专题：解三角形 专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题：解三角形-2026-2027学年高三数学上学期复习系列 一、单选题 1．在 中，角所对的边分别为 ，若 ，则 （      ） A． B． C． D． 2．记，，分别是的内角A，B，C的对边，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，，则等于（ ） A． B． C． D． 4．在中，已知，则角（    ） A． B． C． D． 5．在中，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知锐角的内角、、所对的边分别为、、，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．在中，角对边分别为，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知，点D在边上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在中，角的对边分别是，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 10．在中，内角所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则为直角三角形 B．的中线有最小值 C．若的平分线长为，则 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 11．如图，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，且，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则角 B．的最小值为 C．若，则 D．若，，则 三、填空题 12．在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则外接圆的半径为______． 13．开明寺塔，亦称关寺塔，位于汉中市洋县县城开明寺（今开明广场）内.据《汉中府志》记载，始建于唐开元年间（713-714年）.开明寺塔造型俊秀，整体呈优美的纺锤流线形，为陕南密檐式砖塔的代表作.某校高一实践学习小组为了实地测量该塔的高度，选取与塔座中心O在同一水平平面内的两个测量基点A与B，在A点测得，塔顶P的仰角为60°，O在A的北偏东15°方向，B在A的正东方向13米处，且在B点测得O与A的张角，则开明寺塔的高度约为______米.（参考数值：，，结果保留整数） 14．已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为_________. 四、解答题 15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，. (1)求角A的大小； (2)求的值. 16．在中，角，，的对边分别为，，．已知． (1)求角； (2)若，，求． 17．在中，内角所对的边分别为，且． (1)若，求C的大小； (2)点D在边上，且，证明：平分． 18．已知中，角的对边分别为，且满足 (1)求证： ； (2)若边上中线 ,求的面积. 19．记的内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)已知. （i）若的面积为，求的周长； （ii）若为锐角三角形，且角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围. 试卷第2页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 专题：解三角形-2026-2027学年高三数学上学期复习系列 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A C C B C C AB AC 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】因为，所以，又， 所以，又，所以. 2．A 【详解】因为，所以， 从而，又因为，所以，从而，故选A. 3．A 【详解】由正弦定理得. 4．C 【分析】根据题意化简，再根据余弦定理化简得到，再求解即可. 【详解】． 由余弦定理，故， 解得. 因为，故． 5．C 【分析】利用三角形内角和与三角恒等变换化简已知等式，结合三角函数的最值确定三角形各内角大小，即可计算面积. 【详解】在中，由内角和定理得，故， 根据积化和差公式，， 代入已知等式得：， 由辅助角公式，， 因此原式可化为：， 由于，故左边最大值为，与右边相等， 因此等号成立，需满足：， 当时，因为，则， 所以，解得； 当时，由，得，所以， 即，所以为边长为2的等边三角形， 其面积为. 6．B 【分析】由题设结合二倍角公式、正弦定理、辅助角公式化简可得，再根据为锐角三角形可得，得到，再利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理，得， 在中，，则， 所以，则， 由于为锐角三角形，则，即， 所以，则， 由，得，则， 由正弦定理，得. 7．C 【详解】由余弦定理得：，所以， 因为，所以，所以 由正弦定理得：， 所以，， 所以， 因为，所以, 所以， 因为，所以， . 8．C 【分析】先通过余弦定理、面积公式和均值不等式推导出为等边三角形，再利用“垂线段最短”，得到高与边长的比值即为最小值. 【详解】由余弦定理与三角形面积公式得， ，化简得， 由均值不等式，，当且仅当时等号成立， 而，因此两者都等于2， 此时，所以为等边三角形； 当时，，此时. 9．AB 【分析】应用余弦定理计算判断A，D，应用面积公式计算判断B，应用正弦定理求解判断C. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式，故B正确； 对于C，根据正弦定理，可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确. 10．AC 【分析】由正弦定理判断A选项；由向量的加法和向量模的运算计算三角形中线长，判断B选项；由和三角形面积公式判断C选项；根据锐角三角形得到角的范围，再结合正弦定理得到边的范围判断D选项. 【详解】A选项，由正弦定理得，则， 因为，所以，为直角三角形，A正确； B选项，因为是的中线，所以， ， 函数在上单调递增，故在没有最小值，B错误； C选项，由得， 即，解得，C正确； D选项，因为，所以， 当为锐角三角形时，由得，所以， 由正弦定理得，，D错误. 11．ACD 【分析】根据化简，结合角的关系及倍角公式判断C，由边角关系及判断A，借助三角恒等变换公式及正弦定理与面积公式计算可判断D，结合正弦定理可将原式化为与角有关的等式，再利用换元法及基本不等式判断B即可. 【详解】对于C，由题意得， 且， 因为，， 可得， 所以， 所以，故C正确， 对于A，由，则，可得， 由已知得，故，解得，故A正确， 对于D，由，则，故， 由，则，则， 故，，由，， 得到， 由正弦定理可得，则， ， 故，故D正确， 对于B，由正弦定理得， 又，故 ， 令，因为，所以，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 得到的最小值为，故B错误. 12． 【详解】∵ 在中，，，， 由余弦定理可得，∴ . 设外接圆的半径为，由正弦定理， ∴ . 13．27 【分析】根据正弦定理计算即可. 【详解】由题意可得，在中，，，米， 所以. 利用正弦定理可得，可得. 因为，所以在中，米. 14． 【分析】根据二倍角公式，将化为，再利用正弦定理得.从而，通过为锐角三角形，确定的范围，然后构造函数，利用函数的单调性求的取值范围. 【详解】由，得， 即， 根据正弦定理，上式可化为. 又. 因为为锐角三角形，所以，得， 所以，得，所以. ，得， 所以，得，所以， 因此，有. 令，则， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即. 15．(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理结合题设可得答案； （2）由正弦定理结合题设可得答案. 【详解】（1）由余弦定理知，， 因为，所以； （2）由正弦定理知，，所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理即可. （2）由计算出，再利用正弦定理即可. 【详解】（1）由余弦定理得. 因为，所以. （2）因为，且， 所以. 由正弦定理，得，即. 解得． 17．(1) (2)证明：因为，所以，， 在中，由正弦定理可知，即， 则， 在中，由正弦定理可知，即，则， 又， 所以， 又， 所以或， 又为的内角，且， 所以，故平分． 【分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理即可求解； （2）在中，根据正弦定理得出，同理得出，再根据列出等式整理得，再结合即可证明． 【详解】（1）由，由正弦定理得， 由余弦定理可知， 又，则． （2）略 18．(1)因，且，则， 由和正弦定理可得， 因， 代入可得， 将，，代入可得：， 即，又因，故. (2)6 【分析】（1）利用同角的三角函数关系求得，结合题设条件与正弦定理，和角公式化简即可得证； （2）利用正弦定理将边用边表示，再用余弦定理列方程求出边，最后代入三角形面积公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，由正弦定理，可得， 因点是的中点，则，在中，， 由余弦定理，， 将代入整理得，即， 则， 故的面积为. 19．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正弦定理和变形得到，从而求出； （2）（i）由的面积得到方程，求出，由余弦定理得，从而得到三角形周长； （ii）由为锐角三角形，得，在中，由正弦定理得到方程，求出，，变形得到，由，得到面积的取值范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 因为，所以，即， 可得， 因为，所以. （2）（i）由以及的面积为，得，则， 因为，由余弦定理得，得， 解得，所以的周长为； （ii）为锐角三角形，，故，且 解得. ，分别平分角，角，则，，. 在中，由正弦定理得， 即，. 又由，得， 所以 . 由，得，故， 因此面积的取值范围为. 答案第8页（共10页） 答案第7页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $