精品解析：上海市实验学校2027届高三上学期9月月考数学试卷

上海市实验学校2027届高三数学试卷（2026.9） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分） 1. 设集合，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 2. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】应用分式不等式的解法求解集即可. 【详解】由题设，解集为. 故答案为： 3. 函数的定义域为________． 【答案】[2，+∞） 【解析】 【详解】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为. 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 4. 若，，则的取值范围是______（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式同向可加性求解. 【详解】由，得， 又， 故， 故答案为：. 5. 已知，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式、对数的运算法则进行变形. 【详解】. 6. 已知函数为奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出当时的函数值，再根据奇函数的性质得解. 【详解】因为函数为奇函数， 当时， 所以. 故答案为： 7. 设、，若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【详解】关于的不等式的解集为，可知且，即，代入不等式得，解得，即解集为(−1,2). 8. 已知为常数，若（其中是自然对数的底数）在区间上是严格减函数，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用复合函数的单调性可知函数在单调递减，结合二次函数的单调性可得出实数的取值范围. 【详解】设，则， 因为，所以在上单调递增； 若在是严格减函数，则函数在单调递减， 因为函数是开口向下的二次函数，其对称轴为，所以其减区间为， 则，即. 故实数的取值范围是. 9. 已知函数是定义在上以2为周期的偶函数，当时，．则函数在上的表达式=________． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数定义先求时解析式，再根据周期性可得即可求解. 【详解】当时，，所以， 因为是偶函数，所以； 当时，，所以， 又因为是定义在上以2为周期的函数，所以. 10. 若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______. 【答案】16； 【解析】 【详解】依题意，为偶函数， 展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16. 【考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力. 11. 掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，利用已知点坐标结合已知条件，求出的范围；对抛物线方程求导得到斜率表达式，结合条件得到，进而求出即可. 【详解】 以最高点为坐标原点，以水平向右为轴正方向，以竖直向下为轴正方向，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为. 则，. 由题意得，即，所以，取. 又，则. 易知为锐角，所以， 所以. 故出手角度的最大值为. 12. 已知函数满足与都是R上的严格增函数．若对任意这样的均有是R上的严格增函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数与单调性的关系得出，R，设，作出函数的图象和直线，利用数形结合思想求得参数范围. 【详解】由题意在R上恒成立，即在R上恒成立， 在R上恒成立，即在R上恒成立， 所以，R， 又是R上的严格增函数，所以在R上恒成立，即在R上恒成立， 因为是满足题意的任意函数， 所以， 设， 作出函数的图象和直线，如图，直线是过原点斜率为的直线， 当直线过点时，，， 当直线过点时，，， 如图所示，要使得恒成立，即直线在函数的图象的下方（最多只有一个公共点）， 所以时，，即，所以， 时，，，所以， 综上，， 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分） 13. 设，则下列不等式中正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式和不等式的传递性即可选出答案. 【详解】∵，由基本不等式得，∴ 故选：B. 14. 设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由图象过点解得a的值的集合，再由奇函数解得a的值的集合，由两个集合相等确定充要条件关系. 【详解】∵的图象经过点，， ∴ 又∵ ∴ ∵为奇函数， ∴ ∴ “的图象经过点”是“为奇函数”的充要条件. 故选：C. 15. 已知符号函数 是上的增函数，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：本题是选择题，可以用特殊法，符号函数，是上的增函数，，不妨令，则，，所以A不正确，B正确，，C不正确，D正确； 对于D，令，则， ，所以D不正确；故选B． 考点：函数与方程的综合应用 【思路点睛】符号函数或者说函数的新定义问题是高考中一类常考题目，此类题目一般难度不是很大，但想做出来也是很复杂的．所以做此类题目一定要弄清楚新定义函数的意思，然后根据函数的意义及性质，逐步进行解题．此题中新定义的函数，是分段函数的形式，且给了我们另一个函数以及与的关系，利用函数的性质代入即可得到所求答案． 16. 已知定义域为的函数满足：（1）对任意，恒有成立；（2）当时，.给出如下结论： ①对任意，有； ②函数的值域为 ③存在，使得； ④“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得”. 上述结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第（2）个条件得到②正确；利用反证法及2x变化如下：2，4，8，16，32，判断③命题错误；据①②③的正确性可得④是正确的． 【详解】①f（2m）＝f（2•2m﹣1）＝2f（2m﹣1）＝…＝2m﹣1f（2），正确； ②取x∈（2m，2m+1]，则∈（1，2]；f（）＝2，从而 f（x）＝2f（）＝…＝2mf（）＝2m+1﹣x，其中，m＝0，1，2，… 从而f（x）∈[0，+∞），正确； ③f（2n+1）＝2n+1﹣2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）＝9，即存在x1，x2，10，又，2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误； ④根据前面的分析容易知道该选项正确； 综合有正确的序号是①②④． 故选：C. 【点睛】本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 设，关于的不等式的解集为． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的定义分类讨论求解； （2）根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号求解. 【小问1详解】 ，不等式为， 时，不等式化为，解得，所以， 时，不等式化为，解得，所以， 综上，不等式的解为，； 【小问2详解】 由题意不等式无实数解， 时，不等式化为，解得，所以，解得， 时，不等式化为，解得，所以，解得， 综上，的取值范围是. 18. 为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市6.6万名高三学生中随机抽取600人，统计他们的日均睡眠时长及分布人数如下表所示： 睡眠时长（小时） 人数 150 270 180 注：睡眠时长在的为睡眠充足，在的为睡眠良好，在的为睡眠不足． （1）估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为多少？ （2）估计该市高三学生日均睡眠时长； （3）若从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取4人做进一步访谈调查，求这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率． 【答案】（1）4.95（万人） （2）（小时） （3） 【解析】 【分析】（1）由样本中日均睡眠时长大于等于6小时的频率估计总体即可； （2）用样本平均数估计总体平均数即可； （3）由古典概型结合组合数公式即可求解. 【小问1详解】 由题知，随机抽取的600人中日均睡眠时长大于等于6小时的人数为（人）， 所以估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为（万人）； 【小问2详解】 随机抽取的600人的日均睡眠时长为（小时）， 所以估计该市高三学生日均睡眠时长约为（小时）； 【小问3详解】 从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，抽样比例为， 所以睡眠时长在抽取（人）， 睡眠时长在抽取（人）， 睡眠时长在抽取（人）， 则从这20人中随机抽取4人，这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率为. 19. 设函数[]． （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求； （2）若曲线若在处取得极小值，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先求导数，再根据得a； （2）先求导数的零点：；再分类讨论，根据是否满足在处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围． 【小问1详解】 因为=[]， 所以 故，解得. 所以a的值为1． 【小问2详解】 由（1）得． 若，则当时，；当时，． 所以在处取得极小值． 若，则当时， ，， 所以． 所以2不是的极小值点． 综上可知，a的取值范围是． 20. 若A、B是抛物线上的不同两点，弦（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦是点P的一条“相关弦”．已知当时，点存在无穷多条“相关弦”．给定． （1）证明：点的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； （2）试问：点的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用点差法及中点坐标公式，求得，从而求得相关弦的垂直平分线所在直线方程，代入可得，由此得证. （2）结合（1）中结论，联立方程可得与关于与的关系式，再利用弦长公式可求得的表达式，由此利用二次函数的轴动区间定分类讨论与两种情况，从而得到点的“相关弦”的弦长的最值情况. 【小问1详解】 设为点的任意一条“相关弦”，且点的坐标分别是， 则，两式相减得， 因为，所以， 设直线的斜率为，弦的中点是，则， 从而的垂直平分线的方程为， 又点在直线上，所以， 而，于是， 故点的所有“相关弦”的中点的横坐标都是，即横坐标相同. 【小问2详解】 由（1）得，弦所在直线的方程为，，，， 将直线的方程代入，整理得， 所以， 则， 因为， 令，则，记，则， 当时，则， 因此当时，有最大值，即的最大值为； 当，则，在区间上是减函数，所以，即不存在最大值； 综上：当时，点的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为； 当时，点的“相关弦”的弦长中不存在最大值. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹. 21. 对给定的实数a，b，q，其中，.对于定义域为D的函数，区间，若满足以下两个条件： （i）对任意的，都有；（ii）对任意的，．则称为在区间上的一个“q-压缩函数”．区间上所有“q-压缩函数”构成的集合记作． （1）判断下列函数，是否属于集合？（直接写出结论） ①，②； （2）若满足对任意的，，求的取值范围； （3）若函数是区间上的“q-压缩函数”，且在I上的图像是一段连续曲线，求证：存在唯一的，使得． 【答案】（1）①不属于集合，②属于集合. （2） （3）证明：令，因为在上的图像是一段连续曲线， 所以在上也是连续的，且对任意， 所以由，则， 则，，即； 同理，则，，即. 若，或，则或， 故满足，使得； 若，且，则且，且在上连续， 则由零点存在性定理可知，，使得； 下面证明唯一存在性. 假设存在，，使得，， 则， 由题意函数是区间上的“q-压缩函数”， 但根据条件②，存在，使得， 即， 则，这与矛盾，故假设错误； 所以存在唯一的，使得． 【解析】 【分析】（1）通过对任意的，都有以及对任意的，两个条件，即可判断； （2）由化简可得，，令，，求导再由单调性即可求解； （3）由函数连续以及零点存在定理可证存在性，再由反证法以及“q-压缩函数”的条件可证唯一性，即可求解. 【小问1详解】 ①不属于集合，②属于集合. ①，，则；， ，而，所以不符合题意； ②，，则， ，在上单调递增， ，证明即可，即证， 即证，即证单调递减，令，， 所以得证，即，符合题意. 【小问2详解】 设 ， 所以，， 设，， 则在上为单调递增函数，在上为单调递减函数， ， 恒成立， 因为， 则，， 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市实验学校2027届高三数学试卷（2026.9） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分） 1. 设集合，，则______． 2. 不等式的解集为________. 3. 函数的定义域为________． 4. 若，，则的取值范围是______（用区间表示） 5. 已知，则________（用含的代数式表示）． 6. 已知函数为奇函数，则______. 7. 设、，若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为________． 8. 已知为常数，若（其中是自然对数的底数）在区间上是严格减函数，则的取值范围是________． 9. 已知函数是定义在上以2为周期的偶函数，当时，．则函数在上的表达式=________． 10. 若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______. 11. 掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）. 12. 已知函数满足与都是R上的严格增函数．若对任意这样的均有是R上的严格增函数，则的取值范围是__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分） 13. 设，则下列不等式中正确的是 A. B. C. D. 14. 设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知符号函数 是上的增函数，，则 A. B. C. D. 16. 已知定义域为的函数满足：（1）对任意，恒有成立；（2）当时，.给出如下结论： ①对任意，有； ②函数的值域为 ③存在，使得； ④“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得”. 上述结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 设，关于的不等式的解集为． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 18. 为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市6.6万名高三学生中随机抽取600人，统计他们的日均睡眠时长及分布人数如下表所示： 睡眠时长（小时） 人数 150 270 180 注：睡眠时长在的为睡眠充足，在的为睡眠良好，在的为睡眠不足． （1）估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为多少？ （2）估计该市高三学生日均睡眠时长； （3）若从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取4人做进一步访谈调查，求这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率． 19. 设函数[]． （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求； （2）若曲线若在处取得极小值，求的取值范围． 20. 若A、B是抛物线上的不同两点，弦（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦是点P的一条“相关弦”．已知当时，点存在无穷多条“相关弦”．给定． （1）证明：点的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； （2）试问：点的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示）；若不存在，请说明理由． 21. 对给定的实数a，b，q，其中，.对于定义域为D的函数，区间，若满足以下两个条件： （i）对任意的，都有；（ii）对任意的，．则称为在区间上的一个“q-压缩函数”．区间上所有“q-压缩函数”构成的集合记作． （1）判断下列函数，是否属于集合？（直接写出结论） ①，②； （2）若满足对任意的，，求的取值范围； （3）若函数是区间上的“q-压缩函数”，且在I上的图像是一段连续曲线，求证：存在唯一的，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $