精品解析：浙江宁波市曙光中学等学校2026-2027学年上学期九年级数学10月联考试题

2026学年第一学期10月联考 九年级数学试题卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天将下雨 B. 买一张电影票，座位号是奇数号 C. 小丽到达公交汽车站台时，901路公交车正在驶来 D. 一只袋子中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球 2. 已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不确定 3. 抛物线与y轴交点的坐标是（ ） A. （0，3） B. （3，0） C. （1，0） D. （0，1） 4. 如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 6. 某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛．有同学预测“小明夺冠的可能性是”，则对该同学的说法理解最合理的是（ ） A. 小明夺冠的可能性较大 B. 小明夺冠的可能性较小 C. 小明肯定会赢 D. 若小明比赛10局，他一定会赢8局 7. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，在抛物线上，则，，大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　） A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm 10. 如图，直线直线，垂足为点，点和点分别是直线和直线上两定点，点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线水平向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线竖直向上运动，设运动时间为，面积为．如图，关于的函数图象与轴交于点，图象与轴只有一个交点，且经过和，点和点是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是（ ） A. 点坐标为 B. 当时，或 C. D. 点在该函数图象上 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）． 12. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是__________． 13. 老师将6种生活现象制成如图所示看上去无差别的卡片，从中随机抽取一张卡，抽中生活现象是物理变化的概率是 __________________． 14. 已知某商品每件利润为10元时，每天可销售80件．如果每件商品每涨价1元，日销售量就减少2件，则每件商品涨价______元时，每天总利润达到最大． 15. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于点，连接．在点移动的过程中，的最小值等于________． 16. 抛物线（、、为常数，）经过，两点．下列五个结论： ①抛物线不经过第三象限； ②将抛物线向左平移个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则； ③； ④若关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，则满足条件的整数的值只有一个； ⑤对于函数，若，则当时，随的增大而减小． 其中正确的是________（填写序号）． 三．解答题（共8小题，17—21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共72分） 17. 研学实践活动可以拓宽学生的眼界，提高实际操作能力、创新能力等，是一条提高学生综合素质的有效途径．遵义市某校组织九年级学生到研学基地开展实践活动，基地推出三个实践项目供同学们选择．三个项目分别是：A．炒茶，B．陶艺，C．竹编． （1）甲同学选择A项目的概率为__________； （2）请用列表法或树状图法求甲、乙两位同学选择不同实践项目的概率． 18. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为 的形式； （2）指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． 19. 在的方格纸中，小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点都在格点上，圆经过的顶点，只用无刻度直尺完成以下作图． （1）在圆上找一点，使平分． （2）求弧的长度 20. 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）填空 ， ； （2）请估计当很大时，摸到白球的频率将会接近 (精确到； （3）假如摸一次，摸到白球的概率 ； （4）试估算盒子里黑颜色的球有多少只？ 21. 如图，二次函数的图像与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图像过点A、C． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标； （3）根据图像写出y2＜y1时，x的取值范围． 22. 如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． （1）求证：D是的中点； （2）若，，求的半径． 23. 综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 24. 如图，内接于，是直径上的一点，满足，连结并延长交于点，连结，点在弦上，且．过点作，交于点，交于点，设． （1）①用含的代数式表示和的大小． ②猜想线段、和满足什么数量关系，并证明． （2）如图，连接和，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期10月联考 九年级数学试题卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天将下雨 B. 买一张电影票，座位号是奇数号 C. 小丽到达公交汽车站台时，901路公交车正在驶来 D. 一只袋子中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是确定事件和随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．根据确定事件和随机事件的概念对各个事件进行判断即可． 【详解】解：明天将下雨、买一张电影票，座位号是奇数号、小丽到达公交汽车站台时，901路公交车正在驶来，都是随机事件， 一个口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球是必然事件， 故选：D． 2. 已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 3. 抛物线与y轴交点的坐标是（ ） A. （0，3） B. （3，0） C. （1，0） D. （0，1） 【答案】A 【解析】 【分析】将代入抛物线，求得即可． 【详解】解：将代入抛物线得，， 即与y轴交点的坐标是， 故选：A 【点睛】此题考查了二次函数与坐标轴的交点，解题的关键掌握与y轴交点，横坐标为0． 4. 如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论． 【详解】解：∵四边形内接于，， ， 故选：B 5. 一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键． 根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：多边形的边数是：， 故选：C． 6. 某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛．有同学预测“小明夺冠的可能性是”，则对该同学的说法理解最合理的是（ ） A. 小明夺冠的可能性较大 B. 小明夺冠的可能性较小 C. 小明肯定会赢 D. 若小明比赛10局，他一定会赢8局 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率的意义，准确理解概率的意义是解题的关键．根据概率的意义分别对各选项进行判断即可． 【详解】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是，结合概率的意义， A、小明夺冠的可能性较大，故本选项符合题意； B、小明夺冠的可能性较大，故选项不符合题意； C、小明赢的可能性较大，故选项不符合题意； D、若小明比赛10局，他可能会赢8局，故选项不符合题意． 故选：A． 7. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，成绩就是当高度时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：当时，， 解之得（不合题意，舍去）， 所以推铅球的距离是10米． 故选：D． 8. 已知点，，在抛物线上，则，，大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 求出对称轴后分析点的位置即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线 ∵， ∴抛物线的开口向上， ∴越靠近直线，值越小， ∵距直线，2个单位；2距直线，1个单位；距直线，少于1个单位； ∴， 故选：C． 9. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　） A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可． 详解：连接OB， ∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm． 在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2 解得：OE=3， ∴OB=3+2=5， ∴EC=5+3=8． 在Rt△EBC中，BC=． ∵OF⊥BC， ∴∠OFC=∠CEB=90°． ∵∠C=∠C， ∴△OFC∽△BEC， ∴，即， 解得：OF=． 故选D． 点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长． 10. 如图，直线直线，垂足为点，点和点分别是直线和直线上两定点，点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线水平向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线竖直向上运动，设运动时间为，面积为．如图，关于的函数图象与轴交于点，图象与轴只有一个交点，且经过和，点和点是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是（ ） A. 点坐标为 B. 当时，或 C. D. 点在该函数图象上 【答案】B 【解析】 【分析】设， ，则，，得到关于的函数关系式，根据抛物线与轴只有一个交点得到和的关系，进而把代入抛物线解析式可得抛物线解析式，进而判断所给选项是否正确即可． 【详解】解：设，， ，， ， 图象与轴只有一个交点， ， ， 函数经过， ， 解得：（取正值）， ， 当时，， 点的坐标为，故A选项错误，不符合题意； 当时，， 解得：， 当时，或， 故B选项正确，符合题意； 当时，， 点和点是关于抛物线的对称轴对称的两点， ， 故C选项错误，不符合题意； 当时，， 故D选项错误，不符合题意． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，半径为4，圆心角为的扇形的面积为， 故答案为：． 12. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的平移法则可求解． 【详解】解：将二次函数 的图象向左平移1个单位，根据“左加右减”法则，函数表达式变为 ；再向下平移2个单位，根据“上加下减”法则，函数表达式变为 ． 故答案为 ． 13. 老师将6种生活现象制成如图所示看上去无差别的卡片，从中随机抽取一张卡，抽中生活现象是物理变化的概率是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，用物理变化的张数除以总张数即可． 【详解】解：从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有冰化成水和衣服晾干2种结果， 所以从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为， 故答案为：． 14. 已知某商品每件利润为10元时，每天可销售80件．如果每件商品每涨价1元，日销售量就减少2件，则每件商品涨价______元时，每天总利润达到最大． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用每件商品的利润销量总利润，进而得出关系式，再根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：设每件商品涨价元，总利润为， 根据题意可得： ， 则每件商品涨价元时，每天的总利润达到最大． 15. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于点，连接．在点移动的过程中，的最小值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用直径构造直角三角形求出，再由确定的轨迹是以为直径的圆，连接点与圆心，当、、三点共线时，用减去圆半径即可得到的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， 在中，， ∵， ∴， 根据的圆周角所对弦是直径，点的轨迹是以为直径的圆， 设中点为点，则点是该圆的圆心，半径， 连接，在中，， 如图，当、、三点共线，且点在线段之间时，取得最小值， 此时． 16. 抛物线（、、为常数，）经过，两点．下列五个结论： ①抛物线不经过第三象限； ②将抛物线向左平移个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则； ③； ④若关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，则满足条件的整数的值只有一个； ⑤对于函数，若，则当时，随的增大而减小． 其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】先代入已知点得到系数关系，，再逐一判断每个结论的正误．对于①，容易判断当时，，因此抛物线不经过第三象限；对于②，解方程可得抛物线与轴的交点为和，故存在两种平移方案；对于③，由与即可判断；对于④，结合②的结论可得是不等于1的正整数，因此；对于⑤，代入可得，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴代入坐标得，，整理得， ∴， 对于①：当时， ∵， ∴，， ∴， ∴抛物线不经过第三象限，故①正确； 对于②：将代入，得， ， 因式分解，得， 解得或， ∴抛物线与轴的交点为和， ∴向左平移个单位后，交点变为和， ∵平移后过原点， ∴或，因此不一定等于，故②错误； 对于③：∵， ∴，故③正确； 对于④：由②可得，方程的根为和， ∵方程有两个不相等的整数根，且为正整数， ∴为不等于的正整数，即为的正因数，且， ∴，故④正确； 对于⑤：∵， ∴， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故⑤正确； 综上，正确的结论为①③④⑤． 三．解答题（共8小题，17—21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共72分） 17. 研学实践活动可以拓宽学生的眼界，提高实际操作能力、创新能力等，是一条提高学生综合素质的有效途径．遵义市某校组织九年级学生到研学基地开展实践活动，基地推出三个实践项目供同学们选择．三个项目分别是：A．炒茶，B．陶艺，C．竹编． （1）甲同学选择A项目的概率为__________； （2）请用列表法或树状图法求甲、乙两位同学选择不同实践项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求解概率，利用列表法求概率，准确列出表格为解题关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先列出表格得出甲乙两同学选择项目共有9种可能结果，其中不同项目的有6种，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：三个实践项目供同学们选择， 甲同学选择A项目的概率为； 【小问2详解】 依题意甲乙选择项目如下表： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 由表可知甲乙两同学选择项目共有9种可能结果，其中选择不同项目的有6种， 则甲、乙两位同学选择不同实践项目的概率为． 18. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为 的形式； （2）指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2）开口向上，对称轴 ，顶点 【解析】 【分析】（1）先在一次项后面加上一次项系数一半的平方，接着在最后面减去刚加上的数，前面三项化成完全平方，后面的合并同类项即可得到； （2）根据二次函数的性质确定即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：二次项系数为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 19. 在的方格纸中，小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点都在格点上，圆经过的顶点，只用无刻度直尺完成以下作图． （1）在圆上找一点，使平分． （2）求弧的长度 【答案】（1）如图，点D即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线与圆交于点，即可； （2）设的外接圆圆心为O，连接、，求出圆心角即可求弧长． 【小问1详解】 解：如图，是等腰直角三角形，且，是斜边，是正方形的对角线， 平分， 且平分， ； 【小问2详解】 解：设的外接圆圆心为O， 连接、， 由勾股定理可得半径为 因为， 所以， 所以． 20. 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）填空 ， ； （2）请估计当很大时，摸到白球的频率将会接近 (精确到； （3）假如摸一次，摸到白球的概率 ； （4）试估算盒子里黑颜色的球有多少只？ 【答案】（1），； （2）； （3）； （4）只 【解析】 【分析】（1）根据“频率”的公式，已知其中两个量即可计算第三个量，从而求出和； （2）观察表格中随着摸球次数增加，摸到白球的频率的变化趋势，找出其稳定接近的数值； （3）依据频率估计概率的原理，试验次数很大时，频率的稳定值即为摸到白球的概率； （4）先根据概率求出白球数量，再用总球数减去白球数量得到黑球数量，或直接计算黑球的概率乘以总球数． 【小问1详解】 解：∵频率，， ∴； 又∵，， ∴． 【小问2详解】 解：观察表格中的频率数据：，，，，，，，当很大时，频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的频率将会接近． 【小问3详解】 解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，摸到白球的频率稳定值即为摸到白球的概率， ∴(白球)． 【小问4详解】 解：∵总球数为，摸到白球的概率为， ∴白球的数量为(只)， ∴黑球的数量为(只)． 21. 如图，二次函数的图像与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图像过点A、C． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标； （3）根据图像写出y2＜y1时，x的取值范围． 【答案】(1) ;(2) 此二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）;(3) x＜﹣3或x＞0. 【解析】 【分析】（1）把B（1，0），C（0，﹣3）分别代入得到关于b、c的方程组，求出b、c即可； （2）令y1=0，得到x2+2x﹣3=0，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标； （3）观察图像可得当x＜﹣3或x＞0，抛物线都在直线的上方，即y2＜y1． 【详解】解：（1）由二次函数的图像经过B（1，0）、C （0，﹣3）两点， 得， 解这个方程组，得， ∴抛物线的解析式为； （2）令y1=0，得x2+2x﹣3=0， 解这个方程，得x1=﹣3，x2=1， ∴此二次函数的图像与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）； （3）当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1． 22. 如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． （1）求证：D是的中点； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点； （2）的半径为． 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解； （2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵半径，垂足为H，， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的半径为． 23. 综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】（1） 与的函数关系式为（，且为整数）；当时，该充电站的收入为2000元 （2） 收支平衡时的值为20或100 （3） 解：符合条件的值为60 理由如下： 设净收益为元，由题意得 ， ∵ ， ∴ 该二次函数开口向下，在顶点处取得最大值， ∵ 当时净收益取得最大值， ∴ 顶点横坐标为80，即， 解得. 【解析】 【分析】（1）根据正比例函数定义设解析式，代入表格中一组对应值求出比例系数，再将代入解析式计算收入； （2）根据收入等于成本的等量关系列一元二次方程，求解得到符合实际意义的根； （3）先根据净收益的定义列出二次函数表达式，结合二次函数最大值在顶点处的性质，利用顶点横坐标列方程求解． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴（，且为整数）， 当时，（元）.  【小问2详解】 解：由题意得，收支平衡时， 即， 整理得， 因式分解得， 解得，， 均为正整数，符合实际意义； 【小问3详解】 解：略． 24. 如图，内接于，是直径上的一点，满足，连结并延长交于点，连结，点在弦上，且．过点作，交于点，交于点，设． （1）①用含的代数式表示和的大小． ②猜想线段、和满足什么数量关系，并证明． （2）如图，连接和，若，求证：． 【答案】（1）①，． ②猜想：． 证明：由第（1）问可知 因为 是圆的直径，所以 在直角三角形 中， 又因为 ， 所以 因为 三点共线， 三点共线，且 四点共圆， 所以 因此 于是 即 又因为 是等腰三角形，且 所以 在直角三角形 中， 将这些代入： 因此， 过点 作垂足为． 因为 且 ，所以在直角三角形 中， 又因为 ，得 在直角三角形 中， 所以 同时 由图中 的位置， 因此 所以， 所以 所以 因此． （2）如图，连接和． 由圆周角定理， 弧 所对的圆心角为 因为 与 是相反射线，所以直线 与 的夹角为 另一方面，由（1）可知 因此直线 与 的夹角为 又因为 所以 解得， 于是 在点 处，射线 位于射线 与 之间，所以 因此 即． 由（1）中的结论， 又因为 是 的中点， 所以 在三角形 中， 而 由正弦定理可知，三角形 中 另一方面， 根据图形中 位于 内部， 而前面已经得到 因此． 【解析】 【分析】（1）①利用 AB 为直径得到，结合得到，再根据等腰内角和，代入底角计算，求出顶角．②利用相似三角形求得 ，再作 求得 ，最后由 得 ． （2）运用圆周角定理得到圆心角，结合条件，通过直线夹角列等式算出，求出；利用（1）的结论得到，结合得到边长比值，在用正弦定理求出，再做角度减法算出，等量代换证明． 【小问1详解】 解：①因为 是圆的直径端点，所以 又因为 ，所以 与 共线；，所以 与 共线． 由于 ，而 三点共线，所以 ． 因此，直线 与 的夹角为 在等腰三角形 中， 所以 而 故 于是 由于 ，所以． ②略． 【小问2详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $