用正弦定理，二倍角公式等进行化简，再求出，令，求导判断单调性即可求出. 【详解】由正弦定理得 ， 又，， ，，，即， 令，则，， 又，，在上单调递增， ，， 故的取值范围为. 87．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，满足 ． (1)求证：； (2)求 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）证明：由题可知， 因为，故 ． 根据正弦定理得：， ， 因为，所以， 在 中，，故 ，即 ． 由正弦定理 （大边对大角）． 因此在 且 的条件下，只能是 ，故 ． （2） 令 ， 在锐角三角形中 为锐角，且 为锐角， 所以， 又 为锐角，所以，所以 在 处 取最小值 ， 当 （）：（开区间），所以. 88．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知分别为三个内角的对边，满足. (1)求； (2)若的周长为，面积为，求； (3)若，点在边上，且平分内角，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，即，则，即， 又，所以. （2）由的面积为，得，解得， 由的周长为，得，即， 由余弦定理得，即， 于是，解得， 所以. （3） 如图所示，由正弦定理，， 又，，所以， 又，所以，，所以， 由余弦定理，，即， 所以，， 由，当且仅当时取等号，得， 所以，又，所以， 所以，即，当且仅当时取等号. 所以的取值范围为. 89．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）设的内角，，所对的边分别为，，，，，且当时，函数取得最大值． (1)求； (2)若为的重心，求的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先根据数量积和射影定理化简，再跟据时取最大值，解即可. （2）先由的值，利用余弦定理得到边的关系，再利用重心的向量性质，将用三角形顶点对应向量表示，展开点积后结合余弦定理和基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）， 由三角形射影定理可得，代入后化简， 已知时取最大值，而正弦函数最大值为1，因此，得； 此时最大值条件满足，又是三角形内角，故. （2）设中点为，由重心性质可知，同时，， 故，结合，， 再由余弦定理，代入得 ， 将其代入， 由基本不等式，代入，得，即，当且仅当时取等号， 因此，最大值为. 90．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，，为边上的动点，，，，． (1)若，，求的长； (2)求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】 (1) 在中由余弦定理可求， (2) 把转化为的函数，讨论范围可求. 【详解】（1）因为 ，所以 在 中， ， 由余弦定理： 所以 （2）， 91．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角B的大小； (2)若，，求边a的长； (3)求的取值范围． 【答案】(1)；(2)10；(3) 【分析】（1）利用正余弦定理求解； （2）由利用同角关系式的平方关系求出，利用三角形内角和将转化为，利用两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出. （3）利用降次公式将转化为，利用三角形内角和将转化为，利用两角差的余弦公式得到，利用余弦函数的图形和性质得到所求. 【详解】（1）在中，由正、余弦定理得， ， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以． （2）因为，所以， ， 在中，，所以. （3） 因为，所以， 故，因此， 所以． 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $