精品解析：河南省新乡市牧野区河南师范大学附属中学2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学试卷

2025—2026学年第一学期九年级第二次月考《数学》试卷 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的几种形式∶或或的函数是反比例函数． 根据反比例函数或或的形式解答即可． 【详解】解∶A．是反比例函数，故该选项不符合题意； B．是正比例函数，故该选项符合题意； C．是反比例函数，故该选项不符合题意； D．是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选∶B． 3. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 在标准大气压下，水在时沸腾 B. 当湘江水位高于橘子洲亲水平台，江水必然会漫上洲岸 C. 在同一平面内任意画一个三角形，它的内角和为 D. 使用手机绿色出行小程序，在一次碳积分抽奖中赢得奖励 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查事件的分类，掌握随机事件的定义，关键区分事件是否具有确定性． 随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，选项A、B、C描述的事件都是必然发生的，属于必然事件；选项D描述的事件具有不确定性，属于随机事件． 【详解】解：∵ A：在标准大气压下，水在时沸腾是必然事件； B：当水位高于平台时，江水漫上洲岸是必然事件； C：三角形内角和恒为是必然事件； D：抽奖赢得奖励可能发生也可能不发生，是随机事件． 故选：D． 4. 如图，两条直线被三条平行线所截，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，证得，再证明，证得，代入已知线段求得，从而可求得． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，点在反比例函数的图象上，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若，，则该反比例函数的表达式为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．依据题意，由当时，反比例函数的图象在第二象限，则，又，，则，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，当时，反比例函数的图象在第二象限， ． 又，， ． ． 反比例函数为． 故选：C． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和判别式，需同时满足二次项系数不为零和判别式非负． 根据一元二次方程的定义和判别式非负的条件，列出不等式组求解． 【详解】∵方程为一元二次方程， ∴，即． 又∵方程有实数根， ∴． 解得． 综上，且． 故选：C． 7. 如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，由弧与弦之间的关系可得，由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由圆内接四边形对角互补可得． 【详解】解：， ∴， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴ ， 故选：A． 8. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图像经过的象限，掌握知识点是解题的关键． 分类讨论：①当时，，②当时，，逐项分析判断即可． 【详解】解：①当时，， ∴一次函数经过第二、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，选项C符合题意； ②当时，， ∴一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数经过第二、四象限，所有选项都不符合题意； 故选C． 9. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，的直角三角形的特点，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．根据圆内接正多边形的性质与的直角三角形的特点可得的长，根据三角形的面积公式即可求得正八边形的面积，即可求解． 【详解】解：圆的内接正八边形的面积可以看成8个全等的等腰三角形组成， ∴等腰三角形的顶角为， 设圆的半径为1， 如图为其中一个等腰三角形， 过点作交于点， ∵， ∴， 则中，， ∵， ∴， 即， ∴ 故正八边形的面积为， 圆的面积为， 用圆内接正八边形面积近似估计的面积可得的估计值为． 故选：． 10. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对②进行判断；时，，可对③进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为． ∴时，，即， ∵， ∴，故③错误； ④∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点． ∴一元二次方程无实数根． 故④正确， 故选：C． 二、填空题（共5小题，共15分） 11. 已知，，在反比例函数的图象上，、、的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由可得反比例函数图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用树状图法或列表法求概率，熟练掌握相关方法是解题关键．先画出树状图，则可得同时转动两个转盘一次共有6种等可能的结果，其中，配成紫色的结果有1种，再利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，同时转动两个转盘一次共有6种等可能的结果，其中，配成紫色的结果有1种， 则配成紫色的概率为， 故答案为：． 13. 如图，中，，，．将绕点旋转得到，其中，分别为，的对应点，若旋转后点落在边上，连接，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，，求出，，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵将绕点旋转得到，其中，分别为，的对应点， ∴，， ∵旋转后点落在边上， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是的内接三角形，是的直径，弦，垂足为．设，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据圆周角定理得到、，根据勾股定理得到，根据扇形和三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，是的直径，连接， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 图中阴影部分的面积， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理、垂径定理、圆周角定理、扇形面积的计算等知识点，将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键． 15. 如图，点E是内一动点，且，，，连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质、直角三角形圆周角性质、三角形中位线定理，涉及知识点：直径所对圆周角为直角、中位线平行且等于第三边的一半、勾股定理。