第三章图形的相似单元综合培优检测试题2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第三章图形的相似单元综合培优检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的是(    ) A. 矩形都是相似图形 B. 各角对应相等的两个五边形相似 C. 正方形都是相似图形 D. 等腰三角形都是相似图形 2.已知，，，，，六条线段满足，若，那么的值为(    ) A. B. C. D. 3.如图，每个小正方形的边长都是，则下列阴那三角形与相似的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，下列条件不能判定的是(    ) A. B. C. D. 5.已知点是线段的黄金分割点，且，则下列各式不正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，正方形和正方形是位似图形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是(    ) A. B. C. 或 D. 或 8.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中有边长分别为，，的三个正方形，则，，满足的关系式为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点给出下列结论： ∽；；；． 其中正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知，则          ． 12.如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为          ． 13.如图，在中，，，：：动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿向点移动，点以的速度沿向点移动．经过          ，以，，为顶点的三角形与相似． 14.如图，在中，，分别是边，上的点，且若，则          ． 15.如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像，若物体的高为，实像的高度为，则小孔到地面距离为          ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 如图，四边形四边形． 的度数为          ，四边形与四边形的相似比为          ； 求边，的长． 17.本小题分 已知长，宽的矩形黑板． 如图，若矩形黑板四周有宽为的边框区域，则图中的矩形与矩形相似吗？请说明理由． 如图，当          时，图中的矩形与矩形相似． 18.本小题分 如图，是的边上一点，连接，已知求证：∽． 19.本小题分 如图，点，分别在正方形的边，上，，，求证：∽． 20.本小题分 在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． 将绕点逆时针旋转得到，请画出； 以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的相似比为； 在中，的面积为          ． 21.本小题分 如图，在中，，． 求证：． 若，，求的长． 22.本小题分 【问题背景】一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图，已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明． 【尝试证明】请参照小慧提供的思路，利用图证明：． 【应用拓展】如图，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长． 23.本小题12分 【感知】 如图，在四边形中，点在边上不与、重合，，易证：不要求证明． 【探究】 如图，在四边形中，点在边上点不与点、重合，． 求证：； 若，求的长． 【应用】 如图，在中，，点在边上点不与点、重合，连结，作，与边交于点． 当是等腰三角形时，直接写出的长 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.C 2.C 3.C 4.D 5.C 6.B 7.D 8.D 9.B 10.D u唱 号 14.1.25 15.15 8 16.【小题1】 48 32 【小题2】 解“边形AnD-政形AgGD想瓷品是 又B"C'=8,C'D'=10,BC=3x8=12,CD=3x10=15. 17.【小题1】 解：不相似.理由如下： AB=30,A'B'=30-2=28,BC=20,B'C'=20-2=18, 28≠18 而3020 .矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似. 【小题2】 1.5或9 18.证明：'∠CDA+∠BDC=180°，∠BCA+∠BDC=180°， .∠CDA=∠BCA」 第1页，共1页 .'∠CAD=∠BAC, ∴.△ADC∽△ACB. 19.证明：BE=3,EC=6,CF=2,∴.BC=3+6=9..四边形ABCD是正方形，.AB=BC=9, R=/G=0尝-号号器-是8器△A△Cr 20.【小题1】 解：如图，△A1B1C1即为所求. 【小题2】 如图，△A2B2C2即为所求. 【小题3】 8 21.【小题1】 证明：EF/CD,.AF=AE FD EC :DE1BC,·BEC AD_AE AF-AD FD DB' 即AF:FD=AD:DB. 【小题2】 AD:BD=2:1,..AD=2x,BD=x ,AB=AD+BD,∴.15=2x+X,解得x=5.∴.AD=10 第2页，共1页 由1海，58-是设=2y0=y ·AD=AF+DF,10=2y+y,解得y= 31 .DF=10 22.【小题1】 证明：.CE//AB,∴.∠E=∠DAB,∠ECD=∠B, △caD△BD,货8 .AD是△ABC的角平分线，∴.∠DAB=∠CAD, ∠E=∠CAD,CE=CA,AB=BD ·ACCD 【小题2】 解：，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的点E处， ∴.∠CAD=∠BAD,CD=DE (1)可知， AB_BD AC CD 又AC=1,AB=2异-00-2CD BAC=90..BC=VAC2+AB2=V12+22=5 BD+CD=/5,3CD=5,DE=CD-5 1 23(1证明：：∠A=∠B=∠DPC' .∴.∠ADP=180°-∠A-∠APD,∠BPC=180°-∠DPC-∠APD, .∠ADP=∠BPC, .△DAP一△PBC. (2)解：.△DAP一△PBC, …盼能 .AD=2,AB=10,BC=8, 设AP=X,则PB=AB-AP=10-X, 02×音整理得2-10x+16=-0, 第3页，共1页 解得X1=2,X2=8, ∴.AP=2或AP=8. (3)解：.'AC=BC=8, .∠A=∠B, .∠CPE=∠A, ∴.∠A=∠B=∠CPE, .∠ACP=180°-∠A-∠APC,∠BPE=180-∠CPE-∠APC, .∴.∠ACP=∠BPE, .△ACP一△BPE, AC=AP_PC PB BE PE' .AC=BC=8,AB=12, 设AP=X,则PB=AB-AP=12-X, ,'△CPE是等腰三角形，且∠CEP=∠B+∠BPE>∠B=∠CPE, 故只有两种情形解答，具体如下： 当PC=PE时， .AC-AP=1. ·PBBE ∴.PB=AC=8, .AP=AB-PB=12-8=4: 当CE=PE时，则∠CEP=∠B=∠PCE=∠A, ∴.△CAB~△EPC, .AC=AB=BC EP PC CE 设CE=PE=X,则PC=AB.CE=3X 根据前面证明，得△ACP一△BPE, 小%能 3 X .8=2, PB x 第4页，共1页 解得PB=16 , .AP=AB-PB=20 : 综上所述，AP的长为4或20 第5页，共1页