精品解析：福建省厦门市思明区第一中学2025-2026学年九年级上学期 数学12月月考卷

福建省厦门第一中学2025——2026学年度 第一学期12月学业调研评估 初三年数学学科练习 （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意：所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴对称）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 把方程配方后的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把常数项-5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方． 【详解】把方程x2 -2x-5=0的常数项移到等号的右边，得到x 2 -2x=5，  方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2 -2x+1=5+1，  配方得（x-1）2 =6．   故选C． 【点睛】本题考查了配方法解一元一次方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 3. 已知抛物线，则该抛物线的对称轴为（ ） A. 轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对抛物线顶点式的理解，掌握抛物线顶点式是解答的关键． 二次函数的对称轴为直线，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线． 故选：B． 4. 若反比例函数y＝的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. k＜－2 B. k＞－2 C. k＜2 D. k＞2 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像在不同象限的增减性，判断出的正负，进而求出k的取值范围． 【详解】解： y＝的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小， ，解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握值的正负与函数在其所在象限的增减性的关系，是求解该题的关键． 5. 如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，先求出，再由圆周角定理可求出的度数． 【详解】解：连接、，如图， ∵正五边形， ∴， ∴． 6. 如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求正切，旋转的性质， 先作，根据旋转性质可知，再根据正切的定义得，则此题可解． 【详解】解：如图，过C点作，垂足为D， 根据旋转性质可知，． 在中，， ∴． 故选：B． 7. 如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 只有选项C错误，符合题意． 故选C． 8. 如图，是的直径，是的弦，连接，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．连接，由圆周角定理，得到，从而得到，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 故选：B． 9. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9 【答案】D 【解析】 【分析】先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵点F是BC的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】连接，则，由切线的性质，得到，故当最小时，均取得最小值，此时的值最小，设直线与轴，轴分别交于两点，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，等积法求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小， 设直线与轴，轴分别交于两点， ∵动点P在直线上， ∴当时，的值最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 当时，，即， 解得， ∴的最小值为，的最小值为， ∴的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查切线的性质，圆外一点到圆上一点的最值，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，确定点的位置，是解题的关键． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分) 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直接根据记忆的三角函数值表求解即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值，， 故答案为：． 12. 已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，根据相似三角形对应线段的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们对应的角平分线之比是． 故答案为：． 13. 如图，是的切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键． 如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，． 故答案为： ． 14. 如图，在中，，，．把绕边上的点D顺时针旋转得到，交于点E．若，则的面积是______． 【答案】6 【解析】 【分析】由旋转的性质可知：，，设，则，，继而根据锐角三角函数可得，列方程，解方程可得，，继而即可根据三角形面积公式即可求解． 【详解】由旋转的性质可知：，， 设，则，， ， 即：， 整理得： 解得， ∴，， ∴ 【点睛】本题考查旋转的性质和锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和锐角三角函数． 15. 根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数．已知一个长方体石块如图放置在水平地面时，石块对地面的压强为，若将其如图放置，则石块对地面的压强为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设，由图得，把代入解析式可得，进而得，再根据图把代入计算即可求解，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 由图得，， 把代入得，， ∴， ∴， 由图得，， 把代入，得， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是_____． 【答案】（6，）． 【解析】 【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，先根据勾股定理求出菱形的边长，即可得到点B、D的坐标，进而可根据菱形的性质求得点A的坐标，进一步即可求出反比例函数的解析式，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后解由直线BC和反比例函数的解析式组成的方程组即可求出答案. 【详解】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M， ∵D（3，4），∴OM＝3，DM＝4，∴OD＝＝5， ∵四边形OBCD是菱形，∴OB＝BC＝CD＝OD＝5， ∴B（5，0），C（8，4）， ∵A是菱形OBCD的对角线交点，∴A（4，2），代入y＝，得：k＝8，∴反比例函数的关系式为：y＝， 设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：，解得：k＝，b＝﹣， ∴直线BC的关系式为y＝x﹣， 将反比例函数与直线BC联立方程组得：，解得：，（舍去），∴F（6，）， 故答案为：（6，）． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、待定系数法求函数的解析式以及求两个函数的交点等知识，属于常考题型，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键. 三、解答题（本大题有8小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用因式分解法解一元二次方程即可； （）利用公式法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 18. 如图，⊙O 的弦 AB 和弦 CD 相交于点 E，AB＝CD，求证：AD＝CB 【答案】 证明：∵AB=CD ∴ ∴ ∴= ∴AD=BC. 【解析】 【分析】本题考查了弧，弦，圆心角之间的关系的应用，由AB=CD可得=，同时减去，得= ，可证AD=BC 【详解】略 【点睛】此类型题是弧，弦，圆心角之间的关系的直接应用，比较简单，属于一道基础的常考题. 19. 如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 【答案】 证明：在中，为边上一点，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】略 20. 如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.求： （1）BC的长； （2）sin ∠ADC的值． 【答案】（1）BC＝4；（2）sin ∠ADC＝. 【解析】 【详解】（1）如图，作AE⊥BC， ∴CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，， ∴BE=3AE=3，∴BC=4； （2）∵AD是△ABC的中线，∴DE=1， ∴∠ADC=45°，∴． 21. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可； （2）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可； （3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案． 【详解】解：把点分别代入反比例函数，一次函数， 得，， 解得，， 所以反比例函数的解析式是，一次函数解析式是； 如图，设直线与轴的交点为， 当时，， ， 当时，， ， ； ，， 根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，解题关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，能够利用数形结合思想求不等式的解集． 22. 如图，是直径，C为上一点，连接． （1）尺规作图：在上找一点D，使得点D到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，已知于点E，求证：是的切线． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求； （2） 证明：连接，则：， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，切线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据点D到、的距离相等，得到平分，尺规作的角平分线，交于点即可； （2）连接，证明，推出，即可得证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，反比例函数（，）的图象与直线相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD. （1）求k的值； （2）求点C的坐标； （3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标. 【答案】k=1；C（，）；M（（0，） 【解析】 【详解】试题分析：首先根据点A的坐标和AB=3BD求出点B的坐标，从而得出k的值；根据一次函数和反比例函数的解析式得出点C的坐标；作点D关于y轴对称点E，连接CE交y轴于点M，即为所求，设直线CE的解析式为y=kx+b，将点C和点E的坐标代入求出k和b的值，从而得到直线CE的解析式，然后求出直线与y轴的交点坐标，即点M的坐标. 试题解析：（1）∵A（1，3）， ∴OB=1，AB=3， 又AB=3BD， ∴BD=1， ∴B（1，1）， ∴k=1×1=1； （2）由（1）知反比例函数的解析式为， 解方程组，得或（舍去）， ∴点C的坐标为（，）； （3）作点D关于y轴对称点E，则E（,1），连接CE交y轴于点M，即为所求. 设直线CE的解析式为，则 ，解得，， ∴直线CE的解析式为， 当x=0时，y=， ∴点M的坐标为（0，）. 考点：反比例函数与一次函数 24. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． （1）在图1中，________； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在线段上找一点P，使； ②如图3，在线段上找一点P，使． 【答案】（1） （2） ①如图，点为所求； ②如图，点为所求． 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，相似三角形的判定及性质；能根据相似三角形的判定及性质找出所求作的点是解题的关键． （1）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解； （2）①由（1）得构建相似三角形使得相似比为，即可求解；②作点关于的对称点M，连接交于，即可求解； 【小问1详解】 解：由图得，，， ， ， 故答案：； 【小问2详解】 ①略 ②略 25. 如图， 在中， ， 是的平分线，的平分线 交 于点 ，点在上，以点为圆心的长为半径的圆经过点，交于点，交 于点． （1）求证： 为的切线． （2）当， 时，求的半径． （3）在（2）的条件下， 线段 ； ． 【答案】（1）证明：连接． ，平分， ， ， ， 平分， ， ， 又， ， 是的切线； （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了切线的证明，相似三角形的判定与性质等，勾股定理与矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接．利用角平分线的性质和平行线的性质得到，后即可证得是的切线； （2）设的半径为，根据，得到，利用平行线的性质得到，即可解得 ，的半径为； （3）过点作于点，则，根据得到四边形是矩形，从而得到和，证得结论，进而根据勾股定理求得，即可求得的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ∵，， ， ， 即， 解得， 的半径为； 【小问3详解】 过点作于点，则， 又，， ∴ 四边形是矩形， ， ， ． 在中， ∴ 故答案为：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2025——2026学年度 第一学期12月学业调研评估 初三年数学学科练习 （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意：所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A. B. C. D. 2. 把方程配方后的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线，则该抛物线的对称轴为（ ） A. 轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 若反比例函数y＝的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. k＜－2 B. k＞－2 C. k＜2 D. k＞2 5. 如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为 A. B. C. D. 7. 如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，是的弦，连接，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分) 11. ______． 12. 已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是______． 13. 如图，是的切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为_____． 14. 如图，在中，，，．把绕边上的点D顺时针旋转得到，交于点E．若，则的面积是______． 15. 根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数．已知一个长方体石块如图放置在水平地面时，石块对地面的压强为，若将其如图放置，则石块对地面的压强为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是_____． 三、解答题（本大题有8小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，⊙O 的弦 AB 和弦 CD 相交于点 E，AB＝CD，求证：AD＝CB 19. 如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 20. 如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.求： （1）BC的长； （2）sin ∠ADC的值． 21. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 22. 如图，是直径，C为上一点，连接． （1）尺规作图：在上找一点D，使得点D到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，已知于点E，求证：是的切线． 23. 如图，反比例函数（，）的图象与直线相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD. （1）求k的值； （2）求点C的坐标； （3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标. 24. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． （1）在图1中，________； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在线段上找一点P，使； ②如图3，在线段上找一点P，使． 25. 如图， 在中， ， 是的平分线，的平分线 交 于点 ，点在上，以点为圆心的长为半径的圆经过点，交于点，交 于点． （1）求证： 为的切线． （2）当， 时，求的半径． （3）在（2）的条件下， 线段 ； ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $