精品解析：上海市建平中学2026-2027学年第一学期10月教学质量检测高三数学试卷

建平中学2026学年第一学期10月教学质量检测高三数学试卷 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知全集，集合，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义进行求解即可. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为： 2. 若复数（其中 表示虚数单位）， 则__________. 【答案】-3 【解析】 【详解】， 所以. 3. 设 ，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义，函数在处的导数等于，求出，将代入得解. 【详解】，，， . 4. 已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 5. 设 ，若 ，则 的最小值为____________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧，再由基本不等式求最值即可. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 6. 在中，已知三边之比为，则该三角形最大角的余弦值为___． 【答案】## 【解析】 【详解】不妨设三边边长分别为、、，显然最大角为边长为所对的角， 由余弦定理，该角的余弦值为． 7. 分别以，为定义域和值域的函数共有________个． 【答案】30 【解析】 【详解】要保证值域是，本质上就是把定义域中的个元素分为两组，一组对应，一组对应，且两组都不能为空， 设映射到的元素个数为，那么： 不能是（否则值域只有）； 不能是（否则值域只有），所以只能取 ，我们只需从 个元素中任选个作为对应的元素，剩下的自动对应， 计算组合数总和： 对应的有个：个； 对应的有个：个； 对应的有个：个； 对应的有个：个， 总数为：个. 8. 设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是__________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，，所以， 展开式中，的系数为. 9. 已知，和是方程的两个根，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理、两角和的正切展开式计算可得答案. 【详解】由题意和是方程的两个根， 则由韦达定理可知：， 所以，则，即. 10. 双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】以最小半径所在圆的圆心为原点建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，将上口和下口边缘点的坐标代入方程，通过消去参数b求得高度之比. 【详解】以最小半径所在圆的圆心为坐标原点，水平直径为轴，竖直中心轴为轴建立坐标系， 设双曲线标准方程， 冷却塔最小半径对应双曲线实半轴，故， 上口边缘点：（，上半部分高度）， 下口边缘点：（，下半部分高度）， 将代入双曲线方程，移项整理得， 将代入双曲线方程，移项整理得， 两式相除得， 因为，所以. 11. 在中，， ，，点是内一点，且满足 ，则 的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】取中点为，则，可得点三点共线，以为原点，为轴的负方向建立平面直角坐标系，利用坐标法转化为二次函数求值域即可求解. 【详解】取中点为，则， 所以，所以， 所以点三点共线， 如图，以为原点，为轴的负方向建立平面直角坐标系， 则， 所以， 设， 所以， 所以， 又因为， 二次函数在上单调递减，在上单调递增， ， 所以 12. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”. 将数列，进行“美好成长”，第一次得到数列，，；第二次得到数列，，，，；…，设第 次“美好成长”后得到的数列为 ，记 ，则数列 的通项公式为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由条件得到递推关系，再用待定系数法构造等比数列求解通项. 【详解】依题意，， ， ， 由得，， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列，故， 所以 二、选择题(本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分) 13. 期中考试后,为了分析高一年级1000名学生的学习成绩,从中随机抽取了200名学生的成绩单,就这个问题来说,下面说法中正确的是（ ） A. 1000名学生是总体 B. 每名学生是个体 C. 每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D. 样本容量是200 【答案】D 【解析】 【详解】A.总体是1000名学生的学习成绩，A错； B.个体是每名学生的成绩，B错； C.所抽取的样本是200名学生的成绩，不是每名学生的成绩，C错； D.样本容量是200，D正确. 14. 已知表示一条直线， 表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】B 【解析】 【详解】对选项A，若，则直线的位置关系为或，并非一定满足，故A错误； 对选项B，由面面平行的性质可知，若两个平行平面中的一个与一条直线垂直，则另一个平面也与该直线垂直， 因此当时，，故B正确； 对选项C，若，则与的位置关系可能为平行、相交或，并非一定垂直，故C错误； 对选项D，若，则或，并非一定满足，故D错误. 15. 已知是严格增数列，且满足：对任意正整数，数列中不大于的项的个数恰为.若存在正整数，使得，则的最小值是（ ）. A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可以得出数列的项需要满足的条件，从而要使正整数最小，则数列各项应尽可能大，从而可猜测数列的通项公式，再根据等差数列求和公式求解即可. 【详解】若存在最小的正整数，使得，则各项应尽可能大. 由题意，且是严格增数列，所以, 故数列的前项和，所以必然大于. 再验证时，存在符合该数列的所有性质，此时是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得. 综上，满足条件的的最小值是. 故选：. 16. 我们定义:若函数满足:对任意，都有 ，则该函数称为正弦约束函数.有如下两个命题: ① 存在无穷多个函数 在区间上是正弦约束函数，且最小值为，最大值为1; ②存在唯一的一个函数 ( )，使 在区间上是正弦约束函数.下列说法正确的是（ ） A. ① 是真命题， ② 是真命题 B. ①是真命题， ② 是假命题 C. ①是假命题， ②是真命题 D. ①是假命题， ② 是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干不等式可确定：时，，时，，通过构造不同分段函数，可证满足条件的函数有无穷多个，故命题①成立；利用函数连续性可推出在处必须为0，结合辅助角公式和相位取值范围，可证符合条件的正参数正弦型函数不存在，故命题②不成立. 【详解】对任意实数，不等式可等价拆解为： 当时，，当时，； 当时，不等式恒成立；后续开始讨论命题， ①在区间上，当时，，要求； 当时，，要求； 在点处，，不等式自动成立. 取参数，定义分段函数， 在上，，满足约束，且最大值为； 在上，，满足约束，且最小值为. 不同的对应不同的函数，因此存在无穷多个满足条件的函数， 且最值恰好为，题①为真命题； ②设， 由辅助角公式得， 考虑区间内点， 当时，，故， 由连续性得；当时，，故， 由连续性得，此必有. 同理可证对所有，都有. 正弦型函数相邻零点的间距为半个周期. 已知零点的间距为，因此 当时，的零点满足，即. 若是零点，则 ， 但，不可能等于整数倍，矛盾. 因此不存在满足条件的， 得到命题②中 “存在唯一” 的表述不成立，故命题②为假命题. 三、解答题(本大题共5题，满分78分) 17. 某单位承办了一项志愿者选拔的面试工作.现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数(保留两位小数). （2）现从以上各组中按分层随机抽样的方法选取部分担任本市宣传者.若这100名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为32，求第四组面试者的面试成绩的方差 . 【答案】（1）；平均数为；第百分位数为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，求出参数，再根据频率分布直方图的性质，求出总体的平均数和第60百分位数的估计值； （2）根据分层随机抽样的均值和方差的性质，根据总体方差的公式，求出第四组方差即可. 【小问1详解】 由题意可知频率分布直方图组距为， 所以，解得. 平均数为， 前两组频率之和为， 前三组频率之和为， 则第百分位数为. 【小问2详解】 这100名面试者中第四组和第五组面试者有人， 第四组和第五组所有面试者的面试成绩的平均数为， 由题意可得，解得. 18. 在直四棱柱中，底面四边形满足，，且，，侧棱． （1）设是的中点，求证：直线平面； （2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】（1）因为该四棱柱为直棱柱，底面，底面， 所以，且， 故可以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，．，， 所以，即． 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用已知条件表示向量，利用向量坐标运算得，得到，最后证得直线平面； （2）分别求出平面与平面的法向量，再结合二面角的平面角的概念，利用向量夹角公式求解即可. 最后进行计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设是平面一个法向量， 则，，， ，取得， 设是平面的一个法向量，， 取得， 设平面与平面的夹角为， 那么， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的大小为． 19. 已知函数，. （1）求函数图象在处的切线方程． （2）若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一点处的切线，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，的值，由此即可得解； （2）首先，由题意得出总存在，即的值域包含，由此即可列出不等式组求解. 【小问1详解】 ，，， 所以函数图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）可得，， 若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一点处的切线，使得， 即对任意的，总存在使得，即， 又， 从而的值域包含， 当时，的值域为， 所以，解得， 当时，的值域为， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 20. 已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限． （1）抛物线上一点到准线距离为4，求点到轴的距离； （2）直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； （3）是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义，抛物线上点到准线距离等于到焦点距离，先求出点横坐标，代入抛物线方程求纵坐标绝对值，即为点到轴距离； （2）设直线方程并联立抛物线，利用韦达定理得到坐标关系，写出直线方程，联立抛物线求出点坐标，利用距离公式列方程，求出参数，得到直线方程； （3）假设定点存在，利用斜率互为相反数的条件，结合韦达定理化简，根据等式对任意参数恒成立，令各项系数为，求出定点坐标． 【小问1详解】 抛物线：，，准线方程为． 设，抛物线上点到准线距离等于． 点到准线距离为，所以，得． 代入，得，． 所以点到轴的距离为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，，，    联立，得，所以，． 设直线的方程为，联立，得， 所以，由，两式相除可得，所以， 所以，化简得，解得， 又因为点在第一象限，所以，则，代入到中， 所以，解得，所以直线的方程为． 【小问3详解】 假设存在这样的，设，， 所以， 即， 化简得， 即， 即对任意恒成立， 所以，解得， 所以假设成立，即存在． 21. 对于函数 ，若实数 满足 ，则称 为 的不动点.已知 ，且 的不动点的集合为 .当 恰有一个元素时， 的取值集合记为 （1）若 ，求集合； （2）求集合； （3）记 表示集合 中的最小元素.若 ，数列 满足 ， .求证：对任意 ，. 【答案】（1） （2） （3）由（2）知，，所以，所以， 令. 由（2）知，在上单调递增，所以当时，， 所以当时，，即当时，， 故若，则，因此，若，使得， 则，从而， 重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而. 下面我们先证明当时，. 设， 则当时，，所以在上单调递减， 所以当时，，即当时，， 从而当时，， 从而当时，， 即当时，，故，即， 由于，所以，故， 故当时，. 所以，. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，令，利用导数求出函数的单调性， 即可求出零点，即可求出集合A，从而得解； （2）令，求出函数的导函数，再分两种情况讨论， 利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的零点个数，从而确定集合B； （3）由（2）可得，即可得到，即可得到， 先利用导数证明当时，，即可得到，从而得到， 即可放缩得到，利用等比数列求和公式即可证明． 【小问1详解】 当时，，令，即，整理得； 设，则， 因为，所以，故在单调递增； 又因为，所以仅有一个解，因此. 【小问2详解】 令，即，整理得； 设，则， 设，其判别式， ①当时，，所以在上单调递增. 又，所以在上恰有一个零点1， 即在上恰有一个不动点1，即集合A恰有一个元素，符合题意. ②当时，，故恰有2个零点，记为， 又，所以. 当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 又，所以在上恰有一个零点1，且， 又当时，，所以在上恰有一个零点， 从而至少有2个不动点，即集合A至少有2个元素，不符合题意. 综上，的取值范围为，即集合. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学2026学年第一学期10月教学质量检测高三数学试卷 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知全集，集合，则___________． 2. 若复数（其中 表示虚数单位）， 则__________. 3. 设 ，则 ______. 4. 已知，若幂函数是偶函数，则______________． 5. 设 ，若 ，则 的最小值为____________. 6. 在中，已知三边之比为，则该三角形最大角的余弦值为___． 7. 分别以，为定义域和值域的函数共有________个． 8. 设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是__________． 9. 已知，和是方程的两个根，则________. 10. 双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______． 11. 在中，， ，，点是内一点，且满足 ，则 的取值范围是__________. 12. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”. 将数列，进行“美好成长”，第一次得到数列，，；第二次得到数列，，，，；…，设第 次“美好成长”后得到的数列为 ，记 ，则数列 的通项公式为___________. 二、选择题(本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分) 13. 期中考试后,为了分析高一年级1000名学生的学习成绩,从中随机抽取了200名学生的成绩单,就这个问题来说,下面说法中正确的是（ ） A. 1000名学生是总体 B. 每名学生是个体 C. 每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D. 样本容量是200 14. 已知表示一条直线， 表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 15. 已知是严格增数列，且满足：对任意正整数，数列中不大于的项的个数恰为.若存在正整数，使得，则的最小值是（ ）. A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 16. 我们定义:若函数满足:对任意，都有 ，则该函数称为正弦约束函数.有如下两个命题: ① 存在无穷多个函数 在区间上是正弦约束函数，且最小值为，最大值为1; ②存在唯一的一个函数 ( )，使 在区间上是正弦约束函数.下列说法正确的是（ ） A. ① 是真命题， ② 是真命题 B. ①是真命题， ② 是假命题 C. ①是假命题， ②是真命题 D. ①是假命题， ② 是假命题 三、解答题(本大题共5题，满分78分) 17. 某单位承办了一项志愿者选拔的面试工作.现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数(保留两位小数). （2）现从以上各组中按分层随机抽样的方法选取部分担任本市宣传者.若这100名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为32，求第四组面试者的面试成绩的方差 . 18. 在直四棱柱中，底面四边形满足，，且，，侧棱． （1）设是的中点，求证：直线平面； （2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）． 19. 已知函数，. （1）求函数图象在处的切线方程． （2）若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一点处的切线，使得，求实数的取值范围． 20. 已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限． （1）抛物线上一点到准线距离为4，求点到轴的距离； （2）直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； （3）是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 21. 对于函数 ，若实数 满足 ，则称 为 的不动点.已知 ，且 的不动点的集合为 .当 恰有一个元素时， 的取值集合记为 （1）若 ，求集合； （2）求集合； （3）记 表示集合 中的最小元素.若 ，数列 满足 ， .求证：对任意 ，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $