精品解析：上海市第二中学2026-2027学年高一第一学期10月阶段测验数学试题

上海市第二中学2026学年第一学期高一数学10月阶段测验 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 一、填空题（1-6每题3分，7-12每题4分，共18+24=42分） 1. 已知，，，则______. 2. 已知：，，则用列举法表示_____． 3. 已知集合，且，则___________． 4. 已知集合，，则______________． 5. 已知全集，集合，则______． 6. 设，不等式的解集是______. 7. 已知，若关于的方程解集为，则的值为_________. 8. 设，，若是的必要条件，则实数m的取值范围是________． 9. 设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 10. 下列命题：①“或”的否定形式是“或”，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，⑤“任意，”的否定形式是“存在，使得”其中真命题的序号是________．（填写序号） 11. 为了加强家校联系，蔡老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为_______ 12. 若集合有个子集，则称集合为“集合”，已知集合是“2集合”，则正实数的取值范围是_______． 二、选择题：（13、14每题3分，15、16每题4分，共6+8=14分） 13. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 14. 已知，则“”是“”的（）． A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件． 15. 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ） A. B. C. D. 16. 设集合，，，，其中，，给出下列两个命题：命题：存在实数，使得不是的子集；命题：对任意的实数，不是的子集．下列说法正确的是（ ）． A. 命题是真命题，命题是假命题 B. 命题是假命题，命题是真命题 C. 命题、都是真命题 D. 命题、都是假命题 三、解答题：（10+12+12+14+16） 17. 设集合，． （1）写出集合的所有子集； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知全集，集合，． （1）当时，试用区间表示集合、； （2）若，求实数的取值范围． 19. 法国数学家弗朗索瓦·韦达1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系．发现一元二次方程，的根与系数有如下的关系：，，此即为韦达定理．韦达定理的逆定理仍成立：如果两个数，满足，，则这两个数，是方程，的两个根．例如：，，则，是方程的两个根．请根据上述材料解决以下问题． （1）已知，是两个不相等的实数，满足，，求的值． （2）已知实数，满足，，求的值． 20. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若且不等式的解集为，求取值范围； （3）若，讨论此不等式的解集． 21. 已知关于的不等式①，②，其中是实数． （1）若是不等式②的一个解，求实数的取值范围； （2）证明：不等式①、②中至多有一个恒成立； （3）当时，“满足”的一个必要非充分条件是“满足”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市第二中学2026学年第一学期高一数学10月阶段测验 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 一、填空题（1-6每题3分，7-12每题4分，共18+24=42分） 1. 已知，，，则______. 【答案】5 【解析】 【详解】因为，，所以且， 又，所以. 2. 已知：，，则用列举法表示_____． 【答案】 【解析】 【详解】由两式相加得：， 代入，得：， 所以. 3. 已知集合，且，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. 4. 已知集合，，则______________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以. 5. 已知全集，集合，则______． 【答案】（或） 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为全集，集合， 所以集合在全集中的补集为且. 6. 设，不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为，即， 令， 解得， 所以的解集为. 即不等式的解集是. 7. 已知，若关于的方程解集为，则的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，先令方程等号左右两边的常数项相等，求出，验证后得到答案. 【详解】的解集为R， 先令等号左右两边的常数项相等，即，解得：， 将代入方程可得：，解集为R，满足要求. 故答案为：2 8. 设，，若是的必要条件，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】由得，得， 因为是的必要条件，所以，得， 故实数m的取值范围是. 9. 设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式化为等价的二次不等式，根据“三个二次”的关系求解. 【详解】由不等式可得，等价于， 因为原不等式的解集是，所以是方程的两根， 所以，解得. 10. 下列命题：①“或”的否定形式是“或”，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，⑤“任意，”的否定形式是“存在，使得”其中真命题的序号是________．（填写序号） 【答案】②④⑤ 【解析】 【详解】①假命题：“或”的否定形式是“且”； ②真命题：若，说明集合中的所有元素都属于集合，即； ③假命题：当 时，方程无解，因此该命题忽略了的情况； ④真命题：先判断必要性：若，则有，所以必要性成立； 再判断充分性：若，即，当时，和可以不相等，因此充分性不成立. ⑤真命题：全称命题的否定是存在量词命题，“任意，”的否定形式是“存在，使得”，表述正确. 11. 为了加强家校联系，蔡老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为_______ 【答案】22 【解析】 【详解】设男学生、女学生、家长、教师人数分别为，由题意： 且，因为人数都是正整数，且，所以， 又因为，所以，即，解得， 所以教师人数最少为.为了求最小值， 即可取最小情况为，经检验显然满足题意； 故此时总人数为，因此，该微信群人数的最小值为. 12. 若集合有个子集，则称集合为“集合”，已知集合是“2集合”，则正实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，设出二次函数与一次函数，再作出两函数图象；由集合是“2集合”，故集合中只有一个元素，再结合图象计算即可得解. 【详解】由，可得， 设二次函数与一次函数， 由，过定点，两函数图象如下图： 由集合是“2集合”，故集合中只有一个元素， 结合图象可得，解得， 故正实数的取值范围是. 二、选择题：（13、14每题3分，15、16每题4分，共6+8=14分） 13. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式求得集合元素，根据Vnne图以及集合的交并补，可得答案. 【详解】由题意，由解得，所以集合， 因为函数的值域为，所以， 图中阴影部分所表示的集合是. 故选：C． 14. 已知，则“”是“”的（）． A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件． 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，解得：， 故“”等价于，而“”等价于， 为的真子集，所以“”能推出“”，但“”不能推出“”， 因此，“”是“”的充分非必要条件. 15. 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项. 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 16. 设集合，，，，其中，，给出下列两个命题：命题：存在实数，使得不是的子集；命题：对任意的实数，不是的子集．下列说法正确的是（ ）． A. 命题是真命题，命题是假命题 B. 命题是假命题，命题是真命题 C. 命题、都是真命题 D. 命题、都是假命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的特征，可判断命题，利用判别式，可得集合、的关系，从而判断命题． 【详解】由于，即时，一定成立， 故是的子集，因此命题是假命题； 令，； 令，， 从而可知，当时，，此时，是的子集，故命题是假命题． 三、解答题：（10+12+12+14+16） 17. 设集合，． （1）写出集合的所有子集； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【小问1详解】 集合的所有子集为：，，，. 【小问2详解】 因为，所以. 当时，方程无实数解，由，得； 当时，由，得； 当时，由，得无解； 当时，由，得无解；. 综上所得，，即的取值范围是. 18. 已知全集，集合，． （1）当时，试用区间表示集合、； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）分别解不等式即可得到集合、； （2）先解得，由条件可知，再利用集合的包含关系求参数的范围即可． 【小问1详解】 ，则，解得， 即， ，，则，解得， 即； 【小问2详解】 ，则，解得， 即， ，， 则，解得． 19. 法国数学家弗朗索瓦·韦达1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系．发现一元二次方程，的根与系数有如下的关系：，，此即为韦达定理．韦达定理的逆定理仍成立：如果两个数，满足，，则这两个数，是方程，的两个根．例如：，，则，是方程的两个根．请根据上述材料解决以下问题． （1）已知，是两个不相等的实数，满足，，求的值． （2）已知实数，满足，，求的值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）将看作方程的两个不等实根，利用韦达定理求、后代入目标式计算； （2）换元设、，构造方程求解的两组值，代入完全平方公式并验证判别式合理性即可得结果. 【小问1详解】 由题意，不相等的实数满足、， 因此是一元二次方程的两个不等实根. 根据韦达定理得，， 因此. 【小问2详解】 令，，将已知条件变形可得 . 根据韦达定理逆定理，是一元二次方程的两个实根， 解方程得，，即有两组解和. 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时； 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时. 综上，的值为46或65. 20. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若且不等式的解集为，求取值范围； （3）若，讨论此不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理即可求解； （2）根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解； （3）分五种情况进行讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意可知1和5是方程的两个根且， 所以，，解得，所以. 【小问2详解】 若，则不等式为， 当，不等式即为，则，不合题意； 当，则有，解得， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 若，则不等式为，即. 当时，不等式为，则不等式的解集为； 当时，由得. 方程的根为或 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，不等式即为，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 21. 已知关于的不等式①，②，其中是实数． （1）若是不等式②的一个解，求实数的取值范围； （2）证明：不等式①、②中至多有一个恒成立； （3）当时，“满足”的一个必要非充分条件是“满足”，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）假设不等式①､②都恒成立， 不等式①恒成立，所以，所以； ②恒成立，所以，，解得或； 所以当不等式①､②都恒成立时，不等式组无解. 所以假设不成立. 所以不等式①､②中至多有一个恒成立. （3） 【解析】 【分析】（1）根据是不等式的一个解，代入计算求参； （2）应用反证法证明. （3）当时，不等式解集为，由题意可得对任意，恒成立，再分类去绝对值即可求的取值范围. 【小问1详解】 因为是不等式②的一个解，所以， 即，解得或. 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由得，解集为. 记集合，集合或. 由“满足”的一个必要非充分条件是“满足”得是的真子集. 所以是真子集，即对任意，恒成立. 当时，不等式恒成立； 当时，则与同时成立. ①由，得，设，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，所以. 所以. ②由，得，设，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 又，所以. 所以. 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $