湖北省荆门市京山市2026-2027学年九年级上学期期末考试数学自编模拟卷（人教版）

密封线内不得答题 2026年京山市命题能力提升培训及竞赛 湖北省荆门市京山市2026-2027学年九年级上学期 数学期末自编模拟卷 参考答案及评分标准 一、选择题：每小题3分，共30分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C C B D B A C 【选择题简要解析】 1．B。A 是一元一次方程，C 含两个未知数，D 未说明 a≠0。 2．C。“回”字形图案绕其中心旋转180°后与自身重合；A“山”、B“水”、D“林”均不具备这一性质。 3．A。y＝（x－1）²＋2 为顶点式，顶点坐标为（1，2）。 4．C。OP＝6＞5＝r，点在圆外。 5．C。甲任选一类，乙选到同一类只有 1 种，共 4 种等可能结果，概率为 。 6．A。Δ＝4－4m＞0，得 m＜1。 7．D。两年增长，第二年为 2000(1＋x)，第三年为 2000(1＋x)2，故 2000(1＋x)2＝2420。 8．B。由图象过点（－2，3）得 k＝（－2）×3＝－6，即 xy＝－6。逐项检验：2×3＝6，（－3）×（－2）＝6，1×6＝6，都不等于－6；只有 3×（－2）＝－6，所以选 B。 9．A。设半径为 r，则 r2＝62＋42＝52，r＝2（米）。 10．C。过点（0，3）得 c＝3，由对称轴 x＝1 得 b＝－2a，故 y＝ax2－2ax＋3（a＜0）。A：abc＝a·（－2a）·3＝－6a2＜0，正确；B：开口向下且对称轴为 x＝1，故 x＞1 时 y 随 x 的增大而减小，正确；D：ax2＋bx＋c＝3 即 ax2－2ax＝0，得 x＝0 或 x＝2，两根不相等，正确；C：y（3）＝9a－6a＋3＝3a＋3 随 a 而变化，不一定为 0（如 a＝－2 时 y（3）＝－3），故 C 错误。 二、填空题：每小题3分，共15分。 11．9（3分）（有两个相等的实数根，则 Δ＝0，即 Δ＝（－6）2－4n＝36－4n＝0，解得 n＝9） 12．（－2，－3）（3分） 13．24π（3分）（由 S＝×π×122＝24π 得） 14．（3分）（也可写成 0.95） 15．π（3分）（∠ACB＝90°，CA＝3；点 A 绕点 C 旋转90°，路径是以 C 为圆心、3 为半径的四分之一圆弧，长为 ×2π×3＝π） 第15题图 【图形说明】将△ABC 绕点 C 顺时针旋转90°，点 A 落到点 A′（2，0）处。图中红色虚线 CA、CA′ 显示旋转前后的位置，红色虚线圆弧即点 A 经过的路径。由网格可读出 CA＝3，∠ACA′＝90°，故路径长为 90° 圆心角所对的弧长，即 π。 说明：填空题只给最终结果分，不设步骤分；答案形式等价的同样给分。 三、解答题：本题共9个小题，共75分。 16．（满分6分） 【答案】（1）x1＝1，x2＝5。 （2）x1＝4，x2＝－2。 17．（满分6分） 【解】设参加此次交流活动的会员共有 x 人。 因为每两名会员之间都互赠一枚纪念徽章，所以共送出徽章 x（x－1）枚。 由题意得 x（x－1）＝210。 整理，得 x2－x－210＝0，因式分解得（x－15）（x＋14）＝0， 解得 x1＝15，x2＝－14。 因为人数不能为负数，所以 x＝15。 答：参加此次交流活动的会员共有15人。 18．（满分6分） 【解】（1）因为方程有两个不相等的实数根，所以 Δ＝（2m－1）2－4×1×m2＝（4m2－4m＋1）－4m2＝－4m＋1＞0， 解得 m＜。 （2）因为 m＜ 且 m 为整数，所以 m 的最大整数值为0。 当 m＝0 时，原方程为 x2－x＝0，即 x（x－1）＝0， 所以 x1＝0，x2＝1。 19．（满分8分） 【解】（1）因为反比例函数 y＝ 的图象经过点 A（1，6），所以 m＝1×6＝6，反比例函数的表达式为 y＝。 设一次函数的表达式为 y＝kx＋b（k≠0），把 A（1，6）、B（－3，－2）代入， 得 k＋b＝6，－3k＋b＝－2，解得 k＝2，b＝4，所以一次函数的表达式为 y＝2x＋4。 （2）由（1）得点 C 的坐标为（0，4），所以 OC＝4。 因为 y 轴把 △AOB 分成 △AOC 与 △BOC 两部分，点 A、B 到 y 轴的距离分别为 1、3， 所以 S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×4×1＋×4×3＝2＋6＝8。 20．（满分8分） 第20题图 【图形说明】如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，∠CAB＝30°；CD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于点 D。图中所作红色虚线 OC 为辅助线，构成等腰三角形△AOC 的外角 ∠COD，并把切线性质 OC⊥CD（图中红色直角标记）转化为 ∠D 的计算依据。 【解】（1）连接 OC。 因为 OA＝OC，所以∠OCA＝∠OAC＝30°， 所以∠COD＝∠OCA＋∠OAC＝60°。 因为 CD 是⊙O 的切线，所以 OC⊥CD，即∠OCD＝90°， 所以∠D＝180°－90°－60°＝30°。 （2）在 Rt△OCD 中，∠OCD＝90°，∠D＝30°，OC＝2， 所以 OD＝2OC＝4， 由勾股定理得 CD＝＝＝＝2。 21．（满分8分） 【图形说明】图中蓝色曲线为第一次击球的飞行轨迹 y＝－x2＋x，最高点（红色虚线交点）为（4，3）；红色竖线为 x＝6 处的球网（网高1米），对应轨迹点（6，2.25）；红色实心点（8，0）为落地点。据此可直接比较 2.25 与 1 的大小。 第21题图 【解】（1）y＝－x2＋x＝－（x2－8x）＝－（x－4）2＋3。 因为－＜0，所以当 x＝4 时，y 取得最大值3，即该球飞行的最大高度为3米。 （2）当 x＝6 时，y＝－×62＋×6＝－＋9＝＝2.25。 因为 2.25＞1，所以该球能越过球网。 （3）第二次击球时球飞行的最大高度为 3－1＝2（米），故抛物线顶点纵坐标为2。 设第二次击球后抛物线的函数关系式为 y＝a（x－h）2＋2（a＜0）。 因为球从地面 O（0，0）处击出，所以 ah2＝－2； 又落地点与第一次相同（第一次令 y＝0 解得 x1＝0，x2＝8），所以 a（8－h）2＝－2。 两式联立得 h2＝（8－h）2，解得 h＝4，代入得 a＝－。 所以所求函数关系式为 y＝－（x－4）2＋2，即 y＝－x2＋x。 22．（满分10分） 第22题图 【图形说明】图中黑色实线 △ABC 为等腰直角三角形（AB＝AC，∠BAC＝90°，标注直角标记），点 D 在斜边 BC 上（BD＝3，CD＝4）。红色虚线部分为 △ABD 绕点 A 逆时针旋转90° 后得到的 △ACE，红色弧线表示旋转方向与旋转角90°。旋转后 B→C、D→E，故 AD＝AE 且 ∠DAE＝90°（红色直角标记），线段 DE 即为所求；（3）中所求四边形 ADCE 由 △ADC 与 △ACE 拼成。 【证明】（1）由旋转得 AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝90°， 所以△ADE 是等腰直角三角形。 【解】（2）因为 AB＝AC，∠BAC＝90°，所以∠ABC＝∠ACB＝45°。 由旋转得 CE＝BD＝3，∠ACE＝∠ABD＝45°， 所以∠DCE＝∠DCA＋∠ACE＝45°＋45°＝90°。 因为 BC＝BD＋CD＝3＋4＝7，所以 DC＝4，CE＝3， 在 Rt△DCE 中，DE＝＝＝5。 （也可由旋转得△ADE 为等腰直角三角形，先求 AE＝AD＝…再验证，结果一致。） （3）由旋转得 CE＝BD＝3，S△ACE＝S△ABD。 所以 S四边形ADCE＝S△ADC＋S△ACE＝S△ADC＋S△ABD＝S△ABC。 在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC，BC＝BD＋CD＝7，所以 2AB2＝BC2＝49，AB2＝ 所以 S四边形ADCE＝S△ABC＝×AB2＝。 23．（满分11分） 第23题图 【图形说明】如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E（垂直标记），切线 l 过点 C，BF⊥l 于点 F。所作红色虚线 OC 为辅助线：由切线性质得 OC⊥l，结合 BF⊥l 可得 OC∥BF，从而把角平分 ∠ABF 的证明转化为证 ∠OBC＝∠CBF。图中还连出 BC，并有 CD＝8、BE＝2 等标注。 【证明】（1）连接 OC。 因为 l 是⊙O 的切线，所以 OC⊥l；又 BF⊥l，所以 OC∥BF，∠OCB＝∠CBF。 因为 OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB， 所以∠OBC＝∠CBF，即 BC 平分∠ABF。 【解】（2）因为 AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB， 又 CD＝8，所以 CE＝CD＝4。 设 OE＝d，在 Rt△OCE 中，OE2＋CE2＝OC2，即 d2＋16＝25， 解得 d＝3（负值舍去），所以 OE＝3，BE＝OB－OE＝5－3＝2。 在 Rt△BCE 中，∠CEB＝90°，所以 BC2＝CE2＋BE2＝42＋22＝20，BC＝＝。 （3）由（1）得∠CBE＝∠CBF。 又 BF⊥l，CF 在 l 上，所以∠CFB＝90°＝∠CEB，又 CB＝CB，所以△CEB≌△CFB（AAS），得 BF＝BE＝2。 所以 CF＝CE＝4，S△BCF＝×CF×BF＝×4×2＝4。 24．（满分12分） 第24题图 【图形说明】如图，抛物线 y＝－x2＋2x＋3 交 x 轴于 A（－1，0）、B（3，0），交 y 轴于 C（0，3），顶点为 D（1，4）（红色虚线为对称轴 x＝1）。绿色直线为 BC：y＝－x＋3。图中取动点 P 的横坐标 m＝2，过点 P 作 PQ⊥x 轴交 BC 于点 E，红色粗线段 PE 即为 d，点 C 到直线 PE 的距离为 m，由此得到 S＝(1/2)·PE·m。 【解】（1）令 y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，即 x2－2x－3＝0，解得 x1＝－1，x2＝3， 所以 A（－1，0），B（3，0）。 令 x＝0，得 y＝3，所以 C（0，3）； 因为 y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，所以 D（1，4）。 （2）设直线 BC 的函数关系式为 y＝kx＋b，把 B（3，0），C（0，3）代入， 得 3k＋b＝0 且 b＝3，解得 k＝－1，b＝3，所以直线 BC 的函数关系式为 y＝－x＋3。 因为点 P 的横坐标为 m（0＜m＜3），PQ⊥x 轴，所以 P（m，－m2＋2m＋3），E（m，－m＋3）。 所以 d＝PE＝（－m2＋2m＋3）－（－m＋3）＝－m2＋3m＝－（m－）2＋（0＜m＜3）， 即当 m＝ 时，d 取得最大值 。 （3）有最大值。因为 PQ⊥x 轴，OC⊥x 轴，所以 PE∥OC。 把 PE 看作底，点 C 到直线 PE 的距离等于点 C 与点 P 的横坐标之差的绝对值，即 m， 所以 S△PCE＝·PE·m＝m（－m2＋3m）＝－m3＋m2（0＜m＜3）。 因为 S＝－m2（m－3）＝m2（3－m），当 0＜m＜3 时 S 随 m 增大而增大， 所以当 m＝2 时 S 取得最大值2，此时 P（2，3）。 答：△PCE 的面积有最大值，点 P 的坐标为（2，3），面积的最大值为2。 学科网（北京）股份有限公司 $密封线内不得答题 2026年京山市命题能力提升培训及竞赛 湖北省荆门市京山市2026-2027学年九年级上学期 数学期末自编模拟卷 （人教版九年级上册） （考试时间：120分钟试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（） A．2x＋1＝0 B．x²－3x＝0 C．3x²－2xy＝0 D．ax²＋bx＋c＝0 2．下列汉字（或图案）中，可看作中心对称图形的是（） A．“山” B．“水” C．“回” D．“林” 3．抛物线y＝（x－1）²＋2的顶点坐标是（） A．（1，2） B．（－1，2） C．（1，－2） D．（－1，－2） 4．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，则点P与⊙O的位置关系是（） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定 5．京山市某初级中学为丰富学生的课外活动，计划开设网球、书法、绘画、合唱四类社团。若甲、乙两名同学各自从这四类社团中随机选择一类参加，则两人恰好选择同一类社团的概率是（） A． B． C． D． 6．若关于x的方程x²－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（） A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1 7．京山市三阳镇是远近闻名的“板栗之乡”。某农户2024年板栗产量为2000千克，2026年产量达到2420千克。若这两年板栗产量的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则可列方程为（） A．2000（1＋x）＝2420 B．2000（1－x）＝2420 C．2000（1＋x²）＝2420 D．2000（1＋x）²＝2420 8．已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（－2，3），则下列各点中，也在该反比例函数图象上的是（） A．（2，3） B．（3，－2） C．（－3，－2） D．（1，6） 9．京山市体育馆的圆形观众看台中，一水平横梁（弦）AB长12米，圆心O到AB的距离为4米，则该圆形看台的半径是（） A．2米 B．2米 C．米 D．10米 10．已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象开口向下，与y轴交于点（0，3），对称轴为直线x＝1。下列结论中错误的是（） A．abc＜0 B．当x＞1时，y随x的增大而减小 C．当x＝3时，y＝0 D．关于x的方程ax²＋bx＋c＝3有两个不相等的实数根 二、填空题：本题共5个小题，每小题3分，共15分。 11．若关于x的一元二次方程x²－6x＋n＝0有两个相等的实数根，则n的值是____。 12．在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B关于原点对称，则点B的坐标是____。 13．京山市某网球训练基地的一块圆形场地上有一处扇形绿化区，其半径为12米，圆心角为60°，则该扇形绿化区的面积是____平方米（结果保留π）。 14．京山市某水果种植合作社对一批板栗进行品质抽检，共随机抽取1000颗，其中有50颗为不合格品。据此估计从这批板栗中随机抽取一颗恰为合格品的概率是____。 15．如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，则点A经过的路径长为____（结果保留π）。 第15题图 三、解答题：本题共9个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（满分6分）解下列方程： （1）x²－6x＋5＝0；（3分）（2）x²－2x－8＝0。（3分） 17．（满分6分）京山是“中国网球之乡”。某青少年网球俱乐部组织了一次会员交流活动，每两名会员之间都互赠一枚纪念徽章，活动结束时共送出纪念徽章210枚。求参加此次交流活动的会员共有多少人。 18．（满分6分）已知关于x的一元二次方程x²＋（2m－1）x＋m²＝0有两个不相等的实数根。 （1）求m的取值范围；（3分） （2）若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根。（3分） 19．（满分8分）如图，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A（1，6）、B（－3，－2），与y轴交于点C。 （1）求反比例函数和一次函数的表达式；（3分） （2）求△AOB的面积（O为坐标原点）。（5分） 第19题图 20．（满分8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D。 （1）求∠D的度数；（4分） （2）若⊙O的半径为2，求CD的长。（4分） 第20题图 21．（满分8分）京山市某中学体育中考设有网球项目。某同学在训练中从地面O点处击出一球，球在空中经过的路线是一条抛物线。如图，以O为原点建立平面直角坐标系（x轴沿水平地面，单位长度为1米），球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数关系式y＝－x2＋x。 （1）求该球飞行的最大高度；（3分） （2）若球网位于击球点正前方6米处，网高1米，通过计算判断该球能否越过球网；（2分） （3）若该同学在原地第二次击球，球的飞行路线仍是抛物线，且最大高度比第一次降低了1米，落地点恰好与第一次相同，求第二次击球后球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式。（3分） 第21题图 22．（满分10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC边上一点，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE。 （1）求证：△ADE是等腰直角三角形；（3分） （2）若BD＝3，CD＝4，求DE的长；（3分） （3）在（2）的条件下，求四边形ADCE的面积。（4分） 第22题图 23．（满分11分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线，垂足为点F。 （1）求证：BC平分∠ABF；（3分） （2）若⊙O的半径为5，CD＝8，求BC的长；（4分） （3）在（2）的条件下，求BF的长，并求△BCF的面积。（4分） 第23题图 24．（满分12分）如图，抛物线y＝－x²+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D。 （1）直接写出点A、B、C、D的坐标；（4分） （2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作PQ⊥x轴于点Q，交直线BC于点E。设点P的横坐标为m，线段PE的长为d，求d关于m的函数关系式，并求出d的最大值；（4分） （3）在（2）的条件下，△PCE的面积是否有最大值？若有，请求出点P的坐标及△PCE面积的最大值；若没有，请说明理由。（4分） 第24题图 学科网（北京）股份有限公司 $