精品解析：江苏南京仙林外国语学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2026－2027学年第一学期初三年级第一次融合作业（数学作业） 一、选择题（每题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、化简得，整理为，不是一元二次方程； B、分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程； C、是一元二次方程； D、含两个未知数，不是一元二次方程． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3. 已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（ ） A. 第二、四象限 B. 第一、三象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限． 【详解】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． 4. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）． A. 点，均在其图象上 B. 函数图象在第二、四象限 C. 若，则x的取值范围是 D. 该函数图象上有两点，，若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐个判断各选项的说法，即可得到答案． 【详解】解：A选项：将代入，得，所以点在图象上；将代入，得，所以点也在图象上，A说法正确，不符合题意； B选项：因为，所以反比例函数图象位于第二、四象限，B说法正确，不符合题意； C选项：令，代入得，解得，因为，在第四象限内随增大而增大，所以当时，的取值范围是，C说法正确，不符合题意； D选项：反比例函数仅在每个象限内满足随增大而增大，若两点不在同一象限，结论不成立，例如取，，满足，此时，，有，不满足，D说法错误，符合题意． 5. 下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性． 【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确； ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误； ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误； ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误； 综上，正确的说法共个． 6. 如图，正方形的边长为8，若经过C，D两点的与直线相切，与相交于点E，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理可知是的直径．设与边的切点为F，连接并延长交于G点，由切线的性质可知，进而可得，由垂径定理可得．设的半径为r，在中，根据勾股定理列方程可求得，则可得，再根据勾股定理可求得，则可得，进而即可得解． 【详解】解：∵四边形是边长为8的正方形， ∴，， 连接， ∵， ∴是的直径， ∴O点是的中点， ∵与直线相切， 设与边的切点为F，连接并延长，交于G点， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，且， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ ∴． 二、填空题（每题3分） 7. 双曲线过点，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵双曲线过点， ∴． 8. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系，得两根之和为：， ∵已知一个根为， ∴， 解得：． 9. 如图，是的内接三角形，于点，若，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】如图所示，连接，，由圆周角定理得到，由等腰三角形三线合一的性质得到，，再解求出，则． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 10. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解． 【详解】解：将方程变形为， 设，则原方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴有一个根为， 即，解得， 因此一元二次方程必有一个根为． 11. 如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，．   ，  ．  四边形内接于 ，  ， ． 12. 如图，△ABC的周长为8，⊙O与相切于点D，与的延长线相切于点F，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据切线的性质得出，，再由等量代换求解即可． 【详解】解：∵的延长线与圆分别相切于点E、F， ∴， ∵圆O与相切于点D， ∴， ∴， ∵的周长等于8， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为4． 【点睛】题目主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题关键． 13. 如图，是的一条弦，的延长线交于点D．若，，则的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据，得出，设，则，然后根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即． 14. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】 15 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ，可得， 根据根与系数的关系可得， 展开所求代数式：， 将代入得：， 将代入得：． 15. 如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】过点A作于点E，设，求得，，得到，于是得到结论． 【详解】解：过点A作于点E，设． ， ∵点A是的中点， ， ∵ 的图象经过点A， ， ． ∵点D在反比例函数的图象上， ， ， ． 16. 如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，连接，则线段长的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】先证明P点在以AB为直径的圆上，连接OC与圆交于P点，此时PC有最小值，用勾股定理求出C到圆心的距离即可． 【详解】解：，， ， 点在以AB为直径的圆上运动，取AB中点O，如图所示作圆，连接OC交圆O于，此时取得最小值， ， ， ， ， 故答案为4． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、圆外一点到圆上的最短距离、勾股定理；本题的关键在于摸清P点的运动轨迹，将问题转换成圆外一点到圆上的最短距离问题． 三、解答题（共72分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两根为，，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据“方程有两个不相等的实数根”可知判别式,列不等式即可求出的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，结合已知，求出两根的值，再通过两根之积求出的值． 【小问1详解】 解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 19. 如图，的弦AB、CD的延长线相交于点，且．求证：． 【答案】 证明：连接AC， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用等式的性质可得，从而可得，即可解答． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质、圆周角，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出当时，的取值范围； （3）点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． 【答案】（1） ； （2）  或  （3）或． 【解析】 【分析】（1）因为点A在一次函数上，所以将A点横坐标代入一次函数可求出n的值，得到A点完整坐标，再代入反比例函数​即可求出k，得到反比例函数表达式． （2）先求出B点坐标，结合函数图象的上下位置关系，分、判断一次函数值大于反比例函数值的x范围． （3）先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，那么的面积可表示为与的面积的差，设P点坐标为，根据面积公式列方程求解即可得到P点坐标． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数上，  ∴， 即． 把代入反比例函数， 得， 解得， ∴反比例函数表达式为． 【小问2详解】 解：将代入， 得， 解得， 即． ∵不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的范围． 结合两个函数的图象：反比例函数在和两个分支，两个交点横坐标为1和3， ∴满足条件的范围是或． 【小问3详解】 解：对：令，得， 即． 设点坐标为， 则轴上线段的长度为． ∵ ， 代入，，，得 ， 化简得， 解得或， ∴的坐标为或． 21. 如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边上要造一个1米宽的门，在边上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 【答案】垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米，则，再结合长方形仓库的面积列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米， 边需要铁栏米，边需要铁栏米，边需要铁栏米， 铁栏总长为米， ， ， 长方形仓库面积为84平方米， ，即， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 即垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 22. 图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知： ①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系； ②定值电阻，总电阻； ③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例； ④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． （1）求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； （2）求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设​关于的一次函数解析式为，代入图3给出的两组坐标点，求解待定系数得到函数关系式． （2）设关于的反比例函数解析式为，先利用已知条件时的值，结合第一步得到的与的关系求出对应的，再计算总电阻，代入反比例式求解，得到与的函数关系式． 【小问1详解】 解：设关于的一次函数为． 由图3可知，该函数过点和， ∴， 解得， ∴函数关系式为：． 【小问2详解】 解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）． 当物体质量时，代入（1）的结论， 得， 总电阻， 此时． 将、代入反比例式， 得． ∴函数关系式为：． 23. 如图，点，，，，在上，且． （1）求证：； （2）若，，则的半径为_______． 【答案】（1）证明见解析； （2）的半径为． 【解析】 【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证； （2）连接、、、，作交于点，结合弧、弦、圆心角的关系证明，结合三线合一定理证明过点，设，，结合勾股定理推出后即可求得的半径． 【小问1详解】 证明：， ， 即， ． 【小问2详解】 解：连接、、、，作交于点， ， ， 即， ， ∵，， ， ∵ 是中线，即， ∴过点， 设，， 中，， 中，， ， ， ， ， 代入， 解得， 即的半径为． 24. 请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，过点P作的一条切线； （2）如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； （3）如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 【答案】（1） 解：如图①，直线即为所求； （2） 解：如图②，点Q即为所求； （3） 解：如图③，直线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、切线的判定、圆周角定理、垂径定理，根据题意正确作图是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点，再以M为圆心，为半径画圆，交于点，连接，根据圆周角定理得到，则切线即为所求； （2）连接，过点作的垂线，直线交直线l于点Q，根据垂径定理可得弦被点P平分，则点Q即为所求； （3）过点O作的垂线，垂足为G；以点O为圆心，长为半径作小；作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作，交小于点H，根据圆周角定理得到；作直线，交于点C，D，则，则直线即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年第一学期初三年级第一次融合作业（数学作业） 一、选择题（每题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（ ） A. 第二、四象限 B. 第一、三象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 4. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）． A. 点，均在其图象上 B. 函数图象在第二、四象限 C. 若，则x的取值范围是 D. 该函数图象上有两点，，若，则 5. 下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，正方形的边长为8，若经过C，D两点的与直线相切，与相交于点E，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每题3分） 7. 双曲线过点，则k的值为_______． 8. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 9. 如图，是的内接三角形，于点，若，则___________． 10. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 11. 如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． 12. 如图，△ABC的周长为8，⊙O与相切于点D，与的延长线相切于点F，则的长为_____． 13. 如图，是的一条弦，的延长线交于点D．若，，则的长是______． 14. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则______． 15. 如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 16. 如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，连接，则线段长的最小值为________． 三、解答题（共72分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两根为，，且，求m的值． 19. 如图，的弦AB、CD的延长线相交于点，且．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出当时，的取值范围； （3）点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． 21. 如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边上要造一个1米宽的门，在边上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 22. 图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知： ①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系； ②定值电阻，总电阻； ③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例； ④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． （1）求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； （2）求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式． 23. 如图，点，，，，在上，且． （1）求证：； （2）若，，则的半径为_______． 24. 请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，过点P作的一条切线； （2）如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； （3）如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $