广东普宁市第二中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

《普宁第二中学2026-2027学年度高三第一学期数学第一次月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A B A D D C 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ABD ACD ABD ±1 (1,4) -1 1. B【详解】对于集合A,logx≤-1，所以1g0≤-1=log号，所以0<≤号 对于集合B,y=√1-x2,则1-x2≥0，所以-1≤x≤1 所以(0xA)nB=(-o,0]U(2,+o)n[-1,1]=[-1,0]U(2,1],故选：B 21【详解)由是<0可得-1<<3， 由于(1,2)是(-1,3)的真子集，所以1<x<2是一3 x+1 <0的充分不必要条件 3.A【详解】由于图像关于原点对称，所以f(x)为奇函数， 对于B:由fx)=(2-2)sinx, 得：f(-x)=(2”-2)sin(-c)=(2-2)sinx=f(x),f(x)为偶函数，故可排除B; 对于C:由f(c)=(2+2)cosx, 得：f(-x)=(2“+2)cos(-x)=(2+2)cosx=f(x),为偶函数，故可排除C; 由图知图象不经过点（受，0），而对于D:f(受)=(2-2)c0s5=0,故可排除D:故选：A 4B【详解】因为PA)-号，故PA=号，而PB1)=子，故PBA=是 P(A) 4 故P(BA)=呈P(A)=)同理P(BA)=合， 故P(B)=P(BA+PBA)=号+日=号故选：B 5.A【详解】圆C:(x-1)P+(y+1)2=1的圆心C(1,-1),半径r=1, 由△C1B为等边三角形，得方C到直线AD距离为CA-9. 因此气=号解得=±V3,所以k的值为5 6.D【详解】因对于任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(, 令x=y=0,可得f(0)=2f0)→f(0)=0, 再令y=-x,则f(0)=f(c)+f(-x)=0,从而f(x)为奇函数. 注意到g=2+16+2+f园=2+16e+f回 02+16 x2+16 结合y=16x+f(x)为R上奇函数，y=x2+16为R上偶函数， 可得G(x)=g(c)-2为R上奇函数， 由题可得G(x)max存在，且为M-2,G(x)min存在，且为m-2 又由奇函数性质可得G(c)ma+G(c)min=0,从而M+m-4=0→M+m=4. 7.D【详解】clna=ce=1,则1aa=e2=,令1na=g=是=t, 则a=e,b=ln,c=子 如图，当>6时，e>1ht>子故A可能成立： 答案第·1·页 当t<t<t,时，e>上>nt,故B可能成立： 当0<t<时，}>6>lnt,故C可能成立： y外 il v=e y=lnt 8.C【详解】由OA1=A1A=AA3=A3A=AA5=A5A6=A6A,=AA3==2, 可得OA2=2√2，OA3=2W5,…,OAn=2√m, 所以am=OAn+OA+1+AnA+1=2Wm+2Wn+1+2, 所以o,a22n+Vn+7Vh+7V五 1 所以前n项和Sn=b1十b2++bn=√2-1+√5-√2+…+√m+1-√n=√n+1-1, 所以S120=√120+1-1=10，故选：C 复A0详拍1--省将g一吾2柱可2产-1 对于选项A:z=一1十i,与计算结果一致，正确 对于选项B:z=√(-1)2+1=√2，正确 对于选项C:z=-1-i,对应复平面内的点为（-1，一1)，位于第三象限，错误 对于选项D:将z=-1+i代入方程x2十2x+2=0: （-1+i)2+2(-1+i)+2=1-2i-1-2+2i+2=0,故z是方程的一个根，正确， 10.ACD 【详解】已知x2+4y-2xy=1,由基本不等式x+4划=1+2xy≥4如，解得y≤7，当且仅当x=2y 时取等号，故A正确： 因为关于x的方程x2-2yc+4-1=0有解，所以△=4-4(4-1)≥0 因比一号≤y≤放B错误： 由(x+22=x+4y+4=1+6xy,即由上可得则≤号 所以1+6y≤4,0≤(x+2y)2≤4， 所以-2≤x十2y≤2，故C正确： 因为x+(-2P=x2+=(红+2°-4到=1+2列，由选项A知到≤分 由x2+4-2xy=1,得x2+4y°=2cy+1≤2，故D正确. 11.ABD 【详解】如图，在三棱锥P-ABC中，AP=2,点B,C到棱AP所在直线的距离均为1， 故点B,C在以AP所在直线为轴、底面半径为1的圆柱的侧面上： 答案第·2·页 又点H为棱BC上一点，满足PH⊥平面ABC,且PH=1,AHC平面ABC, 则PHL AH,则AH=√AP-PH=√22-1=√，所以A正确： 又cos∠PAH=A=3 AP 2 故∠PAH=若且B,C在平面ABC与圆柱的交线上， 设直线AH与圆柱侧面的交点为E,F,如图，AF= 1 sin/PAF-sinZPA==2 sin 6 同理AE=2,则F=4, 结合圆锥曲线性质可知平面ABC与圆柱的交线是以EF=4为长轴、圆柱的底面直径2为短轴的椭圆， AH=√3，则H恰为该椭圆的焦点，因此线段BC为该椭圆的焦点弦，（不含长轴，否则P,A,B,C共面）， 所以B选项正确， 当BC1EP时，BC=2X1=1,故BC∈[1,4)，可知棱BC的长度不可能为，C选项错误。 2 :-Ae=专PHS。ac,所以体积求最大值，则求△ABC的面积最大。不妨将B、C所在椭圆设为 4+ =1 过H的直线BC设为x=mg+V3,联立方程组+=1， 消x得(m2+4)g+2W5my-1=0.∴y1+ x=my十√3， h=-23m m2+4 1+y= +以=V令m+1≥L所以明= m+1 3 ∴Sc=方AH-=分5h-归lx=1,所以-Ac=子PSc≤号所以D正确。 12.±1【详解】a=(1,-m),6=(1,3m),可得d+6=(1+1,-m+3m)=(2,2m), 因为d⊥（d+),所以d.(d+)=1×2+(-m)×2m=2-2m2=0,解得m=±1. 13.{x1<x<4}或(1,4)【详解】解：作出函数f(x)= ∫3x,x≥3 的图象如图， -x2+6,x<3 3 答案第·3·页 由图可知，函数f(c)在R上为增函数， 则由式f(x2-2x)<f(3x-4),得式x2-2x<3x-4,即x2-5x+4≤0， 解得1<x<4.∴.不等式f(x2-2x)<f3x-4)的解集是(1，).故答案为：{x1<x<4}. 14.-1【详解】因为f(四)=f(1-x,且号)=1，所以f-号)=f多)=1， 因为∫()=f'(-1-),所以f"()关于直线五=一分对称， 则原函数f四)关于点（←子，1）对称，所以f(m)=f(-1-如）+2 所以f(-1-x)=-f(1-x)+2, 令t=-1-c,则f(t)=-f2+t)+2,即f2+t)=2-ft), 所以f(x十4)=2-f(x+2)=2-(2-f(x)=f(x),所以f(x)的周期为4， 又f(o)-9x+2)=1,即gx+)=f(x)-1,所以g(x)的周期也为4， f号》=1得g2)=号+号)=f号-1=0， f(号)=1得g0=g-号+号)=f号)-1=0，所以g4=g0)=0. 由9)=-1得g1)=g号+号)=f(分)-1=-1，所以f号)=0， 又f2+)=2-f.所以f(号)=f2+2)=2-寸》)=2， 所以g3)=g(多+号)=f(3)-1=1, 所以g(1)+9(2)+g(3)+g(4)=-1+0+1+0=0, 2026 又2026÷4=506…2，所以∑g()=506×0-1+0=-1. 1 15.(1)证明：因为b+c=2 acosB, 由余弦定理的推论cosB=a2+c2-b 2ac …2分 得6+c=2a.a+c2-b2 ….3分 2ac 整理得a2-b2=bC 。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。 。。。。。。。。。 ….5分 (2)由(1)a2-b2=bc,代入c=AB=5,a=6, 得到b2十5b-36=0解得b=4或b=-9(舍去)….7分 结合余弦定理的推论可得c0s∠ABC=Q+c2-b=25+36-16-3 2ac 60 4 …9分 因为∠ABC,∠CBD互补，∴.cos∠ABC+coS∠CBD=0,则cOS∠CBD=-3 …11分 ∴CD=a2+BD°-2aBDc0s∠CBD=37+2×6×且=46 从而CD=√46… 13分 16.【详解】(1)因为f(c)=e”-ac2,所以f'(c)=e”-2ax,…2分 则f'(1)=e-2a,而曲线f(z)的切线与x轴平行，可得f(1)=e-2a=0,解得a=号 …4分 答案第·4·页 此时得到时（回）=e-号，f1)=号放切线方程为y=号 .6分 (2)因为f(x)在(0，十0)上有2个零点， 所以c一ax=0在(0，+0)上有2个解，得到a=号在(0，十∞)上有2个解，…8分 令g=8,则go=ex-2】 …10分 当x∈(0,2)，g(x)<0,则g(x)在(0,2)上单调递减， 当∈(2，+o∞，g(x)>0,则g(x)在(2，十∞)上单调递增， …12分 而92)三e,当心-→0时，g(@)+0,当0→十00时，9@→+0，…14分 可得ae(年+o)即a的范围为（至，+） 15分 17.【详解】(1)：CD⊥平面ABD,BEC平面ABD,所以CD⊥BE; …2分 又AB=BD,E是AD的中点，所以BE⊥AD: …3分 因为AD∩CD=D,AD,CDC平面ACD,所以BE⊥平面ACD.·5分 (2)由CD⊥平面ABD,得CD⊥AD,CD⊥BD, 放∠ADB为二面角A-CD-B的所成角，即∠ADB=号 …7分 设AB=BD=CD=2,以D为原点，DB为c轴，DC为y轴，过D作DB的垂线为z轴，建立坐标系， D00.0,B20.0,C0,20,A1,0),E(20,) ….9分 设AF=1AC=(-1,2入，-√3A),1∈(0,1)，B=(-1-1,21,5(1-), …11分 由回知，平面ACD的法向量为酝=(-多0】 …12分 设直线BF与平面ACD所成角为日，则： BF.BE 3 sin= √3 √42 ..13分 B·B √3.2W22-1+12W2n-1+1 架得A=士，故存在点F使得直线BP与平面ACD所成角的正弦值为里.此时瓷-士 7 …15分 18、【详解】(1)因为椭圆E的左右焦点分别为(-2,0)，(2,0)， 所以a2-b2=4, …1分 又因为该椭圆经过点 停多》所以上 2 解得a2-10,6=6,所以椭圆E的方程为荒+若=1： …4分 (2)()设直线U的方程为y=k1c十m,与椭圆方程联立，得 +-1 y=kix+m →(3+5%)x2+10k1mx+5m2-30=0, 所以△=(10km)2-4(3+5k)(5m2-30)=0,化简，得m2=10+6,…7分 答案第·5·页 10k1m 5kim 可得xp= 2(3+5k) 3+5k yp=k· 5kim +m= 3m 3+5,即P 5kim 3m 3+5k’3+5k …9分 3+5k 3m 3+5k kk2=1 3 5kim 5,所以1及为定值；……10分 3+5k m)设Pwi(h≠0)即哥-答-1.且-而<<而， 直线PR的方程为y-9→x0-y+2)+2=0, +2 同理得直线P乃的方程为x幼0-y(x-2)-20=0,… ….11分 因为∠PF的平分线与c轴交于点Q(t,0), 所以 t0+2 1t0-2 |t+2 t-2 √6+(+2明 V6+(c-2} 6+(m+27 √6+(-27，…12分 +普-1→i-61-)代入上式得 由10 6 t+2 t-2 |t+2 |t-2 …13分 V61-爵)+(+2y Co V61-)+-2 V层a+ 3t+2 1t-2 ,因为Q在(-2,0)，F(2,0)之间， I20+5 o-51 所以-2<t<2,又-√10<<√10 所以由 t+2 t-232+t=2-t今= 5 1+5-1c,-55+=5- → t,…15分 因为-√10<x,<√10， 所以-√而<号t<1而→-2⑩<t<2w ,而-2<t<2,…16分 5 所以-2w10 5 <<2,即的蚁值范用为(2,2} 5 5 …17分 19.【详解】(1)函数f(x)=ln(1+x)- 十1+1的定义域为(-1，+o0), kx 求导得f(x)=+1-k （x+1)2 …1分 而k>0, 当-1<x<k-1时，f'(x)<0;当x>k-1时，f'(c)>0,…2分 函数f(c)在(-1，k-1)上单调递减，在(k-1,+∞)上单调递增， 3分 函数fx)在x=k一1处取得极小值f(k-1)=1nk-k十2，无极大值…4分 (2)(i)由(1)知，当0<k≤1时，函数f(x)在(0，十o0)上单调递增， f(x)>f(0)=1>0,因此0<k≤1符合题意；… …5分 当k>1时，函数f(x)在(0，k-1)上单调递减，在(k-1,+o)上单调递增， 答案第·6·页 f()min=f(k-1)=Ink-+2,......... …6分 令函数g(c)=1nc-c+2,x>1,求导得gc)=1一1<0， .…7分 函数g(x)在(1，+o0)上单调递减，而g(3)=1n3-1>0,9(4)=1n4-2<0, 则存在∈(3，)，g()=0,即lnc-十2=0，…8分 因此当1<k<o时，f(c)≥lnk-k+2>n-E十2=0，…9分 所以正整数k的最大值为3… …10分 (m由(i)知，当及=3时.V2>0到=a1+到-+1>0恒废立1分 即n1十>2-32对0>0恒成立，取x=nn+n∈W,…12分 0a1+%m+1≥2-1+n0+T>2-=2-3 3 …14分 因此ln(1+1×2)+ln(1+2×3)++ln[1+n(m+1)]>2m 31-+3言+叶h nn+1) …15分 =2m-31-n=2m-0=n2n） 即1n1+1×21+2x3)…1+nn+1}≥m2-n3》 …16分 所以(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+10]>e0- …17分 答案第·7·页普宁二中2026-2027学年度第一学期高三第一次月考 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟命题：高三数学命题小组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知全集U=R,A={log≤-1}，B={xy=V1-x2},则(GuA)nB=() A.[-1,2] B.[-1,0]U(5,1] c.(侵] D.[ 2.设xeR,则“1<<2”是“-3<0”的() x+1 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数f(x)的部分图象如右图，则函数f(x)的解析式可能为( A.f(x)=(2+2)sinx B.f(x)=(2-2)sinx C.f(x)=(2+2)cosx D.f(x)=(2-2)cosx ±.已知随机事件A,B,若PA=3,PBA)=是PBA)=,则PD)=(） A司 B号 C. D. 5.已知圆C:(x-1)2+（y+1)2=1与直线x+y+1=0相交于A,B两点，若△CAB为等边三 角形，则k的值为() A.±√ B.±2 C±3 2 D.+ 2 6.己知函数y=f(x)的定义域为R,且对于任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若函 数g)=2+4+巴在定义域内的最大值为M,最小值为m,则M十m=( x+16 A.2 B.0 C.1 D.4 7.已知实数a,b,c满足clna=ce=1,则下列关系式中不可能成立的是() A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 8.如图甲是第七届国际数学家大会（简称CE一7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的 一连串直角三角形演化而成的.已知OA1=A1A2=A2A3=AA4=AA,=A5A6=A6A,= A,A3=…=2,A1,A2,A3…为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为 ·试卷第1页· a,令，=a228为数列b,的前n项和，则5e=( ) A.8 B.9 C.10 D.11 ICME-7 图甲 图乙 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数z满足(1一1)z=2i,z为复数z的共轭复数，则下列结论正确的是() A.z=-1+i B.z=2 C.在复平面内，复数z对应的点位于第二象限 D.复数z是方程x2+2c+2=0的一个根 10.已知实数c,y满足x2+4-2xy=1,则() Ay≤号 B.-号≤≤} C.x+2y≥-2 D.x2+4y≤2 11.在三棱锥P-ABC中，AP=2,点B,C到棱AP所在直线的距离均为1，点H为棱BC上 一点，满足PH⊥平面ABC,且PH=1,则下列结论正确的是(】 A.点A到直线BC的距离的最大值为√3 B.顶点B,C所在的曲线为椭圆 C.棱BC的长度可能为4 D.三棱锥P-ABC的体积最大值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量d=(1,-m),6=(1,3m),若d⊥（d+,则m= 3c, x≥3 13.已知函数f(x)= -x2+6x,D<3 ,则不等式f(x2-2x)<f(3x-4)的解集是 14.已知函数f(),g(o)的定义域为R,f(w)为f()的导函数，f()一gc+)=1,f(e) 2026 =f1-x),f()=f"-1-x).若f号)=1,9(1=-1，则∑g)= ·试卷第2页· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.（本题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且满足b+c=2 acosB B D (1)证明：a2-b2=bc: (2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB=5,BD=1,当BC=6时，求线段CD的长， 16.(本题满分15分)已知函数f(x)=e”-ax(a∈R). (1)若曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a的值和切线方程； (2)若f(x)在(0，+∞)上有2个零点，求a的范围。 17.(本题满分15分)如图，在三棱锥A-BCD中，CD⊥平面ABD,AB=BD=CD,E是 AD的中点，F是线段AC上的一点（不含端点）. (1)证明：BE⊥平面ACD: (2)若二面角A-CD-B的大小为三，判断是否存在点F使得直线BF与平面ACD所成角的 正弦值为型？若存在，求A船的值：若不存在，请说明理由。 B ·试卷第3页· 8.(本题满分17分)己知椭圆E:子+ +芳=1，a>b>0,0为原点，椭圆E的左右焦点分别 为-20，R20,并且经过点（停昌， (1)求椭圆E的方程； (2)若椭圆E的左右顶点分别为A,B,直线l与椭圆E有且仅有一个公共点P,点P不与A,B 重合，设直线l,PO的斜率分别为k,k2, (i)求证：kk为定值； (ⅱ)设∠FPF的平分线与x轴交于点Q(t,0),求t的取值范围. 19.(本题满分17分)已知函数到=11+到-1+1. (1)若k>0,求函数fx)的极值； (2)(i)当x>0时，f(x)>0恒成立，求正整数k的最大值； (i)证明：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1]>e2) ·试卷第4页·