解题方法是确定点E的轨迹（以为直径的圆），利用中位线将转化为的一半，通过构造直角三角形求的最小值；解题关键是找到的轨迹圆心，计算圆心到的距离，易错点是忽略E的轨迹范围。解题思路：先确定E在以为直径的圆上，求圆心到的距离，得最小值，再由中位线得最小值。 【详解】解：连接，如图， ∵的中点为， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． ∵点是内一动点，且， ∴点的运动轨迹为以为直径的半圆， 设的中点为，连接， ∴当三点共线时，此时最小，如图， ∵， ∴， 过点作，交的延长线于点，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 三.解答题 16. 解一元二次方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用公式法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解： ，， ∴ ∴ ∴，； 【小问2详解】 解： ∴ 或 解得：，． 17. 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有200名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这200名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，163，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______； （2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为_____度； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率． 【答案】（1）；163 （2）350；108 （3） 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、由样本估计总体、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数和众数的定义计算即可得出结果； （2）先求出全校男生的总人数，再乘以选择B项目的男生所占的比例即可；用乘以D项目所占的比例即可得出结果； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，将该组数据按照从小到大排列，处在第、第位的数据为162、163，故中位数为； 该组数据中出现次数最多的为，故众数为； 【小问2详解】 解：由题意可得，全校男生的总人数为：（人）， 故估计选择B项目的男生共有人， 扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为度； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， ∴甲和乙同学同时被选中的概率为． 18. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）是轴上一点，且，求点的坐标； 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，直线围成的图形的面积等知识，注意数形结合． （1）把点A的坐标代入反比例函数中，求得m的值，即可求得反比例函数解析式；将B点坐标代入所求反比例函数式中，可求得n的值，从而得点B的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设，即，由可求得的面积为3，则得，即可求得点M的坐标． 【小问1详解】 解：将A点代入反比例函数中，得， 解得：， ∴反比例函数表达式：， 将B点代入反比例函数中，得， 解得：，即， 将A、B两点代入一次函数中， 得， 解得：， ∴一次函数表达式为：； 【小问2详解】 解：设，即，如下图， 对于一次函数， 令，则，即， ∵，， 而 ， ∴，解得：， ∴或． 19. 如图，在中，，，以边上一点为圆心，为半径作，恰好经过边的中点，并与边相交于另一点． （1）求证：是的切线． （2）若，是半圆上一动点，连接，，．当弧的长度是______时，四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，由直角三角形的性质并结合题意可得，由等边对等角得出，，求出，即可得证； （2）证明为等边三角形，得出，由直角三角形的性质并结合勾股定理求出，，当时，，此时，，则为等边三角形，从而可得，进而得出四边形为菱形，再由圆周角定理可得，最后由弧长公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，， 当时，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴此时的长度为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、证明直线是圆的切线、弧长公式、菱形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 20. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征研究函数的对称性、增减性、最值，以及与方程和不等式的关系等等．参照学习函数的过程与方法，创新小组对函数的性质进行了探索： （1）该函数的自变量取值范围是______； （2）填写下列表格中，的值，并在平面直角坐标系中画出函数的各点， 分别用光滑的曲线顺次连接起来； … 0 1 2 3 4 … … 2 1 … （3）观察图象并分析表格，下列问题的结论正确的有______； ①该图象可看作是由的图象向左平移1个单位而得到的； ②随的增大而减小； ③该图象是轴对称图形； ④该图象的两个分支关于原点中心对称． （4）不等式的解集为______； 【答案】（1）； （2），； 在平面直角坐标系中画出函数的图象如图： （3）①； （4）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象的性质，数形结合是解题的关键． （1）由分式的性质知，，即可求解； （2）根据题目条件描点、连线，画出函数图象即可； （3）观察图象并分析表格，逐一进行判断即可； （4）画出直线，并观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：由分式的性质知，，即； 故答案为：； 【小问2详解】 当时，， 当时，， ∴， 【小问3详解】 观察图象并分析表格， ① 该图象可看作是由的图象向左平移1个单位而得到的，故①正确； ②时，随的增大而减小，时，随的增大而减小，故②错误； ③ 该图象是中心对称图形，故③错误； ④ 该图象的两个分支关于点中心对称，故④错误． 故答案为：①； 【小问4详解】 ∵ 直线过点，， ∴ 观察图象可知，不等式的解集为或． 故答案为：或． 21. 如图，和都是的高，相交于F点，连接． （1）求证：； （2）若点D是的中点，，，则的长为_______． 【答案】（1） 证明：和都是的高， ， ， ， ，即， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定，即，再根据即可证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，由（1）， 可得，再根据勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点D是的中点，， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 22. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即），小孔顶点N距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求出大孔抛物线的解析式； （2）航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； 【答案】（1） （2） 该巡逻船能安全通过大孔，理由如下： 由（1）得：大孔抛物线的解析式为， 将代入得：， 因为， 所以该巡逻船能安全通过大孔． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）先求出顶点坐标，，再设大孔抛物线的解析式为，将点代入求解即可得； （2）求出当时，的值，与进行大小比较，由此即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：大孔抛物线的顶点坐标，，，即，， 设大孔抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 所以大孔抛物线的解析式为． 【小问2详解】 略 23. 如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． （1）发现 ①线段与线段之间的数量关系是________， ②直线与直线之间的位置关系是________ （2）探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． （3）应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 【答案】（1）①；②； （2） 解：（1）中结论还成立，证明如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，延长，交于点，交于点， ∵， ∴ ， ∴； （3），或． 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质可得，由题意可得，证明，即可得出；②延长交于点，则，由①可得，由相似三角形的性质可得，求出，即可得出结果； （2）由矩形的性质可得，证明，结合题意得出，即可推出，从而可得，，则，延长，交于点，交于点，再由，计算即可得出结果； （3） 两种情况：当点、、在同一直线上，且点在线段上时；当点、、在同一直线上，且点在线段上时；分别求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：①∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长交于点， ， ∵， ∴， 由①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， 同理可得：，， ∴，； 综上所述，，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期九年级第二次月考《数学》试卷 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 在标准大气压下，水在时沸腾 B. 当湘江水位高于橘子洲亲水平台，江水必然会漫上洲岸 C. 在同一平面内任意画一个三角形，它的内角和为 D. 使用手机绿色出行小程序，在一次碳积分抽奖中赢得奖励 4. 如图，两条直线被三条平行线所截，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在反比例函数的图象上，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若，，则该反比例函数的表达式为( ) A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5小题，共15分） 11. 已知，，在反比例函数的图象上，、、的大小关系是______． 12. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是______． 13. 如图，中，，，．将绕点旋转得到，其中，分别为，的对应点，若旋转后点落在边上，连接，则的长是______． 14. 如图，是的内接三角形，是的直径，弦，垂足为．设，，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，点E是内一动点，且，，，连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为________． 三.解答题 16. 解一元二次方程： （1）． （2）． 17. 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有200名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这200名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，163，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______； （2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为_____度； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率． 18. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）是轴上一点，且，求点的坐标； 19. 如图，在中，，，以边上一点为圆心，为半径作，恰好经过边的中点，并与边相交于另一点． （1）求证：是的切线． （2）若，是半圆上一动点，连接，，．当弧的长度是______时，四边形是菱形． 20. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征研究函数的对称性、增减性、最值，以及与方程和不等式的关系等等．参照学习函数的过程与方法，创新小组对函数的性质进行了探索： （1）该函数的自变量取值范围是______； （2）填写下列表格中，的值，并在平面直角坐标系中画出函数的各点， 分别用光滑的曲线顺次连接起来； … 0 1 2 3 4 … … 2 1 … （3）观察图象并分析表格，下列问题的结论正确的有______； ①该图象可看作是由的图象向左平移1个单位而得到的； ②随的增大而减小； ③该图象是轴对称图形； ④该图象的两个分支关于原点中心对称． （4）不等式的解集为______； 21. 如图，和都是的高，相交于F点，连接． （1）求证：； （2）若点D是的中点，，，则的长为_______． 22. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即），小孔顶点N距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求出大孔抛物线的解析式； （2）航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； 23. 如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． （1）发现 ①线段与线段之间的数量关系是________， ②直线与直线之间的位置关系是________ （2）探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． （3）应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $