重难专题01 集合与常用逻辑用语中的分类讨论（九种题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦集合与常用逻辑用语中的分类讨论重难专题，涵盖元素归属、互异性、元素个数、空集、方程不等式系数、不等式解、命题真假、新定义运算及逻辑链条分析九大题型，构建系统复习框架。 清单采用题型脑图归纳重难考法，结合考法深研与解题技能通关设计，如空集讨论标注易错点提示，新定义题型配逻辑链条分析示例，培养学生数学思维与表达能力。例题覆盖不同难度层次，助力学生自主梳理分类讨论逻辑，教师可据此精准指导复习，提升备考效率。

重难专题01 集合与常用逻辑用语中的分类讨论 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 元素归属的讨论 此类题目核心在于判断一个对象是否属于某个集合。题目往往涉及以下方面：1.元素使两个集合的运算结果，需推导其结果是否满足目标集合的特征；2.验证元素代入集合描述条件后，参数是否符合要求的取值，注意集合元素的互异性，确保求出的参数值不导致集合中出现重复元素。 1．（2026·吉林白山·二模）设集合，若，则（   ） A．-3 B． C．1 D．3 2．（2026·新疆·模拟预测）已知、，集合，，若，则（    ） A． B． C．或 D． 3．（2026·江苏·一模）设集合，，若含有4个元素，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山西太原·阶段检测）已知非空集合满足：当时，有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三下·重庆·竞赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 9．（25-26高二上·浙江宁波·开学考试）已知集合，，，是的子集，且，则的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 11．（2026·河南许昌·三模）已知，，，，若且，则____________． 12．（2026·安徽合肥·一模）已知集合，，同时满足，，则___________． 题型02 元素互异性的讨论 此类题目主要体现在以下几个方面： 1. 参数求解后续验证； 2. 集合相等时元素对应； 3. 方程根作为集合的元素时，需确保方程无重根或重根已被合并。 13．（2026·河北邯郸·二模）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D． 14．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 15．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·河北邢台·阶段检测）已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 17．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 18．（24-25高一上·广西南宁·阶段检测）已知集合，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2026·山东烟台·二模）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 20．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 21．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为______________． 22．（24-25高三上·辽宁·期末）已知集合，，若是的子集，则实数的值为______. 23．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 题型03 集合中元素个数的讨论 此类题目主要体现在： 1. 已知集合的包含关系，但集合的元素个数不确定； 2. 集合中包含未知数或参数，但元素个数不确定。 24．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 25．（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 26．（2026·北京朝阳·一模）已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（   ） A．50 B．51 C．52 D．53 27．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若集合中恰有两个元素，则所有满足条件的实数的和为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）若集合满足 ，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）已知集合，从其所有子集中依次等可能地选取两个不同子集， ，记事件 为“是 的真子集”，事件为“子集 中恰有2个元素”，则（     ） A． B． C． D． 30．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 31．（2026·山西忻州·模拟预测）设在上的最小值为0，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 题型04 空集的讨论 此类题目主要体现在以下几个方面： 1. 子集与包含关系的判断：空间是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。在判断集合间的包含关系（如）或求解参数范围时，必须优先考虑集合是否为空集的情况，否则容易漏解。例如当已知时，若为空集，该关系依然成立； 2. 含参数集合的解集讨论：在涉及含参的方程或不等式解集时，参数的取值可能导致方程无解或不等式无解，此时集合即为空集。 33．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，则下列结论正确的是（   ） A．存在，使得 B．当时， C．当时， D．对任意的，都有 35．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 36．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，． (1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求； (2)若，求实数的取值范围． 37．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知集合. (1)设的取值集合为，若，求集合； (2)当时，若，求实数的取值范围. 38．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 39．（25-26高一上·黑龙江·期中）已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 40．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知函数的定义域为，集合. (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围 41．（2025·河南信阳·模拟预测）已知集合，集合． (1)若存在，使得，求的取值范围 (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 题型05 对方程（不等式）最高次项系数的讨论 此类题目核心在于：判断方程（不等式）最高次项的系数是否为，从而确定代数式次数（一次或二次等），进而决定解集形态及空集的可能性。主要体现在： 1.判定方程（不等式）的类型（降次讨论）：若系数为，最高次项消失（如二次退一次，一次退常数），需按低次模型求解；若系数不为，则保持原次数（如一元二次），按对应高次模型处理。 2.影响解集是否存在（空集判断）：当系数为导致退化为矛盾式（如）时，解集为空集；当系数不为，需结合判别式进一步判断是否有实数解。 3.决定解集区间方向与形式：对于不等式，若二次项系数正负不确定，需讨论符号以决定“大于取两边”还是“小于取中间”；系数符号变化翻转不等号方向，彻底改变解集区间结构。 42．（25-26高二下·江苏·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 44．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 45．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）“，使”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D．或 46．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 47．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 48．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 49．（2026高三·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 50．（24-25高一上·山西·阶段检测）已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 51．（25-26高一上·上海松江·期中）已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 52．（25-26高一上·安徽安庆·期末）已知集合，关于的不等式的解集记为. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型06 不等式解的讨论 此类题目主要体现在以下几个方面： 1.参数范围的分类讨论：当不等式中包含参数时，参数的取值不同会导致解集的形式发生根本变化。 2.特殊解集情况的讨论（空集与非空）：集合的特殊性是讨论的重点，特别是在涉及集合运算（如交集、并集）时。 53．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 54．（2026高三·全国·专题练习）已知条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 55．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）若集合，，且仅有一个整数解，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 56．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 57．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知使关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是_____． 58．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知集合，. (1)若，判断集合与之间的关系； (2)命题“，”为真命题，求的取值范围. 题型07 命题真假的讨论 当题目给出的条件是“若命题和有且仅有一个是真命题”时，需分“真假”和“假真”两种情况讨论。 59．（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段检测）已知命题，命题.若命题为真命题，则实数的取值范围是_____；若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是_____. 60．（25-26高二上·湖南永州·开学考试）已知恒成立，.如果中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为______. 61．（25-26高一上·上海松江·期中）已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 62．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知命题；命题，方程有两个不相等的正实数根． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围． 63．（24-25高一下·湖北·阶段检测）已知命题，，命题，． (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 题型08 集合新定义中新运算规则对元素归属的讨论 此类题目主要体现在以下几个方面： 1.验证封闭性（运算结果是否在几何内）：这是判断新运算是否成立的首要步骤。需讨论任意两个属于该集合的元素，经过新定义的运算后，所得结果是否依然满足集合的特征性质，从而确定结果元素是否归属于原集合； 2.验证三要素（确定性、互异性、无序性）：新运算生成的元素必须严格符合集合元素的这三大特性； 3.分类讨论参数与边界情况：当新运算规则中包含参数或分段定义时，元素归属往往取决于参数的取值范围，讨论需涵盖：①参数变化如何改变元素的满足条件；②特殊值（如0、1、空集情形）代入运算后的归属状态；③是否存在使得集合为空集或无限集的临界条件。 64．（25-26高二下·河南·期末）定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 65．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，若，则满足条件的集合个数为（    ） A．408 B．409 C．410 D．411 66．（2026·北京·三模）对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 67．（25-26高一下·河南·期末）若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 68．（2026·安徽合肥·一模）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 69．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 70．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）设集合，，，，，中，至少有两个元素，且，满足：①对于任意，，若，都有；②对于任意，，若，则．若有4个元素，则有______个元素． 题型09 集合新定义中逻辑链条分析的讨论 此类题目主要体现在以下几个方面： 1. 定义内含的精准解读与转化：新运算规则往往基于陌生的数学情境，逻辑链条的起点在于精准理解新定义的数学内含。这要求将抽象的集合语言转化为具体的函数性质、不等式约束或几何特征。 2. 逻辑推理形式的中应用：在新运算的推导过程中，逻辑链条通常融合了多种推理形式，演绎推理、归纳与类比、反证法与分类讨论等。 3. 结构化知识体系的迁移构建：新运算规则不仅考查即时学习能力，更强调逻辑链条的系统性。它要求打破固化思维，将集合运算与函数、数列、不等式等已有知识模块建立结构化联系。 71．（25-26高三上·上海·阶段检测）设集合中元素均为正整数，且至少有两个元素，若满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则．则关于下面两个命题，说法正确的是（   ） 命题：若S有3个元素，则有4个元素． 命题：若有4个元素，则有7个元素． A．是真命题，是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题 72．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，设整除或整除，令表示集合所含元素的个数，则________． 73．（24-25高二下·江苏苏州·阶段检测）定义：对给定的，，称集合的三个互不相同的子集，，组成的集合，，为一个“三角形”，为三角形的“周长”.当时，周长为2的三角形有______个；当时，周长为5的三角形有______个. 74．（江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题）对于n元由0，1组成的有序数组，定义距离1为两个数组对应位置数字不相同的位置个数；对于非空整数集合M，N，定义距离2为满足M中每个数与N中数的差值的绝对值的最小值、N中每个数与M中数的差值的绝对值的最小值均不超过该数值的最小非负整数. 若有两组0，1数组，另一组中间数组与二者的距离1均为2，则两组原数组的距离1的最大值为_________；若整数集合A，B的距离2为3，B，C的距离2为2，则A，C的距离2的所有可能取值为_________． 75．设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合，，满足如下两个条件，则称为三分集合.①；②，，元素可分别排列为有序数组，及，使得对，均有，特别地，当为三分集合时，称为完美三分数.如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：，； (2)求出大于的最小完美三分数. 76．（2026·北京大兴·三模）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集且，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断是不是规范数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个元规范数集，求证：； (3)当取遍所有2026元规范数集时，求范数的最小值. 注：分别表示数集中的最小数与最大数. 77．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知正实数数列：，对任意的，记，令集合，；记集合． (1)若：1，，，直接写出和； (2)若，且满足，求集合的元素个数的最小可能值； (3)若，证明：集合中至少含有46个元素． 78．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集． (1)判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由） (2)若是的4元好子集，求的最小值； (3)若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件． 79．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知集合.对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义.（约定）． (1)若，，求和； (2)若满足且，求的所有可能结果； (3)是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由． 80．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知含有n个元素的正整数集（）具有性质P：对任意不大于（其中）的正整数k，存在数集A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k． (1)写出，的值； (2)证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”； (3)若，求当n取最小值时的最大值． 81．（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 82．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知集合，其中，，，，都是A的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数（i，，）. (1)若，，，，直接写出所有满足条件的集合； (2)若，且对任意，都有，求m的最大值； (3)若，（，2，，m）且对任意，都有，求m的最大值. 83．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 84．（2026·四川成都·三模）已知是个正整数记，其中，，，． (1)若，，，求的值； (2)若，，，求，，，中的最大数与最小数的和所有可能的集合； (3)若，，，，，是，，，的一个排列．从中随机取出个不同的数，记取出的数中最小元素为．求（用表示）． 85．（25-26高二下·北京·期中）已知是一个行列的数表，其中且，且对任意，都有. 对于且，定义，表示有限集合的元素个数. (1)若，写出的值； (2)当时，若恒成立，求证：； (3)对给定的，设的最大值为，求的最大值和最小值. 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题01 集合与常用逻辑用语中的分类讨论 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 元素归属的讨论 此类题目核心在于判断一个对象是否属于某个集合。题目往往涉及以下方面：1.元素使两个集合的运算结果，需推导其结果是否满足目标集合的特征；2.验证元素代入集合描述条件后，参数是否符合要求的取值，注意集合元素的互异性，确保求出的参数值不导致集合中出现重复元素。 1．（2026·吉林白山·二模）设集合，若，则（   ） A．-3 B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】则，因为 ，所以 ， 所以，解得：或. 当时，，，，不符合条件. 当时，，，，符合条件. 综上，. 2．（2026·新疆·模拟预测）已知、，集合，，若，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】已知集合，，且，所以，即. 若，则，此时，，与矛盾，舍去. 若，则，此时，，符合条件. 综上所述，. 3．（2026·江苏·一模）设集合，，若含有4个元素，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】根据集合元素的互异性可知，，. 因为含有4个元素，所以仅含有1个元素， 若，则或，所以或. 若，则. 结合集合元素的互异性可知或. 当时，，，，符合题意. 当时，，，，不符合题意. 综上，. 4．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 5．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 6．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 7．（25-26高三上·山西太原·阶段检测）已知非空集合满足：当时，有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，由得，符合题意； 当时，，不符合题意， 故实数的取值范围为 故选：C. 8．（2026高三下·重庆·竞赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【答案】5或10 【详解】由集合，得，， 当时，或，则或； 当时，或，则或， 当时，，，有两个元素，不合题意； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为， 所以元素之和为5或10． 9．（25-26高二上·浙江宁波·开学考试）已知集合，，，是的子集，且，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合，则集合的子集个数为个，分别为，，，， 则集合，，所有可能的情况共种. 当时，有以下几种情况： 集合，，中没有元素1，则集合，，只能为或者，共种情况； 集合，，中没有元素2，则集合，，只能为或者，共种情况； 在上述两种情况中，集合，，均为的情况重复，则共有种情况. 因此满足的情况共有种. 当时，有以下几种情况： 集合，，中都有元素1，为了满足，集合，，中至少有一个集合为， 共有种情况； 集合，，中都有元素2，为了满足，集合，，中至少有一个集合为， 共有种情况； 在上述两种情况中，集合，，的情况重复，则时，共有种情况. 因此的情况共有种. 根据古典概型概率公式可得的概率为. 故选：D. 10．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 【答案】 【详解】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 11．（2026·河南许昌·三模）已知，，，，若且，则____________． 【答案】或 【详解】由题意知. 满足,因为. 则必有. 若,联立，两式相加得， 代入得，解得. 若,联立，两式相加得， 代入得,解得. 12．（2026·安徽合肥·一模）已知集合，，同时满足，，则___________． 【答案】或 【详解】设，若，又，故，此时，与已知矛盾， 故，所以，得，所以， 即集合中的元素互为倒数， 因为， 所以存在，使得且，解得， 又因为， 所以或， 若，则，则； 若，则，则. 综上所述，或． 题型02 元素互异性的讨论 此类题目主要体现在以下几个方面： 1. 参数求解后续验证； 2. 集合相等时元素对应； 3. 方程根作为集合的元素时，需确保方程无重根或重根已被合并。 13．（2026·河北邯郸·二模）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D． 【答案】A 【详解】已知，则是的公共元素，且中元素不能重复. 因为，，因此或，解得或. 验证：若，，集合出现重复元素，舍去； 若，，，此时，符合条件. 14．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 15．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，则，故， 要使，只需，若，则，不满足互异性； 若，则或（舍去）， 综上． 故选：C 16．（24-25高一上·河北邢台·阶段检测）已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【详解】因为集合， 若，则或， 解得或， 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去， 故，，符合题意，此时. 故选：A. 17．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 【答案】C 【详解】由题意得， 当时，解得或， 当时，满足要求， 当时，，，，中元素均与互异性矛盾，舍去， 当时，，此时，中元素与互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 18．（24-25高一上·广西南宁·阶段检测）已知集合，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为集合，，又， 所以,解得或. 当时，集合A互异性不成立舍去； 当时，符合题意； 所以. 故选：C. 19．（2026·山东烟台·二模）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． 20．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 【答案】 【详解】因为，所以或，即或， 由集合的互异性知且且，即且，所以． 故答案为：. 21．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为______________． 【答案】3 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 22．（24-25高三上·辽宁·期末）已知集合，，若是的子集，则实数的值为______. 【答案】 【详解】若，则，，这与集合中元素的互异性矛盾，所以， 若，则或（舍去），当时，满足题意， 所以. 23．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 【答案】 【详解】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 题型03 集合中元素个数的讨论 此类题目主要体现在： 1. 已知集合的包含关系，但集合的元素个数不确定； 2. 集合中包含未知数或参数，但元素个数不确定。 24．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 25．（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 【答案】B 【详解】若，则方程只有一个解， 则，得， 所以或，此时， 若，则方程有两相异实数解且是方程的其中一个解， 则，得， 所以方程可化为，则，； 综上，或. 26．（2026·北京朝阳·一模）已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（   ） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】C 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52. 27．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若集合中恰有两个元素，则所有满足条件的实数的和为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由可得函数图象关于直线对称． 因为集合中恰有两个元素， 故或或， 若，则，故， 此时，满足题设要求； 若，则，故， 此时，满足题设要求； 若，则，故， 此时，满足题设要求； 所以所有满足条件的实数的和为． 28．（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）若集合满足 ，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则 ； 若 则 或 ； 若，则或 ； 若，则或 ； 若，则 或 或 或 ； 若，则 或 或 或 ； 若，则 或 或 或 ； 若则 或 或 或 或 ，或或 或 ； 所以集合的不同分拆种数为27. 故选：D 29．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）已知集合，从其所有子集中依次等可能地选取两个不同子集， ，记事件 为“是 的真子集”，事件为“子集 中恰有2个元素”，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】集合共个元素，子集总数为个.题目要求依次选取两个不同子集，因此基本事件总数为. 选项A：事件：恰有个元素，有种选法，从剩余个子集选，共种. 则，A正确； 选项B：因事件表示：有个元素，且是的真子集，则，，故，B错误； 选项C：按的元素个数分类计算满足是真子集的所有情况： 含个元素（空集）：真子集个数为，共种； 含个元素：共个，每个真子集个，共种； 含个元素：共个，每个真子集个，共种； 含个元素：共个，真子集个，共种； 即满足的所有事件数为，因此，C正确； 选项D：，D正确. 30．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 31．（2026·山西忻州·模拟预测）设在上的最小值为0，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】函数． 要求在上的最小值为0． 当时，对称轴在区间左侧，函数在上递增，最小值为，最小值小于，矛盾． 当时，对称轴在区间内，最小值为． 令，得． 当时，对称轴在区间右侧，函数在上递减，最小值为，最小值小于，矛盾． 所以，又，即， 故，元素个数为2． 32．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【详解】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. 题型04 空集的讨论 此类题目主要体现在以下几个方面： 1. 子集与包含关系的判断：空间是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。在判断集合间的包含关系（如）或求解参数范围时，必须优先考虑集合是否为空集的情况，否则容易漏解。例如当已知时，若为空集，该关系依然成立； 2. 含参数集合的解集讨论：在涉及含参的方程或不等式解集时，参数的取值可能导致方程无解或不等式无解，此时集合即为空集。 33．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 34．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，则下列结论正确的是（   ） A．存在，使得 B．当时， C．当时， D．对任意的，都有 【答案】D 【详解】对于A，方程可变形为， 表示直线过定点，且斜率不为0， 所以集合A表示直线上所有的点，则，A错误. 对于B，当时，，， 由，得 ，B错误. 对于C，当时，，满足； 当，即时，直线与平行， ，解得． 综上所述，当时，或，C错误. 对于D，若，则，且直线与重合， ，此时方程组无解，所以，D正确． 35．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 综上，的取值范围为． 36．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，． (1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）选择①，则，所以； 选择②，则，所以； 选择③，则，所以． （2）由，则， 又，所以， （ⅰ）若，即，则，满足题意； （ⅱ）若，即，由，得或，解得或． 综上实数的取值范围为或，即． 37．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知集合. (1)设的取值集合为，若，求集合； (2)当时，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，， 则，解得，则. （2）当时，， 由， 当时，，即，此时，，不满足题意； 当时，，即，此时或， 若，则，解得， 则时，. 综上所述，实数的取值范围为. 38．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 39．（25-26高一上·黑龙江·期中）已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意知， 因为，所以. 若，则， 解得； 若，则，无解； 若，则，解得； 若，则，无解. 综上，的取值范围是. （2）若恰有4个子集，则中恰有2个元素， 又，则关于的方程在内有两个相异的实根， 所以 解得 所以， 所以的取值范围是. 40．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知函数的定义域为，集合. (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围 【答案】(1)，或；(2) 【详解】（1）由，得到，所以， 当时，，则， 又或，所以或. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集， 当，即时，，满足题意， 当时，要使是的真子集，则，解得，所以， 又时，，满足是的真子集， 综上所述，实数的取值范围为. 41．（2025·河南信阳·模拟预测）已知集合，集合． (1)若存在，使得，求的取值范围 (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）集合， 若存在，使得，只需集合在内有解， 即大于在内的最小值， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在内的最小值为， 所以，解得， 所以的范围为； （2）由得，，， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 分类讨论如下： 当，即时，，不符题意； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集， 综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件． 题型05 对方程（不等式）最高次项系数的讨论 此类题目核心在于：判断方程（不等式）最高次项的系数是否为，从而确定代数式次数（一次或二次等），进而决定解集形态及空集的可能性。主要体现在： 1.判定方程（不等式）的类型（降次讨论）：若系数为，最高次项消失（如二次退一次，一次退常数），需按低次模型求解；若系数不为，则保持原次数（如一元二次），按对应高次模型处理。 2.影响解集是否存在（空集判断）：当系数为导致退化为矛盾式（如）时，解集为空集；当系数不为，需结合判别式进一步判断是否有实数解。 3.决定解集区间方向与形式：对于不等式，若二次项系数正负不确定，需讨论符号以决定“大于取两边”还是“小于取中间”；系数符号变化翻转不等号方向，彻底改变解集区间结构。 42．（25-26高二下·江苏·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 43．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 44．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 45．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）“，使”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C 46．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 47．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 48．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题为真命题， 所以不等式的解集为， 若，则不等式可化为，满足题意； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：， 解得，综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 49．（2026高三·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 50．（24-25高一上·山西·阶段检测）已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)当时，集合，当时，集合；(3) 【详解】（1）解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 51．（25-26高一上·上海松江·期中）已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)R. 【详解】（1）因命题：不等式对任意恒成立，而， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 所以实数的取值范围为 （2）若命题为真命题，由，，， ①当，即，，符合； ②当，即或， 当时，，不符合； 当时，，符合； ③当，即或，设方程的两根为. 当时，，所以，，此时，所以不符合题意； 当时，，所以，，此时，所以符合题意； 综上可得，命题为真命题时，. 所以命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为. 所以实数的取值范围为R. 52．（25-26高一上·安徽安庆·期末）已知集合，关于的不等式的解集记为. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，有，整理得，解得或， 所以或，所以，又， 所以； （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 不等式可化为， 若，则不等式即，解得，所以， 满足； 当时，不等式即，解得， 若，则，解得； 当时，不等式即，解得或， 满足； 综上，实数的取值范围为. 题型06 不等式解的讨论 此类题目主要体现在以下几个方面： 1.参数范围的分类讨论：当不等式中包含参数时，参数的取值不同会导致解集的形式发生根本变化。 2.特殊解集情况的讨论（空集与非空）：集合的特殊性是讨论的重点，特别是在涉及集合运算（如交集、并集）时。 53．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得：，∴， 解得：，； 由得：； “”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集， 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，则需满足； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 54．（2026高三·全国·专题练习）已知条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，根据指数函数单调性可得，即. 方程的两根为和. 不等式的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为空集； 当时，解集为. 因为是的充分不必要条件，所以是解集的真子集，仅当解集为时满足条件. 因此满足且，解得，即的取值范围为. 55．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）若集合，，且仅有一个整数解，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解不等式，得或. 解方程，得. ①当，即时，，不等式的解集为空集，不符合题意， 所以； ②当，即时，不等式的解集为， 此时不等式组的解集为，根据题意， 得，即； ③当，即时，不等式的解集为， 要使不等式组的解集中仅有一个整数， 则，即. 综上，的取值范围为，对比选项只有不在范围内. 故选：C. 56．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【答案】或 【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 57．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知使关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】由题意，是不等式成立的一个充分不必要条件， 所以为不等式解集的真子集， 当时，不等式解集为， 因为是的真子集，所以满足题意； 当时，不等式解集为， 因为是的真子集，所以满足题意； 当时，不等式解集为， 要使是的真子集，只需， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 58．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知集合，. (1)若，判断集合与之间的关系； (2)命题“，”为真命题，求的取值范围. 【答案】(1)（也可）；(2) 【详解】（1）若，则可解得集合， 由得，解得，所以集合， 所以集合A与B之间的关系为（也可） （2）因为命题“，”是真命题，则， 当时，，，不满足题意； 当时，，，不满足题意； 当时，，，因为， 所以，解得， 综上，的取值范围为. 题型07 命题真假的讨论 当题目给出的条件是“若命题和有且仅有一个是真命题”时，需分“真假”和“假真”两种情况讨论。 59．（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段检测）已知命题，命题.若命题为真命题，则实数的取值范围是_____；若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】若命题为真命题，则，即； 若命题为真命题，则当时，， 当时，，解得， 又，故，综上可得； 由命题和有且仅有一个是真命题， 则当真假时，； 当假真时，； 故命题和有且仅有一个是真命题时，. 故答案为：；. 60．（25-26高二上·湖南永州·开学考试）已知恒成立，.如果中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】若为真命题，当时，可得恒成立，满足题意， 当时，则有，解得， 综上，当为真命题时，实数满足； 若为真命题，则有，解得， 故当为真命题时，实数满足； 中有且仅有一个为真命题， 当为真命题，为假命题时，实数满足，解得； 当为假命题，为真命题时，实数满足，解得. 综上，当中有且仅有一个为真命题时，实数的取值范围是. 故答案为：. 61．（25-26高一上·上海松江·期中）已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)R. 【详解】（1）因命题：不等式对任意恒成立，而， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 所以实数的取值范围为 （2）若命题为真命题，由，，， ①当，即，，符合； ②当，即或， 当时，，不符合； 当时，，符合； ③当，即或，设方程的两根为. 当时，，所以，，此时，所以不符合题意； 当时，，所以，，此时，所以符合题意； 综上可得，命题为真命题时，. 所以命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为. 所以实数的取值范围为R. 62．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知命题；命题，方程有两个不相等的正实数根． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）根据为假命题，可得是真命题. 所以，解得， 所以实数的取值范围； （2）若是真命题，设方程有两个不相等的正实数根，， 所以，，，解得， 若为真命题且为假命题，则， 解得或； 若为真命题且为假命题，则，此时无解； 综上，实数的取值范围是或． 63．（24-25高一下·湖北·阶段检测）已知命题，，命题，． (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，，可得在有解，所以， 令，由对勾函数可知函数在单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 所以命题p为真命题时，实数m的取值范围为； （2）若，，则，解得． 所以q为真命题时，实数m的取值范围为； 当命题p为真命题，q为假命题时，m应满足，所以， 当命题p为假命题，q为真命题时，m应满足，所以， 综上所述：命题p，q有且仅有一个为真命题，实数m的取值范围为． 题型08 集合新定义中新运算规则对元素归属的讨论 此类题目主要体现在以下几个方面： 1.验证封闭性（运算结果是否在几何内）：这是判断新运算是否成立的首要步骤。需讨论任意两个属于该集合的元素，经过新定义的运算后，所得结果是否依然满足集合的特征性质，从而确定结果元素是否归属于原集合； 2.验证三要素（确定性、互异性、无序性）：新运算生成的元素必须严格符合集合元素的这三大特性； 3.分类讨论参数与边界情况：当新运算规则中包含参数或分段定义时，元素归属往往取决于参数的取值范围，讨论需涵盖：①参数变化如何改变元素的满足条件；②特殊值（如0、1、空集情形）代入运算后的归属状态；③是否存在使得集合为空集或无限集的临界条件。 64．（25-26高二下·河南·期末）定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 【答案】C 【详解】由集合，且， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以集合， 所以的真子集的个数为个. 65．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，若，则满足条件的集合个数为（    ） A．408 B．409 C．410 D．411 【答案】C 【详解】，且 能被3整除，    ∴除以3的余数相同， 集合的元素中， 能被3整除的整数有， 被3除余1的整数有， 被3除余2的整数有， 当都被3整除时，则从被3整除的5个数中选取3个， 或可从被3整除的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， ∴的个数为， 当被3除余1时，则从被3除余1的6个数中选取3个， 或可从被3除余1的6个数中选取2个，从其余10个数中选择， ∴的个数为， 当被3除余2时，则从被3除余2的5个数中选取3个，或可从被3除余2的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， ∴的个数为， ∴满足条件的集合共有个． 故选：C. 66．（2026·北京·三模）对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 【答案】A 【详解】对于数集， 当其子集为单元素集合时，子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为两个元素的集合时，子集的“绝对交错和”的总和为T中任意两个元素的差的绝对值之和， 即； 当子集为三个元素的集合时，若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 故此时子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为四个元素的集合时，“绝对交错和”为， 则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为. 67．（25-26高一下·河南·期末）若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 【答案】 【详解】集合共有9个元素， 则集合有个非空子集. 根据“完美集合”的定义，若对任意的，都有. 若中含有元素，由于无意义，不满足定义，故不是完美集合； 若中含有元素，则要求，但不在原集合中，故不满足定义； 同理，含有或的集合也不是完美集合， 因此，完美集合只能是集合的非空子集， 其中满足完美集合的有、、、、、、，共7个， 所以集合的所有非空子集中不是完美集合的个数为个， 所以非空子集中不是完美集合的概率是. 68．（2026·安徽合肥·一模）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 【答案】 【详解】解方程，解得，结合， 因此：，集合共9个元素. （1）2个元素的“集合”：设为， 当时，可取5，6，7，8，9，共5个； 当时，可取6，7，8，9，共4个； 当时，可取7，8，9，共3个； 当时，可取8，9，共2个； 当时，可取9，共1个；当时，无满足条件的. 则2个元素的“集合”总数：. （2）3个元素的“集合”：要选出3个元素，需满足任意两个元素至少相差4. 最小的3个满足条件的元素为1，5，9，则3个元素的“TB集合”仅1个：1，5，9. （3）若尝试选出4个元素，最小的4个满足条件的数为1，5，9，13，而13超出集合A的范围， 因此不存在4个及以上元素的“TB集合”. 综上，“集合”总数个元素的数量个元素的数量：. 69．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 【答案】8 【详解】当，2时，无法满足中的元素是3的倍数，故舍； 当时，集合元素的总和为6，每部分和应为2，但中必须包含3， 其和，故舍； 当时，集合元素的总和为10，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为15，每部分和应为5，中必须包含3， 需要再加入和为2的元素，只能加入2，此时，剩余元素分配给， 无法满足和为5且奇偶性的要求，故舍； 当时，集合元素的总和为21，每部分和应为7，中必须包含3和6， 此时和为，故舍； 当时，集合元素的总和为28，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为36，每部分和应为12，中必须包含3和6， 需要再加入和为3的元素，可加入1和2，此时，剩余元素分配给， 取奇数，和为12，取偶数，和为12，满足所有条件， 故的最小值为8. 70．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）设集合，，，，，中，至少有两个元素，且，满足：①对于任意，，若，都有；②对于任意，，若，则．若有4个元素，则有______个元素． 【答案】7 【详解】由题可知，，，有4个元素，若取，则，此时，包含7个元素，具体如下： 设集合，且，，，，， 则，且，则， 同理，，，，． ①若，则，且，，，，则，故， 所以，又，故，所以，故， 此时，，故，与有4个元素矛盾，舍去． ②若，则，故，所以. 同理，故，所以. 又，故， 所以，故，此时． 若，则，故，，，，. 故，，，，，即. 故，此时， 即中有7个元素． 题型09 集合新定义中逻辑链条分析的讨论 此类题目主要体现在以下几个方面： 1. 定义内含的精准解读与转化：新运算规则往往基于陌生的数学情境，逻辑链条的起点在于精准理解新定义的数学内含。这要求将抽象的集合语言转化为具体的函数性质、不等式约束或几何特征。 2. 逻辑推理形式的中应用：在新运算的推导过程中，逻辑链条通常融合了多种推理形式，演绎推理、归纳与类比、反证法与分类讨论等。 3. 结构化知识体系的迁移构建：新运算规则不仅考查即时学习能力，更强调逻辑链条的系统性。它要求打破固化思维，将集合运算与函数、数列、不等式等已有知识模块建立结构化联系。 71．（25-26高三上·上海·阶段检测）设集合中元素均为正整数，且至少有两个元素，若满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则．则关于下面两个命题，说法正确的是（   ） 命题：若S有3个元素，则有4个元素． 命题：若有4个元素，则有7个元素． A．是真命题，是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题 【答案】C 【详解】若取，则，此时，包含5个元素，则命题是假命题； 若取，则，此时，包含7个元素，则命题可能是真命题； 下面来证明： 设集合，且，， 则，且，则， 同理，，，，， 若，则，则，故即， 又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍. 若，则，故即， 又，故，所以， 故，此时. 若，则，故存在，使得， 故，故，故， 此时即中有7个元素. 故选：C 72．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，设整除或整除，令表示集合所含元素的个数，则________． 【答案】 【详解】因为表示集合所含元素的个数，其中， （i）整除的有，，，，共个． （ii）整除的有：①整除的有个；②整除的有个；③整除的有个． 其中重复的有，，共个． 所以． 73．（24-25高二下·江苏苏州·阶段检测）定义：对给定的，，称集合的三个互不相同的子集，，组成的集合，，为一个“三角形”，为三角形的“周长”.当时，周长为2的三角形有______个；当时，周长为5的三角形有______个. 【答案】 1 155 【详解】记，，，, 如图所示，则 时，周长为2，即， 原命题等价于将两个元素放入，使得，，互不相同； 首先，将放入集合中，共有种方法； 其次，若，则，此时， 从而将放入集合中，共有种方法，这不满足条件. 类似地，，都有种方法不满足条件.但被多减了两次. 最后，考虑到，，的次序后，所求的周长为2的三角形个数为. 时，周长为5，即， 原命题等价于将五个元素放入，使得，，互不相同； 首先，将放入集合中，共有种方法； 其次，若，则，此时， 从而将放入集合中，共有种方法，这不满足条件. 类似地，，都有种方法不满足条件.但被多减了两次. 最后，考虑到，，的次序后，所求的周长为5的三角形个数为. 74．（江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题）对于n元由0，1组成的有序数组，定义距离1为两个数组对应位置数字不相同的位置个数；对于非空整数集合M，N，定义距离2为满足M中每个数与N中数的差值的绝对值的最小值、N中每个数与M中数的差值的绝对值的最小值均不超过该数值的最小非负整数. 若有两组0，1数组，另一组中间数组与二者的距离1均为2，则两组原数组的距离1的最大值为_________；若整数集合A，B的距离2为3，B，C的距离2为2，则A，C的距离2的所有可能取值为_________． 【答案】 【详解】第一空： 考虑三个组成的数组，设的距离1为，的距离1为， 依定义可知当中有个位置的数字不同，设这个位置构成的集合为， 以外的位置也即数字相同的位置构成的集合为，当中有个位置的数字不同， 设这些位置属于的有个，不属于也即属于的有个，则， 因为数组由构成，所以和数字不同的位置包括的数字不同且的数字相同的位置， 有个，和的数字相同且的数字不同的位置，有个，共有个， 而，所以的距离1不超过的距离1和的距离1之和， 取，则有的距离1和的距离1均为， 的距离1为，故的距离1的最大值为. 第二空： 对于非空整数集合，的距离2记为，记对某个，，类似地， 记对某个，，依定义有①，②， 同理有③，④， 设在中与中数的差值的绝对值的最小值为最大，在中与中数的差值的绝对值的最小值为最大， 则有或，结合①③并取③中的为可得 ，再取为，可得， 结合②④并取②中的为可得，再取为， 可得，即有，因为的任意性， 所以也有，即， 同时也有， 综上所述，， 依题意，则，只能取中的数， 取，则有； 取，则有； 取，则有； 取，则有； 取，则有， 故的距离2的可能值为. 75．设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合，，满足如下两个条件，则称为三分集合.①；②，，元素可分别排列为有序数组，及，使得对，均有，特别地，当为三分集合时，称为完美三分数.如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：，； (2)求出大于的最小完美三分数. 【答案】(1)不是；是；(2) 【详解】（1）（i）不是三分集合，下面用反证法证明. 证明：假设是三分集合， 设，，，不妨设， 由，得， 则， 则，这与矛盾， 故假设错误，故不是三分集合； （ii）是三分集合. 理由如下：令，，， 则，满足条件①； 且由；；可知，满足条件②. 故是三分集合. （2）由（1）可知，当时，不是三分集合； 当时，， 假设是三分集合， 同理由， 得到，可推出与矛盾， 故假设也错误，故不是三分集合； 当时，， 存在三个元集合，，， 满足为三分集合的两个条件. 故大于的最小完美三分数为. 76．（2026·北京大兴·三模）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集且，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断是不是规范数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个元规范数集，求证：； (3)当取遍所有2026元规范数集时，求范数的最小值. 注：分别表示数集中的最小数与最大数. 【答案】(1)集合不是，集合是；(2)答案见解析；(3) 【详解】（1）集合不是，集合是； 对于集合，，所以集合A不是规范数集； 对于集合，因为，，，，，，， 所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集. （2）不妨设集合中的元素为，即， 因为为规范数集，则， 则，且，使得， 当时， ， 当且仅当且时，等号成立； 当时， . 当且仅当且时，等号成立； 当时， . 当且仅当时，等号成立； 综上所述：. （3）不妨设，因为为规范数集， 所以，且，使得. 对于，同样有. 由（2）得. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以. 所以范数. 所以范数的最小值为. 77．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知正实数数列：，对任意的，记，令集合，；记集合． (1)若：1，，，直接写出和； (2)若，且满足，求集合的元素个数的最小可能值； (3)若，证明：集合中至少含有46个元素． 【答案】(1)，；(2)2；(3)证明见解析 【详解】（1）由题可知，，，，， 所以， ，，， 所以， ，，所以， 所以． （2）当，， ，，，， 要使的元素个数最少，则需要相等的元素最多； ①假设只有1个元素，即， 由得， 由得， 代入，得，与已知条件矛盾， 因此，的元素个数不可能为1； ②假设只有2个元素， 1）考虑且， ， ， 我们需要在的条件下满足上述两个等式， 由，因为，所以，即， 同时， 将代入第二个等式： ， 我们需要， 由，得， 为了满足，即， 与矛盾，因此，且无法同时成立， 2）考虑且， ， ， 代入：， 已知， 由，因为且， 所以，与矛盾， 3）考虑且， ，， 由得，代入上式：， 我们需要，， 由得， 由得， 所以， 又，由得， 由得， 取，则， 取，则， ， 此时，满足， 计算的元素：， ，元素个数为2． （3）假设中至多含有45个元素，则， 由鸽巢原理，必有一个数在中至少出现46次，设， 考虑，， 这45个值互不相同且均小于，， 因此，这45个值与共同构成了中至少46个不同的元素， 与的假设矛盾， 所以M中至少有46个元素． 78．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集． (1)判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由） (2)若是的4元好子集，求的最小值； (3)若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)不是的3元好子集，是的3元好子集；(2)20 (3)证明见解析，等号成立的条件为，且 【详解】（1）①因为，但，所以不是的元好子集． ②集合中，两数之和不超过的情况只有． 且，所以是的元好子集． （2）设. 若，则由好子集的定义可得. 再由. 可知至少含有这个元素，与是元集合矛盾． 故. 若，则，所以． 又，所以． 再由，得． 故. 因为是元集合，所以. 此时，并且满足好子集的定义，所以可以取到． 若，若，则由于中元素互不相同且递增，只可能有或. 当时，，但，不符合好子集的定义． 当时，，但，也不符合好子集的定义． 故当时，必有. 综上，的最小值为． （3）设. 先证明对任意，都有. 假设存在某个，使得. 则对，均有. 由好子集的定义可知都属于． 这些数两两不同，并且都大于，所以它们都只能出现在中． 但是前者共有个不同的数，后者只有个数，矛盾． 故. 于是 所以. 下面讨论等号成立的条件．若等号成立，则对任意，都有. 特别地，对，因为且为整数，所以. 由好子集的定义可知这个数两两不同，并且都大于，所以它们恰好是. 又因为随的增大而增大，所以. 于是，由，得. 所以. 因此等号成立时，必须有. 反过来，若，记. 任取，若. 则，由于为整数，得. 于是. 故是的元好子集，且. 所以等号成立的条件正是. 79．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知集合.对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义.（约定）． (1)若，，求和； (2)若满足且，求的所有可能结果； (3)是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)、、、. (3)存在正整数使且 【详解】（1），， 由题意，，，，，，，； （2）由且，， 同理，或1时，， 或1时，， 或1时，， 所以（1）等价于，则，， 当，，则为满足， 当，，则为满足， 当，，则为满足， 当，，则为满足， 综上，的所有可能结果、、、. （3）存在正整数使且，理由如下： 由得， 所以， 若，， 则， 若， 则，，， 所以，对都有， 当时，恒成立， 综上，使得成立的所有取值为． 80．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知含有n个元素的正整数集（）具有性质P：对任意不大于（其中）的正整数k，存在数集A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k． (1)写出，的值； (2)证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”； (3)若，求当n取最小值时的最大值． 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）由，且均为正整数，故，故， 故当不大于的正整数时，由题意必有，当时，可得； （2）先证必要性：因为，，，，…，成等差数列， 故其首项为，公差为，可得； 再证充分性：因为，，，…，为正整数数列， 故有，，，，…，， 所以，等号成立时， 又，故，故，，…，为等差数列． 综上可知，“，，…，成等差数列”的充要条件是“”； （3）先证明（）， 假设存在，且为最小的正整数， 依题意，则 ， 又因为， 故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和． 故假设不成立，即（）成立； 因此， 即，所以； 因为，则， 若，即时， 则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为， 故，即时， 此时可构造集合， 因为当时，可以等于集合中若干个元素的和； 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和； …… 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和； 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和； 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和， 所以集合满足题设， 所以当取最小值11时，的最大值为． 81．（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【答案】(1)中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 对于性质②，对任意，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； (2)证明：反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. (3)证明：， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 82．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知集合，其中，，，，都是A的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数（i，，）. (1)若，，，，直接写出所有满足条件的集合； (2)若，且对任意，都有，求m的最大值； (3)若，（，2，，m）且对任意，都有，求m的最大值. 【答案】(1)；(2)16；(3) 【详解】（1）因为，则和的元素个数均为1， 又因为，则， 若，，则或； 若，，则或； 综上或或或. （2）全集的所有子集可分为对互补子集，任意一对互补子集的交集为空，故每对至多选1个子集，因此； 取所有包含元素的子集，共个，满足任意两个交集非空，故的最大值为. （3）结论:， 令，集合符合题意. 证明如下： ①若中有一元集合，不妨设， 则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集， 所以除外的子集至多有个，故. ②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类: 或，和或， 其中互不相同，互不相同且均不为1，2. 若，则，有， 若，则由得每个集合中都恰包含中的1个元素（不是2)， 且互不相同， 因为中除2外至多还有2个元素，所以. 所以. ③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类： ， 其中. 若，则(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合)， 所以. 若，不妨设， 则由得每个集合中都或者有4、或者有5， 又中除1外无其它公共元素，所以. 所以. 综上，. 83．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 【详解】(1) 当时，因为存在，满足，与对于A中的任意两个元素x，y，都有，相矛盾，所以集合B不具有性质； 当时，对于集合中任意两元素之差的绝对值共有以下种情形： 因为这种情形都满足，所以集合C具有性质； (2) 将集合中的元素分为如下11个集合: ， 要从集合中选取12个元素，由于前9个集合中，每个集合中的2个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以前9个集合中，每个集合最多选1个元素，而最后2个集合中各只有1个元素，就算必选，也才只有11个元素，而题意中要选12个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，这样就存在两个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以A不可能具有性质； （3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以为例. 按相差7来构造抽屉，按相差来分类研究： ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9，选6则不选2，10，选7则不选3，11，则只剩4，8可选，由于，所以只能选其中1个数，此时只能选5，6，7，4或5，6，7，8共4个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. ②5，6，7中选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又中只能选1个元素，3，8可以选(4与8不能同时选)，若选，最多全选，也才是5个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又中只能选1个元素，4，9可以选，故中属于集合A的元素不超过5个. ③5，6，7中选0个或只选1个，又四个集合每个集合至多选1个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取， 因为，则把每11个连续自然数分组，前21组每组至多选取5项. 从232开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个. 给出如下选取方法:从中选取，然后在这5个数的基础上每次累加11，构造21次.此时集合A中的元素为，共有110个元素，经检验可得该集合符合要求.故集合A中的元素最多有110个. 84．（2026·四川成都·三模）已知是个正整数记，其中，，，． (1)若，，，求的值； (2)若，，，求，，，中的最大数与最小数的和所有可能的集合； (3)若，，，，，是，，，的一个排列．从中随机取出个不同的数，记取出的数中最小元素为．求（用表示）． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（1）从个数中取个数求和，全体总和减掉剩下的1个元素，即子集和，内4个数相加等于，代入直接计算求解； （2）是这9个正整数中任取其中8个数的和构成的集合，且集合只有7个数，令得出，由是整数，故必为整数，分情况讨论求出最大数与最小数的和，进而得出集合； （3）当时，记，表示集合，记取出的数中最小值为，记是从中均匀随机选取的的元素的最大值，利用组合概率与组合恒等式求，利用期望的性质求出． 【详解】（1）当时，是4个正整数， 是这4个正整数中任取其中3个数的和构成的集合，且集合恰好有4个数， 由条件可知，这4个正整数互不相同， 令， 则，解得，即． （2）当时，是9个正整数， 是这9个正整数中任取其中8个数的和构成的集合，且集合只有7个数． 由条件可知，这9个正整数中必有2个数或者1个数重复， 令，则，其中， 整理可得，由是整数，故必为整数， ①当，满足为整数，所以， 中最大的数为：，最小数为， 故它们的和为； ②当或者，满足为整数，故， 中最大的数为：， 最小数为，故它们的和为； ③当，满足为整数，故， 中最大的数为：， 最小数为，所以它们的和为； 综上，中的最大数与最小数的和所有可能的集合为． （3）当时，记， 且， 从集合中随机取出个不同的数（等可能），记取出的数中最小值为， 记是从中均匀随机选取的个的最大值， 则， 共有种取法，， ， 又， ， 方法一： ． 方法二：可理解为从个不同的元素里选出个元素的总的方案数， 可理解为按选出的个元素里最大的那个元素来分类计算： 若最大元素是第个，则剩下的个元素要从前面个里选：； 若最大元素是第个，则剩下的个元素要从前面个里选：； 若最大元素是第个，则剩下的个元素要从前面个里选：； 所有情况加在一起，即成立， 即． 而． 85．（25-26高二下·北京·期中）已知是一个行列的数表，其中且，且对任意，都有. 对于且，定义，表示有限集合的元素个数. (1)若，写出的值； (2)当时，若恒成立，求证：； (3)对给定的，设的最大值为，求的最大值和最小值. 【答案】(1)，；(2)答案见解析 (3)最大值为1，最小值为 【分析】（1）直接按列比较即可； （2）时每一行相等元素的对数至少为，从而中所有相等元素的对数也即所有组合的之和至少为，结合即可得； （3）的所有列完全相同时即有最大值，分析每一行相等元素的对数的最小值，即可得到所有组合的之和的最小值，结合即可得的最小值. 【详解】（1）比较的第列，相同行有第行，故； 比较的第列，相同行有第行，故. （2）考虑的任意一行， 由于每个元素只能是或，则这三个元素中至少有两个是相等的， 即在的三个组合中，至少有一个组合满足， 按行统计即可得中所有相等元素的对数和至少为， 等价于所有组合的之和满足 结合条件，得，即. （3）由定义可知，则，而当的所有列完全相同时， 对任意都有，此时，因此的最大值为. 设第行有个，则有个，该行中相等元素的对数为 ， 该式对同样成立， 以为自变量，当取最接近对称轴的整数时，取得最小值， 当为偶数时，时有， 当为奇数时，时有， 采用与（2）相似的分析可知所有组合的之和为， 又的最大值为，所以， 可得，代入即可得. 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $