重难专题02 含参函数的单调性、极值和最值问题（12种题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦函数单调性、极值和最值中的含参问题，涵盖12个核心题型，包括根据单调性求参数范围、存在单调区间求参数、函数不单调求参数等，构建导数应用的完整考法体系。 清单以题型脑图归纳重难考法，考法深研拆解解题技能，如将单调性转化为导数恒成立或有解问题，培养数学思维。每个题型配典型例题及分类讨论步骤，如导数为二次函数型的根大小比较流程，帮助学生系统掌握，教师可据此优化复习策略，提升备考针对性。

重难专题02 函数的单调性、极值和最值中的含参问题 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 根据函数的单调性求参数范围 此类题目核心思路是把“函数的单调性”转化为“导数符合恒成立”问题，再通过分离参数，求最值等方程求参数的范围。 转化方法：若单调递增，转化为在区间上恒成立； 若单调递减，，转化为在区间上恒成立。 1．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）若函数为其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为，， 因为函数为其定义域上的增函数， 所以，即在上恒成立， 因为，，当且仅当时取等号， 所以，即. 2．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上单调递增，可得在上恒成立，得到，令，则只需（），利用导数求出的单调性，利用单调性得到，从而得到的取值范围. 【详解】， ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即： ，即 ， 因为时，所以， 令，则只需（）， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值， 且，则. 则实数的取值范围是. 3．（2026·四川雅安·二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过将函数单调递增转化为恒成立问题，从而分离参数，构造新函数求最值即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在恒成立，即， 令，所以只需即可. 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取到最小值为，即， 所以实数的取值范围是. 4．（2026·河北保定·二模）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，即，就是求范围内的最大值，利用导数法求出单调性，通过单调性求出最大值即可得解. 【详解】，， 在区间上单调递增， 在区间上恒成立， ， 在区间上恒成立， ， ， 设， ， ，，，在上单调递增， 当时，， 则在内，有， 故，故的取值范围为. 5．（25-26高二下·江苏南通·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用函数单调性与导数的关系，将问题转化为导函数非负恒成立，再通过分离参数转化为求新函数的最小值，最后利用导数求函数的极值与最值，确定参数的取值范围. 【详解】函数在上单调递增，则在上恒成立. 求导得，故对任意恒成立， 即在上恒成立. 令，，则. 求导得，令，解得（）. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此，在处取得最小值，. 故，即的取值范围是. 6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由两边同乘得. 设，， 由题意得在上严格递增，则对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的最大值为，因此. 当时，， 令，，易得且仅在处取等， 故且最多有一个实数解，严格递增，所以的取值范围是. 7．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为________________． 【答案】 【分析】由导数与函数单调性的关系可知，，参变分离得，利用导数求出在上的取值范围，即可得出实数的最小值. 【详解】由题意得函数在区间上单调递增，则，， 可得，可得， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增，则，即， 故当时，，故，即的最小值为. 题型02 根据函数存在单调区间求参数范围 此类题目核心思路是把“函数的单调性”转化为“导数符号有解”问题，再通过分离参数，求最值等方程求参数的范围。 转化方法：若存在单调递增区间，转化为在区间上有解； 若存在单调递减区间，，转化为在区间上有解。 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导，将区间存在递减区间转化为在有解，构造函数求其区间最大值，再验证临界值得到的取值范围. 【详解】由，得 ， 因为函数在上存在单调递减区间， 所以存在，使得，即在上有解， 所以， 设，则，令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 又，，，因此在上的最大值为， 当时，在上恒成立（仅端点处导数为0，区间内导数恒正）， 函数单调递增，不存在递减区间，因此， 即的取值范围是. 2．（25-26高二下·福建漳州·期末）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，求导得． 函数在区间上存在减区间，等价于在内有解， 即在上有解． 当时， ， 故，即实数的取值范围是． 3．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在上存在单调递增区间，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对原函数求导，将“存在单调递增区间”转化为导函数在给定区间上存在大于零的解，分离参数后构造新函数，利用导数研究新函数在区间上的最值，即可推得参数的取值范围. 【详解】函数在上存在单调递增区间，等价于在上有解， 对求导得：， 有解等价于：有解， 令，则只需，求导得：， 当时，，，故，即在上单调递减， 因此的最小值在处取得：， ，故的取值范围是. 4．（25-26高二下·江西赣州·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为存在使，求在区间最大值，故. 【详解】由题意，所以，， 函数在区间内存在单调递增区间， 则，，即，使得 ， 即， 设，， 则，，单调递减； ，，单调递增， ，， ，故在上最大值为， 只要，即，就存在满足， 即，函数存在递增区间. 5．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是______. 【答案】 【分析】先对函数求导，根据函数在区间上存在单调递减区间得到关于的不等式，再通过对函数的最值来确定取值范围. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在区间上存在使得， 即在有解，即， 令，即， 因为对称轴为，所以， 所以，所以实数的范围是. 6．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）时，，对求导，计算与，最后用点斜式得出切线方程. （2）由无单调递增区间，得恒成立，转化为恒成立，求最小值，得取值范围. 【详解】（1）当时，，故， 所以，又因为， 所以切线方程是． （2）由题意得， 若不存在单调增区间，则恒成立（*）， 即恒成立，令，， 所以，当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以， （经检验当时，（*）式成立）， 因此函数存在单调递增区间，可知； 可知所求实数的取值范围是. 7．（25-26高二下·河北·期末）已知函数，，. (1)若在x=1处取得极值，求a的值； (2)若在上单调递增，求a的取值范围； (3)若在上存在单调递减区间，求a的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）先对函数求导，利用极值点处导数为求出参数，再通过导数正负判断函数单调性，进而得到单调区间； （2）方法一：对求导，将导数恒非负的不等式分离参数，构造函数求其在对应区间的最大值得到的范围；方法二：根据单调递增函数的性质，让区间最小值满足不等式，直接解出的取值范围； （3）方法一：将不等式分离参数，结合构造函数在区间的单调性求出最大值，得到的上限；方法二：利用函数单调性求出区间最小值，令最小值小于 解出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，则，得， 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极值，故. （2），则， 由题意得，在上恒成立，即在上恒成立. （方法一）整理得在上恒成立， 所以， 因为在上单调递减，最大值为，所以， 即的取值范围是. （方法二）因为，，所以函数在上单调递增， 所以， 所以，即， 即的取值范围是. （3）由题意得在上有解. （方法一）需在上有解. 因为在上单调递减， 所以， 所以，即的取值范围为. （方法二）函数在上单调递增，所以， 在上有解，所以， 所以，即的取值范围为. 题型03 根据函数在区间上不单调性求参数范围 函数在区间上不单调，即函数在该区间内既有增又有减，即存在极值点，等价于其导函数在该区间上存在变号零点（即导数为0且两侧符合相反）。解题步骤： 1.求导分析：求导数； 2.转化条件：函数在区间上不单调在该区间内有实根，且该根不是重根（或导函数在根的两侧异号）； 3.求解参数：方法有①直接法；②分离参数法；③补集法。 1．（25-26高二下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数求导得，函数在上不是单调函数， 等价于，在内有解， 设，设两根，则，故两根异号， 要使正根在区间内，则， 解得，故实数的取值范围是． 2．（25-26高二下·全国·期中）已知函数，，若在上不单调，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，转化为在上有变号零点，设，求得在上单调递增，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 要使得函数在上不单调，即在上有变号零点， 设，可得， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 3．（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次求导法，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】设， 当时，，所以在上单调递增， 所以由在内不单调得， 即，解得． 故选：B 4．（25-26高二下·湖北黄冈·期中）若函数在内不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为在上有变号零点，分和两种情况讨论的单调性，结合零点存在定理即可求解. 【详解】， 当时，，则函数在内单调递减，不满足条件， 当时，令,则． 所以在内单调递增， 要使函数在内不单调， ∴在上有变号零点， 又，故只需． ∴. 5．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程． (2)若函数在内不单调，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程即可； （2）对函数求导，应用分类讨论及区间单调性，函数零点存在定理求参数范围. 【详解】（1）当时，因为， 所以，， 所以在处的切线方程为； （2）由题设知， 当时，，则在内单调递减，不满足； 当时，令，则在内， 所以在内单调递增，要使函数在内不单调， 则在上有变号零点， 又，只需， 综上，的取值范围是. 6．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)若在定义域上不单调，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由为函数的极值点，得，从而求出的值； （2）设在定义域上单调，求出的取值范围，由此可得结论. 【详解】（1）由题意得， 因为为函数的极值点，所以，解得， 经检验，当时，为函数的极值点，所以． （2）因为的定义域为，， 设在单调， ①函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 在上恒成立， 又当时，，当且仅当时等号成立， 所以， ②函数在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立，矛盾 所以若在单调，则， 故若在定义域上不单调，则的取值范围为． 7．（2026·安徽·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在处的切线l与y轴垂直，求的单调区间； (2)若函数在上不单调，求实数m的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，递减区间为；(2) 【分析】（1）根据函数导数的几何意义，由切线斜率求出导数值，进而求出参数，再根据函数导数与函数单调性的关系，求出函数单调区间； （2）根据函数的单调性，判定函数导数值的情况，构造函数，根据函数零点情况，求出参数范围. 【详解】【小题1】由题意得， 故，解得， 则， 令，则， 令，解得， 故当时，，即在上单减； 当时，，即在上单增； 故恒成立， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以的单调递增区间为，递减区间为； 【小题2】由（1）知，， 在上不单调，即方程在上有变号解， 即在上有变号解，． 令，，则， 令，解得， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 时，，，在上单调递增，不符合题意，舍去． 当时，，当，， 故实数m的取值范围为． 题型04 根据函数存在极值（最值）求参数范围 此类题型核心是将极值或最值的存在性转化为导数性质或方程根的问题。解题策略为： 1.极值存在性转化：若函数在某区间内存在极值，即在该区间内有编号零点，即有解，且该解两侧导数异号； 2.最值求解与比较：若函数在区间上存在最值，需先求出函数在区间内的所有临界点（导数为0或导数不存在的点），计算这些点的函数值，并与区间端点的函数值进行比较。 3.分离参数法：当参数易于分离时，可将方程变形化为的形式，此时，函数存在极值或最值的问题转化为函数的值域问题。 1．（26-27高三·全国·一轮复习）若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数法求得极值点，再根据函数在内存在极值建立关于的不等式求解即可. 【详解】的定义域为，， 令，可得：或（舍）， 由在其定义域内的一个子集内存在极值， 可得：，解得， 所以实数的取值范围为． 2．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可． 【详解】 ，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数 在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：． 3．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）若函数在区间存在最大值与最小值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 当或时；当时 则的单调递减区间为，单调递增区间为， 又由， 结合函数在区间存在最大值与最小值, 有,解得， 故实数m的取值范围为. 4．（2026·江苏南京·模拟预测）若函数在区间内存在最小值，则实数a可以取（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，根据导函数判断原函数的单调性，画出草图，利用数形结合转化求解a的范围即可. 【详解】由题意，得，令，解得或， 当时，，时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 因为，，再令，解得或者0，所以大致图像如图所示， 结合图像，要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得，所以a可取2. 5．（2026·四川成都·三模）若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】先对求导，根据导数的性质分析函数的单调性，再结合在区间上有最大值这一条件列不等式求解出的取值范围，最后根据为正整数确定的个数. 【详解】，. 令，得或. 由题意，，. 当或时，，单调递增，当时，，单调递减. 在区间上有最大值，则必须要保证极大值点在区间内且， 即， 整理得 ， 即，解得. 又，可取共5个. 6．（2025高三·全国·专题练习）任意实数，函数在上有最值，则实数m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出存在实数，使函数在上没有最值时，实数m的取值范围；根据其补集求得当任意实数，使函数在上有最值时，实数m的取值范围即可. 【详解】命题"任意实数，函数在上有最值"的否定如下， 是"存在实数，使函数在上没有最值", 即存在实数，使函数在上单调, 即存在实数，使，或在上恒成立. 由，得. 因为，，所以. 令，易知在上单调递减， 所以. 令，易知在上单调递减，所以. 令，则在上单调递减，所以. 所以当时，， 即存在实数，. 所以； 当时，得到， 即存在实数，. 所以. 所以当存在实数，使函数在上没有最值时，得到或. 所以当任意实数，使函数在上有最值时，得到. 所以实数m的取值范围为. 故选：A. 7．（2026·广西·模拟预测）已知，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由条件得到函数解析式，将不等式构造函数，利用导数分析函数单调性，即可得出结果； （2）求导，将分子构造函数，根据原函数有极大值可得新构造函数先正、再负、再正，且两根不相等，分类讨论两根关系，根据单调性进行取舍即可. 【详解】（1）若，则， 所以， 要求， 只需求，令， 则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 故不等式的解集为. （2）由， 则， 记， 令，则得两根为， 若满足在上存在极大值， 则在定义域内先正、再负、再正，且两根不相等， 若，即，只有零点， 所以时，， 当时，， 此时函数只有极小值，无极大值，舍去. 若，即， 则， 此时函数单调递增，无极值，舍去. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时，是极大值点，满足题意. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时是极大值点，满足题意. 综上，的取值范围为. 8．（2026·江西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围. 【答案】(1) 若，的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，的单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 【分析】（1）先求出导数，再对参数范围分类讨论，最后得到单调区间即可. （2）结合题意确定，再得到，构造函数并求导得到单调性，结合求解参数范围即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 由，可得， 若，则在上恒成立， 则的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，则当时，，当时，， 则的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，若存在最小值，则， 且的最小值为， 则，可得，即. 令，则. 因为恒成立， 所以恒成立，则在上单调递增. 又，令，解得，即， 故的取值范围为. 题型05 根据函数极值点个数求参数范围 此类题目的核心是将问题转化为导函数变号零点的个数问题。解题步骤： 1.求导转化：求导数，题目已知极值点个数等价于在定义域内有相应个数的变号零点； 2.分离参数：通常将变形为的形式，转化为求函数的值域或图象交点问题； 3.数形结合：画出函数的图象，分析其单调性、极值以及端点趋势。参数的范围对应于直线与曲线产生指定个数交点时的纵坐标范围。 1．（2026·河南周口·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知有两个根，令，则，故直线与的图象有两个交点，先求两图像相切再求两个交点即可. 【详解】由题意，有两个极值点， 有两个不同的实根，即有两个根. 令，则，直线与的图象有两个交点. 若直线与的图象相切，则设切点为. 由于，则切线的斜率为，∴切线方程为， 即，，解得，. ∵要使直线与的图象有两个交点，，. 2．（2026·山东威海·一模）已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】求得，根据题意转化为一元二次方程在内有两个不等实根，根据一元二次方程根的分布列出不等式即可求解. 【详解】由函数，可得 令，即， 因为函数有两个极值点，可得在内有两个不等实根， 所以由一元二次方程根的分布知，，解得， 即实数的取值范围是. 3．（2026·山东潍坊·一模）若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可. 【详解】函数的定义域为， ， 函数在有两个极值， 在有两个不相等的实数根， 即在有两个不相等的实数根， 令，对称轴为， 要使在有两个不相等的实数根， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 4．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数有2个极值，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】将极值问题转化为导数零点问题，再构造函数，结合导数分析单调性，建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】由题意的定义域为，且， 因为有2个极值，所以有2个变号零点， 令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 当时，，当时，， 而，可得，解得， 故的取值范围是. 5．（2026·河北·三模）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】有两个极值点等价于有两个不同的变号零点，转化为和图象上有两个交点问题. 【详解】的定义域为，且，，令，则， 令，，则，， 因为有两个极值点等价于有两个不同的变号零点，即有两个不同的实根， 设，，当，，为增函数；当，，为减函数； ，而当，，当，，故图象如下图所示： 结合和的图象，易得m的取值范围是. 6．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数恰有1个极值点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】由题可得，恰有一个零点.求导并分离参数，构造新函数，将问题转化为直线与函数的图象恰有一个交点，利用导数分析函数的取值情况可得. 【详解】函数的定义域为. . 由函数恰有1个极值点，得恰有一个变号实数根. 即方程恰有一个变号实数根. 令，则直线与函数的图象恰有一个交点. . 当时，，，，函数单调递增； 当时，，，，函数单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值为. 又当时，，所以；， 所以函数的图象如下： 所以或. 当时，. 令，则，在上单调递减. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值为，即恒成立. 所以是减函数，无极值点. 所以实数的取值范围为. 7．（2026·湖南长沙·三模）函数，． (1)时，求在处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）时，，， 又，，所以在处的切线方程为， 即． （2）， 由题可知在有两个变号零点， 由，得，令，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 又，，，，所以， 由有两个极值点，则，故 8．（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数 (1)当时，求的最值； (2)若函数 有三个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)最小值，无最大值；(2) 【分析】（1）先对函数求导，利用导数判断函数的单调性，再根据单调性确定最值点，进而求出最值； （2）因为函数有三个极值点等价于其导数有三个不同的变号零点，所以先对求导，将导数整理后，把问题转化为某个方程在上有三个不同的正根，再通过构造新函数，利用导数研究新函数的单调性、极值与值域，从而确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时， 当时，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以 无最大值. （2）的定义域为， ， 当时，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增， 此时函数只有一个极值点，不符合题意；                      当时， ， 由，得或 . 又有三个极值点，故有两个不为1的变号的零点， 由，得：， 令，则原方程等价于， ， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 在处取得极大值， 当时，；当时，， 作出的图象， 由图象可知，要使与有两个变号的交点，且交点横坐标不为1， 需满足， 因此，实数的取值范围为. 9．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，求； (2)若函数有两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先求导，再求，由两切线垂直进而求解； （2）求，令，得，令，进而得与有两个不同的交点，利用导数研究单调性，作出函数图象，利用数形结合即可求解. 【详解】（1）由题意得：， 所以， 又， 又因为在点处的切线与曲线在点处的切线垂直， 所以，所以； （2）由题得的定义域为， 又， 所以，令，即，令， 又函数有两个极值点， 所以与有两个不同的交点， 所以，令，解得， 由，得，由，得， 所以在单调递增，在单调递减，且， 作出函数的图象： 由图可知：， 所以. 题型06 含参函数的单调性（导数为一次函数型） 此类题型的解题步骤： 1.确定定义域与求导：首先明确原函数的定义域，对函数求导，将导函数整理为通分形式，分离出恒正的分母（无效部分）和含参数的分子（有效部分），导数的正负完全由分子（一次函数结构）决定。 2.分类讨论参数取值：根据一次项是否为0，以及根是否在定义域内，分情况讨论； 3.综合结论。 1．（2026高二·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1)；(2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分、分别讨论即可. 【详解】（1）若，则， 所以．又， 所以， 故曲线在处的切线方程为， 即； （2）的定义域为，． 当时，， 故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知.讨论的单调性. 【答案】当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，当时，在上单调递减. 【详解】因为 所以， ①当时，，则函数在是增函数； ②当时，令，即，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； ③当时，的定义域为， 令，即，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减. 3．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 【详解】（1）当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，无极小值. （2）由得：， ，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，在上单调递减， 此时的最小值为； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减； ，，， 当时，，此时； 当时，，此时； ③当，即时，在上单调递增， 此时的最小值为； 综上所述：当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 题型07 含参函数的单调性（导数为二次函数可分解型） 此类题目的核心在于通过求导得到二次型导函数，利用因式分解确定零点，并根据参数对两根大小及定义域的影响进行分类。解题步骤： 1.求导与分离：首先确定原函数的定义域，求出导函数。若导函数为二次型且分子部分可进行因式分解（如形式），则直接令解得两个根，注意分母通常为正，单调性由分子符号决定； 2.确定分类分界点：由于参数的存在，两根的大小不确定，需令，解出参数的临界值。该临界值即为分类讨论的分界线； 3.分类讨论单调性：结合二次项系数与两根的大小，在定义域内判断导函数的正负； 4.综合结论。 1．已知函数．若，试讨论函数的单调性． 【答案】当时，函数在上单调递增； 当时，函数单调递增区间为，；单调递减区间为． 【详解】，且. 当时，，则在上单调递增． 当时，令，即，解得或，且. 当时，，单调递增； 当时，， 单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数单调递增区间为，；单调递减区间为． 2．已知函数. (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和 【详解】（1）由题意得：，所以，解得； （2）由题意得：，又， 令，解得或， 当时，由，解得或，由，解得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，由，解得，由，解得或， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为和， 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）分别讨论下列函数的单调性，其中为非零实常数． (1)； (2)． 【答案】(1)①，在单调递增，在单调递减． ②，在上单调递增． (2)①，在上单调递减，在上单调递增． ②，在上单调递减，在和上单调递增． ③，在上单调递增． ④，在上单调递减，在和上单调递增． 【详解】（1），定义域为．．令，解得． ①时，当时，．单调递增．当时，，单调递减． ②时，在上恒大于0， 在上单调递增． 综上：①，在单调递增，在单调递减． ②，在上单调递增． （2），定义域为． ， ①时，令，解得． 当时，，单调递减． 当时，，单调递增． ②时，令，解得或． 当时，，单调递增． 当时，，单调递减． 当时，，单调递增． ③时，， ，单调递增． ④时，令，解得或．当时，，单调递增． 当时，，单调递减．当时，，单调递增． 综上：①，在上单调递减，在上单调递增． ②，在上单调递减，在和上单调递增． ③，在上单调递增． ④，在上单调递减，在和上单调递增． 4．（25-26高二下·天津和平·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，单调递增区间为，，单调递减区间为，；当时，单调递增区间为，，单调递减区间为，. 【详解】（1）当时，，定义域为，. 则，. 所以切线方程为，整理得. （2）的定义域为. ，分母，符号由 决定. 令，即，解得或. 当时，由，得且，解得或； 由，得且，解得或. 当时，由，得且，解得或； 由，得且，解得或. 综上，当时，单调递增区间为，，单调递减区间为，； 当时，单调递增区间为，，单调递减区间为，. 5．（25-26高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与曲线相切的直线的方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【详解】（1）当时，，所以. 设切点为，则， 即，解得， 所以，又， 所以切线方程为，即. （2）因为函数的定义域为， 且 当时，由，得，在上单调递增， ，得，在上单调递减； 当时，因为， 当时，，在上单调递减； 当时，因为， 由，得或，在上单调递减， 由，得，在上单调递增； 当时，因为， 由，得或，在上单调递减， 由，得，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 6．（2026·江西南昌·二模）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)讨论在R上的单调递增区间． 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为；当时，单调递增区间为；当时，无增区间． 【详解】（1）当时，，， 所以，， 令，即 ，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，即最大值，为 所以当时，在上的最大值为． （2）， 当时，令，则，即的单调递增区间为； 当时，令，则，即的单调递增区间为； 当时，，此时在R单调递减，无增区间． 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，单调递增区间为；当时，无增区间． 7．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数．讨论的单调性． 【答案】时，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递增； 时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递减，在单调递增. 【详解】的定义域是， ， 由，得或， 当，即时，时，，时，， 在单调递减，在单调递增； 当，即时，时，，或时，， 在单调递增，在单调递减，在单调递增； 当，即时，，在单调递增； 当，即时，时，，或时，， 在单调递增，在单调递减，在单调递增； 当，即时，时，，时，， 在单调递减，在单调递增； 综上，时，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递增； 时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递减，在单调递增. 8．（2026·河北·模拟预测）已知函数． (1)若的图象在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)讨论的单调区间． 【答案】(1)， (2)当时，当时，单调递减；时，单调递增； 当时，单调在递增； 当时，当，时，单调递增；当时，单调递减； 当时，当时，单调递减；当时，单调递增. 【详解】（1）由题意可得， 因为的图象在点处的切线方程为， 所以，即， 解得，所以 所以. （2）， 因为， 令可得或， ，当时，可得当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，当时，即时，即由不等式可解得时， 可得当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； ，当时，恒成立，单调在单调递增； ，当时，当时，，单调递减； 时，，单调递增， 综上， 当时，当时，单调递减；时，单调递增； 当时，单调在递增； 当时，当，时，单调递增；当时，单调递减； 当时，当时，单调递减；当时，单调递增. 题型08 含参函数的单调性（导数为二次函数不可分解型） 此类题型核心思路是通过分析导函数对应二次方程的判别式与二次项系数的符号，结合定义域来确定导数的正负区间。解题步骤为： 1.求导与变形：首先求，若是分式形式，通常通分后提取分母（分母往往恒正），将问题转化为讨论分子（一个含参二次函数）的符号，务必先明确圆函数的的定义域； 2.分类讨论：对于分子（含参数），按以下逻辑顺序讨论：①二次项系数是否为零；②判别式的符号：和。 3.结合定义域写出结论。 1．已知函数．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于方程，由，得或， ①当时，有两个不等正实根， 由可得或，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时，有两个不等负实根， 此时函数在上恒有，即函数在上单调递减； ③当时，，恒成立， 此时函数在上恒有，即函数在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递减， 在上单调递增；当时，在上单调递减； 2．（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）已知 ，其定义域为 ， ，则， 因为函数 在点 处的切线斜率为 2 ，所以 ，   即 ，解得 . （2）由（1）可知 ， 令 ，其判别式 ， 当 ，即 时 在 上恒成立， 又因为 ，所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增； 当 ，即 或 时，由 ，即 ， 根据求根公式可得. 若 ，则 ，因为 ，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增； 若 ，则 ，且 ， 当 0 或 时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 , 上单调递减. 3．（25-26高二下·山西太原·阶段检测）已知函数，． (1)求函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）由已知，，， 当时，， 令的图象开口向下，且， 所以时，，即，则在上单调递增， 时，，即，则在上单调递减； 当时，，则， 所以时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减； 当时，的图象开口向上，且， 或时，，即， 则在，上单调递增， 时，，即， 则在上单调递减． 当时，的图象开口向上，且且不恒为0， 此时，即，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； （2）在上单调递减， 时，恒成立，即恒成立， ，而， ，， ， ，故a的取值范围是． 4．（2026·北京顺义·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在给定点的切线斜率列方程求解即得； （2）将函数求导后，根据参数的取值进行分类，判断导函数的符号，即可确定函数的单调性； （3）由（2）的结论分析得，易得，设，则有，计算并化简得，设，求导分析其单调性可得，再由，利用函数单调性即可求得答案. 【详解】（1）由求导得， 依题意，，解得 （2）因函数的定义域为， ， 当时，，当时，，当时，， 即此时函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减； 若，由解得， 由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）分析可知，存在两个极值点，则 此时是方程的两个实根，则. 由 ， 设，则，将代入，化简得，， 则，， 设，则，故函数在上单调递增， 由题意，，且，即有，故可得， 又因，函数在上单调递增，故， 又因，故得. 题型09 含参函数的单调性（导数含指数型） 此类题型解题步骤为： 1.求导并提取恒正因子：对原函数求导，利用指数（或）的性质，将导函数变形为“恒正因子代数式”的形式，此时的符合完全由代数式决定； 2.分类讨论参数：根据代数式的类型（一次、二次等）及参数的取值进行讨论：①参数影响最高次项系数；②参数影响判别式或根的存在性；③参数影响根的大小或位置； 3.确定单调性。 1．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 【详解】（1）当时，，所以，即切点坐标为， 又因为，所以， 所以切线方程为，即. （2）因为， 所以当时，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 2．（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，在和上递增，在上递减；当时，在上递增；当时，在和上递增，在上递减． 【详解】（1）由，知 ， 所以当时，有，， 故曲线在处的切线经过，且斜率为， 所以其方程为，即． （2）当时，对有， 对，有，故在和上递增，在（）上递减； 当时，对，有，故在上递增； 当时，对，有， 对，有，故在和上递增，在上递减． 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减． 3．已知函数．若，讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【详解】因为，定义域为， 所以， 当时，令，得，． （ⅰ）若，即， 则当或时，， 当时，， 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅱ）若，即时， 则当或时，； 当时，； 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅲ）若，即时，，在上单调递增． 综上所述，当时， 的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，函数无严格单调区间；当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 【详解】（1）当时，，则， 由切线方程为，则，即，解得， 所以，则切点坐标为， 代入切线方程得，则． （2）由，则， 若，则为常数函数，无严格单调区间； 若，当时，解得；当时，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 若，当时，解得；当时，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数．（其中常数，是自然对数的底数．），讨论函数的单调性； 【答案】当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． 【详解】由，得． ①当时，恒成立，函数在上单调递增； ②当时，由，解得， （ⅰ）当时，，则在单调递增； （ⅱ）当时，，则在单调递减； 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 6．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，易知的定义域为， ，又恒成立， 当时，，当时，， 所以是的极小值点，极小值为，无极大值. （2）的定义域为，, 当时，恒成立，当时，，当时，， 当，由，得到或， 若时，，时，，时，， 若时，，此时恒成立，当且仅当时取等号， 若时，，时，，时，， 综上所述，当时，的减区间为，增区间为， 当时，的减区间为，增区间为， 当时，的增区间为， 当时，的减区间为，增区间为. 7．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2) 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间上单调递减；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增. 【详解】（1）当时，，所以， 由，得， 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； （2）因为函数， 所以， （ⅰ）当时，若，则， 若，则， 若，则， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， （ⅱ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， （ⅲ）当时，，所以函数在区间上单调递减， （ⅳ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增. 题型10 含参函数的单调性（导数含对数型） 此类题型核心在于求导后分析导函数的符合，并依据参数取值对定义域、导函数零点存在性及零点大小关系进行分类讨论。解题步骤为： 1.确定定义域与求导：首先必须确保真数部分恒大于0，对函数求导，将导函数通分或变形，使其分子或关键部分成为含参的代数式； 2.分析分子函数的零点：令分子，解出含参数的根，关键在于讨论参数对根的存在性欲定义域边界的位置关系的影响（若参数使得方程无解或根不在定义域内，则导数在定义域内符号恒定，函数单调；若参数使得方程有解且根在定义域内，则需以该根为界划分区间）； 3.分类讨论参数取值。 1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若，，求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间是，递减区间是（其中是的唯一零点）. 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线与轴平行， 得，， 此时，直线方程为，该直线与轴平行，符合题意， 所以. （2）当时，的定义域为， 求导得， 函数在上都递减， 则函数在上递减， 而， 因此存在，使得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是（其中是的唯一零点）. 2．（25-26高三·天津·二轮复习）已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1);(2)答案见解析 【详解】（1）当时，，定义域为 ，则， 又， 则切线的斜率， 所求切线方程为，即． （2）函数的定义域为， ． ①当时， ，在上单调递增． ②当时， 令，即，解得：， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． ③当时， 令，解得， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． 综上可得， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 3．（25-26高二下·全国·期中）已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性. 【答案】(1);(2)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 若，则，得到或（舍），所以， 所以的零点为. （2）若，，函数的定义域为， 所以，令，得或， 即或， ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 4．（25-26高三上·江西吉安·期末）已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 【答案】(1) (2) 当时，函数在上单调递增； 当时，函数的单调增区间为，减区间为. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 故切线方程为， 即. （2）易知， 所以， ①若，则，，此时在上单调递增； ②若，则， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数的单调增区间为，减区间为. 题型11 含参函数的单调性（导数含三角函数型） 此类题型核心在于三角函数的周期性、有界性以及参数与三角项的耦合。解题策略为： 1.利用三角函数的有界性简化讨论：当导函数中参数项与三角项分离时，可利用这一性质判断导函数的恒正或恒负情况； 2.二阶导数法（二次求导）：当一阶导数含有三角函数且无法直接解出的根，或难以判断其正负时，常采用二阶导数来研究一阶导数的单调性； 3.分级与迭代分类讨论：当参数与三角函数深度耦合，需确立分类主线：①一参数为主；②以特殊点为辅； 1．（2026·辽宁朝阳·二模）已知． (1)讨论在的单调性； (2)求的值域． 【答案】(1)在、上单调递减，在上单调递增 (2) 【详解】（1）， 由，则恒成立， 令，且，解得或， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增； （2）， 故为的周期，则在上的值域与在上的值域相同， 由（1）知，在、上单调递减，在上单调递增， 又， ， ， 故的值域为. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； 【答案】(1);(2)在上单调递增 【详解】（1）求导可得 则，， 所求切线方程为，即 （2）求导可得 （a）当时，，则，在单调递增 （b）当时，，则，在单调递增 （c）当时，设， 则，由于均在上单调递增，故在上单调递增， ， 则存在使得满足 则，单调递减，则，单调递增， 又， 所以，则，在单调递增； 综上所述：在上单调递增. 3．（2026·湖南怀化·二模）已知函数． (1)设． ①求曲线在点处的切线方程； ②求在上的最小值． (2)若在上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1)①；②；(2)． 【详解】（1）当时，，． ①因为，， 所以曲线在点处的切线方程为． ②令，则． 当时，，，且两个等号不能同时成立， 所以，在上单调递减． 又，，所以存在，使得． 当时，；当时，． 在上单调递增，在上单调递减． 又，，， 所以在上的最小值为． （2）． 令，则， ． 若，即，则存在，使得当时，， 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，即在上单调递增，不符合题意． 若，即，则当时，，，两个等号不能同时成立， 所以当时，． 当时，，， 所以，在上单调递减． 因为，所以当时，， 所以当时，，在上单调递减，符合题意． 综上，的取值范围为． 题型12 含参函数的极值、最值 求含参函数的极值解题步骤为： 1.确定定义域与求导：首先明确原函数的定义域，然后求出，将导函数通分或因式分解，找出的根和不可导点； 2.分类讨论参数：根据导函数的结构（如一次、二次、指数、对数型），对参数进行分类讨论； 3.列表分析与结论：针对每一种情况，列出，，的变化表，求出极值。 求含参函数最值的步骤： 1. 先求极值：按照上述步骤求出函数在区间内的所有极值点及其对应的极值。 2. 计算端点值：计算区间端点的函数值 3. 比较得最值：将有效的极值与端点值进行比较。 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)求在区间上的最小值． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)当时，；当时，；当时，． 【详解】（1）因为时，， 所以， 令，解得， 所以时，；时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2），令，解得， ①当，即时， 在上单调递增；所以； ②当，即时， 对于，，故在上单调递增， 所以； ③当，即时， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增， 若，即，则在上单调递减，所以； 若，即，则在上单调递减，上单调递增， 所以； 综上：当时，； 当时，； 当时，． 2．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意可得：的定义域是，且， 令，则或, ①当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②当时，因为，所以在上单调递增， ③当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，由（1）可得：在上单调递减， 所以，①当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为， ②当时，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为． 综上，． 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对任意的，，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为；(2). 【详解】（1）的定义域为，， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为， 由， ，所以在上的最大值为， 所以对任意的，, 故a的取值范围是． 4．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在上的最小值为，求. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2) 【详解】（1）函数的定义域为，     当时，在恒成立，在上单调递增；     当时，由得，由，得， 所以在上单调递减；在上单调递增     综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则，由题意得， 解得，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递增，则，由题意得， 解得，与矛盾，舍去；     当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 由题意得，解得，符合，所以.     当时，在上单调递减，则，由题意得， 解得，与矛盾，舍去.     综上可得，实数的值为. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)设，求在区间上的值域，其中是自然对数的底数． 【答案】(1)当时， 在上单调递增． 当时，在上单调递增；在上单调递减；(2) 【详解】（1）的定义域是，导函数． 设，二次方程的判别式． ①当即时，对一切都有，此时在上单调递增． ②当即时，仅对有，对其余的都有，此时在上的单调递增． ③当即时，方程有两个不同的实根，，． x + 0 - 0 + 单调递增↗ 极大 单调递减↘ 极小 单调递增↗ 此时在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增． （2）当时，方程有两个不同的实根，． 由（1）知，在内，当时取得极值， ，，． 因为， 所以在区间上的值域为． 6．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减． (2)当时，最大值为；当时，最大值为2 【详解】（1）因为，所以， 令，解得或， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，所以当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，所以当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为和中的较大者， 因为，， 解，得，解，得， 所以当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为； 综上，当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为2． 7．（2026·河南·三模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对任意的，，，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为；(2) 【详解】（1）函数的定义域为，对求导得 ， 由于恒成立，因此的符号由决定. 当或时，，即； 当时，，，则，即. 因此，的递增区间为和，递减区间为. （2）对任意，等价于. 由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，因此 最小值； 端点值，， 因此最大值. 因此，即的取值范围为. 8．（25-26高二下·江西萍乡·期中）设函数． (1)当时，求的最小值； (2)求在上的极值． 【答案】(1)；(2)当时，函数无极值；当时，的极小值为，无极大值. 【详解】（1）当时，函数，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，取得最小值，最小值为. （2）由函数，可得， 令，即，解得， 若，即时，，在上单调递增，无极值； 若时，即时， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，取得极小值，无极大值. 综上可得，当时，函数无极值；当时，的极小值为，无极大值. 9．（25-26高二下·上海奉贤·阶段检测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在内的最大值为2，求的值. 【答案】(1)当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在和上单调递增. (2) 【详解】（1）函数的定义域为. 则， 令，解得或. 若，即，则 当或时，；当时，. 所以在上单调递减，在和上单调递增； 若，即，则恒成立， 所以在区间上单调递增； 当，即，则 当或时，；当时，. 所以在区间上单调递减，在和上单调递增. 综上所述，若，则在上单调递减，在和上单调递增； 若，则在上单调递增； 若，则在上单调递减，在和上单调递增. （2）由（1）知，当时，在上单调递增，则，解得， 与矛盾，舍去； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. 令，则恒成立， 所以在上单调递减. 又，故. 综上所述， 10．（2026·福建宁德·模拟预测）已知函数． (1)已知曲线在处的切线方程为，求和的值； (2)求证：不是函数的极值点； (3)设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，；(2)答案见解析；(3)存在， 【详解】（1），由题意， 解得，，解得． （2），且， ①当时，，令，求导得， 时，，单调递减；时，，单调递增； 故在处取得最小值，即恒成立， 因此不是极值点； ②当时，，不可能是极值点； 综上，不是函数的极值点． （3），，求导， ①，此时恒成立，在上单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； ②，即，此时在上为负，单调递减； 在上为正，单调递增， 最小值在处，即， 令，得，满足，成立； ③，即此时在上恒成立，单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； 综上，存在，使得在上的最小值为2． 11．（26-27高三·全国·一轮复习）设，． (1)若，讨论的单调性； (2)若，求的最大值（用表示）． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；(2) 【分析】（1）对求导后分析导数符号即可得的单调性； （2）法一：将的解析式变为，令，通过分析单调性得到使得，再利用得到，且可在处取得等号，从而最大值即为，也可以通过分析的单调性，得到其只有一个零点，进而得到在取得最大值并结合求出最大值表达式；法二：直接求导，构造函数，通过导数，确定其函数值符号，得到单调性，确定极值，再通过同构得到，进而结合单调性可求解. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，则. 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，即； 当时，，即， 故在上单调递增，在上单调递减． （2）解法一：， 令，若，则在上单调递增， 又时，；当时，， 所以，使得，接下来证明一个不等式： 设，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值也即最小值， 所以恒成立，当且仅当时等号成立， 于是有（当且仅当时等号成立）， 所以，时等号成立， 所以． 解法二：， 令， 若，则，在上单调递减， 又时，，， 所以在上存在唯一的()使得， 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，且有， 即，变形得. 设，则，在上单调递增， 又，所以，得， 故． 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难专题02 函数的单调性、极值和最值中的含参问题 题型脑图重难考法归纳 题型1根据函数的单调性求参数范围 题型7含参函数的单调性（导数二次函数可分解型） 题型2根据函数存在单调性求参数范围 题型8含参函数的单调性（导数二次函数不可分解型） 题型3根据函数在区间上不单调求参数范用 题型9含参函数的单调性（导数含指数型） 函数性质中的含参问题 题型4根据函数存在极值（最值）求范围 题型10含参函数的单调性（导数含对数型） 题型根据函数极值点个数求参数范围 题型11含参函数的单调性（导数含三角函数型） 题型6含参函数的单调性（导数一次函数型） 题型12求含参函数的极值、最值 考法深研•解题技能通关 题型01根据函数的单调性求参数范围 点 方法技巧 此类题目核心思路是把“函数的单调性”转化为“导数符合恒成立”问题，再通过分离参数，求最值等 方程求参数的范围。 转化方法：若单调递增，转化为'()≥0在区间上恒成立： 若单调递减，，转化为∫'()≤0在区间上恒成立。 1.(2627商三上湖北变阳阶段检)若西数了四=r+低+号为其定义域上的增函数，则实数，的取 值范围是() A.0+o) B.(0,+∞) c.【-2,+o) D.(-2,+o) (2026江西九江模拟视测)已知商数儿)心-在区同@+上草调省，则安数“的取位范国 2. 是() 1/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a（g[民r c.（-∞，0] D.[0,+o) (1,4 3.(2026:四川雅安二模)若函数f(x)=m©+血x在区间(4上单调递增，则实数m的取值范围是 () A.[e3,o∞) c.（-w,] D.(-o, 包2026河北保定二)若函数了网2hx+m2在区间。上单调速，测实数a的取值服 () A[e,+w）B(e,tw） c（+。[+ 5.(2525高二下-江苏南通期肿)若函数f()--ac+c0ar在0，可上单调递增，则0的取值范围是 () c.（-o,0) 。（引 6、（2026陕西西安模拟预测)已知函数f(=g f(x_f(<0 ,若对任意的0<x<x2,都有x2 则实数a的取值范围是() B.(-o,e] 7.（2526高三上广东深圳阶段检测)已知面数/()=c-血+“在区问2)上单调递增，则“的最 小值为 2/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型02 根据函数存在单调区间求参数范围 点方法技巧 此类题目核心思路是把“函数的单调性”转化为“导数符号有解”问题，再通过分离参数，求最值等方 程求参数的范围。 转化方法：若存在单调递增区间，转化为∫'()>0在区间上有解： 若存在单调递减区间，，转化为∫'()<0在区间上有解。 1.(2627高三全国一轮复习》已知两数f()-4r-+匹在，4上存在单调递减区间，则0的取 值范围为() A.（∞，4) B.（-0,4] c.（-o,5) D.（-0,5] 2.(25-26高二下福建漳州期末)若函数f(y)=m-1nx在区间2)上存在减区间，则实数a的范围是 () A.（-0,2] D.(-0,2) 3.(2526高二下天津阶段检测)函数f(冈-=hx+-4在[，c]上存在单调递增区间，则a的取 值范围是() c.(0,+o) 。+ 26有三下江西赣州期末)若函数网户血x+:子在区同22内存在能调 a的取值范围是() c.（∞，22] 3/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2526商二下河南郑州期末)己知两数()了式-2+m+1,若西数在区间[L,3]上存在单调递减 区间，则实数m的范围是 反（262”高三全国一轮复习)已知函数f)=(a-血r(aeR) a当a=0时，求()在L0》处的切线方程： 2若函数( 存在单调递增区间，求实数“的取值范围。 7.(25-26高二下河北期末)已知函数f()=a丘-nx,a>0,8(=()+8 a若☒)在1处取得极值，求a的值： 2若8()在L,+四)上单调递增，求a的取值范围； 旧若8(~在2,4刊上存在单调递减区间，求口的取值范同。 题型03 根据函数在区间上不单调性求参数范围 点方法技巧 函数在区间上不单调，即函数在该区间内既有增又有减，即存在极值点，等价于其导函数在该区间上存 在变号零点（即导数为0且两侧符合相反）。解题步骤： 1求导分析：求导数∫'()： 2转化条件：函数在区间上不单调台∫'()=0在该区间内有实根，且该根不是重根（或导函数在根的 两侧异号)； 3.求解参数：方法有①直接法；②分离参数法；③补集法。 1,2) 1.(25-26高二下·北京西城期末)若函数 (x)=x3+ax2-6x+5 在区间 上不是单调函数，则实数“的 取值范围是() 33 A.(0,3) B D.（22 4/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2526商=下-全国期中)已知函数/（闭=2c心+a(x-),aeR,若f(因在仁山上不单调，则a的 取值范围为() A民2 n.2e 。.2 3.(25-26高三下安徽开学考试)若函数f()=e“-si血x在2)内不单调，则实数a的取值范围为 () A（-1,0) B.(0,) 。制 4药有=下游t黄网E中)齐西数内=。-2m》月不年用.则安数a的位高为 () A.（-2,0) B.（-2,1) C.1,2) D.(0,2) 5,（25-26高二下湖北襄阳期末)己知函数()=c-2sinx a当a=1时，求~在0，fo》处的切线方程. 2)若函数(x)在，2内不单调，求实数a的取值范国 6.(2026·云南玉溪模拟预测)已知函数f(x)=x-ax(aeR), ④若x=2为函数的极值点，求“的值， 2)若(x 在定义域上不单调，求“的取值范围. 5/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.（2026安徽模拟预测)已知函数(=(2x-1e21-2m (1)若曲线y=∫(x)在x=2处的切线1与y轴垂直，求f(x)的单调区间： 2若函数（冈在Q)上不单调，求实数m的取值范围。 题型04 根据函数存在极值（最值）求参数范围 点方法技巧 此类题型核心是将极值或最值的存在性转化为导数性质或方程根的问题。解题策略为： 1,极值存在性转化：若函数f()在某区间内存在极值，即f'()=0在该区间内有编号零点，即 ∫'()=0有解，且该解两侧导数异号： 2.最值求解与比较：若函数在区间【口，b]上存在最值，需先求出函数在区间内的所有临界点（导数为0 或导数不存在的点)，计算这些点的函数值，并与区间端点f(,f(b)的函数值进行比较。 3.分离参数法：当参数易于分离时，可将方程变形化为a=8()的形式，此时，函数存在极值或最值的 问题转化为函数()的值域问题。 1.(2627高三全国一轮复习)若函数f=r-2血x+1在其定义域内的一个子集(a-l,a+》内存在极 值，则实数a的取值范围为() 2,(25-26高=下江苏南通阶段检测)若函数f闭2r-6 “在区间a,四存在最大值，则“的取值范国为 () A.(+o) B [1,+) c.(1,2] D.(2) 3.(2526高二下河北石家庄阶段检测若函数)=-3“在区间-m2刚存在最大值与最小值，则 6/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 实数L的取值范围为() 4.0,21 B.0,2] c.0,v D.(V2,2) 4,(2026江苏南京模拟预测)若函数f)=3r+”在区间(a-4,a)内存在最小值，则实数a可以取 () A.0 B.2 C.4 D.6 5.(2026四川成都三模)若西数f()--2-m(m+2)x+1在区间（-7,7)上有最大值，则正整数m 3 的值有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 225高三金国专题练习)任意实救4e2.函影3四)=×+2+在a,3上有最值， 数m的取值范围为() 7.(2026广西模拟预测)已知f()=r-(m+3)x+2mhx,meR· 3 国若f0=0,求不等式)sr-1日 的解集； 日若函数=满足在0)上存在极大值，求m的取值范围。 8.（2026江西模拟预测)已知函数/(=x-血r+a2 a时论()的单调性： 存在最小值，且最小值小于2，求“的取值范围. 题型05 根据函数极值点个数求参数范围 点方法技巧 7/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此类题目的核心是将问题转化为导函数变号零点的个数问题。解题步骤： 1,求导转化：求导数∫'(：)，题目已知极值点个数等价于∫'()=0在定义域内有相应个数的变号零点： 2分离参数：通常将∫'()=0变形为a=g()的形式，转化为求函数8()的值域或图象交点问题： 3.数形结合：画出函数8()的图象，分析其单调性、极值以及端点趋势。参数a的范围对应于直线 y=a与曲线y=g(x)产生指定个数交点时的纵坐标范围。 1. (2026河南周口模拟预测)已知函数/()=abr-ha 有两个极值点，则实数b 的取值范围为 ( 2. (2026山东威海一候)已知函数f)-弓+ahx-匹有两个极值点，则，的取值范周是 3.(2026:山东潍坊一模)若函数f(x)=x+?-】 +x2有两个极值，则实数。的取值范围为. 4。(2026云南昭通模拟预测)已如函数(：=3（血+2“有2个极值，则a的取值范围是 5(2026河北三模)已知西数f()=血xm十”一有两个极值点，则安数m的取值范围是 6. (2026内蒙古鄂尔多斯模)已知两数f儿)=xhx-r2-x恰有1个极值点，则实致，的取值范国 12 7.(2026湖南长沙三模)函数f(=xr血x-r-,aeR。 国a=1时，求（四在x=l处的切线方程： 2若()有两个极值点，求“的取值范围。 8/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26高三下·辽宁抚顺阶段检测)已知函数 ()c) 当=1时，求f冈的最值， ②若函数8()=/八)+x-有三个极值点，求实数“的取值范围 9。(25-26高三下重庆开学考试)已知函数f)=血x+出 (若曲线'=/（在点ef(e》处的切线与曲线y=c在点：e） 处的切线垂直，求： 2)若函数()f(x)+am 有两个极值点，求“的取值范围。 题型06 含参函数的单调性（导数为一次函数型） 点方法技巧 此类题型的解题步骤： 1.确定定义域与求导：首先明确原函数的定义域，对函数求导，将导函数整理为通分形式，分离出恒正 的分母（无效部分）和含参数的分子（有效部分），导数的正负完全由分子（一次函数结构）决定。 2.分类讨论参数取值：根据一次项是否为0，以及根是否在定义域内，分情况讨论； 3.综合结论。 1.(2026高二全国专题练习)已知函数f(x)=2hx-a (1)若a=1,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)讨论(x)的单调性； 2.(2026高三全国专题练习)已知f)-h(+)+-)n≠0,1eR,时论f(冈的单调性， 3。(25-26高二下四川成都期中)已知函数f四)=血x-m(a∈R) (1)当a=2时，求f(x)的极值： 9/19 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 包当>0时，讨论两数)在区间L2习上的单调性及最小值。 题型07含参函数的单调性（导数为二次函数可分解型） 点方法技巧 此类题的核心在于通过求导得到二次型导函数，利用因式分解确定零点，并根据参数对两根大小及定 义域的影响进行分类。解题步骤： 1.求导与分离：首先确定原函数的定义域，求出导函数∫'(0。若导函数为二次型且分子部分可进行因 式分解（如(x-xx-)形式），则直接令"()=0解得两个根x,x,注意分母通常为正，单调性 由分子符号决定： 2确定分类分界点：由于参数的存在，两根，x2的大小不确定，需令七=七，解出参数的临界值。该 临界值即为分类讨论的分界线： 3.分类讨论单调性：结合二次项系数与两根的大小，在定义域内判断导函数的正负： 4综合结论。 1.已知函数f()=写r+2-3dx+l(aeR).若a≤0，试讨论函数f()的单调性. 2,己知函数f()=am-3x2+1-3 a 田若函数因在点0》处的切线斜率为2，求实数a的值： 2讨论()】 的单调性。 f(x) 3.(2627高三全国一轮复习)分别讨论下列函数 的单调性，其中为非零实常数， (1)f(x)=Inx+ax (2f()-jx+dlnx-(a+I)x. 4.(25-26高二下·天津和平期末)已知函数 创-年o0 10/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当a=1 时，求曲 线=f四在x=3 的切线方程： 2求函数() 的单调区间. 5.(2525高=下山东烟台期末)已知西数f()=2-(2a-x-2aeR (1)当a=0时，求过点 ,2)且与曲线 （四相切的直线的方程： a讨论儿闪的单调性， f(x)=x-@x+a 6.(2026江西南昌·二模)已知函数 a当a=-时，求④在c03到上的最大值 2讨论儿)在R上的单调递增区间。 7.(26-27高三·全国一轮复习)已知函数 问-a少+2x4(m-2h,时论8的单调性 8. (2026河北模拟预测)已知函数 =-+h+2Da>0 ax (1)若f:的图象在点，f》处的切线方程为y=x+b,求实数a,b的值： (2)讨论(x)的单调区间. 题型08 含参函数的单调性（导数为二次函数不可分解型） 点方法技巧 此类题型核心思路是通过分析导函数对应二次方程的判别式与二次项系数的符号，结合定义域来确定导 数的正负区间。解题步骤为： 1,求导与变形：首先求∫'()，若∫'()是分式形式，通常通分后提取分母（分母往往恒正），将问题 11/19 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 转化为讨论分子8()（一个含参二次函数）的符号，务必先明确圆函数的的定义域： 2分类讨论：对于分子8()=Ax+Bx+C(A含参数)，按以下逻辑顺序讨论：①二次项系数是否 为零；②判别式的符号：△≤0和△>0。 3.结合定义域写出结论。 1.已知函数f(x)=-x+mlnx+ 讨论f(x)的单调性. 2.(2026云南模拟预测)已知函数)=mr++x+1 四若函数在点L0 处的切线斜率为2，求实数a的值： (2)讨论 (女的单调性. 3。(2526商=下山西太原阶段检测)己知西数)=nx,8()-=m2+2x。 (1)求函数 ()=f()-8(四的单调性： 日若函数)f倒8（冈在到上单调递减，求a的取值范国。 4.(2026-北京顺义一模)已知函数f()=2m+-l,aER 回若曲线'=f)在点仁f》处的切线与直线"=2x+1平行，求“的值； (2)讨论 (父的单调性： 倒老了付存在两个极值点，5K<5),且/(s))>}h2,求o的取值范围 题型09 含参函数的单调性（导数含指数型） 点 方法技巧 此类题型解题步骤为： 12/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.求导并提取恒正因子：对原函数求导f'(),利用指数e>0(或a>0)的性质，将导函数变形为 “恒正因子×代数式”的形式，此时'()的符合完全由代数式决定： 2.分类讨论参数：根据代数式的类型（一次、二次等）及参数的取值进行讨论：①参数影响最高次项 系数；②参数影响判别式或根的存在性；③参数影响根的大小或位置； 3.确定单调性。 1.（25-26高二下天津津南阶段检测)已知函数()=c+(a∈R) 当a=1时，求曲线=f(在点o,f0叨处的切线方程： 2求（田的单调区间。 2.(2526商三下四川绵阳阶段检测)已知函影)=(x-2e-r2+aaeR) ()当a=0 时，求曲线 =f八因在x=0g 处的切线方程： 2当a>0时，求函数（四的单调区间。 3.已知函数 f(x)=xe2-ax2-ax 若a>0,讨论④的草调性： 4(25-26高三全国一轮复习)已知函数f)e-w】 四当时，由线-儿因的条切线方程为=+6 ,求实数的值； 2求函数()的单调区间。」 5.(25-26高三·全国一轮复习)已知函数 f(x)=ae*+2x-1 (其中常数=2.71828…，是自然对数的 底数.)，讨论函数() 的单调性； 6.(25-26高二下贵州毕节期中)已知函数f(:)=(x-2)c+x2-m+ 21 (1)当a=1时，求 f(x) 的极值： 13/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2时论函数 的单调性 f(x)=ae2+2(1-a)e-2x 7.(25-26高二下河南郑州期中)已知函 ()若a=1, 求函数f( 的极值： ②刨讨论 的单调性. （-∞，0) 0 (0,+o) f'(x) 0 f() 单调递减 极小值0) 单调递增 题型10 含参函数的单调性（导数含对数型） 点方法技巧 此类题型核心在于求导后分析导函数的符合，并依据参数取值对定义域、导函数零点存在性及零点大小 关系进行分类讨论。解题步骤为： 1.确定定义域与求导：首先必须确保真数部分恒大于0，对函数求导，将导函数通分或变形，使其分子 或关键部分成为含参的代数式： 2分析分子函数的零点：令分子g(田)=0，解出含参数的根，关键在于讨论参数对根的存在性欲定 义域边界的位置关系的影响（若参数使得方程无解或根不在定义域内，则导数在定义域内符号恒定，函 数单调；若参数使得方程有解且根在定义域内，则需以该根为界划分区间)； 3.分类讨论参数取值。 1. （2026河北秦皇岛模拟预测)已知函数f)=ahx+nx-3 x 2x (1)若曲线y=f(,在点(L,f)》处的切线与x轴平行，求实数a的值： 2考8=-e,a<0,求8 的单调区间 2.(25-26高三天津二轮复习)已知f(✉=x+x-lnx(a∈R) 14/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当a=2时，求f(在点(ef(e》 处的切线方程： (2)讨论 f() 的单调性。 3.(25-26高二下全国期中)已知函数 f(x)=aln2x-xInx+x 国若a=0,求/的要点： 2若a>0,讨论()的单调性， 4,（25-26高三上江西吉安期末)已知函数f(=(2+m)h(1+x刘-2x(aeR) 但若口=0，求函数因在点0)处的切线方程， 2若a>0,设函数()的导函数为8（四），讨论8（四的单调性 题型11含参函数的单调性（导数含三角函数型） 点 方法技巧 此类题型核心在于三角函数的周期性、有界性以及参数与三角项的耦合。解题策略为： 1.利用三角函数的有界性简化讨论：当导函数中参数项与三角项分离时，可利用这一性质判断导函数的 恒正或恒负情况； 2二阶导数法（二次求导）：当一阶导数含有三角函数且无法直接解出∫'()=0的根，或难以判断其 正负时，常采用二阶导数来研究一阶导数的单调性； 3分级与迭代分类讨论：当参数与三角函数深度耦合，需确立分类主线：①一参数为主；②以特殊点为 辅： 1. （2026:辽宁朝阳二模)已知/()=2sin2x-sinx a时论（在D.2的单调性： 的值域。 15/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026高三·全国专题练习)已知函数 f(x)=Inx-sinx+1 ①求曲线=女在点2八2处的切线方程 a讨论儿闪在x∈(0，刊上的单调性： 3.(2026~湖南怀化二模)已知函数f()=xsinx+acosx, (1)设a=-2. ①求曲线少=f田在点(0f(0) 处的切线方程： ②求f)在2上的最小值. ②若四在Q,可上单调递减，求“的取值范围。 题型12含参函数的极值、最值 点方法技巧 求含参函数的极值解题步骤为： 1,确定定义域与求导：首先明确原函数的定义域，然后求出()，将导函数通分或因式分解，找出 ∫'(x)=0的根和不可导点： 2.分类讨论参数：根据导函数的结构（如一次、二次、指数、对数型），对参数进行分类讨论； 3.列表分析与结论：针对每一种情况，列出x,'(),)的变化表，求出极值。 求含参函数最值的步骤： 1,先求极值：按照上述步骤求出函数在区间(a,b)内的所有极值点及其对应的极值。 2.计算端点值：计算区间端点的函数值f(a),f(b) 16/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.比较得最值：将有效的极值与端点值进行比较。 1.(25-26高二下·湖南长沙期中)已知函数 f(x)=2x+3ax2+1(aER). 当a=时，求( 的单调区间： 2求因在区同0,2习列上的最小值。 2.(2525高=下货州黔南阶段检)已知西数f)=nx+分r-(a+(aeR). (1)讨论f(x)的单调性： (2)当a>1时，求f)在，e]上的最小值. 3.(2026湖北武汉模拟预测)已知函数/)e x. 但求/（因的单调区间； (2)若对任意的 22])f5a,求a的原位范围。 4.(2026:福建泉州模拟预测)已知函数f(x)=lx+-1. 国讨论（的单调性， 2若f()在d上的最小值为2，求a. ，.(2026有三全银专超练习己知睡数0)=x-子+1-anx,0>0 x (1)讨论f(x)的单调性； a设a=3,求f)在区间c]上的值城，其中e=271828是自然对数的底数。 17/19 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (0x) x (x2) X2 (x2,+o0) f'(x) 0 0 + f(x) 单调递增刀 极大 单调递减 极小 单调递增刀 f(x)=x3-3ax2+2 6.(25-26高二下·河北承德·期末)已知函 a∈R 时论函数：的单调性： 2)若a>0,求函数 (在区同，2列上的最大值 7.(2026河南·三模)已知函数 () -Y (1)求(x)的单调区间： 2)若对任意的出， e]./)-f5a,求a取值范图. (x)=(x-k)e*+1 8.(25-26高二下·江西萍乡·期中)设函数 (1)当k=0时，求f()的最小值： (2)求f()在x∈(0，+oo)上的极值. 9,(25-26高二下上海奉贤阶段检测)已知函数f()=c--(a+1)hxa>0). 国讨论（☒的单调性， 包若冈在01内的最大值为2，求“的值。 10,(2026福建宁德模拟预)已知函数)-x2-nx+b(abeR)。 18/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 国已知曲线f四在0)处的切线方程为”=3，求“和5的值： (2)求证：x=1不是函数 (x) 的极值点； 倒设8()=().xe(0,e 是否存在0，使得函数8() 的最小值为2？若存在，求出“的值；若不存 在，说明理由. 12627高三全国一轮复习）设f)=r+-e,aER 四若“=0，讨论f冈的单调性： 2)若a≥0，求f( 的最大值（用“表示）. 19/19