精品解析：上海海事大学附属北蔡高级中学2026-2027学年高三上学期10月练习数学试题

2026学年海大附中高三年级数学学科10月练习 考生注意： 1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 已知全集，，则 _________ 2. 函数的定义域是_______． 3. 已知，则______． 4. 展开式中项的系数为___________． 5. 曲线（且）恒过定点P，则P点坐标为___________. 6. 若圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，则圆锥的侧面积为______________． 7. 若复数，则在复平面内对应的点在第________象限. 8. 已知函数若，则__________． 9. 已知函数是奇函数，且当时，，不等式的解集为___________. 10. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到B，在B处测得山顶P的仰角为，则山高为__________． 11. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则_______． 12. 已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）. 13. 设，，是的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 某校高二（1）班甲、乙两名同学参加“我爱记公式”比赛，他们答对每道题的概率分别为和，现甲、乙各自回答一道题，至少有1人答对的概率为（ ） A. B. C. D. 15. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 16. 设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得．那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，给出下列三个命题： ①若为等差数列，则为内和数列； ②若为等比数列，则为内和数列； ③若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列； 其中真命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）. 17. 已知向量.设. （1）求函数的最小正周期； （2）记的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长. 18. 如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）设，求直线与平面所成的角的大小. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，恒成立，求的取值范围． 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距与长轴之比为，、分别是椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于、的一点. （1）求椭圆的方程； （2）若点在直线上，且，求的面积； （3）过点作斜率为的直线分别交椭圆于另一点，交轴于点，且点在线段上（不包括端点、），直线与直线交于点，求的值. 21. 已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. （1）设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； （2）设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； （3）设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年海大附中高三年级数学学科10月练习 考生注意： 1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 已知全集，，则 _________ 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义直接求解. 【详解】由题全集，，所以. 故答案为：. 2. 函数的定义域是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数的定义可得，解不等式即可得出答案. 【详解】函数的定义域是， 所以，解得：或. 所以函数的定义域为：. 故答案为：. 3. 已知，则______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据两角和与差的正切公式即可求解. 【详解】已知，解得． 故答案为： 4. 展开式中项的系数为___________． 【答案】 【解析】 【详解】的通项为，令，解得， ，故展开式中项的系数为． 5. 曲线（且）恒过定点P，则P点坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令解析式中的指数，求出的值，再代入解析式求出的值，即得到定点的坐标. 【详解】解：由于函数恒经过定点（0，1）， 令，可得，代入得， 故函数（且）恒过定点的坐标为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查指数函数的图象过定点（0，1）的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的和的值，属于基础题． 6. 若圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，则圆锥的侧面积为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】只需求出圆锥底面周长以及圆锥母线长度即可. 【详解】圆锥底面半径、母线依次为，从而圆锥的底面周长为，侧面积为. 故答案为：. 7. 若复数，则在复平面内对应的点在第________象限. 【答案】一 【解析】 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：， 复数对应的点的坐标为，，在第一象限． 故答案为：一 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 8. 已知函数若，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式进行求解． 【详解】当时，； 当时，由，解得． 故． 故答案为：1 9. 已知函数是奇函数，且当时，，不等式的解集为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】先求出时的解析式，然后分，，分别解不等式即可. 【详解】当时，， 由得 或或， 解得或 故答案为：或 10. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到B，在B处测得山顶P的仰角为，则山高为__________． 【答案】 【解析】 【详解】已知A点仰角，斜坡倾斜角为，故， B点仰角为，则， ， 在中，由正弦定理， ，则， 在中，， 故山的高度． 11. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】设分别为的中点，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】设分别为的中点，连接， 在正三角形ABC中，，， 在正方形BCDE中，，，， 所以为二面角的平面角，即， . 故答案为：. 12. 已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个． 【答案】 【解析】 【分析】先将任意排列，依次将到插入该数列，考虑满足条件，求出其方法总数，即可得出答案. 【详解】由于，可以先将任意排列， 再将插入该数列，但不能在的左边且与相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在和的左边且与，相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在，和3的左边且与相邻，共有种， 以此类推，将插入该数列，共有种. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）. 13. 设，，是的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别验证充分性和必要性是否成立，结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性验证：当时，可得，充分性成立， 必要性验证：当时，取，，此时，但，因此必要性不成立， 综上，是的充分不必要条件. 14. 某校高二（1）班甲、乙两名同学参加“我爱记公式”比赛，他们答对每道题的概率分别为和，现甲、乙各自回答一道题，至少有1人答对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设甲答对概率，乙答对概率． 至少一人答对的概率为． 15. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，解得，，所以，， 即， 因为指数函数在单调递增，且，，， 所以， 当时，，，当时，，， 当时，，，当时，，， 当时，，， 所以. 16. 设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得．那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，给出下列三个命题： ①若为等差数列，则为内和数列； ②若为等比数列，则为内和数列； ③若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列； 其中真命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】对于命题①和命题②，取，结合内和数列的定义即可判断正误；对于命题③，内和数列为严格增数列，结合定义可求得，从而判断命题③. 【详解】对于命题①和命题②，设，可知正数数列既为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，①和②均为假命题； 对于命题③，因为，对任意，，可知存在， 使得，，则， 即，且内和数列为严格增数列，可知， 所以其伴随数列为严格增数列，命题③正确. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）. 17. 已知向量.设. （1）求函数的最小正周期； （2）记的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式将函数化简，从而可求得函数的最小正周期； （2）根据，求得，再根据的面积为，求得，再利用余弦定理即可得出答案. 【小问1详解】 由题意， ， 所以函数的最小正周期； 【小问2详解】 由得， 因为，所以，解得， 因为，所以， 由余弦定理得，所以. 18. 如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）设，求直线与平面所成的角的大小. 【答案】（1）连接，因为四边形为矩形，所以为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 可得，所以， 所以直线与平面所成的角为. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得切线方程斜率与切线所过点，据此可得答案； （2）分类讨论，两种情况下，的正负性可得单调区间； （3）由题可得，结合单调性，可得，最后由单调性可得答案. 【小问1详解】 若，则，． 又，所以， 故曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 的定义域为，． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 由，可得， 即， 令，易知单调递增， 由，可得， 则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，因此的取值范围为． 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距与长轴之比为，、分别是椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于、的一点. （1）求椭圆的方程； （2）若点在直线上，且，求的面积； （3）过点作斜率为的直线分别交椭圆于另一点，交轴于点，且点在线段上（不包括端点、），直线与直线交于点，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）设点、，利用可得出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程，可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积； （3）设、，设直线的方程为，其中，则，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出直线、的方程，求出点的纵坐标，即可求得的值. 【小问1详解】 解：由已知可得，可得，所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：设点、，易知、， ，， 由可得，解得，即点， 因为点在椭圆上，则，可得， 因此，. 【小问3详解】 解：设、，设直线的方程为，其中，则， 联立，可得，， 由韦达定理可得，， ，直线的方程为， ，直线的方程为， 可得 ，解得，即点， 因此，. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21. 已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. （1）设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； （2）设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； （3）设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 【答案】（1）函数和函数为T函数，理由：，， ，， ，且， 所以函数和函数的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据T函数的定义判断； （2）由T函数的定义求得，然后由基本不等式求得最小值； （3）先求得和的最小值和最小值点，根据题意得出，， 然后消去得关于的等式，构造函数使用同构法得出，，再利用导数求得的范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 函数和函数不是T函数， 所以，即， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是； 【小问3详解】 是减函数，又，所以， ，， 是上的增函数， 依题意，存在，使得①且②， 由①得，代入②得， 整理得，即③， 设，则③式为， 易知是增函数，所以，，， 设， 则，时，，递增，时，，递减， 所以，又， 所以的取值范围是， 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $